第二章 靜態參數分析

第一章 簡介

本篇論文主要的重點是藉由一個簡單的 2-bit 電阻分壓的數位 類比轉換電路來作較複雜的容忍度的分析。我們分別用三種定義:傳 統的理想直線(Ideal Straight Line),端點直線(Endpoint Line), 以及最佳近似直線(Best-fit Line)來作介紹及比較。而由於理想直 線的定義方式為參考電壓被數位的碼(code)均分(為通過原點的直 線),而實際上應為不均分,所以比較不適合用來做容忍度的分析。而 另一種端點直線的定義方式則是將最後一個碼的實際值與第一個碼 的實際值所連成的直線當做參考直線,不夠客觀,所以也並不適合拿 來做容忍度的分析。

而最佳近似直線則是以整體的分佈,用線性迴歸的方法來找出最適 合的直線,所以是最客觀的定義方式。因此,對於在做容忍度的分析時, 我所選擇的是最佳近似的定義方式。

在做容忍度的分析時,又有四種的分析方法可以選擇:極值分析 (Extreme Value Analysis,簡稱 EVA),和方根(Root-Sum-Square,簡稱 RSS)分析,快速蒙地卡羅分析(Fast Monte Carlo Analysis,簡稱 FMCA) 以及蒙地卡羅分析( Monte Carl0 Analysis,簡稱 MCA) 。極值分析 主要是由所要觀察的輸出電壓對各個元件(如電阻,電感)的微分(即

斜率),來判斷其敏感度(sensitivity)的正負,並直接決定每一個元 件應取極大值或極小值以得到觀察的輸出電壓的極值(極大值及極小 值),進而求得靜態規格參數。而快速蒙地卡羅分析則是由所有的輸入 狀況去找出輸出電壓的極大值及極小值,再由輸出電壓的極大值及極 小值依據所採用定義的方式去找出最後想要的靜態規格參數,因此極 值分析與快速蒙地卡羅分析分析的方法並不相同,但特別注意的是其 分析結果會相同。極值分析與快速蒙地卡羅分析分析的方法的優點是 分析上比較快速,而其缺點則是誤差較大。

另外, 和方根則是以 3 倍標準差來當做輸入參數(如電阻,電容, 電感,電壓等)的容忍度,並以所有輸入參數的變異數的總和得到所要 觀察的輸出參數之變異數,其中我們每次只變動(微小變化量)一個輸 入參數,然後可得到輸出的微小變動,而輸出的變化量是與敏感及容忍 度的乘積有關。

前述三種容忍度的分析方法所得到的輸出之變動範圍較大,因此, 在本篇論文中是以蒙地卡羅分析為主要的分析方法, 蒙地卡羅的方 法是使用亂數產生器( random number generator )來模擬大量的測試條 件,以找出良率最高的相關係數組合,因此為較好的分析方法。

第二章 靜態參數分析

2-1.分析方法

靜態參數的分析的方法大概可分為三種:理想直線(Ideal straight line), 端點直線(Endpoint line),最佳近似直線(Best-fit line)三種方法。

2-1-1.理想直線(Ideal straight line)

以 N 個 bit 的 DAC 為例,將參考電壓 V_R值分成 2^N-1 等份,定義為 一個 LSB,即 1LSB=V_R/(2^N-1) V/code, 並以 V_LSB來表示一個 LSB 所 對應的電壓值(即 V_LSB=1LSB),因此每個 digital code 皆有其相對 analog 值,為一理想直線,理想上,1 個 code 對應到 1 個 LSB。

因此,DAC 靜態參數:offset error, gain error, DNL (Differential Nonlinearity) error, INL (Integral Nonlinearity) error,其定義分別為 offset error: E_off(DAC)≡V_out/V_LSB∣_0….0 (LSB)

gain error: E_gain(DAC)≡[V_out/V_LSB∣_1….1 -V_out/V_LSB∣_0….0]-(2^N-1) (LSB) 上述兩個參數之圖形說明如圖 2-1:

DNL error:gain error 和 offset error 被移除後,實際相鄰的兩個 code 之間的電壓差除以 V_LSB(即 1 個 LSB 的電壓值)後,再減去理想的 1 個 LSB,即(V_x+1-V_x)/V_LSB-1。INL error:gain error 和 offset error 被移除後, 同一個 code 上實際值與理想值之差,亦即 INL=ΣDNL。

上述兩個參數之圖形舉例說明如圖 2-2:

圖 2-2 實例

Code 0 1 2 3 DNL(0)=0

Vdac 0 1.1 2.3 3.4 DNL(1)=[(1.1-0)-1]/1 DNL 0 0.1 0.2 0.1 DNL(2)=[(2.3-1.1)-1]/1 DNL 0 0.1 0.3 0.4 DNL(3)=[(3.4-2.3)-1]/1

INL(i)= ∑

= i

k

DNL

0

Unit:LSB

2-1.2.端點直線(Endpoint line)

以實際(actual)值的第 1 點與最末點之間連成的直線當做 Endpoint line 的參考線,則其 gain 即為以 Endpoint line 方法來分析的 V_LSB值, 其圖形及公式如圖 2-3:

圖 2-3 數位類比(端點直線)轉換

V

_LSB

=(V

FS+(actual)

-V

FS-(actual)

)/(2

^N

-1) =Gain

_(actual)

Gain

_(ideal)

