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2-1 直線方程式及其圖形

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Academic year: 2021

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(1)

製作老師:趙益男 / 基隆女中教師

發行公司:龍騰文化事業股份有限公司

Ch2 直線與圓

2-1 直線方程式及其圖形

(2)

甲、點斜式

課本頁次: 82

若 L 非鉛直

, L 上任一點 A 沿著直線 L 向右移動 每當橫坐標 x 增加 1 單位時﹐

縱坐標 y 的變化量為 m 單位 , 則稱 m 為直線 L 的斜率 .

m =

水平位移 鉛直位移

(3)

斜率 m

課本頁次: 82

(1) m > 0 ( 上升 )

O x

y L

A

B 1

0 m

2 1

2 1

y y

m x x

(4)

斜率 m

課本頁次: 82

(1) m > 0 ( 上升 )

O x

y L

A

B 1

0 m

O x

y

1 m 2

m 3

m

2 1

2 1

y y

m x x

(5)

斜率 m

課本頁次: 82

(2) m < 0 ( 下降 )

O x

L y

A

B 1

0 m

2 1

2 1

y y

m x x

(6)

斜率 m

課本頁次: 82

(2) m < 0 ( 下降 )

O x

L y

A

B 1

0 m

O x

y

1 m

2 m

3 m

2 1

2 1

y y

m x x

(7)

斜率 m

課本頁次: 82

(3) m = 0 ( 水平 )

O x

y

L A B

1 m 0

(8)

斜率 m ( 補 充 )

課本頁次: 82

(4) m 不存在 ( 鉛直 )

O x

y

L A

B 沒有m

(9)

直線的斜率

課本頁次: 83

A x1, y1 ,B x 2, y2

(1) (x1 x2,) 則 L 的斜率

1

2 1

m y2 y x x

(2) (x1 x2), 則稱直線 L 沒有斜率 為直線 L 上相異兩點﹐

若 L 非鉛直線

若 L 為鉛直線

(10)

例 1設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 (1) 求直線 OA 、直線 AB 、直線 OB 的斜率﹒

解: 1 0

2 0

0 1 3 2

mOA

mAB

1

2

1 0 0

3 0

OB

m 0

課本頁次: 83

(11)

例 1

解:

設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 (2) 已知 C(200,k) 在直線 OA 上﹐求 k 的值﹒

0 200 0

k

1 0 2 0

CO AO

m m

0 1 0

k

直線上任相異兩點的斜率相等

課本頁次: 83

(12)

例 1

解:

設 O(0,0),A(2,1),B(3,0) 為坐標平面上三點 (3) 若點 D(5, 2)﹐ 則 A﹐B﹐D 三點是否共線?

0 1 3 2

2 0 5 3

 

mAB

mBD

1

1

A﹐B﹐D 三點共線

課本頁次: 83

(13)

隨 1設 A(0,2),B(3,0),C(9,-4) 為坐標平面上三點 (1) 求直線 AB 和直線 BC 的斜率﹒

解: 0 2

3 0

4 0 9 3

 

mAB

mBC

2

3 2

3

A﹐B﹐C 三點共線

(2) 判斷 A﹐B﹐C 三點是否共線﹒

解:

課本頁次: 84

(14)

隨堂 如圖﹐直線與 x 軸正向的夾角為 150﹐

(1) 求直線的斜率﹒

解:

3,0

B

0 1 1 3 0 3 m  

 0,1

可設 A

(2) 驗證此斜率與 證:

課本頁次: 85

的值相等 tan150 tan 30 1

3 m

      tan150

∴ 斜率

A

B 30

ABO  

30

1 2

3

(15)

甲、點斜式

( 3,1) A

( , ) P x y

) 3 (

x

1 y 1

2 動點

定點 3)

( x

1 y

1

( y 1) 2 [x ( )]3

L 求通過點 A( 3,1) 且斜率為 1 的直線方程式 .

