勾股定理證明-G091
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在GF 上)。
2. 分別延長 GF 與 DE ，使其相交於 L 點(於證明過程第 2 點說明點 K 在 LE 上)。
3. 分別延長 GA , DB ，使其相交於 M 點。
A B
C D
E
F H G
M
L K
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，推 得四邊形 DMGL 為正方形，再利用正方形 DMGL 的面積分割拆解，得到正方形 ABKH 的 面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH
AB, AG
AC,
GAH
90
HAC
CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).得到
HGA
BCA
90，又
FGA
90，所以點 H 在 GF 上，即 G H
F共線。2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到點 K 的位置在 LE 上：
因為 KB
AB, BD
BC,
DBK
90
NBC
CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).得到
BDK
BCA
90，又
EDB
90，所以點 K 在 LE 上，即 L K E
共線。3. 證明三角形LHK 與三角形 CAB 全等：
因為 HK
AB，又由平行關係可得到 LHK
CAB與 LKH
CBA，所以 LHK CAB
(ASA 全等).4. 證明三角形MBA與三角形 CAB 全等：
因為 MB // AC , AM // CB ，所以
MBA CAB ,
MAB
CBA，又 AB
AB. 故MBA CAB
( ASA 全等).5. 證明四邊形DMGL為正方形：：
因為
GAH DKB LHK MBA CAB
，所以90 AGH HLK KDB BMA ACB
，且 DM
DB
BM
BC
AC
MA
AG
MG， 因此四邊形DMGL為正方形，其邊長為 BC
AC。 6. 找出長方形與三角形的面積關係：2
ECFL EC CF BC AC
CAB
長方形 面積＝
＝
＝ 面積.
且
2
C MBA
BMAC AB
AB
C
長方形 面積＝ 面積＋ 面積
＝ 面積.
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
4
DMGL AB
MBA
KH GAH LHK DKB
ABKH CAB
正方形 面積＝正方形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積
＋ 面積
＝正方形 面積＋ 面積.
且
2 2
DMGL BCED ACFG ECFL
BMAC
BCED ACFG CAB CAB
BCED AC
正方形 面積＝正方形 面積＋正方形 面積＋長方形 面積
＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積＋ 面積＋ 面積 ＝正方形 面積＋正方形 FG面積＋4 CAB面積.
因此
4 4
ABKH CAB BCED ACFG CAB
正方形 面積＋ 面積＝正方形 面積＋正方形 面積＋ 面積.
正方形A B K H面積＝正方形 B C E D面積＋正方形 A C F G面積.
得到
2 2 2
, AB
BC
AC 即2 2 2
. c
a
b【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 41). Amsterdam: A.
Versluys.
E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p. 80). Paris: Vuibert et Nony.
J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 1(5), 159.
2. 心得：此題證明的作圖十分特別，延長正方形BCED正方形ACFG的邊長後可得到 一個更大的正方形DMGL。而證明的關鍵在於證明正方形DMGL邊上的四個 三角形皆全等，再透過面積相等的代數運算就能推得出正方形 ABKH 的面積 會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 說明：魯米斯指出此證明在透過面積的拼湊是屬於幾何部分，而在計算面積的過 程，是屬於代數部分。