=(V

_FS+(ideal)

-V

_FS(ideal)

/ (2

^N

-1) Gain error:

ÄG=[Gain

_(actual)

/Gain

_(ideal)

-1]x100%

Offset error:

The actual DAC output at code 0 minus The ideal DAC output at code 0

DNL(i)=[S(i+1)

_(actual)

-S(i)

_(actual)

/V

_LSB

-1

2-1.3.最佳近似(Best-fit line)

圖 2-4 數位類比(最佳近似)轉換

圖 2-4 之公式推導:

因此,我們可以推導出:

其靜態參數之公式如下:

比較上述三種方法的不同,可以得到一個重要的結論:用理想直線的 方法,其 V_LSB為 1LSB,而用端點直線的方法,其 V_LSB為 N-bit 的最後一 個 code 與 code0 時的實際值被分成 2^N-1 等份。而用最佳近似的方法

則是以 Matlab 去求得斜率(即 gain)和截距(即 offset)。然後再由其定義 去得到我們想要的靜態參數。因此,理想直線之 V_LSB與實際的輸出值 無關,端點直線的 V_LSB (即斜率)則僅與實際輸出之起始點與終點有關, 因此都不太客觀,而最佳近似直線則是以所有 code 的實際輸出當樣本 去得到的 V_LSB (即斜率),因此以最佳近似直線去做容忍度的分析較為 客觀、理想。

第三章 極值分析

3-1 .敏感度及容忍度

當我們的電路給定之後,output 與 input 之間的關係即可以函數 (function)來表示。所以對於某一個 component 而言,我們可以得到 output 對某一個 component 的偏微:∂Vo/∂C,其中 C 為電路中的某一 個 component。而正規化的敏感度(normalized sensitivity)定義為:

S

^yx= _y^x _dx^dy ,因此對某一個電阻 R 而言,其 normalized sensitivity 為

S

^R=_Vo^{R ∂}_∂^Vo_R ^{,所以假如}

S

^R=0.25 的話,表示當 R 增加了 1%,則 output 將會增加 0.25%,我們經由敏感度的正負,去判斷每一個輸入參數的極 值(極大或極小),即可知道輸入為何種組合時,會得到輸出的極大值及 極小值,特別注意的是: normalized sensitivity 與元件的容忍度

(component’s tolerance)無關。

圖 3-1 敏感度的概念圖

V1,max

Ri-ΔRi Ri Ri+ΔRi R0

R1,R2

V2,max

Ri-ΔRi Ri Ri+ΔRi R0,R1

R2

Vi,max

R0-ΔR0 R0 R0+ΔR0 V2 V1

Vi,max

R1-ΔR1 R1 R1+ΔR1 V2 V1

Vi,max

R2-ΔR2 R2 R2+ΔR2 V2 V1

3-2. 以差分近似偏微分

考慮程式編寫上的目的(為了簡化), sensitivity 的近似是需要的,亦 即以差分來近似偏微。首先,以常數 dpf 來當做擾動的因子(perturbation factor),例如:component R 擾動,亦即 R 增加了一個很小的量,因此在 output 的函數中,R 由 R*(1+dpf)來取代,對於 R 而言,近似的微分 (approximate derivative)為:dR=(

V

^R-

V

^O)/(dpf*R),其中

V

^{R為考慮擾動}

時的 output,而

V

^O為不考慮擾動時的 output,亦即

V

^O為其 nominal 值。

比較近似微分的定義:

x y

∆

∆ =

x x f x x f

∆

−

∆

+ ) ( )

( ,其中 f(x+∆x)相當於

V

^{R, f(x)相當於}

V

^O,∆x相當於 dpf*R,因此我們可得到近似的sensitivity:

sensitivity=

Vo R

R dpf

V V_{R O}

*

− =(

O R

V V -1)*

dpf

1 ,特別注意的是:元件值被消去了,然

而,這並不是意味著 sensitivity 與元件值無關。

若元件 R 的 sensitivity>0,表示當 R↑則 output↑ (即 R 增加時,則 output 也會增加), 若元件 R 的 sensitivity<0,表示當 R↑則 output↓(即 R 增加 時,則 output 會下降)。由 component 的 sensitivity 的判斷結果,加上 component 及 input voltage的容忍度(tolerance),則可以求得考慮擾動時 的 output 的極大值和極小值。因此當我們考慮圖 2-2,2-bit resistive divider architecture 時:

圖 3-2 Resistive divider DAC architecture

我們可先由電阻 R0,R1,R2 的 domain,轉換到相對應各節點的電壓值, 再 mapping 到我們所要觀察的參數:offset error, gain error, INL,DNL。

而因為各節點的電壓值各有其極大值和極小值,所以當以三種不同的 方法(Ideal straight line, Endpoint line 及 Best-fit line)來分析時,若將各 個 Digital code 的極小值相連,極大值相連,則在極小值所連成的線與 極大值所連的線之間,會有一個區間的分佈, 另外,我們也可以極大值, 極小值的交互的情況來當做實際得到的輸出, 由此可得到想要的靜 態參數。

3-3.分析及模擬結果

經整理後的數據資料結果如下表 3-1 及表 3-2:

