製作老師:趙益男 / 基隆女中教師
發行公司:龍騰文化事業股份有限公司
Ch2 直線與圓
2-1 直線方程式及其圖形
甲、點斜式
課本頁次: 82
若 L 非鉛直
線 , L 上任一點 A 沿著直線 L 向右移動﹐ 每當橫坐標 x 增加 1 單位時﹐
縱坐標 y 的變化量為 m 單位 , 則稱 m 為直線 L 的斜率 .
∴ m =
水平位移 鉛直位移
斜率 m
課本頁次: 82
(1) m > 0 ( 上升 )
O x
y L
A
B 1
0 m
2 1
2 1
y y
m x x
斜率 m
課本頁次: 82
(1) m > 0 ( 上升 )
O x
y L
A
B 1
0 m
O x
y
1 m 2
m 3
m
2 1
2 1
y y
m x x
斜率 m
課本頁次: 82
(2) m < 0 ( 下降 )
O x
L y
A
B 1
0 m
2 1
2 1
y y
m x x
斜率 m
課本頁次: 82
(2) m < 0 ( 下降 )
O x
L y
A
B 1
0 m
O x
y
1 m
2 m
3 m
2 1
2 1
y y
m x x
斜率 m
課本頁次: 82
(3) m = 0 ( 水平 )
O x
y
L A B
1 m 0
斜率 m ( 補 充 )
課本頁次: 82
(4) m 不存在 ( 鉛直 )
O x
y
L A
B 沒有m
直線的斜率
課本頁次: 83
設 A x1, y1 ,B x 2, y2
(1) (x1 x2,) 則 L 的斜率
1
2 1
m y2 y x x
(2) (x1 x2), 則稱直線 L 沒有斜率﹒ 為直線 L 上相異兩點﹐
若 L 非鉛直線
若 L 為鉛直線
例 1設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 ﹐ (1) 求直線 OA 、直線 AB 、直線 OB 的斜率﹒
解: 1 0
2 0
0 1 3 2
mOA
mAB
1
2
1 0 0
3 0
OB
m 0
課本頁次: 83
例 1
解:
設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 ﹐ (2) 已知 C(200,k) 在直線 OA 上﹐求 k 的值﹒
0 200 0
k
1 0 2 0
CO AO
m m
0 1 0
k
∵ 直線上任相異兩點的斜率相等
課本頁次: 83
例 1
解:
設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 ﹐ (3) 若點 D(5, 2)﹐ 則 A﹐B﹐D 三點是否共線?
0 1 3 2
2 0 5 3
mAB
mBD
1
1
∥
A﹐B﹐D 三點共線
∴
課本頁次: 83
隨 1設 A(0,2),B(3,0),C(9,-4) 為坐標平面上三點 ﹐ (1) 求直線 AB 和直線 BC 的斜率﹒
解: 0 2
3 0
4 0 9 3
mAB
mBC
2
3 2
3
∥
A﹐B﹐C 三點共線
(2) 判斷 A﹐B﹐C 三點是否共線﹒
解:
課本頁次: 84
隨堂 如圖﹐直線與 x 軸正向的夾角為 150﹐
(1) 求直線的斜率﹒
解:
3,0
B
0 1 1 3 0 3 m
0,1
可設 A
(2) 驗證此斜率與 證:
課本頁次: 85
的值相等﹒ tan150 tan 30 1
3 m
tan150
∴ 斜率
A
B 30
ABO
∵
30
1 2
3
甲、點斜式
( 3,1) A
( , ) P x y
) 3 (
x
1 y 1
2 動點
定點 3)
( x
1 y
1
( y 1) 2 [x ( )]3
L 求通過點 A( 3,1) 且斜率為 1 的直線方程式 .
