1-2 空間向量的坐標表示法

(1)

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 空間向量

1-2 空間向量的坐標表示法

(2)

課本頁次： 15

甲、空間坐標系

在空間中任取一點 O﹐ 過 O 點作兩兩互相垂直的三 條

這樣每條直線就變成以 O 點為原點的數線﹐分 別

叫做 x 軸﹑ y 軸與 z 軸﹐統稱為坐標軸﹒

直線﹐在這三條直線上取適當長度當作單位長﹐

(3)

課本頁次： 15

甲、空間坐標系

x 軸﹐ y 軸與 z 軸即組成了空間坐標系﹒

採用右手系﹐確定各軸的正方向﹐如此由原點 O﹐

(4)

y 軸與 z 軸所決定的平面稱為 yz 平面﹒

課本頁次： 15

空間坐標系的任兩個坐標軸都可以決定一個平面﹐形成坐標平面﹒

甲、空間坐標系

我們將 x 軸與 y 軸所決定的平面 稱為 xy 平面同樣的﹐ x﹐ 軸與 z 軸所決定的平面稱為 xz 平面﹐

這三個坐標平面把空間分成八個部分﹐每一個部分稱為一個

卦限﹒ 由三軸的正向所決定的卦限﹐稱為第一

卦限﹐其他卦限則沒有特別編號﹒

(5)

課本頁次： 16

甲、空間坐標系

由 Q 點分別對 x﹐y 兩軸作垂線﹐得到 A﹐B 兩點﹐

從 P 點對 xy 平面作垂直線﹐交 xy 平面於 Q 點﹐

再由 P 點對 z 軸作垂線﹐得到 C 點﹒

(6)

課本頁次： 16

甲、空間坐標系

a﹐b﹐c﹐ 則定義 P 點的坐標為 (a,b,c)﹒

若 A﹐B﹐C 三點在 x 軸﹐ y 軸﹐ z 軸上的坐標分別為

(7)

課本頁次： 16

空間中的中點公式

設 ﹐P a b c 1, ,1 1 為空間中二點﹐Q a b c 2, ,2 2 

 ^{, ,} 

M a b c 為 PQ 的中點﹒

(8)

課本頁次： 16

空間中的中點公式

 ^{, ,} 



(9)

課本頁次： 16

空間中的中點公式

 ^{, ,} 

作垂線﹐且交 xy 平面於

 1, ,01 

P a b _、 Q a b 2, ,02 _、

 ^{, ,0}

M a b

自 P﹐Q﹐M 三點分別對 xy 平面



因為 _{PP MM}_// _//_QQ ﹐ 所以三個線段共平面﹐

(10)

課本頁次： 16

空間中的中點公式



 P'_﹐Q'_﹐M' ^{三點共線﹐且} M' ^為 P Q  中點

∴ ^a ^ ^{a a}¹ ^₂ ² _， ^b ^ ^{b b}¹ ^₂ ²

xz 平面作垂線﹐可 得

1 2 .

2 c c c  

故 PQ 之中點 M 的坐標為

1 2 , 1 2 , 1 2

2 2 2

a a b b c c

M  

 



 





同理﹐自 P﹐Q﹐M 三點分別對

(11)

課本頁次： 17

例 1

求 A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F 各點的坐標 ﹒ 解：

x

y z

O

A B

D C F

E G(2,3,4)

2

3 4

A 點的坐標為 (2,0,0) B 點的坐標為 (0,3,0)

C 點的坐標為 (0,0,4) D 點的坐標為 (2,3,0)

E 點的坐標為 (2,0,4) F 點的坐標為 (0,3,4)

(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)

(2,3,0) (2,0,4)

(0,3,4)

右圖是空間中的一個長方體﹐

(12)

課本頁次： 17

坐標軸或坐標平面上的點

由例題 1 我們知道﹐坐標軸或坐標平面上的點﹐

其坐標型如下表：

位置 x 軸 y 軸 z 軸 xy 平面 yz 平面 xz 平面 點坐標 (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) (a,b,0) (0,b,c) (a,0,c)