2 解:

課本頁次: 85

(16)

甲、點斜式

通過點 A x y( ,0 0)且斜率是 m 的直線方程式為

0 0

( y y ) m(x x )

0 0

( , ) A x y

( , ) P x y

x x0

y y0

m 動點

定點 x x0

y y0

0 0

( y y ) m(x x )

L

課本頁次: 85

(17)

例 2

解:

求下列各直線的方程式:

(1) 通過點 (3, 1)﹐ 斜率為 2 的直線﹒

1 2 ( 3)

y   x   2x y 7 0

解:

(2) 通過點 (3,  2)﹐ 斜率為 0 的直線﹒

( 2) 0( 3)

y    x y  2 0 另解: 斜率為 0  水平線

2

y   (3, 2) y  2

課本頁次: 86

(18)

例 2

解:

求下列各直線的方程式:

(3) 通過點 (0, 5)﹐ 斜率為 5 1 ( 0)

y    2 x x 2y 10 0 的直線 1

2

課本頁次: 86

(19)

隨 2

解:

求下列各直線的方程式:

(1) 通過點 (0,  1) 且斜率為 3 的直線﹒

 1 3 0

y     x 3x y 1 0

解:

(2) 通過點 (2,  1) 且斜率為

 1 2 2

y    3 x 2x 3y 7 0 的直線 2

3

課本頁次: 86

(20)

隨 2

解:

求下列各直線的方程式:

(3) 通過點 (2, 5) 且沒有斜率的直線﹒

沒有斜率  鉛直線

2

x (2,5)

2 x

課本頁次: 86

(21)

例 3

解:

設 A(4﹐0)﹐B(3﹐4) 為坐標平面上兩點 . (1) 求直線 AB 的斜率﹒

0 ( 4) m 4 3 

4 4

 1

(2) 求直線 AB 的方程式﹒

解: 過點 A(4﹐0)﹐ 斜率為 4 0 4( 4)

y x

   4x y 16 0

課本頁次: 86

(22)

隨 3

解:

(1) 求過 A(33, 11)﹐B(1, 5) 兩點的直線方程式﹒

 直線 AB 的斜率 ( 11) 5

m 33 1

16 32

1 2

 利用點斜式

過點 B(1, 5)﹐ 斜率為 5 1 ( 1)

y 2 x

    x 2y 11 0 1

2

課本頁次: 87

(23)

隨 3(2) 求過 A(3, 1)﹐B(3, 5) 兩點的直線方程式﹒

課本頁次: 87

解: x 坐標相等 鉛直線

3

x

(3,5) B

3 x (3, 1) A

(24)

兩點式 ( 補充 )

直線通過相異兩點 A x1, y1 ,B x 2, y2

(1) x1 x2 , 則直線方程式為

1

1 2 1

1

y2

x

y y x

y x x

(2) x1 x2 , 則直線方程式為 x x1 ( 鉛直 )

課本頁次: 87

(25)

截距

直線 L 的 x 截距為 a  L 與 x 軸交於 (a,0) 直線 L 的 y 截距為 b  L 與 y 軸交於 (0,b)

x y

0 6 0

3

2 6 0 x y  

O x

y

6

3 x 2y  6 0 (6,0) (0,3)

x 截距

y 截距

x 截距

y 截距

課本頁次: 87

(26)

例 4

解:

求下列直線方程式:

(1) 斜率為 1

 且 y 截距為 3 的直線﹒2 3

y截距為  直線過點(0 ),3

 設動點 ( , )x y 0 x

3

y 1

  2 2 6 x y

  

2 6 0 x y

課本頁次: 87

(27)

例 4 求下列直線方程式:

(2) x 截距為 4 y 截距為 3 的直線 解: x截距為- 4 直線過點(4,0)

3

y截距為  直線過點(0 ),3

 設動點 ( , )x y 0 x

3 y

0 (4)

3 0 3

4 3x 4 y 12

3x 4y 12 0

課本頁次: 87

(28)

斜截式

斜率為 m y 截距為 b 的直線﹐其方程式為 y mx b

證:斜率為m, y截距為b A(0, )b

(0, ) A b

( , ) P x y

0 x

y b

m

動點

定點 0

x y b

( y b) m(x 0)

y mx b

L

課本頁次: 88

(29)

截距式

x 截距為 a 且 y 截距 為 b

x y 1 a  b 證:

(ab 0) 的直線﹐其方程式為

y截距為b B(0, )b x截距為a A a( ,0)

x a 0 y

0 a

0 b

ay bx ab

  

bx ay ab

bx ay ab ab ab

b 1 x

a

y

課本頁次: 88

(30)

2 ( 5) 2 5 y x    y x

隨 4

解:

求下列直線方程式:

(1)

解:

(2)

2 y3 1 3x 2 6 x    y

 

斜率為 2 且 y 截距為 5 的直線﹒

x 截距為 2 且 y 截距為 3 的直線﹒

課本頁次: 88

(31)

直線的一般式

設直線 L : ax + by + c = 0﹒

(1) 若 b  ﹐0 L 的斜率為 a

b

(2) 若 b  ﹐0 L 為無斜率的鉛直線 .

