方程式

方程式

第 章

01

方程式

1-1 一元一次方程式與不等式

重點一 一元一次方程式

1. 一元一次方程式

設_a、_b為實數，且_a0，則_{ax b 0}稱為一元一次方程式，其解法如下：

(1)若a0，則 b

x  ，即方程式恰有一解。 a (2)若a0且_b0，則_x不存在，即方程式無解。

(3)若a0且b0，則x為任意實數，即方程式有無限多解。

2. 等量公理

在等號的兩邊同加、減、乘、除一個數（除數不可為0），則等號的兩邊仍會維持相等。

若_{a b} ，則(1)a c b c   (2)a c b c   (3)a c b c   (4)a b

c  （c c0）。 3. 移項法則

將方程式中的某一項移到等號的另一邊，加變減、減變加、乘變除、除變乘的一種方程 式的解法，稱為移項法則。

試解一元一次方程式

3(x   5) 3 2(x  。 1) 2 原式3x15 3  2x 2 2

5x8  8

x 5

試求方程式2(x 3) 4(2x    之解。1) 3x 8 原式2x 6 8x   4 3x 8

3x18 x 6

演練

例題 1 一元一次方程式 1

試解方程式3 1 3 4 3 2 3 6 1

x  x  x  。 原式 3(3x 1) 2(x 3) 4x  3 6

9x 3 2x 6 4x9 3x18

x6

試解方程式 2 1 3 2 5 4

3 4 6

x x x

x      。

原式

12x4(2x1) 3(3x2) 2(5 x 4)

12x8x 4 9x 6 10x8

x2

設 _{x 1}為方程式a x(2  1) 3(2ax) 2 的 解，試求_a之值。

1

x  代入方程式：

( 2 1) 3(2 ) 2 a    a 

  a 6 3a2

4a8

a 2

設 _x2為 方 程 式 2 (a x  3) 9 3(1ax) 的 解，試求_a之值。

2

x 代入方程式：

2 (2 3) 9 3(1 2 )a     a

2a  9 3 6a

4a12

a3

設_a、_b為實數，若方程式

(a2)x 5 bx(3a 有無限多解，試求4) a、_b之值。

(a2)x 5 bx(3a 4)

 (a2)x bx 3a  4 5

 (a b 2)x3a 9

∵方程式有無限多解

∴ 2 0

3 9 0 a b

a

  

  



a3、_b1

設_a為實數，若方程式(a3)x 5 2ax4 無解，試求_a之值。

(a3)x 5 2ax 4

 2ax(a3)x  5 4

 (a3)x 9

∵方程式無解

∴_{a 3 0}

a3

演練

例題 2 一元一次方程式 2

演練

例題 3 一元一次方程式 3

演練

例題 4 一元一次方程式解的型式 4

方程式

童子軍露營分配帳篷，若分配每個帳篷睡 6 人，則會有 5 個帳篷要睡 8 人；若分配每個 帳篷睡 7 人，則會有 1 個帳篷只睡 2 人，試 問童子軍共有幾人？

設帳篷有x個

則6(x   5) 8 5 7(x  1) 2

6x30 40 7  x 7 2

x15

∴童子軍有7 (15 1) 2 100    人

已知四個連續奇數的和為112，試求此四數。

設此四數為x，_x2，_x4，_x6，則 ( 2) ( 4) ( 6) 112

x x  x  x 

4x100

x25

∴此四數為25、27、29、31

重點二 一元一次不等式

1. 不等式的基本性質 設_a、_b、_c為實數

(1)若a b 且b c ，則a c 。 (2)若a b ，則_{a c b c  } 。 (3)若a b 且_c0，則_{ac bc} 。

若a b 且c0，則ac bc 。

2. 設a、_b、為實數且_a0，則_{ax b 0}，_{ax b 0}，_{ax b 0}，_{ax b 0}，均稱為一元 一次不等式。

(1)ax b 0ax b

若_a0，則 b

x  a 若_a0，則 b x  a

(2)ax b 0ax b

若_a0，則 b

x  a 若_a0，則 b x  a

演練

例題 5 一元一次方程式應用問題 5

解一元一次不等式3 1 4 8

2 5

x  x ，並在數線

上圖示其解。

原式5(3x 1) 2(4x 8) 15x 5 8x16 7x21

x3

解一元一次不等式 5 3 1

3 1

3 4

x   x  ，並在

數線上圖示其解。

原式 4(x 5) 36 3(3 x 1) 12 4x20 36 9  x 3 12 5x 25

x 5

若 一 元 一 次 不 等 式 _{ax 5 3x7} 的 解 為 3

x  ，試求_a之值。

5 3 7 ax  x

 (a3)x12

又不等式的解為_{x 3}

4x12

比較係數得_{a  3 4} 故_{a 1}

若不等式3(x2)ax 的解為2 x 4，試求 a之值。

3(x2)ax 2

3x 6 ax2

 (3a x)  8

又不等式的解為_{x 4}

2x8

比較係數得_{3  a 2} 故a 5

解一元一次不等式_{ 7 4x 3 9}，並在數線 上圖示其解。

7 4x 3 9

   

