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第 2 章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
2.1 一阶逻辑基本概念
个体词
谓词
量词
一阶逻辑中命题符号化
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基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体） : 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用 a, b, c 表示 个体变项：抽象的事物，用 x, y, z 表示 个体域 : 个体变项的取值范围
有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2}
无限个体域，如 N, Z, R, …
全总个体域 : 宇宙间一切事物组成
基本概念 ( 续 )
谓词 : 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项： F(a) ： a 是人
谓词变项： F(x) ： x 具有性质 F 一元谓词 : 表示事物的性质
多元谓词 (n 元谓词 , n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y) ： x 与 y 有关系 L ， L(x,y) ： xy ，…
0 元谓词 : 不含个体变项的谓词 , 即命题常项或命
题变项
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基本概念 ( 续 )
量词 : 表示数量的词
全称量词 : 表示任意的 , 所有的 , 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的 x
存在量词 : 表示存在 , 有的 , 至少有一个等
如 x 表示在个体域中存在 x
一阶逻辑中命题符号化
例 1 用 0 元谓词将命题符号化
要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化
(1) 墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中 , 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题
在一阶逻辑中 , 设 a ：墨西哥， F(x) ： x 位于南美洲 符号化为 F(a)
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例 1( 续 )
2
2 3
3
) 3 (
) 2
( G
F
(2) 是无理数仅当 是有理数
在命题逻辑中 , 设 p ： 是无理数， q ： 是有 理数 .
符号化为 p q, 这是假命题
在一阶逻辑中 , 设 F(x): x 是无理数 , G(x): x 是有 理数
符号化为
(3) 如果 2>3 ，则 3<4
在命题逻辑中 , 设 p ： 2>3 ， q ： 3<4.
符号化为 pq, 这是真命题
在一阶逻辑中 , 设 F(x,y) ： x>y ， G(x,y) ： x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
2
2 3
3
) 3 ( )
2
( G
F
一阶逻辑中命题符号化 ( 续 )
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1) 人都爱美 ; (2) 有人用左手写字
分别取 (a) D 为人类集合 , (b) D 为全总个体域 . 解： (a) (1) 设 G(x) ： x 爱美 , 符号化为 x G(x)
(2) 设 G(x) ： x 用左手写字 , 符号化为 x G(x)
(b) 设 F(x) ： x 为人， G(x) ：同 (a) 中
(1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)
G(x))这是两个基本公式 , 注意这两个基本公式的使用 .
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一阶逻辑中命题符号化 ( 续 )
例 3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1)
正数都大于负数
(2)
有的无理数大于有的有理数
解 注意 : 题目中没给个体域 , 一律用全总个体域
(1)令 F(x): x 为正数 , G(y): y 为负数 , L(x,y): x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或
xy(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值
(2)
令 F(x): x 是无理数 , G(y): y 是有理数 ,
L(x,y)
： x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y)))
或 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值
一阶逻辑中命题符号化 ( 续 )
几点注意：
1 元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不能随便颠倒 否定式的使用
思考：
① 没有不呼吸的人
② 不是所有的人都喜欢吃糖
③ 不是所有的火车都比所有的汽车快
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2.2 一阶逻辑公式及解释
字母表
合式公式 ( 简称公式 )
个体变项的自由出现和约束出现
解释
永真式（逻辑有效式）
矛盾式（永假式）
可满足式
字母表
定义 字母表包含下述符号：
(1) 个体常项： a, b, c, …, a
i, b
i, c
i, …, i 1 (2) 个体变项： x, y, z, …, x
i, y
i, z
i, …, i 1 (3) 函数符号： f, g, h, …, f
i, g
i, h
i, …, i 1
(4) 谓词符号： F, G, H, …, F
i, G
i, H
i, …, i 1
(5) 量词符号： ,
(6) 联结词符号： , , , ,
(7) 括号与逗号： (, ), ，
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项
定义 项的定义如下：
(1) 个体常项和个体变项是项 .
(2) 若 (x
1, x
2, …, x
n) 是任意的 n 元函数， t
1,t
2,…,t
n是任意的 n 个项，则 (t
1, t
2, …, t
n) 是项 .
(3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的 .
个体常项、变项是项，由它们构成的 n 元函数和复
合函数还是项
原子公式
定义 设 R(x1, x2, …, xn)
是任意的 n 元谓词， t
1,t2,…, tn是任意的 n 个项，则称 R(t
1, t2, …, tn)是原子公式
.原子公式是由项组成的 n 元谓词 .
例如， F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4)) 等均为原子公式
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合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下：
(1)
原子公式是合式公式 .
(2)
若 A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式
(3)
若 A, B 是合式公式，则 (AB), (AB), (AB),
(A
B) 也是合式公式
(4)
若 A 是合式公式，则 xA, xA 也是合式公式
(5)
只有有限次地应用 (1)~(4) 形成的符号串是合
式公式 .
请举出几个合式公式的例子 .
个体变项的自由出现与约束出现
定义 在公式 xA 和 xA 中，称 x 为指导变元， A 为相 应量词的辖域 . 在 x 和 x 的辖域中， x 的所有出现都 称为约束出现， A 中不是约束出现的其他变项均称
为是自由出现的 .
例如 , 在公式 x(F(x,y)G(x,z)) 中 , A=(F(x,y)G(x,z)) 为 x 的辖域，
x 为指导变元 , A 中 x 的两次出现均为约束出现，
y 与 z 均为自由出现 .
闭式 : 不含自由出现的个体变项的公式 .
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公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x))
成真解释 : 个体域 N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得 A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释 : 个体域 N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得 A=x(x>1x>2) 假命题 问 : xF(x)xF(x) 有成真解释吗？
xF(x)xF(x) 有成假解释吗？
解释
F
a f F
a
定义 解释 I 由下面 4 部分组成：
(a) 非空个体域 D
I(b) D
I中一些特定元素 等
(c) D
I上一些特定函数 等
(d) D
I上一些特定谓词 等
说明：
被解释的公式 A 中的个体变项均取值于 D
I若 A 中含个体常项 a 、 函数 f 、 谓词 F, 就分别
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解释 ( 续 )
被解释的公式不一定全部包含解释中的 4 部分 . 闭式在任何解释下都是命题，
注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命
题 .
公式的分类
永真式（逻辑有效式）：无成假赋值 矛盾式（永假式）：无成真赋值
可满足式：至少有一个成真赋值
几点说明：
永真式为可满足式，但反之不真
谓词公式的可满足性（永真性 , 永假性 ) 是不可判 定的
利用代换实例可判某些公式的类型
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代换实例
定义 设 A0是含命题变项 p1, p2, …,pn的命题公式，
A1,A2,…,An 是 n 个谓词公式，用 Ai 处处代替 A0中的 p
i
(1in) ，所得公式 A 称为 A0的代换实例 .
例如 :
F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是 pq 的换实例，
x(F(x)G(x)) 等不是 pq 的代换实例 .
定理 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式 .
代换实例 ( 续 )
例 1 给定解释 I 如下 : (a) 个体域 D=N
(b) (c)
(d) 谓词
说明下列公式在 I 下的涵义 , 并讨论真值 (1) xF(g(x,a),x)
2 a
xy y
x g y x
y x
f
( , ) , ( , )
yx y
x
F
( , ) :
x(2x=x) 假命题
(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x))
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