2-1 平面方程式 平面方程式 平面方程式 平面方程式

第 第 第

第 2 章 章 章 章 空間中的平面與直線 空間中的平面與直線 空間中的平面與直線 空間中的平面與直線

2-1 平面方程式 平面方程式 平面方程式 平面方程式

例題例題

例題例題 1 已知點坐標及法向量求平面方程式已知點坐標及法向量求平面方程式已知點坐標及法向量求平面方程式已知點坐標及法向量求平面方程式 (1) 試求通過點 A（3，−1，4），且以 n

v

＝（2，3，−1）為法向量的平面方程式 (2) 試求 xy 平面的一個法向量及 xy 平面的方程式

解 解 解

解 (1) 令所求為 2x＋3y－z＋d＝0

（3，−1，4）代入得 6－3－4＋d＝0

d＝1

∴所求為 2x＋3y－z＋1＝0 (2) ∵ z 軸垂直 xy 平面

∴取 xy 平面的法向量為（0，0，1）

令 z＋d＝0

（0，0，0）代入得 d＝0

∴ xy 平面的方程式為 z＝0

例題 例題 例題

例題 2 與已知平面平行的平面與已知平面平行的平面與已知平面平行的平面與已知平面平行的平面

(1) 設平面 E 通過點 P（3，0，2），且與平面 x＋2y－3z＋1＝0 平行，試求平面 E 的方程式。

(2) 設平面 E 通過原點 O（0，0，0），且與平面 2x＋5y＋z＋1＝0 平行，試求平面 E 的方程式。

解解

解解 (1) 設 E 的方程式為 x＋2y－3z＋d＝0

（3，0，2）代入得 3＋0－6＋d＝0

d＝3

∴ E 的方程式為 x＋2y－3z＋3＝0 (2) 令 E 的方程式為 2x＋5y＋z＋d＝0

（0，0，0）代入得 d＝0

∴ E 的方程式為 2x＋5y＋z＝0

（討論：所有過原點的平面方程式常數項必為 0，故直接取 2x＋5y＋z＝0 亦可）

例題 例題 例題

例題 3 不共線的相異三點決定一平面不共線的相異三點決定一平面不共線的相異三點決定一平面不共線的相異三點決定一平面

已知空間中三點 A（1，−2，0），B（2，1，9），C（3，−3，4），試求：

(1) AB AC

v v

(2) ABC 三點所決定的平面方程式

解解

解解 (1) AB

v

＝（1，3，9）， AC

v

＝（2，−1，4）

3 9 9 1 1 3 1 4 4 2 2 1

AB AC  

× = 

− −

 

v v

， ，  ＝（21，14，−7）

(2) 承(1)， AB AC

v v

＝（21，14，−7）同時垂直 AB AC

v v

，

∴取 n

v

＝（3，2，−1）可以是所求平面的法向量 令 3x＋2y－z＋d＝0

（1，−2，0）代入得 3－4－0＋d＝0

d＝1

∴所求為 3x＋2y－z＋1＝0

例題例題

例題例題 4 由位置向量的線性組合求平面方程式由位置向量的線性組合求平面方程式由位置向量的線性組合求平面方程式由位置向量的線性組合求平面方程式 已知坐標空間中，O 為原點， OA

v

＝（2，1，−3）， OB

v

＝（1，1，2），試求：

(1) OA

v

與 OB

v

的外積 (2) OA

v

與 OB

v

的所有線性組合會張成一個平面，試求此平面方程式

解 解 解

解 (1) OA OB

v v

1 3 3 2 2 1

1 2 2 1 1 1

 − − 

= 

 ， ， ＝（5，−7，1）

(2) 取 n

v

＝（5，−7，1）

令 5x－7y＋z＋d＝0

∵ O（0，0，0）在此平面上

∴（0，0，0）代入得 d＝0 所求為 5x－7y＋z＝0

例題 例題 例題

例題 5 平面的截距式平面的截距式平面的截距式平面的截距式

(1) 若平面 E 分別交 x、y、z 軸於 A（2，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，3）三點，

試求平面 E 的方程式

(2) 已知平面 E：3x－2y－4z＝12 與坐標軸分別交於（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），