 4 4x12

  1 x 3

解一元一次不等式_{  4 2 3x12}，並在數線 上圖示其解。

4 2 3x 12

   

  6 3x10

 10 3 x 2

  

演練

例題 6 一元一次不等式 6

演練

例題 7 一元一次不等式（進階題） 7

演練

例題 8 一元一次不等式 8

方程式

解一元一次不等式_{4 3 x2x  6 9 x}，並 在數線上圖示其解。

4 3 x2x  6 9 x

 4 3 2 6 (1)

2 6 9 (2)

x x

x x

  

   







由(1)得5x 10x2 (2)得3x15x 5

∴不等式的解為_{2 x 5}

解一元一次不等式_{2x   1 4 x 3x2}，並 在數線上圖示其解。

2x   1 4 x 3x2

 2 1 4 (1)

4 3 2 (2)

x x

x x

  

   







由(1)得3x5 5 x 3 (2)得4x 2 1

x 2

∴不等式的解為1 5

2  x 3

張老師每次平時考試給學生的成績滿分為 100 分，若小華前三次的成績分別為 62 分、

84 分、86 分，則張老師至少還需要再舉行幾 次考試，小華的平均分數才可能超過90 分？

設需要再舉行x次考試

則62 84 86 100   x90(x 3)

232 100 x90x270

10x38

x3.8

∴_x4

故至少需要再舉行4 次考試

小華帶200 元到文具行買每枝 18 元的鉛筆和 每枝30 元的原子筆，若小華買的鉛筆比原子 筆多3 枝，則小華最多可買到幾枝原子筆？

設原子筆買x枝 則鉛筆買_x3枝

30x18(x 3) 200

30x18x54 200

48x146

 73 1

24 324 x 

∴最多可買原子筆3 枝

演練

例題 9 一元一次不等式 9

演練

例題 10 一元一次不等式應用問題 10

自我 評量 _評量

自我

1 1. 方程式4(x2) 5 3(2  x  之解為1) 4 x 1 。

2 2. 方程式 1

2 4 8 x x x

x    之解為x 8 11 。

3 3. 若x 1為方程式4 (a x2) 3(2 ax) 4 之解，則a 10 。

4 4. 設m、n為實數，若方程式(m2)x 3 nx(2m 有無限多解，則 m n5)   6 。

5 5. 已知商科二年甲班男生佔全班的2

5多1 人，女生佔全班的5

8少2 人，則商科二年甲班共 有 40 人。

6 6. 滿足不等式2(x2) 3 3(2  x  之最大整數解為1) 9 2 。

6 7. 不等式3 1 5 1 4 6 2 1

x   x  之解為 13 x 3 。

■ 對應例題

方程式 01

自我 評量 _評量

自我

方程式

8 8. 不等式 6 2x 4 8之解為   5 x 2 。

8 9. 不等式  5 7 3x9之解為 2 3 x 4

   。

8 10. 已知  2 x 6且 1

(3 2) 7

p 2 x  ，則 p 的範圍為 3 p 15 。

9 11. 不等式6 2 x3x  4 8 x之解為 2

5 x 1 。

10 12. 某次選舉，設選票的有效票共有 10000 張，若要在 10 位候選人中選出 3 位，則任何 1 位候選人至少需得 2501 張票才能確定當選。

7 13. 若一元一次不等式ax2(x4) 4( x  的解為5) 3 x3，則_a 3 。

10 14. 台北市的計程車費率，起跳價為 70 元，超過 1250 公尺後每隔 200 公尺再加收 5 元，不 滿200 公尺以 200 公尺計算。已知小樺在台北市坐計程車，下車時車資為 150 元，則小 樺坐計程車的最大距離為 4450 公尺。