(13)

課本頁次： 17

A 點的坐標為 (3,0,0) B 點的坐標為 (0,– 4,0)

C 點的坐標為 (0,0,2)

E 點的坐標為 (3,0,2) G 點的坐標為 (3,– 4,2)

(3,0,0) (0,-4,0)

(0,0,2) (3,0,2)

(3,-4,2)

練 1

求 A﹐B﹐C﹐E﹐G 各點的坐標 ﹒ 右圖是空間中的一個長方體﹐

解：

2 3 4

(14)

課本頁次： 18

空間中兩點的距離公式

 2 1 ² 2 1 ² 2 1² . PQ  x  x  y  y  z  z

空間中﹐ P x y z1, ,1 1 ﹐Q x y z 2, 2, 2 兩點的距離是

(15)

課本頁次： 18

空間中兩點的距離公式

 x2 x1 ² y2 y1 ² z2 z1² .

     

2 2

PQ  QR  PR

證： ^



^QS² ^ ^SR²



^ ^PR²

(16)

課本頁次： 18

例 2

右圖是坐標空間中的一個正立方體﹐ 已知兩頂點 A(1,–1,0), B(2,1,2)﹒

(1) 求的長﹒

(1 )

AB

2 2 2

(2 1) (1 ( 1)) (2 0) 3

AB        

(2) 點 (6,0,1) 與 A(1,–1,0) 的距離為

2 2 2

(6 1)   (0 ( 1))  (1 0)  3 3

∵ ^A^C ^ ^{3 2,}^A^G ^ ^{3 3} ∴ 點 (6,0,1) 為頂點 G 解：

(2) 若 (6,0,1) 是正立方體的一個頂點﹐

則 (6,0,1) 可能是哪一個頂點？ ^{3 2}

3 3

(17)

課本頁次： 19

已知 A(2,3,6)﹐B(–1,5,0)﹐C(4, –3,3) 為空間中

2 2 2

(2 ( 1)) (3 5) (6 0) 49 7 AB         

2 2 2

(2 4) (3 ( 3)) (6 3) 49 7

AC         

2 7 98

) 3 0 ( ))

3 ( 5 ( )

4 ) 1

((  ²    ²   ²  

 BC

2 2 2

90 AB  AC  BC   A 

又

AB  AC

練

2

三點﹐證明△ ABC 為等腰直角三角形﹒

解：

∴ △ ABC 為等腰直角三角形

(18)

課本頁次： 19

例 3

^空間中﹐^{設 P 是} ^{z 軸}^上一點﹐ A 點為 (1,2, –

1)﹐ _{AP BP}_

設 P 點的坐標為 (0,0,c)

 ^{0 1}^  ² ^{ }^{0 2}² ^{  } ^c  ¹ ² ^ ^ ^{0 2}^ ^{ }² ^{ }^{0 1}^{ }² ^{ }^c ^{3 .}^²

兩邊平方  8 c = 8  c=1

∴ P 點的坐標為 (0,0,1)

∵ ^{AP BP}^

 解：

﹐則 P 點的坐標為何﹖

B 點為 (2,1,3)﹒ 若

(19)

課本頁次： 19

練 3

^空間中﹐設 P 是 x 軸正向上的一點﹐ A 點為 (0,1,0)﹐

的坐標為何？ ( 二種可能 ) 解：

B 點為 (0,0,2) ﹐ 若△ ABP 是等腰三角形﹐則 P 點

(1) _PB _ _AB  a OP OA  1

設 P 點的坐標為 (a,0,0) ﹐^a ^ ⁰

∴P 點的坐標為 (1,0,0)

(2) _{PA AB}_  a OP OB   2

∴P 點的坐標為 (2,0,0)

(1, 0, 0) P

(2,0, 0) P

(20)

課本頁次： 19

乙、空間向量的坐標表示法

在空間中﹐對於任意一個向量



^a ﹐

可將



a 平移﹐使其始點落在原點 O 上﹒

(21)

