Ch 1.2 縮放與相似 重點 1：線的縮放圖形
1.意義：將一個平面圖形上的所有點經過縮放後，形成的圖形就稱為原來圖形的縮放圖形 圖形經過縮放後，可能大小不一樣，但形狀是維持不變的
2.縮放倍率(點的縮放)：
在平面上固定一點 O，再任意取一點 A，則在 → AC 上找到一點 A′，使得OA′＝3OA 即點 A′是以 O 為中心，將OA縮放 3 倍的對應點，OA′：OA的比值 3 稱為縮放倍率 3.線段的縮放性質：
(1)一線段經過縮放 r 倍後形成的圖形仍然是線段 (2)縮放後的線段與原線段平行(或兩線段在同一直線上) (3)縮放 r 倍後的線段長度為原來的 r 倍
4.射線的縮放性質：
射線經過縮放 r 倍後形成的圖形仍然是射線，
且縮放後的射線與原射線平行(或兩線段在同一直線上) 5.直線的縮放性質：
直線經過縮放 r 倍後形成的圖形仍然是直線，且縮放後的直線與原直線平行(或兩直線重合)
◎線段的縮放：
已知 O、A、B 為平面上三點：
1.已知 A'與 B'是以 O 為中心，分別將 A、B 縮放 2 倍後得到的點，
連接 AB 與A′B′，如右圖 (1)A′B′與 AB 平行嗎？
(2)A′B′的長度是 AB 的____倍
2.如右圖，在 AB 上任意找一點 P，連接 →
OP 與A′B′交於 P′點，則：
(1)OP′的長度是OP的____倍
(2)以 O 為中心，將 P 縮放 2 倍的對應點是 P′點嗎？
(3)以 O 為中心，將 AB 上的任一點縮放 2 倍後，所得到的點會在A′B′上嗎？
3.如右圖，A′B′上的任一點 Q′，連接 QO ′，與 AB 交於 Q 點 那麼以 O 為中心，將 Q 縮放____倍後的點是 Q′
例 1.1：(1)在下圖中，畫出以 O1為中心，將 AB 縮放 2
1倍後的圖形
(2)在下圖中，畫出以 O2為中心，將CD縮放 3 倍後的圖形
Ex1.1：(1)在下圖中，畫出以 O1為中心，將 AB 縮放 3
1倍後的圖形
(2)在下圖中，畫出以 O2為中心，將CD縮放 2 倍後的圖形
重點 2：角的縮放圖形
角的縮放：一個角度經過縮放之後，角的大小不變
◎角的縮放
如右圖，已知∠ACB 及內部一點 O。以 O 為中心，分別將 A、B、C 三點縮放 3 倍後得到 A′、B′、C′三點，連接 C ′A′ 、 → C ′B′ ，則： →
1.∠ACB 與∠A′C′B′的兩邊會互相平行嗎？
2. ∠1 與∠3 度數相同嗎？
3. ∠2 與∠4 度數相同嗎？
4.∠ACB 與∠A′C′B′的度數相同嗎？
重點 3：三角形的縮放圖形
意義：畫一個多邊形經過縮放後的圖形，只要先將多邊形的各頂點縮放後，再用線段連接，
就是縮放後的多邊形圖形
例如：以 O 為中心，要畫出△ABC 縮放 2 倍後的圖形，如右圖 Step1：找到 A，B，C 以 O 為中心縮放 2 倍後的點 D，E，F Step2：以線段連接，則△DEF 就是△ABC 縮放 2 倍後的圖形
註：不論縮放的中心是在三角形外部外部外部外部、內部內部內部內部、頂點頂點頂點頂點或是邊上邊上邊上邊上，
縮放後的三角形與原三角形對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例，對應角相等對應角相等對應角相等，如下圖 對應角相等
中心是在三角形外部 中心是在三角形內部 中心是在三角形頂點 中心是在三角形邊上
例 3.1：如右圖，O 為△ABC 外部一點。
若△A′B′C′是以 O 為中心，將△ABC 縮放 2 倍的縮放圖形。試證明：
(1)△A′B′C′與△ABC 對應邊成比例 (2)△A′B′C′與△ABC 對應角相等 證明：
Ex3.1：如右圖，若△A′B′C′是以 A 為中心，將△ABC 縮放 3 倍的縮放圖形。試證明：
(1)△A′B′C′與△ABC 對應邊成比例 (2)△A′B′C′與△ABC 對應角相等 證明：
重點 4：多邊形的縮放圖形
1.意義：畫一個多邊形經過縮放後的圖形，只要先將多邊形的各頂點縮放後，再用線段連接，
就是縮放後的多邊形圖形 2.性質：
(1)不管縮放中心在哪裡，一個圖形縮放成 r 倍後：
對應邊長都是原圖形的 r 倍，且對應角的度數與原圖形相等。
(2)在不同縮放中心下，將一個圖形進行 r 倍縮放：
縮放後的圖形會全等，且縮放後的圖形與原圖形對應邊成比例，對應角相等。
(3)因此在討論圖形縮放時，如果沒有必要，不會特別提及縮放的中心點