表 3-1:輸入參數與輸出電壓情況之條件及結果

表 3-2:靜態參數之極大值及極小值

OE_BF GE_BF DNL_BF INL_BF

Max 0 . 1 0 5 0 . 0 6 3 0 . 7 7 4 1 . 2 5 8 0 . 7 7 0 0 . 2 1 0 0 . 5 8 1 0 . 6 2 9 0 . 1 9 4 Min - 0 . 0 9 4 - 0 . 0 7 0 - 0 . 8 3 9 - 1 . 1 6 1 - 0 . 8 3 9 - 0 . 1 9 4 - 0 . 6 2 9 - 0 . 5 8 1 - 0 . 2 1 0

V0,max V0,min V1,max V1,min V2,max V2,min V3,max V3,min

0.3 -0.3 1.587 0.45 2.55 1.4143 3.3 2.7

R2 0.8 0.8 0.8 1.2 0.8 1.2 0.8 0.8

R1 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 0.8 0.8 0.8

R0 0.8 0.8 1.2 0.8 1.2 0.8 0.8 0.8

Vref+ 2.7 2.7 3.3 2.7 3.3 2.7 3.3 2.7

Vref- 0.3 -0.3 0.3 -0.3 0.3 -0.3 -0.3 -0.3

第四章 快速蒙地卡羅分析

4-1.觀念

快速蒙地卡羅分析與極值分析的觀念類似,主要是先從五個輸入 參數(三個電阻,二個電壓),每個參數都有極大及極小值,所以共有 32 種不同的組合,當轉換到電壓的 domain 時(共有四個節點電壓),同理共 有 16 種不同的組合,再由此找出最 worse case 的靜態規格參數。

4-2.分析及模擬結果

快速蒙地卡羅分析是由所有的組合狀況中來做分析,而極值分析 則是直接判斷其極值,所以快速蒙地卡羅分析與極值分析的結果會相 同。快速蒙地卡羅的結果如表 4-1 及表 4-2

表 4-1: 輸入參數與輸出電壓情況之條件及結果

表 4-2: 靜態參數之極大值及極小值

OE_BF GE_BF DNL_BF INL_BF

Max 0.105 0 . 0 6 3 0 . 7 7 4 1 . 2 5 8 0 . 7 7 0 0 . 2 1 0 0 . 5 8 1 0 . 6 2 9 0 . 1 9 4 Min - 0 . 0 9 4 - 0 . 0 7 0 - 0 . 8 3 9 - 1 . 1 6 1 - 0 . 8 3 9 - 0 . 1 9 4 - 0 . 6 2 9 - 0 . 5 8 1 - 0 . 2 1 0

V0,max V0,min V1,max V1,min V2,max V2,min V3,max V3,min

0.3 -0.3 1.587 0.45 2.55 1.4143 3.3 2.7

R2 0.8 0.8 0.8 1.2 0.8 1.2 0.8 0.8

R1 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 0.8 0.8 0.8

R0 0.8 0.8 1.2 0.8 1.2 0.8 0.8 0.8

Vref+ 2.7 2.7 3.3 2.7 3.3 2.7 3.3 2.7

Vref- 0.3 -0.3 0.3 -0.3 0.3 -0.3 -0.3 -0.3

第五章 和方根分析

5-1.定義

RSS 的定義:任何函數(function)的變化定義如下:

Var(Vo)= ²

1

)

∑

(

= ∂

∂

N

i Xi

Vo *Var(Xi)=(óv0)² ,where 以Xi表示其為 component,

如電阻,電容等等…而 Var(Xi)是平方標準差。其中 dmXi 表示當輸 入元件 Xi 有一個小變化時(每次僅一個輸入元件變化),造成的輸出 微量變化,由此得到輸出的變異數(標準差),需注意的是,當輸入之 nominal值為 0 時,則其對輸出的變動為((0+△X)-0)/△X,而由標準差 則輸出的三倍標準差的變化範圍可得, ,並由此可求得靜態參數。

我們也可以另一方式求解,即假設 components 是不相關的,且設為 常態(高斯)分佈,所以對於一個含有三個電阻 R1,R2,R3 的電路而 言,output voltage 的 variance 為:

2

σ

Vo=

2

1



 





∂

∂ R

Vo *

σ

_R²₁+

2

2



 





∂

∂ R

Vo *

σ

_R²₂+

2

3



 





∂

∂ R

Vo *

σ

R²3,其中

σ

_R²=

3 RT

又

2

1



 





∂

∂ R Vo =

2

1 1 1

3

*

* 



∆

∆ R

T R

Vo =

2 1

3

* 



 





∆

∆Vo T

=

2 1

3

* 

 ∆ dpf

T

Vo ,其中 dpf

R

R =∆=

∆

∴

σ

Vo² =

2 1 1

3

* 

 ∆ dpf

T V_O

+

2 2 2

3

* 

 ∆ dpf

T V_O

+

2 3 3

3

* 

 ∆ dpf

T V_O

=Vo* (Sen*T₁)² +(Sen*T₂)² +(Sen*T₃)²

方程式說明了 RSS 的分析跟 sensitivity & tolerance 的乘積很有 關。對於對稱的容忍度(symmetric tolerances),則以下兩個方程式所得 到的結果會相同。

ÄVrs_k=(-1)^k V_o

∑

p

p k pT Sen _, )²

( (1)

ÄVrss_k=(-1)^k V_o

∑

⁻

p

p k

p M

Sen ( _, 1)]²

[ (2)