證: ax by c   0 (a2 b2 0) by   ax c

(1) a

b y x c

b

0 b

斜率

課本頁次: 88

(32)

直線的一般式

設直線 L : ax + by + c = 0﹒

(1) 若 b  ﹐0 L 的斜率為 a

b

(2) 若 b  ﹐0 L 為無斜率的鉛直線 .

證: ax by c   0 (a2 b2 0) by   ax c (2)

x ac

  0

b

鉛直線 ( 無斜率 )

課本頁次: 88

(33)

例 5

解:

求直線 L : 5x 2 y  3 0 的斜率

5 3 5 2 3 0

2 2 x y     y x L 的斜率為 5

2 另解:

( 代公式 )

斜率

課本頁次: 88

(34)

3

3x y   4 y x 4

3 3 y 2 x

  

隨 5

解:

求下列直線的斜率:

3x y  4 (1)

斜率

解:

2 3 1 x y (2)  

斜率 1 3 2 6

2 3 x y

x y

  

課本頁次: 89

(35)

乙、直線的平行與垂直

平行線的斜率

設兩相異直線 的斜率分別為

1, 2

L L m m1, 2

1 2

L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然

課本頁次: 89

(36)

平行線的斜率

設兩相異直線 的斜率分別為

1, 2

L L m m1, 2

1 2

L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然

證: L1

L2

O 1 x

y

m1

m2

  

1 2

m m

L1 // L2

同位角相等

AAS

課本頁次: 89

(37)

平行線的斜率

設兩相異直線 的斜率分別為

1, 2

L L m m1, 2

1 2

L L , 則 m1 m2 ﹒反之亦然

證: L1

L2

O 1 x

y

m1

m2

  

1 2

m m

L1 // L2 同位角相等

SAS

課本頁次: 89

(38)

乙、直線的平行與垂直

垂直線的斜率

設兩相異直線 L L1, 2 的斜率分別為 m m1, 2 (1) 若 L L1, 2互相垂直 , 則 m m1 2  1

(2) 若 m m1 2   , 則 1 L L 互相垂直 . 1, 2

課本頁次: 90

(39)

垂直線的斜率

設兩相異直線 的斜率分別為

1, 2

L L m m1, 2

1 2

L L , 則 m m1 2   ﹒反之亦然﹒ 1 證:

2 2 2

OA OB AB

L1

L2

1 x

O x

y

m1

m2

(1, 1) A m

(1, 2) B m

1 2

L L

AOB  90

1 m 12 1 m 22 (m1 m2)2

2  2m m1 2 m m1 2  1

課本頁次: 90

(40)

例 6

解:

A(3, 2)﹐B(1, 0), C(1, k) 為 ABC 的 三頂點且  A 90 k 的值

90

 A   AB AC

mAB mAC  1 2 0 

3 1

  2

3 1

k

 1

1 2 1 2 2

k

  k 6

A B

C

課本頁次: 90

(41)

隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:

O x y

A

B C

D (1) AB CD

解:

mAB 4 1 7 2

3

5 mCD 6 9

1 4

 

3

5 ( )

AB CD

m m

課本頁次: 91

(42)

隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:

O x y

A

B C

D (2) AD BC

解:

( )

mAD 6 1 1 2

 

5

3 mBC 9 4

4 7

5

3

AD BC

m m

課本頁次: 91

(43)

隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:

O x y

A

B C

D (3) AB AD

解:

mAB 4 1 7 2

3

5 ( )

mAD 6 1 1 2

 

5

3

AB AD 1

m m

課本頁次: 91

(44)

隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:

O x y

A

B C

D (4) AC BD

解:

mAC 1 9 2 4

4 ( )

mBD 4 6 7 ( 1)

 

1

4

AC BD 1

m m

課本頁次: 91

(45)

隨 6設 A(2, 1), B(7, 4), C(4, 9), D(1, 6) 為坐標平面上四點﹐選出正確的選項:

O x y

A

B C

D (5)

解:

( ) 四邊形 ABCD 為正方形

課本頁次: 91

(46)

平行線 ( 補充 )

: =

L ax by  c  斜率

: 0

L ax by c   設直線

ax by k

1// , 1

L L L

則設 方程式為

2 2

(a b 0)

(k  c k,   )

1 : ( ) =

L ax by k k    斜率c

a

b a

b 1 //

L L

斜率相等兩線平行 ( 鉛直線和兩線重合除外 )

課本頁次: 91

(47)

垂直線 ( 補充 )

: =

L ax by    斜率c

: 0

L ax by c   設直線

bx ay k

2 , 2

L L L

則設 方程式為

2 2

(a b 0) (k  )