課本頁次： 19

乙、空間向量的坐標表示法

若令其終點為 A﹐ 則在空間中﹐對於任意一個向量^可將



a 平移﹐使其始點落在原點 O 上﹒

 

_a _ _OA



^a ﹐

(22)

課本頁次： 19

乙、空間向量的坐標表示法

若 A 點坐標為 (x,y,z)﹐ 則可用坐標 (x,y,z) 來代表﹐



^a

則 (x,y,z) 稱為向量的坐標表示法﹐

記作



a



_a _ _{( , , )}_{x y z}

其中 x , y 與 z 分別稱為向量的 x 分量﹐

y 分量與



a

z 分量﹒

(23)

向量的長度為

課本頁次： 19

乙、空間向量的坐標表示法



a _|



_a _|_ _OA _ _x² _ _y² _ _z²

(24)

課本頁次： 20

乙、空間向量的坐標表示法

設P x y z 1, ,1 1 ﹐Q x y z 2, ,2 2  為空間中兩點﹐

將向量 ^PQ



平行移動﹐始點 P 移至原點 O﹐

終點 Q 移至點^{A a b c} ^{, ,}  _ PQ OA

 



AOPQ 是平行四邊形

 2 2

A P O Q



1 2 2 1

a x x a x x b y y b y y c z z c z z

   

 

 

      

     

 

(25)

課本頁次： 20

乙、空間向量的坐標表示法

1 2 2 1

a x x a x x b y y b y y c z z c z z

   

 

 

      

     

 

 ₂ ₁^, ₂ ₁ ₂ ₁

( , , ) ,

PQ



 OA



 a b c  x  x y  y z  z

 2 1 ² 2 1 ² 2 1²

| PQ



| x  x  y  y  z  z

(26)

課本頁次： 21

空間向量的坐標表示法

 2 1, 2 1, 2 1 , PQ



 x  x y  y z  z

 2 1 ² 2 1 ² 2 1²

| PQ



| x  x  y  y  z  z .

的坐標表示與其長度分別為

若 P x y z1, ,1 1 ﹐Q x y z 2, 2, 2 為空間中兩點﹐則 ^PQ



(27)

且　　　﹐求　

課本頁次： 21

例 4

已知二點 P(1,3,5)﹐Q(3,7,z) 為空間中兩點﹐

PQ



| PQ



| 6

(3 1, 7 3, z 5) (2, 4, z 5) PQ



     

 ^z² ^¹⁰^z ^{ }^{9 0}

 z 1 z  9

 2²  4²  (z 5)²  6

∵ ^| ^PQ



^{| 6}^

解：

∴ ^PQ



^ ^{(2, 4,} ^z ^ ⁵⁾ ^或 _或 _{(2, 4, 4)}

 ⁽^z ^¹⁾⁽^z ^ ^{9) 0}^

(2, 4, 4)

 

(28)

求　與　

課本頁次： 21

已知 P(1,2,3)﹐Q(–1,4,2) 為空間中兩點﹐

PQ



PQ



_ _ _{( 1)}_ _₁_,₄ _ ₂_,₂ _{ }₃_ _ __{2, 2, 1}_ _

2 2 2

| PQ



| ( 2)  2  ( 1)  9  3

練 4

解：

| PQ



|

(29)

課本頁次： 22

丙、空間向量的加減法與係數積

( 一 ) 向量的加減法與係數積

a  b

 

^﹐ _{r a}



^﹐

 

_a _ _b

關於的坐標表示﹐

討論如下﹕

(30)

課本頁次： 22

丙、空間向量的加減法與係數積

(1) 加法﹕

 ₁^{, ,}₂ ₃

a  a a a

 

_b _ _ _{b b b}₁_{, ,}₂ ₃_

設 ﹐

 x a y a z a1, 2, 3

AB    

令

  