1-2 一元二次方程式

重點一 一元二次方程式的解法

1. 一元二次方程式的形式

設_a、_b、_c為實數，且_a0，則形如ax²bx c  的方程式稱為一元二次方程式。 0 2. 一元二次方程式的解法

(1)利用提出公因式解方程式

2 4 0

x  x  (x x4) 0 x0或 。 4 (2)利用十字交乘法解方程式

2 3 2 0

x  x   (x1)(x2) 0 x 1或 。 2 (3)利用乘法公式解方程式

2 4 0

x    (x2)(x2) 0 x2或 。 2

2 4 4 0

x  x  (x2)²  0 x 2（重根）。 (4)利用公式解解方程式

2 1 0

x    x 1 1² 4 1 ( 1) 1 5

2 1 2

x         

 。

解一元二次方程式

(x2)(3x 5) (x2)(x 。 3) (x2)(3x 5) (x2)(x 3)

 (x2)(3x 5) (x2)(x  3) 0

 (x2)[(3x 5) (x3)] 0

 (x2)(2x  8) 0

x 2或4

解一元二次方程式3x²7x 。 0 3x2 7x 0

 (3x x7) 0

x0或 7

 3 例

例 例 例 例

演練

例題 1 利用提出公因式解方程式 1

方程式

解下列方程式：

(1)x²5x  (2)6 0 6x²5x  。 6 0 (1) x

x 2 3 2x3x5x

原式 (x2)(x  3) 0 x 2或3 (2) 2

3 x x

3 2 9x 4x 5x



   

原式 (2x3)(3x2) 0  3

x 或2 2

 3

解下列方程式：

(1)x²5x  (2)6 0 9x²3x  。 2 0 (1) ^x

x 6

1 6x ( x) 5x



  

原式 (x6)(x  1) 0 x 6或1 (2) ³

3 x x

1 2

3x ( 6 )x 3x



   

原式 (3x1)(3x2) 0  1

x  或3 2 3

解方程式x x( ²3x6) 4 x。 原式x x( ²3x 6) 4x 0

x x( ²3x 6 4) 0 x x( ²3x2) 0  (x x1)(x2) 0 x0或1 或 2

解方程式x³5x²6x 。 0 原式x x( ²5x6) 0  (x x2)(x  3) 0 x0或 或2 3

演練

例題 2 利用十字交乘法解方程式 2

演練

例題 3 利用提出公因式解方程式（進階題） 3

試解下列方程式：

(1)4x²  (2)9 0 4x²12x  。 9 0 (1)利用平方差公式

a² b² (a b a b )(  ) 原式(2 )x ²3²  0  (2x3)(2x  3) 0  3

x  或2 3 2 利用十字交乘法

2 2 x x

3 3 6x 6x 0



 

原式 (2x3)(2x  3) 0  3

x  或2 3 2 (2)利用差的平方公式 a² 2ab b ² (a b )²

原式(2 )x ² 2 2x 3 3²  0 (2x3)²  0

 3

x （重根） 2 利用十字交乘法

2 2 x x

3 3 6x 6x 12x





   

原式(2x3)²  0  3

x （重根） 2

試解下列方程式：

(1)x²49 0 (2)x² 14x49 0 。 (1)利用平方差公式

a²b² (a b a b )(  ) 原式x²7²  0  (x7)(x7) 0 x  或 7 7 利用十字交乘法

x x

7 7 7x ( 7 ) 0x



  

原式 (x7)(x7) 0 x  或 7 7 (2)利用和的平方公式 a²2ab b ² (a b )² 原式x²   2 x 7 7²  0 (x7)²  0

x  （重根） 7 利用十字交乘法

x x

7 7 7x7x14x 原式(x7)²  0 x  （重根） 7

試解方程式x²   。 x 1 0 1

a 、_{b 1}、_{c 1}

2 4 ( 1)2 4 1 ( 1) 5 b  ac      

∴ ( 1) 5 1 5

2 1 2

x     



試解方程式2x²4x  。 1 0 2

a 、_b4、_{c 1}

2 4 42 4 2 ( 1) 24 b  ac     

∴ 4 24 4 2 6 2 6

2 2 4 2

x        



演練

例題 4 利用乘法公式解方程式 4

演練

例題 5 利用公式解解方程式 5

方程式

將一條長為20 公分的鐵絲剪成兩段，並以每 一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形，若 這兩個正方形的面積之和為17 平方公分，試 求剪成兩段後的鐵絲長度分別為多少？