2 解:
課本頁次: 85
甲、點斜式
通過點 A x y( ,0 0)且斜率是 m 的直線方程式為
0 0
( y y ) m(x x )
0 0
( , ) A x y
( , ) P x y
x x0
y y0
m 動點
定點 x x0
y y0
0 0
( y y ) m(x x )
L
課本頁次: 85
例 2
解:
求下列各直線的方程式:
(1) 通過點 (3, 1)﹐ 斜率為 2 的直線﹒
1 2 ( 3)
y x 2x y 7 0
解:
(2) 通過點 (3, 2)﹐ 斜率為 0 的直線﹒
( 2) 0( 3)
y x y 2 0 另解: 斜率為 0 水平線
2
y (3, 2) y 2
課本頁次: 86
例 2
解:
求下列各直線的方程式:
(3) 通過點 (0, 5)﹐ 斜率為 5 1 ( 0)
y 2 x x 2y 10 0 的直線﹒ 1
2
課本頁次: 86
隨 2
解:
求下列各直線的方程式:
(1) 通過點 (0, 1) 且斜率為 3 的直線﹒
1 3 0
y x 3x y 1 0
解:
(2) 通過點 (2, 1) 且斜率為
1 2 2
y 3 x 2x 3y 7 0 的直線﹒ 2
3
課本頁次: 86
隨 2
解:
求下列各直線的方程式:
(3) 通過點 (2, 5) 且沒有斜率的直線﹒
沒有斜率 鉛直線
2
x (2,5)
2 x
課本頁次: 86
例 3
解:
設 A(4﹐0)﹐B(3﹐4) 為坐標平面上兩點 . (1) 求直線 AB 的斜率﹒
0 ( 4) m 4 3
4 4
1
(2) 求直線 AB 的方程式﹒
解: 過點 A(4﹐0)﹐ 斜率為 4 0 4( 4)
y x
4x y 16 0
課本頁次: 86
隨 3
解:
(1) 求過 A(33, 11)﹐B(1, 5) 兩點的直線方程式﹒
直線 AB 的斜率 ( 11) 5
m 33 1
16 32
1 2
利用點斜式
過點 B(1, 5)﹐ 斜率為 5 1 ( 1)
y 2 x
x 2y 11 0 1
2
課本頁次: 87
隨 3(2) 求過 A(3, 1)﹐B(3, 5) 兩點的直線方程式﹒
課本頁次: 87
解: x 坐標相等 鉛直線
3
x
(3,5) B
3 x (3, 1) A
兩點式 ( 補充 )
直線通過相異兩點 A x1, y1 ,B x 2, y2
(1) x1 x2 , 則直線方程式為
1
1 2 1
1
y2
x
y y x
y x x
(2) x1 x2 , 則直線方程式為 x x1 ( 鉛直線 )
課本頁次: 87
截距
直線 L 的 x 截距為 a L 與 x 軸交於 (a,0) 直線 L 的 y 截距為 b L 與 y 軸交於 (0,b)
x y
0 6 0
3
2 6 0 x y
O x
y
6
3 x 2y 6 0 (6,0) (0,3)
x 截距
y 截距
x 截距
y 截距
課本頁次: 87
例 4
解:
求下列直線方程式:
(1) 斜率為 1
且 y 截距為 3 的直線﹒2 3
y截距為 直線過點(0 ),3
設動點 ( , )x y 0 x
3
y 1
2 2 6 x y
2 6 0 x y
課本頁次: 87
例 4 求下列直線方程式:
(2) x 截距為 4 且 y 截距為 3 的直線﹒ 解: x截距為- 4 直線過點(4,0)
3
y截距為 直線過點(0 ),3
設動點 ( , )x y 0 x
3 y
0 (4)
3 0 3
4 3x 4 y 12
3x 4y 12 0
課本頁次: 87
斜截式
斜率為 m 且 y 截距為 b 的直線﹐其方程式為 y mx b
證:斜率為m, y截距為b A(0, )b
(0, ) A b
( , ) P x y
0 x
y b
m
動點
定點 0
x y b
( y b) m(x 0)
y mx b
L
課本頁次: 88
截距式
x 截距為 a 且 y 截距 為 b
x y 1 a b 證:
(ab 0) 的直線﹐其方程式為
y截距為b B(0, )b x截距為a A a( ,0)
x a 0 y
0 a
0 b
ay bx ab
bx ay ab
bx ay ab ab ab
b 1 x
a
y
課本頁次: 88
2 ( 5) 2 5 y x y x
隨 4
解:
求下列直線方程式:
(1)
解:
(2)
2 y3 1 3x 2 6 x y
斜率為 2 且 y 截距為 5 的直線﹒
x 截距為 2 且 y 截距為 3 的直線﹒
課本頁次: 88
直線的一般式
設直線 L : ax + by + c = 0﹒
(1) 若 b ﹐0 則 L 的斜率為 a
b
(2) 若 b ﹐0 則 L 為無斜率的鉛直線 .