^a ^ ^b ^ ^ ^{x y z}^{, ,} ^ _{ A 點為}_ _{a a a}₁_{, ,}₂ ₃_ _, _{B 點為}_ _{x y z}_{, ,} _

 b b b1, ,2 3 





b 

a  b

 

 _ a₁ b a₁, ₂ b a₂, ₃  b₃ _

∴

1

3 3

2 1

2

b b x a

y a

z a b



 

 









1 1

2 2

3 3

x a b y a b z a b

  

   

  



(31)

課本頁次： 22

丙、空間向量的加減法與係數積

r a



_的長度是



_a _長度的 _{| |}_r _倍

(2) 係數積﹕

0

r  時﹐_{r a}



和



_a 的方向相同當

(32)

課本頁次： 22

丙、空間向量的加減法與係數積

r a



_的長度是



_a _長度的 _{| |}_r _倍

(2) 係數積﹕

0

r  時﹐_{r a}



和



_a 的方向相反當

當 r 是一實數時﹐

 1, ,2 3 

a  a a a

設



﹐

 1, 2, 3

r a



 ra ra ra

則

(33)

課本頁次： 23

丙、空間向量的加減法與係數積

 a a a1, ,2 3   b1, b2, b3

    

 a1  b a1, 2  b a2, 3  b3 



( 1) a  b  



a  b

  

(3) 減法﹕

 ₁^{, ,}₂ ₃

a  a a a

 

_b _ _ _{b b b}₁_{, ,}₂ ₃_

設 ﹐

(34)

課本頁次： 23

空間向量加減法﹑係數積的坐標表示

若為空間中兩向量﹐

 1, ,2 3  1, ,2 3

a  a a a b  b b b



_,



(1) 加法﹕

 

a  b   a1  b a1, 2 b a2, 3 b3

(2) 係數積﹕r a



 (ra ra ra₁, ₂, ₃)

(3) 減法﹕

 

a  b   a1  b a1, 2  b a2, 3 b3 

r 為實數﹐則

(35)

(1) 及其長度

課本頁次： 23

例 5

已知向量 ﹐求

3 a

 

 b



^a ^ ^ ^2,1,1^_、



^b ^{ }^ ^{3,3, 1}^ ^_、



^c ^{ }^ ^{5,5, 1}^ ^

(1) ³

 

^a ^ ^b ^ ^{3 2,1,1}  ^{ }^{3,3, 1}^ 

 ^6,3,3  ^{3,3, 1}  ^{3,6, 2}

    

2 2 2

3 6 2

    49  7

解：

| 3

 

a  b |

(36)

(1) 及其長度 (2) 　及其長度

課本頁次： 23

例 5

已知向量 ﹐求

3 a

 

 b



^a ^ ^ ^2,1,1^_、



^b ^{ }^

  

a^{3,3, 1} 3^b ^_、2



^cc^{ }^ ^{5,5, 1}^ ^

(2)

  

a ³ b  ² c   2,1,1 3 3,3, 1 2 5,5, 1        

 ^2,1,1  ^{9,9, 3}  ^{10,10, 2}

      

^{1, 2, 2}



2 2 2

1 2 2

    9  3

解：

|

  

a 3 b  2 c |

(37)

求　　　及　　　

課本頁次： 23

已知向量　



^a ^  ^{2,1, 2}^ _、



^b ^  ^{3, 1, 6}^{ } 

3 a

 

 b

   

3

 

a  b  3 2,1, 2  3, 1, 6 

 ^{6,3, 6}  ^{3, 1,} ⁶  ^{3, 4,0}

     

2 2 2

3 4 0

    25  5

練 5

解：

3 a

 

 b

| |

3 a

 

 b

| |

(38)

(1) 求及　　　

課本頁次： 24

例 6

(1) AB



  6 9, 4 3,3 1     3,1, 2

 0 9,6 3,7 1  9,3,6

AC



     

已知 A(9,3,1),B(6,4,3) 與 C(0,6,7) 為空間中三點 , (2) 判斷 A,B,C 三點是否共線﹖

(2) ∵ ^AC

 