即：平面上一個多邊形經過縮放後的縮放圖形，與原圖形「對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例」且「對應角相等對應角相等對應角相等對應角相等」
◎以 O 為中心，將四邊形 ABCD 縮放 2
1後得到四邊形 A′B′C′D′，則：
(1)四邊形 ABCD 與四邊形 A′B′C′D′的對應邊成比例，對應角相等 (2)雖然中心不同，縮放後的四邊形 A′B′C′D′是全等的。如下圖
例 4.1：右圖是邊長 1 公分的正五邊形，將它縮放 2.5 倍後的縮放圖形，
則其邊長與內角分別為多少？
Ex4.1：邊長 2 公分的正十二邊形經過縮放r 倍後，會變成什麼圖形呢？縮放後的圖形邊長與內角分 別為多少？
Ex：如右圖，邊長為 3 公分的正六邊形，將它縮放 3 倍後，所得的縮放圖形邊長與內角分別為多少？
中心在外部 中心在內部 中心在邊上 中心在頂點
重點 5：相似多邊形
1.意義：如圖，四邊形 ABCD 的一個縮放圖形為 EFGH 與四邊形 PQRS 全等，
則稱四邊形 ABCD 與四邊形 PQRS 相似，記為「四邊形 ABCD～四邊形 PQRS」
讀作「四邊形 ABCD 相似於四邊形 PQRS」
2.性質：(1)兩個圖形中，如果其中一個經過縮放後，會與另一個全等，就稱這兩個圖形相似 (2)若兩個相似的多邊形，則其對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例，對應角相等對應角相等對應角相等對應角相等
(3)若兩個邊數相同的多邊形，若其對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例對應邊成比例，對應角相等對應角相等對應角相等對應角相等，則這兩個多邊形相似 (4)任意兩個正 n 邊形都相似
(5)兩個多邊形，若只有對應邊成比例或對應角相等，則這兩個多邊形不一定相似 註：若四邊形 ABCD～四邊形 PQRS，則 A，B，C，D 四點的對應點不一定不一定不一定為 P，Q，R，S 不一定
例 5.1：如右圖，四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，且 A、B、C、D 四點的對應點分別為 E、F、G、H，
若∠A＝90°、∠B＝65°、∠C＝50°，則：
(1)∠F 是多少度？
(2)∠H 是多少度？
解：
Ex5.1：如右圖，四邊形 ABCD～四邊形 A′B′C′D′，且 A、B、C、D 四點的對應點分別為 A′、B′、C′、
D′，若∠A＝70°、∠B＝95°、∠D′＝60°，
則∠A′＝______，∠C＝______
例 5.2：已知四邊形 ABCD～四邊形 PQRS，且 A、B、C、D 四點的對應點依序為 P、Q、R、S，
若 AB ＝5 公分、 PQ ＝3 公分、BC＝10 公分，則 QR 為多少公分？
解：
Ex5.2：如右圖，五邊形 ABCDE～五邊形 PQRST， DE 的對應邊為ST。若 AB ＝8.5、∠R＝100°，
且DE
ST ＝2，則：
(1) AB 的對應邊 PQ 的長度為多少？
(2)∠R 的對應角∠C 是多少度？
解：
Ex：設五邊形 ABCDE～五邊形 A′B′C′D′E′為兩相似的五邊形，且 AB ：BC：CD：DE ：EA ＝1：2：
4：3：2，五邊形 A′B′C′D′E′的周長為 36 公分，試求：
(1)CD的對應邊C′D′之長為多少？
(2) AE 的對應邊A′E′之長為多少？
例 5.3：右圖為兩個五邊形甲與乙，其中∠A＝∠F、∠B＝∠G、∠C＝∠H、∠D＝∠I，且各邊長度 如圖所示。這兩個五邊形會相似嗎？
Ex5.3：下列哪一個選項中的兩個圖形不是不是不是相似形？ 不是
(A) (B) (C) (D)
Ex：已知多邊形甲與乙都是正多邊形，且邊數相同，則這兩個多邊形會相似嗎？
例 5.4：(1)長方形與正方形的四個內角都是直角，它們是否一定相似？
(2)菱形與正方形的四個邊都成比例，它們是否一定相似？
解：(1) (2)
Ex5.4：右圖中，E、F 分別在 AB 、CD上，且 AD // EF //BC， 則梯形 ABCD 與梯形 AEFD 是否相似？
Ex：如右圖，五邊形 ABCDE 與五邊形 ABCGF 中FG// ED 則這兩個五邊形是否相似？
Ex：下列敘述何者正確？
(A)兩個長方形一定相似 (B)兩個菱形一定相似