∴把 和 都各加上 nominal 的輸出即可得到 3 倍標準差

(- 的輸出值。

若考慮不對稱的容忍度時,則因為T_k,p與M_k,p −1不會相等,所以 和 之值也不會相等。特別注意的是若 tolerance 沒做交換 (swap)的動作時,則會得到錯誤的輸出值。

由和方根所得到的結果如表 5-1

表 5-1:輸出電壓情況及靜態參數之極大值及極小值

V0 V1 V2 V3

max 0 . 3 1 . 4 2 4 3 2 . 4 2 4 3 3 . 3 min - 0 . 3 0 . 5 7 5 7 1 . 5 7 5 7 2 . 7

OE GE DNL INL

Max - 0 . 0 0 9 0 . 0 6 2 9 0 . 0 6 2 2 0 . 9 8 7 7 0 . 6 2 2 3 0 . 2 0 9 7 0 . 4 2 8 7 0 . 4 9 3 8 0 . 1 9 3 5 Min 0 . 1 0 5 - 0 . 0 7 - 0 . 7 0 4 - 0 . 8 5 8 - 0 . 7 0 4 - 0 . 1 9 4 - 0 . 4 9 4 - 0 . 4 2 9 - 0 . 2 1

由於和方根也是利用 3 倍標準差的方式來分析,而由模擬的結果得知, 若以 nominal 為中心其上下變動的範圍會相同,而其靜態參數值偏大。

第六章 蒙地卡羅分析

6-1.觀念

蒙地卡羅的方法是使用亂數產生器 ( random number generator ) 來模擬大量的測試條件,從每一個測試條件計算反應值然後再計算反 應值的平均值(mean)和變異數(variable)。為了要能得到準確的平均 和變異的估計值,蒙地卡羅方法必須在大量的測試條件下評估反應。

一般我們常用的兩種亂數種類為: (1)Gaussian 或 normal (bell-curve) (2)uniform (flat)

在此,我們是以 Matlab 來產生多組亂數,並以 normal distribution的方式 來得到 3 倍的標準差之內(-3ó 到+3ó 之間)的資料(佔了全部的 99.74%), 以此來近似整體的資料。

6-2.想法

首先,以平均值為 0,標準差為 1,則在正負 3 倍標準差的位置分別為-3 及+3,所以若給定了元件的 tolerance,即可 mapping 到以 mean=0,元件 分別在 3 倍的標準差所對應的值,然後我們再將 mean 平移到 1,再分別 乘上各個元件參數即可得到我們所要求的規格。

意即:

N ( 1 , 0 )

^{x S}

N ( ,

²

)



 →





 →



^{+ σ}

σ

µ

σ

µ

µ

即為其平均值

σ

即為其標準差

在本篇論文中,我的想法是:

(1) 由電阻的 domain(假設電阻之間為 independent)直接轉到電壓的 domain,再由電壓得到 DAC 的靜態參數,注意,此時得到的電壓分佈 是實際點的分佈曲線(非常態分佈)。

(2) 由電阻的 domain(假設電阻之間仍為 independent)直接轉到電壓的 domain,因此可求出此實際電壓分佈的平均值 ì,標準差σ,並由此 重新得到一組平均值為 ì 標準差為σ的常態分佈 N(μ,ó²)來近似 實際的電壓分佈,再由此求得 DAC 的靜態參數。

(3)由電阻的 domain(假設電阻之間為 dependent)直接轉到電壓的 domain,再由電壓得到 DAC 的靜態參數,注意,此時得到的電壓分佈 是實際點的分佈曲線。

(4)由電阻的 domain(假設電阻之間為 dependent)直接轉到電壓 domain, 因此可求出此實際電壓分佈的平均值 ì,標準差σ,並由此重新得到 一組平均值為 ì 標準差為σ的常態分佈 N(μ,ó²)來近似實際的電壓 分佈,再由此求得 DAC 的靜態參數。

6-3.分析及模擬結果

我們比較上述四種情況,若有輸入 domain 轉到電壓 domain 再直

接轉到靜態規格,則可得如圖 6-1,圖 6-2,及圖 6-3:

圖 6-1.Independent & Correlation=0 時之靜態參數

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0

- 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3

0 5 0 0 1 0 0 0

D N L m a x

be s t f i t , N o r m a l

V a v g 1 = 0 . 0 6 6 V s 1 = 0 . 1 0 4

- 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3

0 5 0 0 1 0 0 0

I N L m a x

be s t f i t , N o r m a l

V a v g 2 = 0 . 0 3 9 V s 2 = 0 . 0 6 2

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0

mean=1.0259e-0.05 Std=3.3779

Gain Error(%) Offset Error

mean=-1.0641 e-0.06

Std=0.025

圖 6-2.Dependent & Correlation=0.8 時之靜態參數

- 0 . 0 5 - 0 . 0 4 - 0 . 0 3 - 0 . 0 2 - 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0

-0.1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0.1 0 . 1 5 0.2 0 . 2 5 0.3

0 5 0 0 1 0 0 0

D N L m a x

be s t f i t , N o r m a l

V a v g 1 = 0 . 0 3 0 V s 1 = 0 . 0 4 7

-0.1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0.1 0 . 1 5 0.2 0 . 2 5 0.3