^ ³ ^AB

解：

//

AB AC



 

∴ A,B,C, 三點共線 AB



_AC



(39)

課本頁次： 24

已知空間中 A(3,2,5)﹐B(5,3,1)﹐C(–1,y,z) 三點

∵ AB



  5 3,3 2,1 5     2,1, 4 , 

 ^{1 3,} ^2, ⁵  ^4, ^2, ⁵

AC



   y  z    y  z 

又 A,B,C 三點共線 AC t AB

 



 ^4, ^y ^2, ^z ⁵ ^t ^{2,1, 4}

     

練

6

共線﹐求 y﹐z 的值﹒

解：

∴ y = 0 , z =13 4 2

2 2

5 4

t

y t t

z t

  

      

   



(40)

課本頁次： 24

丙、空間向量的加減法與係數積

( 二 ) 向量的分點公式

設 O 為原點﹐

 1, ,1 1  2, ,2 2 

A x y z 與 B x y z 為空間中兩點﹐

AP ：PB m ：n AB 上﹐且

若點 P(x,y,z) 在線段

n m

OP OA OB

m n m n

 

 

  

則

(41)

課本頁次： 24

丙、空間向量的加減法與係數積

( 二 ) 向量的分點公式

AP ：PB m ：n

n m

OP OA OB

m n m n

 

 

 

^{AB 上﹐且}



若點 P(x,y,z) 在線段 則

若用坐標表示﹐則可得

 ^{, ,}  ⁿ  ^{x y z}₁^{, ,}₁ ₁ ^m  ^{x y z}₂^{, ,}₂ ₂ 

m n m n

x y z  

 

1 2 , 1 2 , 1 2

nx mx ny my nz mz

m n m n m n

  

 

    

 



設 O 為原點﹐

 1, ,1 1  2, ,2 2 

A x y z 與 B x y z 為空間中兩點﹐

(42)

課本頁次： 25

空間的分點坐標公式

設為空間中兩點﹐若點

P(x,y,z) 在線段 AB 上﹐且 ﹐則

P 點坐標為

 1, ,1 1  2, 2, 2 

A x y z 與B x y z

AP ：PB m ：n

1 2 , 1 2 , 1 2

nx mx ny my nz mz

m n m n m n

  

 

    

 

(43)

課本頁次： 25

例 7

   

3 3

3 6 3 1

3 3

2 8

2 1 2 11

2 ,  2 , 3 2

   

    



      





設 A(6,–3,1)﹐ B(1,–8,11) 為空間中兩點﹐ P 為 直線 AB 上一點﹐

﹐求

3 : 2 : PB  AP

(1) 當 P 在線段上時﹐求 P 點坐標﹒^AB 解：(1)

P 點坐標為

 ^{4, 5,5}

 

(6, 3,1) ( , , )x y z (1, 8,11)

2 3

A P B

(44)

課本頁次： 25

例 7 設 A(6,–3,1)﹐ B(1,–8,11) 為空間中兩點﹐ P 為 直線 AB 上一點﹐

﹐求

3 : 2 : PB  AP

(2) 當 P 不在線段上時﹐求 P 點坐標﹒^AB

設 P 點坐標為

 ^{x y z}^{, ,} 

 ^{6, 3}  ¹ ^{2 1} ¹ ^{2 ( 8} ¹

1 1

) 2 11

2 , 2 ,

,1 2

A   x    y    z1 

     

 





, ,

3 3 3

2 16 22

x  y z

 

  







解：(2)

( , , )x y z (6, 3,1) (1, 8,11)

2 1

P A B

3

(45)

課本頁次： 25

例 7 設 A(6,–3,1)﹐ B(1,–8,11) 為空間中兩點﹐ P 為 直線 AB 上一點﹐

﹐求

3 : 2 : PB  AP

(2) 當 P 不在線段上時﹐求 P 點坐標﹒^AB

 ^{6, 3,1}

A  , ,

3 3 3

2 16 22

x  y z

 

  