證: ax by c 0 (a2 b2 0) by ax c
(1) a
b y x c
b
0 b
斜率
課本頁次: 88
直線的一般式
設直線 L : ax + by + c = 0﹒
(1) 若 b ﹐0 則 L 的斜率為 a
b
(2) 若 b ﹐0 則 L 為無斜率的鉛直線 .
證: ax by c 0 (a2 b2 0) by ax c (2)
x ac
0
b
鉛直線 ( 無斜率 )
課本頁次: 88
例 5
解:
求直線 L : 5x 2 y 3 0 的斜率﹒
5 3 5 2 3 0
2 2 x y y x L 的斜率為 5
2 另解:
( 代公式 )
斜率
課本頁次: 88
3
3x y 4 y x 4
3 3 y 2 x
隨 5
解:
求下列直線的斜率:
3x y 4 (1)
斜率
解:
2 3 1 x y (2)
斜率 1 3 2 6
2 3 x y
x y
課本頁次: 89
乙、直線的平行與垂直
平行線的斜率
設兩相異直線 的斜率分別為 若
1, 2
L L m m1, 2
1 2
L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然﹒
課本頁次: 89
平行線的斜率
設兩相異直線 的斜率分別為 若
1, 2
L L m m1, 2
1 2
L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然﹒
證: L1
L2
O 1 x
y
m1
m2
1 2
m m
L1 // L2
同位角相等
AAS
」
課本頁次: 89
平行線的斜率
設兩相異直線 的斜率分別為 若
1, 2
L L m m1, 2
1 2
L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然﹒
證: L1
L2
O 1 x
y
m1
m2
1 2
m m
L1 // L2 同位角相等
SAS
」
課本頁次: 89
乙、直線的平行與垂直
垂直線的斜率
設兩相異直線 L L1, 2 的斜率分別為 m m1, 2 (1) 若 L L1, 2互相垂直 , 則 m m1 2 1
(2) 若 m m1 2 , 則 1 L L 互相垂直 . 1, 2
課本頁次: 90
垂直線的斜率
設兩相異直線 的斜率分別為 若
1, 2
L L m m1, 2
1 2
L L , 則 m m1 2 ﹒反之亦然﹒ 1 證:
2 2 2
OA OB AB
L1
L2
1 x
O x
y
m1
m2
(1, 1) A m
(1, 2) B m
1 2
L L
AOB 90
1 m 12 1 m 22 (m1 m2)2
2 2m m1 2 m m1 2 1
課本頁次: 90
例 6
解:
A(3, 2)﹐B(1, 0), C(1, k) 為 ABC 的 三頂點且 A 90 ﹐求 k 的值﹒
90
A AB AC
mAB mAC 1 2 0
3 1
2
3 1
k
1
1 2 1 2 2
k
k 6
A B
C
課本頁次: 90
隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:
O x y
A
B C
D (1) AB CD
解:
mAB 4 1 7 2
3
5 mCD 6 9
1 4
3
5 ( )
AB CD
m m
課本頁次: 91
隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:
O x y
A
B C
D (2) AD BC
解:
( )
mAD 6 1 1 2
5
3 mBC 9 4
4 7
5
3
AD BC
m m
課本頁次: 91
隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:
O x y
A
B C
D (3) AB AD
解:
mAB 4 1 7 2
3
5 ( )
mAD 6 1 1 2
5
3
AB AD 1
m m
課本頁次: 91
隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:
O x y
A
B C
D (4) AC BD
解:
mAC 1 9 2 4
4 ( )
mBD 4 6 7 ( 1)
1
4
AC BD 1
m m
課本頁次: 91
隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:
O x y
A
B C
D (5)
解:
( ) 四邊形 ABCD 為正方形
課本頁次: 91
平行線 ( 補充 )
: =
L ax by c 斜率
: 0
L ax by c 設直線
ax by k
1// , 1
L L L
若 則設 方程式為
2 2
(a b 0)
(k c k, )