0 5 0 0 1 0 0 0

I N L m a x_be s t f i t , N o r m a l

V a v g 2 = 0 . 0 1 7 V s 2 = 0 . 0 2 8

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0

Gain Error(%) Offset Error

mean=1.0722 e-5

Std=3.3422

mean=-1.3014 e-7

Std=0.0112

- 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0.1 0 . 1 5 0.2 0 . 2 5 0.3

0 500 1 0 0 0

D N L m a x

be s t f i t , N o r m a l

V a v g 1 = 0 . 0 8 0 V s 1 = 0 . 1 2 7

- 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0.1 0 . 1 5 0.2 0 . 2 5 0.3

0 500 1 0 0 0

I N L m a x

be s t f i t , N o r m a l

V a v g 2 = 0 . 0 4 7 V s 2 = 0 . 0 7 5

圖 6-3 Dependent & Correlation= -0.8 時之靜態參數

由圖 6-1,6-2,6-3 之結果可以知道,元件間的相關係數是必須考慮的, 通常我們會假設各元件之間是獨立的,這樣會有誤差產生。

茲將相關係數由-0.4 到 0.9,每隔 0.1 去觀察輸出電壓及靜態規格參 數列於表 6-1 及表 6-2(電阻之正負 3 倍標準差為 20%)。

表 6-1 相關係數和輸出電壓對照表

-0.2 - 0 . 1 5 -0.1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0.1 0 . 1 5

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0

Gain Error(%) Offset Error

mean=-2.662e-7 Std=3.3994

mean=1.196e-8 Std=0.0305

Component:

VREF+ (±10%) VREF- (±10%)

R2 (±20%) R1 (±20%) R0 (±20%)

Correcoef V1(M) V1(3S) V2(M) V2(3S)

-0.4 1 0.2179 2 0.2783

-0.3 1 0.2118 2 0.2734

-0.2 1 0.2054 2 0.2686

-0.1 1 0.1989 2 0.2636

0 1 0.1918 2 0.2584

0.1 1 0.185 2 0.2532

0.2 1 0.1776 2 0.248

0.3 1 0.1699 2 0.2425

0.4 1 0.1618 2 0.2369

0.5 1 0.1533 2 0.2312

0.6 1 0.1443 2 0.2253

表 6-2 相關係數和靜態參數對照表

前四個參數之圖形如圖 6-4:

圖 6-4 DNL 及 INL 之分佈圖

同理,當電阻之正負 3 倍標準差為 80%時之結果如表 6-3 及表 6-4

Correcoef DNL(M) DNL(3S) INL(M) INL(3S) GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S) -0.4 0.078 0.123 0.045 0.073 2.20E-06 10.1852 -3.74E-08 0.0887 -0.3 0.075 0.119 0.044 0.07 -3.46E-06 10.1724 -2.46E-08 0.0856 -0.2 0.072 0.114 0.042 0.067 -7.20E-06 10.1604 3.61E-08 0.0822 -0.1 0.069 0.109 0.04 0.065 -5.81E-06 10.1462 -8.59E-08 0.0788 0 0.066 0.104 0.039 0.062 1.03E-05 10.1337 1.06E-06 0.075 0.1 0.063 0.099 0.037 0.059 -6.65E-06 10.1204 -2.05E-07 0.0714 0.2 0.059 0.094 0.034 0.055 -8.06E-06 10.1068 -1.85E-07 0.0673 0.3 0.055 0.088 0.032 0.052 -8.65E-06 10.0936 -2.01E-07 0.063 0.4 0.051 0.081 0.03 0.048 -3.91E-06 10.0806 -4.37E-07 0.0583 0.5 0.047 0.074 0.027 0.044 -6.00E-06 10.0672 -3.77E-07 0.0533 0.6 0.042 0.066 0.024 0.039 4.02E-06 10.0538 4.39E-07 0.0476 0.7 0.036 0.058 0.021 0.034 -7.28E-06 10.0403 -2.82E-07 0.0413 0.8 0.03 0.047 0.017 0.028 1.07E-05 10.0266 -1.30E-07 0.0337 0.9 0.021 0.033 0.012 0.02 -2.37E-06 10.0135 -2.91E-07 0.0239

- 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4

C o r e r c o e f

Static Parameter

D N L ( 3 s t d )

D N L ( m e a n ) I N L ( 3 s t d )

I N L ( m e a n )

表 6-3 相關係數和輸出電壓對照表

表 6-4 相關係數和靜態參數對照表

Component:

VREF+ (±10%) VREF- (±10%) R2 (±80%) R1 (±80%) R0 (±80%)

Correcoef V1(M) V1(3S) V2(M) V2(3S)

- 0 . 4 1 0.7867 2 0.8048

- 0 . 3 1 0.7648 2 0.7823

- 0 . 2 1 0.7408 2 0.7598

- 0 . 1 1 0.7162 2 0.7349

0 1 0.6857 2 0.7063

0 . 1 1 0.6608 1.9999 0.6807

0 . 2 1 0.6229 1.9999 0.6511

0 . 3 1 0.5962 1.9999 0.6188

0.4 1 0.5586 1.9999 0.5827

0.5 1 0.5177 1.9999 0.544

0.6 1 0.4706 2.0001 0.5011

0.7 1.0001 0.4166 1.9999 0.4508 0.8 1.0002 0.3636 2.0002 0.3965

0.9 1.0002 0.2646 2 0.3245

Correcoef DNL(M) DNL(3S) INL(M) INL(3S) GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S)

