勾股定理證明-G155
【作輔助圖】
1. 分別以BC , AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH .
2. 過 H 點作垂直 AC 的直線，交 AC 於 M 點；過 K 點作垂直 HM 的直線，交 HM 於 L 點。
3. 直線 AC 與 KB 相交於 O 點，連 CO . 4. 直線 ED 與 FG 相交於Q 點，連 DQ . 5. 連 CQ 交 BD 於 P 點。
6. AB 與 ED 相交於 N 點。
A B
H
C
K
D E
G
F
Q M
P L
O
N
【求證過程】
直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面 積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 CQF 、三角形 HAM 、三角形 CQE 與三角形 KHL 皆和三角形 ABC 全等：
在 CEQ 中，因為 CEa, EQEDDQ a (b a)b, CEQ90，所以
QCE ABC
(SAS 全等), 即 CQBAc，又 CF b, CFQ90，可推得
CQF ABC
(RHS 全等).
設 CAB x, CBA y。在 HAM 中，因為 HAM y CBA, MHA x CAB
, 且已知 AH c AB，所以 HAM ABC
(ASA 全等).
同理可證
. CQE ABC KHL ABC
且 故
. CQF HAM CQE KHL ABC
2. 證明三角形 BDN 與三角形 BCO 全等：
在 BDN 中，因為NBD OBC, BDN BCO90, BDBCa，所以 BDN BCO
(ASA 全等).
3. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
) (
ABKH ABC BCO MOKL
KHL HAM
ANE ENBC BDN
QNAG CQF CQE
正方形 面積 面積 面積 面積
面積 面積 面積 面積
梯形
四邊形 面積
面積 面積 面積
梯形
( ENBC BDN ) ( ANE
QNAG CQF CQE
CBDE ACFG
面積 面積 面積
四邊形 梯形
面積 面積 面積
面積
正方形 正方形 面積。
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源： 根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1890 年 8 月 3 日想到的。
2. 心得：此證明先將正方形 ABKH 切割成若干圖形，接著再利用全等關係與面積相等 的關係，來證明這些圖形的面積恰好等於正方形 CBDE 的面積加上正方形
ACFG 的面積，只要按部就班地證明一些三角形的全等關係，就不難推導出 最後的勾股定理關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