2 : =

L bx ay k  斜率

a

b b a

L L2

=- 1

斜率相乘兩線垂直 ( 鉛直線和水平線除外 )

課本頁次: 91

(48)

例 7

解:

已知點 A(3, 1) , 直線 L : 2x y 0

(1) 求過 A 點且與 L 平行的直線 之方程式 L1 L1 : x 2y k

 3,1

代入 A

2 1 5 3

    k

1 : 2y 5 L x

課本頁次: 91

(49)

例 7

解:

已知點 A(3, 1) , 直線 L : 2x y 0

(2) 求過 A 點且與 L 垂直的直線 之方程式 L2 L2 : 2x y k 

 3,1

代入 A

3 1 5 2

k  

2 : 2x y 5

L  

課本頁次: 91

(50)

隨 7

解:

已知直線 L : 3x 2y  5 0

(1) 求過原點且與 L 平行的直線方程 式﹒

L1 : 3x 2 y k

 0,0

代入 O

0 0

3 2 0

     k

1 : 3x 2 y 0

L

1//

L L

課本頁次: 91

(51)

隨 7

解:

已知直線 L : 3x 2y  5 0

(2) 求過原點且與 L 垂直的直線方程 式﹒

L2 : 2x 3y k

 0,0

代入 O

0 0

2 3 0

     k

2 : 2x 3y 0

L

L2 L

課本頁次: 91

(52)

例 8

解:

A(6, 0),B(2, 10), 求AB 的中垂線方程式

AB ( 6 ( ) , )

2

2 0 2

10 (2,5)

AB 6 (2)

0 10 10 5

8 4

 

AB 4

5

AB x 2

5

y 4

5 4x 8 5y 25

  4x 5y 17 0 中垂線斜率

中垂線方程式 斜率=

中點=

課本頁次: 92

(53)

例 8

另解:

A(6, 0),B(2, 10), 求AB 的中垂線方程式

A B

( , ) P x y PA PB

2 2

(x 6) ( y 0) (x  ( 2))2 ( y 10)2

2 2 2 2

(x 6) y (x 2) ( y 10)

12x 36 4x 4 20y 100

    16x 20y 68 0

4x 5y 17 0 中垂線上的點至兩端點等距離

課本頁次: 92

(54)

隨 8

解:

A(-2, 6),B(4, 3), 求 AB 的中垂線方程式

AB ( 2 4 , )

2

6

2

3 9 (1, )

2 AB 2 4

6 3 3 1

6 2

 

AB 2

AB x 1

9 y 2

2 2 2 9

x y 2

   4x 2y 5 0 中垂線斜率

中垂線方程式 斜率=

中點=

課本頁次: 92

(55)

丙、二元一次聯立方程式的解 ( 補 充 )

1 : 1 1 1 0 ( 1 1 0) L a x b y c   a b 設直線

 1 若 與L1 L2交一點 1 1

2 2

a b a b

 2 L1 / /L2 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

 3 若 與L1 L2重合 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

2 : 2 2 2 0 ( 2 2 0) L a x b y c a b

課本頁次: 92

(56)

例 9

解:

解下列聯立方程式

(1) 6

2 2 3

3x y x y

 

11x 0

0

 x

 3

代入

2 y

3

2

1 3

兩線交一點

0, 2 x y 解為

 1

2x 3y 6 9x 3y  6

課本頁次: 92

(57)

例 9

解:

解下列聯立方程式 (2)

4 2

2 3 6 6

x y x y

 

 0 14

2 6

3

2 6

兩線平行

無解

矛盾

4x 6y 12 4x 6y  2

4

2

 ( 1)

課本頁次: 92

(58)

例 9

解:

解下列聯立方程式 (3)

4 6 1

3

2 2 y 6

x y x

2 6

3

12 6

兩線重合

無限多解 兩式相同 4x 6y 12 4x 6y 12

4

2

課本頁次: 92

(59)

隨 9 判斷下列二元一次聯立方程式的幾何意義為

(1)

交一點 , 平行或重合 .

6 10

6 5

5 10

x y x y

5

6

兩線交一點

6

5

(2) 2

2 8

10 y x

y x

  

兩線平行

斜率 2= 斜率 2=

課本頁次: 94

(60)

隨 9 判斷下列二元一次聯立方程式的幾何意義為

(3)

交一點 , 平行或重合 .

(4)

2 3 1

3x 2 y 6 x y



1

3

2

1 6

兩線重合

1 2

3 =

1 1 x

y

   鉛直線 兩線交一點

水平線

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