1 : ( ) =
L ax by k k 斜率c
a
b a
b 1 //
L L
斜率相等兩線平行 ( 鉛直線和兩線重合除外 )
課本頁次: 91
垂直線 ( 補充 )
: =
L ax by 斜率c
: 0
L ax by c 設直線
bx ay k
2 , 2
L L L
若 則設 方程式為
2 2
(a b 0) (k )
2 : =
L bx ay k 斜率
a
b b a
L L2
=- 1
斜率相乘兩線垂直 ( 鉛直線和水平線除外 )
課本頁次: 91
例 7
解:
已知點 A(3, 1) , 直線 L : 2x y 0
(1) 求過 A 點且與 L 平行的直線 之方程式 L1 ﹒ 設 L1 : x 2y k
3,1
代入 A
2 1 5 3
k
1 : 2y 5 L x
課本頁次: 91
例 7
解:
已知點 A(3, 1) , 直線 L : 2x y 0
(2) 求過 A 點且與 L 垂直的直線 之方程式 L2 ﹒ 設 L2 : 2x y k
3,1
代入 A
3 1 5 2
k
2 : 2x y 5
L
課本頁次: 91
隨 7
解:
已知直線 L : 3x 2y 5 0
(1) 求過原點且與 L 平行的直線方程 式﹒
設 L1 : 3x 2 y k
0,0
代入 O
0 0
3 2 0
k
1 : 3x 2 y 0
L
1//
L L
課本頁次: 91
隨 7
解:
已知直線 L : 3x 2y 5 0
(2) 求過原點且與 L 垂直的直線方程 式﹒
設 L2 : 2x 3y k
0,0
代入 O
0 0
2 3 0
k
2 : 2x 3y 0
L
L2 L
課本頁次: 91
例 8
解:
A(6, 0),B(2, 10), 求AB 的中垂線方程式﹒
AB ( 6 ( ) , )
2
2 0 2
10 (2,5)
AB 6 (2)
0 10 10 5
8 4
AB 4
5
AB x 2
5
y 4
5 4x 8 5y 25
4x 5y 17 0 中垂線斜率
中垂線方程式 斜率=
中點=
課本頁次: 92
例 8
另解:
A(6, 0),B(2, 10), 求AB 的中垂線方程式﹒
A B
( , ) P x y PA PB
2 2
(x 6) ( y 0) (x ( 2))2 ( y 10)2
2 2 2 2
(x 6) y (x 2) ( y 10)
12x 36 4x 4 20y 100
16x 20y 68 0
4x 5y 17 0 中垂線上的點至兩端點等距離
課本頁次: 92
隨 8
解:
A(-2, 6),B(4, 3), 求 AB 的中垂線方程式﹒
AB ( 2 4 , )
2
6
2
3 9 (1, )
2 AB 2 4
6 3 3 1
6 2
AB 2
AB x 1
9 y 2
2 2 2 9
x y 2
4x 2y 5 0 中垂線斜率
中垂線方程式 斜率=
中點=
課本頁次: 92
丙、二元一次聯立方程式的解 ( 補 充 )
1 : 1 1 1 0 ( 1 1 0) L a x b y c a b 設直線
1 若 與L1 L2交一點 1 1
2 2
a b a b
2 若L1 / /L2 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
3 若 與L1 L2重合 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
2 : 2 2 2 0 ( 2 2 0) L a x b y c a b
課本頁次: 92
例 9
解:
解下列聯立方程式
(1) 6
2 2 3
3x y x y
11x 0
0
x
3
代入
2 y 得
3
2
1 3
兩線交一點
0, 2 x y 解為
1
2x 3y 6 9x 3y 6
課本頁次: 92
例 9
解:
解下列聯立方程式 (2)
4 2
2 3 6 6
x y x y
0 14
2 6
3
2 6
兩線平行
無解
矛盾
4x 6y 12 4x 6y 2
4
2
( 1)
課本頁次: 92
例 9
解:
解下列聯立方程式 (3)
4 6 1
3
2 2 y 6
x y x
2 6
3
12 6
兩線重合
無限多解 兩式相同 4x 6y 12 4x 6y 12
4
2
課本頁次: 92
隨 9 判斷下列二元一次聯立方程式的幾何意義為
(1)
交一點 , 平行或重合 .
6 10
6 5
5 10
x y x y
5
6
兩線交一點
6
5
(2) 2
2 8
10 y x
y x
兩線平行
斜率 2= 斜率 2=
課本頁次: 94
隨 9 判斷下列二元一次聯立方程式的幾何意義為
(3)
交一點 , 平行或重合 .
(4)
2 3 1
3x 2 y 6 x y
1
3
2
1 6
兩線重合
1 2
3 =
1 1 x
y
鉛直線 兩線交一點
水平線
課本頁次: 94