- 0 . 4 0.314 0.503 0.183 0.295 1.14E-04 12.673 1.51E-06 0.357

- 0 . 3 0.304 0.492 0.177 0.29 -1.86E-04 12.535 -6.24E-06 0.347

- 0 . 2 0.293 0.483 0.171 0.283 -5.67E-04 12.398 -1.17E-05 0.336

- 0 . 1 0.283 0.47 0.165 0.276 -4.25E-04 12.241 -9.57E-06 0.3249

0 0.271 0.453 0.158 0.266 2.05E-04 12.094 -2.58E-05 0.31 0.1 0.259 0.442 0.151 0.26 -6.05E-04 11.928 -1.51E-05 0.299 0.2 0.245 0.426 0.143 0.251 -7.92E+00 11.75 -9.89E-06 0.285 0.3 0.231 0.407 0.134 0.24 -9.22E-04 11.581 -6.81E+00 0.269 0.4 0.215 0.38 0.125 0.227 -7.04E-04 11.042 -2.70E-05 0.251 0.5 0.197 0.363 0.115 0.213 -9.79E-04 11.2 -3.24E-05 0.234 0.6 0.178 0.336 0.104 0.196 9.96E-04 11.016 1.36E-05 0.21 0.7 0.155 0.301 0.09 0.177 -1.10E-03 10.779 1.83E-05 0.185 0.8 0.127 0.285 0.074 0.163 1.14E-04 10.55 1.09E-04 0.16 0.9 0.091 0.209 0.053 0.123 -1.07E-03 10.296 6.44E-05 0.113

- 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 . 0 5

0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5 0 . 5 5

C o r r e c o e f

Static Parameter

DNL(3std)

D N L ( m e a n )

INL(3std)

INL(mean)

圖 6-5 DNL 及 INL 的分佈圖

表 6-5 電壓重新產生常態分佈所得之靜態規格

Correcoef DNL(M) DNL(3S) INL(M) INL(3S) GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S) -0.4 0.078 0.124 0.045 0.072 2.20E-06 10.185 -3.74E-08 0.0887 -0.3 0.075 0.119 0.044 0.07 -3.46E-06 10.172 -2.46E-08 0.0856 -0.2 0.072 0.115 0.042 0.068 -7.20E-06 10.160 3.61E-08 0.0822 -0.1 0.069 0.111 0.04 0.065 -5.81E-06 10.146 -8.59E-08 0.0788 0 0.066 0.105 0.038 0.061 1.03E-05 10.134 -1.06E-06 0.075

0.1 0.063 0.1 0.037 0.059 -6.65E-06 10.120 -2.05E-07 0.0713 0.2 0.059 0.094 0.034 0.055 -8.06E-06 10.107 -1.85E-07 0.0673 0.3 0.055 0.088 0.032 0.052 -8.65E-06 10.094 -2.01E-07 0.063 0.4 0.051 0.082 0.03 0.048 -3.91E-06 10.081 -4.37E-07 0.0583 0.5 0.047 0.075 0.027 0.044 -6.00E-06 10.067 -3.77E-07 0.0533 0.6 0.042 0.067 0.024 0.039 4.02E-06 10.054 4.39E-07 0.0476 0.7 0.036 0.057 0.021 0.034 -7.28E-06 10.040 -2.82E-07 0.0413 0.8 0.03 0.047 0.017 0.028 1.07E-05 10.027 -1.30E-07 0.0337 0.9 0.021 0.209 0.012 0.02 -2.37E-06 10.014 -2.90E-07 0.0239

Component:

VREF+ (±10%) VREF- (±10%)

R2 (±20%) R1 (±20%) R0 (±20%)

modified

表 6-6 相關係數和靜態參數對照表

由以上的圖表可知,隨著相關係數的遞增,靜態參數有愈來愈小的 趨勢,因此參數之間相關係數的影響是不可忽略的。

Correcoef DNL(M)DNL(3S) INL(M)INL(3S) GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S)

-0.4 0.315 0.507 0.183 0.296 1.14E-04 12.6734 1.51E-06 0.3577 -0.3 0.306 0.489 0.178 0.285 -1.86E-04 12.5353 -6.24E-06 0.3474 -0.2 0.296 0.477 0.172 0.279 -5.67E-04 12.3985 -1.17E-05 0.3364 -0.1 0.286 0.455 0.166 0.266 -4.25E-04 12.242 -9.57E-06 0.325 0 0.274 0.438 0.159 0.255 2.05E-04 12.0945 -2.58E-05 0.3108 0.1 0.263 0.422 0.153 0.247 -6.05E-04 11.9276 -1.51E-05 0.2992 0.2 0.25 0.401 0.146 0.234 -7.92E-04 11.7577 -9.89E-06 0.2849 0.3 0.237 0.376 0.137 0.22 -9.22E-04 11.5815 -6.81E-06 0.2693 0.4 0.221 0.353 0.129 0.206 -7.04E-04 11.4025 -2.71E-05 0.2516 0.5 0.205 0.325 0.119 0.191 -9.79E-04 11.2047 -1.32E-05 0.2326 0.6 0.186 0.295 0.108 0.175 9.96E-04 11.0159 1.36E-05 0.2106 0.7 0.163 0.26 0.095 0.152 -1.20E-03 10.7786 1.83E-05 0.1852 0.8 0.139 0.222 0.081 0.13 1.14E-04 10.5548 1.09E-04 0.1605 0.9 0.101 0.161 0.059 0.094 -1.10E-03 10.2962 6.44E-05 0.1132

