Differentiation 微分
之七
以公式法求函數的微分 連續微分及駐點
successive differentiation and stationary points
SUCCESSIVE DIFFERENTIATION
連續微分 連續微分 連續微分 連續微分
Part. 1
舉例
=
=
=
=
=
=
+ +
+
=
4 4
2 2 3
3 2 2
2
3 1
dx y d
dx y d dx
d dx
y d
dx dy dx
d dx
y d dx dy
x x
x y
1 2
3x2 + x +
2 6 +x
Example 4.22 三角函數sinax的導數(derivatives)
=
−
=
−
=
=
=
) (
) ( sin
) ( ''
cos )
( '
sin )
(
) (
2 2
x f
x f a ax
a x
f
ax a
x f
ax x
f
n
( )1 sin if is even ( ) ) (
odd is
if cos
) 1 (
2 /
2 / ) 1 (
偶數 奇數 n
ax a
n ax
a
n n
n n
−
− −
Exercises 連續微分
Exercises 對數函數的連續微分
Exercises 指數函數的連續微分
Exercises cos函數的連續微分
STATIONARY POINT 駐點 駐點 駐點 駐點
Part. 2
梯度為正, 斜率為正 梯度為負, 斜率為負
梯度為負, 斜率為負 梯度為正, 斜率為正 區域最高點
斜率為0
區域最低點 斜率為0
Maximum 最高點 與 Minimum 最低點
Inflection point 反曲點
斜率為正 斜率為正
水平反曲點,斜率為0
The first derivative f ’(x) of a function f(x) is the rate of change of the function, or the slope of its graph at point x.
函數 f(x) 的一次導數一次導數一次導數一次導數 f’(x) 表示函數變化的速率, 也稱為 函數在圖形中某一點x的斜率斜率斜率。斜率
The second derivative f ’’(x) is the rate of change of slope, and is related to the curvature at x.
函數的二二二次導數二次導數次導數 f’’(x) 表示函數協率的變化率, 代表在某次導數 一點x的曲率(彎曲的程度)。
A: Maximum point
B: Minimum point
Inflection point
0 and
0 2
2
<
= dy
y d dx
dy
0 and
0 2
2
>
= dy
y d dx
dy
2 0
2
dy = y d
Example 4-23 Find the stationary points 尋找駐點
最低點
為反曲點 決定駐點的種類
minimum
0 12
0 ,
1
0 24 24
72
; 0
1 ,
0
24 36
:
0
1 and
0 When
) 1 (
12 12
12
1 4
3
2 2
3 3 2
2 2
2 2
2 2
3 3 4
>
=
=
=
≠
−
=
−
=
=
=
=
−
=
=
=
=
−
=
−
=
+
−
=
dx y y d
x
dx x y d dx
y y d
x
x dx x
y d
dx x dy
x
x x x
dx x dy
x x
y
Exercise Find the stationary points 尋找駐點
為最低點
因此
−
>
=
4 , 1 2 3
0
2 2
2
dx y d
Exercise Find the stationary points 尋找駐點
Exercise Find the stationary points 尋找駐點
Exercise Find the stationary points 尋找駐點
Exercise Find the stationary points 尋找駐點