∴ P 點坐標為 (16, 7 , −19)

解：(2)

6 3 1

2 3

16 3

22 3 x

y z

  



 

  





 



16 7 19 x

y z



 



 



(46)

課本頁次： 26

     

2 5 1 1 2 1 8

2,3, 2 2 0 1

21 6 , ,

2 2

1 1 1

          

     

 

 

P 點坐標為

上一點﹐且 ﹐求 P 點坐標﹒

: 1: 2 AP PB 

練 7

(1) 當 P 在線段上時^AB 解：

設 A(0,5,–1)﹐B(6,–1,8) 為空間中兩點﹐ P 為直線 AB

(0,5, 1) ( , , )x y z (6, 1,8)

1 2

A P B

(47)

課本頁次： 26

P 點坐標為 (−6, 11, −10)

上一點﹐且 ﹐求 P 點坐標﹒

: 1: 2 AP PB 

練 7

(2) 當 P 不在線段上時^AB 解：

設 A(0,5,–1)﹐B(6,–1,8) 為空間中兩點﹐ P 為直線 AB

( , , )x y z (0,5, 1) (6, 1,8)

1 1

P A B

2

0 6

6 2

x  x

    1 5 1

2 1

y    y

1 0

8

2 1

z    z 

﹐ ﹐ 

由 (1)(2) 可知﹕

P 點有兩種可能﹐其坐標分別為 (2,3,2) 或 (−6,11,−10)

(48)

課本頁次： 26

丙、空間向量的加減法與係數積

( 三 ) 向量的線性組合

, 0 1

t t

A AB



  上的 P 點坐標可以表示為

AB

^{1, 2,3}  ^{0, 2, 1 ,0} ¹

P   t   t

 ^{0, 2, 1}

AB



  A(1,2,3), B(1,4,2),

(49)

課本頁次： 27

, 0 1, 0 1 OP

  

 sOA t OB  s  t 

平行四邊形區域上的每一個點 P 都滿足

^{1, 2,3}

OA



 _OB



_ _ _{0,3, 1}_ _

由向量與所張出一個

P 點坐標可表示為 ^s^{1, 2,3} ^^t ^{0,3, 1 ,}^  ⁰ ^{ }^s ^{1 0}^, ^ ^t ^¹

丙、空間向量的加減法與係數積

(50)

O

練習

試繪圖觀察﹐下列哪些點位在由 _OA



_ _{(1, 2,3)}

與 , 所張出的平行四邊形內﹖

(0,3, 1) B  (1,2,3)

A

課本頁次： 27

(0,3, 1) OB



 

平行四邊形區域上的點坐標均可以表示成 OA OB

s

 

 t , 其中 0  s 1 , 0  t 1

(51)

O

練習

解：

(1, 2,3) OA





試繪圖觀察﹐下列哪些點位在由

1 2OA



(1) ¹ ^{1, 2,3} ¹  ^{0,3, 1}

2 2

C   

(0,3, 1) B  (1,2,3)

A

課本頁次： 27

(0,3, 1) OB



  (1)

1 2OB



C

○

(52)

O

練習

解：

(1, 2,3) OA





1 3OA



(2) ¹ ^{1, 2,3} ¹  ^{0,3, 1}

3 3

D   

(0,3, 1) B  (1,2,3)

A

課本頁次： 27

(0,3, 1) OB



  (2)

1 3OB



D

○

(53)

O

練習

解：

(1, 2,3) OA





2OA



(3) ^E ^ ^{2 1, 2,3}  ^ ^{0,3, 1}^ 

(0,3, 1) B  (1,2,3)

A

課本頁次： 27

(0,3, 1) OB



 

(3) _OB



E

×

(54)

O

練習

解：

(1, 2,3) OA





OA



(4) ^F ^ ^{1, 2,3} ^ ^{0,3, 1}^ 

(0,3, 1) B  (1,2,3)

A

課本頁次： 27

(0,3, 1) OB



  (4)

OB



F

×

∴選 (1)(2)

(55)