試求序組（a，b，c）

解解

解解 (1) 由已知及平面的截距式

所求為 1

2 1 3 x+ + =y z

同乘以 6 得 3x＋6y＋2z＝6 即 3x＋6y＋2z－6＝0

(2) 已知 3x－2y－4z＝12

兩邊同除以 12 得 1 4 6 3 x− − =y z

即 1

4 6 3

x y z

+ + =

− −

故知此平面的 x、y、z 截距分別為 4、−6、−3 即序組（a，b，c）＝（4，−6，−3）

例題例題

例題例題 6 兩平兩平兩平兩平面的夾角面的夾角面的夾角面的夾角（使用計算機使用計算機使用計算機使用計算機）

(1) 空間中兩平面 E₁：4x＋5y＋3z＝4，E₂：2x＋2y－z＝1，試求 E₁ 與 E₂ 的夾角 (2) 空間中兩平面 E₁：2x＋y＋4z＝1，E₂：3x＋2y－z＝7，試求 E₁ 與 E₂ 的夾角。

（用度表示，四捨五入至小數點後第二位）

解 解 解

解 (1) 取 n₁

v

＝（4，5，3）， n₂

v

＝（2，2，−1）

8 10 4 15 1 cos

50 9 15 2 2

θ = ^{+ −} = =

可得 θ＝45°，180°− 45°＝135°

∴所求為 45°，135°

(2) 取 n₁

v

＝（2，1，4）， n₂

v

＝（3，2，−1）

6 2 4 4 cosθ = 21 14^{+ −} =7 6

按計算機得 θ ≈ 76.50946454° ≈ 76.51°

180°− 76.51°＝103.49°

∴所求為 76.51°，103.49°

例題 例題 例題

例題 7 點到平面的距離點到平面的距離點到平面的距離點到平面的距離

(1) 試求點 P（3，7，2）到平面 E：2x＋y＋z－3＝0 的距離

(2) 已知點（2，3，0）到平面 x－2y＋2z＋k＝0 距離為 1，試求 k 值 解

解 解

解 (1) 由點到平面距離公式得 6 7 2 3 12

2 6 4 1 1 6 + + − = =

+ + (2) 由已知條件，

2 6 0

1 1 4 4

− + +k = + +

│k－4│＝3

k－4＝±3

k＝7 或 1

例題 例題 例題

例題 8 兩平行平面的距離兩平行平面的距離兩平行平面的距離兩平行平面的距離

(1) 試求兩平行平面 E1：2x＋y－2z＋1＝0 與 E2：2x＋y－2z－5＝0 的距離

(2) 已知平面 E₁：2x－3y＋6z＋1＝0 與平面 E₂：4x－6y＋12z－5＝0，試求平面 E₁ 與 E₂ 的距離。

解解

解解 (1) 所求為 1 ( 5) 6 3 2 4 1 4

− − = = + +

(2) 將 E2 方程式兩邊同除以 2

得 5

2 3 6 0

x− y+ z− =2

∴所求為

5 7

1 2 2 1

7 2 4 9 36

 

− − 

  + + = =

例題 例題 例題

例題 9 由平行平面的距離求平面方程式由平行平面的距離求平面方程式由平行平面的距離求平面方程式由平行平面的距離求平面方程式

已知平面 E1 與平面 E2：x＋2y＋z＋3＝0 平行，且平面 E1 與 E2 的距離為 4，

試求平面 E1 的方程式。（有兩解）

解 解 解

解 設所求為 x＋2y＋z＋k＝0 則 3

4 1 4 1

k− = + +

k− =3 4 6

k− = ±3 4 6

k= ±3 4 6

∴所求為 x+2y+ + +z 3 4 6=0 或 x+2y+ + −z 3 4 6 =0

例題 例題 例題

例題 10 已知點與垂直線段求平面方程式已知點與垂直線段求平面方程式已知點與垂直線段求平面方程式已知點與垂直線段求平面方程式

(1) 已知空間中兩點 A（2，5，3），B（4，1，5），試求 AB 的垂直平分面方程式 (2) 已知點 P（2，4，7）對稱於平面 E 的點為 Q（4，2，1），試求平面 E 的方程式 解

解 解

解 (1) AB 中點為 M（3，3，4）

又 AB

v

＝（2，−4，2）

取法向量 n

v

＝（1，−2，1）

令 x－2y＋z＋d＝0

（3，3，4）代入得 3－6＋4＋d＝0

d＝−1

故得 x－2y＋z－1＝0

(2) 顯然 PQ 中點 M 在平面 E 上，由 P、Q 坐標得 M（3，3，4）

又 PQ

v

＝（2，−2，−6）

取法向量 n

v

＝（1，−1，−3）

令 x－y－3z＋d＝0

（3，3，4）代入得 3－3－12＋d＝0

d＝12

∴所求為 x－y－3z＋12＝0