Component:

VREF+ (±10%) VREF- (±10%) R2 (±80%) R1 (±80%) R0 (±80%)

modified

6-4.各種容忍度分析方法的結果比較

電壓 domain:

靜態規格 domain:

由資料顯示,四種容忍度的分析方法中,以蒙地卡羅的結果最接近 理想值,而且在蒙地卡羅的分析中,元件間的相關係數若不同,其極值 範圍也不同,若相關係數愈大,則愈接近理想值。

FMCA ^V1

1 0.45 1.587

V1 1 0.45 1.587 EVA

V1 1 0.5757 1.4243 RSS

V1 1 0.8082 1.1918 MCA

FMCA ^V2

2

1.4143 2.55

EVA ^V2

2

1.4143 2.55

V1 2 0.5757 1.4243 RSS

V1 2 1.7416 2.2584 MCA

-3σ +3σ

-3σ +3σ

FMCA

Offset Error

-0.094 0.105

EVA

-0.0843 0.102

RSS

-0.0817 0.0858

MCA

-3σ +3σ

-0.094 0.105

ρ=-0.4

-0.0652 0.0733

MCA

ρ=0

-0.0239 0.0341

MCA

ρ=0.9

表 6-7 相關係數和靜態參數 DNL 對照表

Correcoef DNL1(M)DNL2(M) DNL3(M) DNL1(3S) DNL2(3S) DNL3(3S) - 0 . 4 2.49E-04 -3.73E-04 2.49E-04 0.2037 0.1740 0.2037 - 0 . 3 2.32E-04 -3.47E-04 2.32E-04 0.1965 0.1678 0.1963 - 0 . 2 2.14E-04 -3.21E-04 2.15E-04 0.1888 0.1612 0.1888 - 0 . 1 1.96E-04 -2.95E-04 1.97E-04 0.1809 0.1544 0.1808 0 1.78E-04 -2.67E-04 1.79E-04 0.1724 0.1473 0.1724 0 . 1 1.60E-04 -2.42E-04 1.62E-04 0.1638 0.1398 0.1636 0 . 2 1.43E-04 -2.15E-04 1.44E-04 0.1545 0.1319 0.1543 0 . 3 1.25E-04 -1.88E-04 1.26E-04 0.1446 0.1234 0.1444 0.4 1.07E-04 -1.61E-04 1.09E-04 0.1339 0.1144 0.1338 0.5 8.96E-05 -1.35E-04 9.08E-05 0.1223 0.1044 0.1222 0.6 7.32E-05 -1.08E-04 7.06E-05 0.1095 0.0935 0.1093 0.7 5.33E-05 -8.13E-05 5.51E-05 0.0949 0.0809 0.0947 0.8 3.53E-05 -5.30E-05 3.53E-05 0.0773 0.0661 0.0774 0.9 1.74E-05 -2.71E-05 1.87E-05 0.0548 0.0468 0.0547 Component:

VREF+ (±1%) VREF- (±10%)

R2 (±20%) R1 (±20%) R0 (±20%)

表 6-8 相關係數和靜態參數 INL 之對照表

表 6-9 相關係數和 gain error,offset error 之對照表

Correcoef INL1(M) INL2(M) INL3(M) INL1(3S) INL2(3S) INL3(3S) - 0 . 4 3.74E-08 -1.03E-07 9.48E-08 0.0887 0.1209 0.1208 - 0 . 3 2.46E-08 7.91E-08 -2.32E-07 0.0856 0.1166 0.1164 - 0 . 2 -3.61E-08 2.52E-07 -3.96E-07 0.0822 0.1120 0.1119 - 0 . 1 8.59E-08 8.83E-08 -4.34E-07 0.0788 0.1073 0.1072 0 1.06E-06 -1.37E-06 -4.49E-07 0.075 0.1023 0.1022 0 . 1 2.05E-07 -5.15E-09 -6.04E-07 0.0713 0.0972 0.097 0 . 2 1.85E-07 5.72E-08 -6.69E-07 0.0673 0.0917 0.0915 0 . 3 2.01E-07 5.87E-08 -7.19E-07 0.063 0.0858 0.0856 0.4 4.37E-07 -3.19E-07 -6.71E-07 0.0583 0.0795 0.0793 0.5 3.77E-07 -1.96E-07 -7.37E-07 0.0533 0.0726 0.0724 0.6 -4.39E-07 3.18E-07 6.80E-07 0.0476 0.0650 0.0648 0.7 2.82E-07 -6.33E-08 -7.19E-07 0.0413 0.0563 0.0562 0.8 1.30E-07 -4.52E-07 5.13E-07 0.0337 0.0459 0.0459 0.9 2.90E-07 -2.19E-07 -4.33E-07 0.0239 0.0325 0.0324

Correcoef GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S) - 0 . 4 2.20E-06 10.1852 -3.74E-08 0.0887 - 0 . 3 -3.46E-06 10.1724 -2.46E-08 0.0856 - 0 . 2 -7.20E-06 10.1604 3.61E-08 0.0822 - 0 . 1 -5.81E-06 10.1462 -8.59E-08 0.0788 0 1.03E-05 10.1336 -1.06E-06 0.075 0 . 1 -6.65E-06 10.1201 -2.05E-07 0.0713 0 . 2 -8.06E-06 10.1068 -1.85E-07 0.0673 0 . 3 -8.65E-06 10.0936 -2.01E-07 0.063

