勾股定理證明-G055

(1)

勾股定理證明-G055

【作輔助圖】

1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。

2. 延長GA和DB，使得直線GA和直線DB相交於M 點。

3. 過H作一直線平行AM 且與直線CA相交於P點。

4. 過K點作直線PH的垂線，交直線PH 於O點。

5. 延長AM ，交KO於L點。

6. 連接MO。

P

O

A B

C

D E

F

G

H K

M

Q L

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，將正方形 ABKH 區域切割為兩

(2)

個直角三角形和一個四邊形，再利用推移得到兩個平行四邊形，最後再證明這兩個平 行四邊形的面積和會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，進而推出勾股定理的 關係式。

1. 證明三角形AMB 與三角形 HOK 全等：

由作圖的平行關係可知BAM KHO，且ABHK, AMB HOK 90 ，因此 AMB HOK

   (AAS 全等).

得到

AMHO, BM KO. 2. 證明四邊形AHOM與四邊形BKOM皆為平行四邊形：

由作圖的平行關係可知AM //HO，且AM HO，所以四邊形AHOM為平行四邊形。

同理可證

四邊形BKOM亦為平行四邊形。

3. 證明三角形APH 與三角形 BCA全等：

因為PAH  90 CAB CBA，且AH AB, APH BCA 90 ，所以 APH BCA

   (AAS 全等).

得到

PH CA, APBC. 4. 證明三角形 APH 與三角形 OLM 全等：

由作圖的平行關係可知四邊形APOL為長方形，所以APLO，因為四邊形AHOM為平行四邊形，所以AH OM ，又APH OLM  90 ，因此

APH OLM

   (RHS 全等).

得到

LM PHCA. 5. 證明平行四邊形AHOM與正方形BCED的面積相等：

AHOM OH AP AM BC BC BC

BCED



平行四邊形面積＝

＝＝

＝正方形面積.

(3)

6. 證明平行四邊形BKOM與正方形ACFG的面積相等：

BKOM OK LM BM PH CA CA

ACFG



平行四邊形面積＝

＝＝

＝正方形面積.

7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH ABM AHQ MQKB

HOK AHQ MQKB

AHOM BKOM

BCED ACFG

 

正方形面積＝面積＋面積＋四邊形面積

＝面積＋面積＋四邊形面積

＝平行四邊形面積＋平行四邊形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2

2 a b

c   .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍

Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.159). New York : Macmillan and co.

The Journal of Education, V. XXVIII, 1888, p. 17, 28th proof.

Heath’s Mathematical Monographs, No.2, 1900, p. 31, proof XVIII.

2. 心得：此題先證明三角形 AMB 與三角形 HOK 全等，再利用全等圖形的增補關係，

將正方形 AHKB 分割成兩塊平行四邊形，再利用底高的面積計算概念，分別 將兩塊平行四邊形轉換為面積相同的正方形，進而推得勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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