(C)兩個正方形一定相似 (D)兩個平行四邊形一定相似
重點 6：相似三角形判別性質
1.意義：要判別兩個多邊形是否相似時，需同時檢查「對應邊成比例」與「對應角相等」
2.相似三角形判別性質：
(1)SSS 相似性質：
兩個三角形中有三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似，稱為 SSS 相似性質 如：在△ABC 和△PQR 中，若 AB ： PQ ＝AC： PR ＝BC： QR ，則△ABC～△PQR
(2)SAS 相似性質：
兩個三角形中有一組對應角相等，且夾這個等角的兩組對應邊成比例，則這兩個三角形相似 稱為 SAS 相似性質
(3)AAA(或 AA)相似性質：
若兩個三角形中有三組(或兩組)對應角相等，則這兩個三角形相似，
稱這個性質稱為 AA A(或 AA)相似性質
如：在△ABC 和△PQR 中，若∠A＝∠P，∠B＝∠Q，∠C＝∠R，則△ABC～△PQR
註：如果兩個三角形中，已經有兩組對應角相等，因為三角形內角和為 180°，所以第三組對應角 度數也一定相等，那麼這兩個三角形也會相似，這個性質稱為 AA 相似性質
◎SSS 相似性質：
◎SAS 相似性質：
◎AAA(或 AA)相似性質：
例 6.1：若△ABC 的三邊長分別為 AB ＝5、BC＝12、AC＝13，且△DEF 的三邊長分別為 DE ＝10、
EF ＝24、 DF ＝26，則這兩個三角形是否相似？
解：
Ex6.1：在△ABC 與△DEF 中， AB ＝ 2
3 DE ，BC＝ 2
3 EF ，AC＝ 2
3 DF ， 則這兩個三角形是否相似？
解：
Ex：若△ABC 的三邊長分別為 AB ＝5、BC＝6、AC＝7，且△DEF 的三邊長分別為 DE ＝15、
EF ＝18、 DF ＝21，則這兩個三角形是否相似？
解：
Ex：如右圖，△ABC 中，D，E 兩點分別為 AB ，AC的中點，且 DE ＝2，BC＝4，
則△ABC 與△ADE 是否相似？
解：
例 6.2：右圖是一把剪刀的平面圖，AC與 ED 相交於 B 點，
若 AB ＝ BE ＝10cm、BC＝ BD ＝5cm，
則△ABE 與△CBD 是否相似？
解：
Ex6.2：如右圖， AE 與 BD 相交於 C 點， AB ＝7、BC＝3、AC＝5、
CD＝10、CE＝6。則：
(1)△ABC 與△DEC 是否相似？
(2) DE ＝？
解：
Ex：如右圖， AD ＝ DF ＝ FB ， AE ＝EG＝GC，且 ED ＝5 公分，
則GF＋BC＝？
例 6.3：如右圖，△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB 、AC上，
若∠B＝∠AED，則△AED 與△ABC 是否相似？
Ex6.3：如右圖，△ABC 中，D、E 兩點分別為 AB 、AC上的點，
且 DE //BC，則△ADE 與△ABC 會相似嗎？
Ex6.31：如右圖，△ABC 中， AB ＝AC，∠A＝36°，D 點在AC上，
且 BD 平分∠ABC，則△ABC 與△BDC 是否相似？
例 6.4：如右圖，△ABC 中，若 AD ＝2， BD ＝4， AE ＝3，CE＝1，
則根據下列何者使得△ABC～△AED？
(A) AAA 相似性質 (B) SAS 相似性質 (C) SSS 相似性質 (D) ASA 相似性質
Ex6.4：如右圖，若AC、 BD 相交於 O，且 AB //CD 則根據下列何者使得△ABO～△CDO？
(A) AAA 相似性質 (B) SAS 相似性質 (C) SSS 相似性質 (D) ASA 相似性質
例 6.5：(1)在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D， AB ： DE ＝BC： EF ， 則△ABC 與△DEF 是否一定相似？
(2)如右圖，在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D， AB ： DE ＝6：3，
BC： EF ＝4：2，則△ABC 與△DEF 是否一定相似？
Ex6.5：如右圖，在△ABC 中，∠B＝90°， DE⊥AB ，則：
(1)試判斷△ABC 與△ADE 是否相似？
(2)已知BC＝6， AB ＝8， AD ＝5，試求 DE ＝？
A
B
C 6 4
D
E
F 3 2