0.4 -3.91E-06 10.0806 -4.37E-07 0.0583 0.5 -6.00E-06 10.0672 -3.77E-07 0.0533 0.6 4.02E-06 10.0538 4.39E-07 0.0476 0.7 -7.28E-06 10.0403 -2.82E-07 0.0413 0.8 1.07E-05 10.0266 -1.30E-07 0.0337 0.9 -2.37E-06 10.0135 -2.90E-07 0.0239

表 6-10 相關係數與靜態參數 DNL 之對照表

表 6-11 相關係數和靜態參數 INL 之對照表

Correcoef INL1(M) INL2(M) INL3(M) INL1(3S) INL2(3S) INL3(3S) - 0 . 4 3.72E-08 -1.02E-07 9.48E-08 0.0883 0.1203 0.1206 - 0 . 3 2.43E-08 7.89E-08 -2.32E-07 0.0851 0.1161 0.1167 - 0 . 2 -3.58E-08 2.49E-07 -3.96E-07 0.0816 0.1118 0.1116 - 0 . 1 8.56E-08 8.80E-08 -4.34E-07 0.0785 0.1067 0.1070 0 1.03E-06 -1.33E-06 -4.49E-07 0.0753 0.1020 0.1018 0 . 1 2.02E-07 -5.12E-09 -6.37E-07 0.0709 0.0977 0.093 0 . 2 1.83E-07 5.68E-08 -6.69E-07 0.0672 0.0921 0.0915 0 . 3 2.00E-07 5.85E-07 -7.20E-07 0.0628 0.0855 0.0853 0.4 4.36E-07 -3.16E-07 -6.71E-07 0.0579 0.0792 0.0787 0.0531 0.0724 0.0715 CorrecoefDNL1(M)DNL2(M) DNL3(M)DNL1(3S) DNL2(3S) DNL3(3S)

- 0 . 4 2.47E-04 -3.74E-04 2.50E-04 0.2044 0.1743 0.2041 - 0 . 3 2.34E-04 -3.49E-04 2.31E-04 0.1971 0.1681 0.1966 - 0 . 2 2.18E-04 -3.25E-04 2.16E-04 0.1894 0.1617 0.1891 - 0 . 1 1.97E-04 -2.96E-04 1.97E-04 0.1815 0.1548 0.1813 0 1.76E-04 -2.68E-04 1.80E-04 0.1729 0.1476 0.1726 0 . 1 1.62E-04 -2.42E-04 1.62E-04 0.1644 0.1401 0.164 0 . 2 1.45E-04 -2.17E-04 1.44E-04 0.155 0.1321 0.1547 0 . 3 1.26E-04 -1.89E-04 1.26E-04 0.1451 0.1236 0.1447 0.4 1.08E-04 -1.63E-04 1.09E-04 0.1344 0.1147 0.134 0.5 8.90E-05 -1.36E-04 9.14E-05 0.1227 0.1047 0.1225 0.6 7.37E-05 -1.09E-04 7.11E-05 0.1098 0.0937 0.1095 0.7 5.37E-05 -8.15E-05 5.50E-05 0.0951 0.0812 0.0949 0.8 3.52E-05 -5.25E-05 3.48E-05 0.0776 0.0663 0.0775 0.9 1.77E-05 -2.71E-05 1.85E-05 0.055 0.0469 0.0548 Component:

VREF+ (±10%) VREF- (±10%)

R2 (±20%) R1 (±20%) R0 (±20%)

modified

表 6-12 相關係數和 gain error,offset error 之對照表

各個 code 的理想值為 0,而由以上的數據資料可以知道各個 code 之 分佈情況(平均值及三倍標準差)。

Correcoef GE(M) GE(3S) OE(M) OE(3S) - 0 . 4 2.20E-06 10.1852 -3.7E-08 0.0885 - 0 . 3 -3.5E-06 10.1724 -2.5E-08 0.0853 - 0 . 2 -7.2E-06 10.1604 3.61E-08 0.0821 - 0 . 1 -5.8E-06 10.1462 -8.6E-08 0.0786 0 1.03E-05 10.1336 -1.1E-06 0.074 0 . 1 -6.7E-06 10.1201 -2E-07 0.0711 0 . 2 -8.1E-06 10.1068 -1.8E-07 0.0670 0 . 3 -8.6E-06 10.0936 -2E-07 0.061

0.4 -3.9E-06 10.0806 -4.4E-07 0.0584 0.5 -6E-06 10.0672 -3.8E-07 0.0530 0.6 4.02E-06 10.0538 4.39E-07 0.0472 0.7 -7.3E-06 10.0403 -2.8E-07 0.0408 0.8 1.07E-05 10.0266 -1.3E-07 0.0334 0.9 -2.4E-06 10.0135 -2.9E-07 0.0236

第七章 結論

隨著製程技術的進步,深次微米元件將愈趨於不匹配,因此在設 計高整合高靈敏度的電路時,需要精準的良率評估，而蒙地卡羅是目 前所知在容忍度分析時最好的方法。而元件與元件之間的相關性的不 可再視為獨立的,若考慮相關性,才是合理的,也才能提高製程的良 率。

參考文獻

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Measurement,1999.

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