設兩段鐵絲長分別為x公分、_{20 x} 公分 則 ² 20 ²

( ) ( ) 17

4 4

x  x 

 ² 400 40 ² 16 16 17

x   x x 

2x²40x400 272

2x² 40x128 0

x²20x64 0

 (x4)(x16) 0

x4或16

∴兩段鐵絲長度分別為4 公分及 16 公分

已知三個連續自然數，其平方和是 365，試 求此三數。

設此三數為x1、_x、_x₁ 則(x1)²x² (x1)² 365

x²2x 1 x²x²2x 1 365

3x²363 0

x²121 0

(x11)(x11) 0

x 11或11

∵_x為自然數 ∴x11 故此三數為10、11、12

重點二 一元二次方程式根的性質

設a、b、c為實數，且a0，若b² 4ac為一元二次方程式ax²bx c  根的判別式，0 則1.當b²4ac0時，方程式有兩相異實根，即兩根為

2 4

2

b b ac

x a

  

 。

2.當b²4ac0時，方程式有兩相等實根，即兩根為

2 x b

  a（重根）。 3.當b²4ac0時，方程式無實根。

演練

例題 6 一元二次方程式應用問題 6

試判別下列一元二次方程式兩根的性質：

(1)x²   x 1 0 (2)2x²5x  3 0 (3)4x²4x  。 1 0

(1)a1、_b₁、_c₁

∵b²4ac       1² 4 1 1 3 0 ∴方程式無實根

(2)a2、_b₅、_c₃

∵b²4ac5²      4 2 3 1 0 ∴方程式有兩相異實根

(3)a4、_b ₄、_c₁

∵b²4ac ( 4)²     4 4 1 0 ∴方程式有兩相等實根

試判別下列一元二次方程式兩根的性質：

(1)x²   x 1 0 (2)9x²6x  1 0 (3)3x²2x  。 1 0

(1)a1、_b₁、_c ₁

∵b² 4ac       1² 4 1 ( 1) 5 0 ∴方程式有兩相異實根

(2)a9、_b₆、_c₁

∵b² 4ac6²    4 9 1 0 ∴方程式有兩相等實根 (3)a3、_b₂、_c₁

∵b² 4ac2²      4 3 1 8 0 ∴方程式無實根

若一元二次方程式x² 2kx k   有兩相2 0 異實根，試求k的範圍。

∵方程式有兩相異實根

∴b²4ac 0

(2 )k ²   4 1 (k 2) 0

4k²4k  8 0

k²   k 2 0

 (k2)(k  1) 0

k 2或k 1

若一元二次方程式x²kx  無實根，試1 0 求k的範圍。

∵方程式無實根

∴b² 4ac 0

k²    4 1 1 0

(k2)(k2) 0

  2 k 2

演練

例題 7 判別一元二次方程式兩根的性質 7

演練

例題 8 一元二次方程式根的性質 8

方程式

若一元二次方程式kx²(k3)x  有兩1 0 相等實根，試求實數k之值。

∵方程式有兩相等實根

∴b²4ac 0

(k3)²    4 k 1 0

k²6k 9 4k  0

k²10k  9 0

 (k1)(k9) 0

k 1或9

若一元二次方程式kx²2x k  有兩相等0 實根，試求實數k之值。

∵方程式有兩相等實根

∴b² 4ac 0

2²    4 k k 0

4 4 k²  0

k²  1 0

(k1)(k  1) 0

k 1或1

重點三 根與係數的關係

設_a、_b、_c為實數，且_a0，若一元二次方程式ax²bx c  的兩根為0  、^，則

(1)兩根之和 b

    。 a (2)兩根之積 c

  。 a

已知 、^為方程式x²4x  之兩根，2 0 試求下列各式之值：

(1) 1 1

 ^{ (2)}²² (3)(  )² (4)³³。

由根與係數關係知：

4 4

      ，1 2 1 2

  

(1)1 1 4

2 2

 

  

 

     (2)²² (  )²2

 ( 4)²  2 2 12 (3)(  )² ²2  ² 12 2 2 8  

(4)³³(   )( ²  ²)   ( 4) (12 2)   40

已知 、^為方程式x²3x  之兩根，1 0 試求下列各式之值：

(1)²² (2) 

 ^{ (3)|}  ^|。 由根與係數關係知：

3 3

   ^1  ， 1 1 1

  ^   (1)² ² (  )² 2

3²    2 ( 1) 11

(2) ^{2 2 11} 11

1

   

  

     

 (3)(  )² ²2  ² 11 2 ( 1) 13     ∴|  | 13

演練

例題 10 根與係數的關係 10

演練

例題 9 一元二次方程式根的性質 9