空間向量的坐標表示法1 - 2

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第 1 章　空間向量

1-2

空間向量的坐標表示法 1 - 2

重點一　空間坐標系

如右圖所示，P（3，4，5）在 x 軸、xy 平面、y 軸的正射影分別 為 A、B、C，試問：

1 A 點坐標為　　　　，B 點坐標為　　　　， C 點坐標為　　　　。（6 分）

2 OP = 　　　　，PC = 　　　　。（4 分）

解：¹ A（3，0，0），B（3，4，0），C（0，4，0）

2 OP =

√

PC =

√

例題 2

設 A（0，3，3），B（2，3，7），C（4，3，2），則△ABC 之重心坐標為　　　　。

（10 分）

解：_{△ABC 之重心坐標為}

（

3 ，3 + 7 + 2

3

）

　　　　　　　　　 =（2，3，4）

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例題 3

若點 P 到 x 軸的距離為 5，且 P 在 xy 平面的投影點為（2，−3，0），則 P 點坐標為 　　　　。（10 分）

解：P 在 xy 平面投影點為（2，−3，0）　∴ P（2，−3，c）

P 在 x 軸垂足為 H（2，0，0）

由 PH =

√

√

例題 4

A 為空間直角坐標系中第一卦限的點，若 A 到 xy 平面的距離為 4，到 z 軸距離為

√74，到 y 軸距離為 √41，則 A 點坐標為　　　　。（10 分）

解：設 A（a，b，c），a > 0，b > 0，c > 0 依題意：

c = 4 ………1

√

√

∴ A 點坐標為（5，7，4）

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第 1 章　空間向量

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重點二　空間向量的加、減法與係數乘法

設 a^⇀ =（0，1，6），b^⇀ =（2，3，5），試求：

1 │a^⇀ − b^⇀│。（5 分）

2 │2a^⇀ − b^⇀│。（5 分）

解：¹ a^⇀ − b^⇀ =（0 − 2，1 − 3，6 − 5）=（−2，−2，1）

⇨│a^⇀ − b^⇀│=

√

2 2a^⇀ − b^⇀ =（0，2，12）−（2，3，5）=（−2，−1，7）

⇨│2a^⇀ − b^⇀│=

√

例題 6

A（1，13，2），B（5，0，10），C（− 1，3，4），O 為原點，試求：

1 2A^⇀B − 3A^⇀C = 　　　　。（5 分）

2 ABCD 為平行四邊形，求 D 點坐標為　　　　。（5 分）

解：¹ 2A^⇀B = 2（5 − 1，0 − 13，10 − 2）=（8，−26，16）

−3A^⇀C = −3（−1 − 1，3 − 13，4 − 2）=（6，30，−6）

2A^⇀B − 3A^⇀C = 2A^⇀B +（−3A^⇀C）

=（8 + 6，−26 + 30，16 − 6）

=（14，4，10）

2 令 D（x，y，z）

利用 C^⇀D = B^⇀A

⇨（x + 1，y − 3，z − 4）=（−4，13，−8）

∴ x = −5，y = 16，z = −4 故 D 點坐標為（−5，16，−4）

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重點三　分點公式與線性組合

坐標空間中，A（3，0，1），B（0，3，4），P ∈ AB，AP：BP = 2：1，則 P 點坐標為 　　　　。（10 分）

解：如右圖，利用分點公式得 P 點坐標為

（

2 + 1 ，1 × 0 + 2 × 3

2 + 1 ， 1 × 1 + 2 × 4 2 + 1

）

=（1，2，3）

例題 8 ^{（分點公式）}

坐標空間中，A（4，1，13），B（−1，6，5），P ∈ A^↔B，AP：BP = 3：1，則 P 點坐標 為　　　　。（10 分）

解：P ∈ A^↔B

1 若 P 在 AB 上，如圖1，利用內分點公式得 P 點坐標為

（

3 + 1 ，1 × 1 + 3 × 6

3 + 1 ，1 × 13 + 3 × 5

3 + 1

）

（

）

2 若 P 在 B 之外側，如圖2，

又 AP：BP = 3：1　∴ AB：BP = 2：1 設 P 點坐標為（x，y，z），利用內分點公式得

（

2 + 1 ，1 × 1 + 2 × y

2 + 1 ，1 × 13 + 2 × z

2 + 1

）

⇨（x，y，z）=

（

）

（

）

故 P 點坐標為

（

）

（

）

圖! 圖@

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第 1 章　空間向量

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例題 9

坐標空間中，已知 O^⇀A =（1，3，1），O^⇀B =（0，2，−1），

1 若 O^⇀C = 1 3 O

⇀A + 1 2 O

⇀B，試描繪 C 的位置，並求 O^⇀C 的坐標表示。（6 分）

2 若 O^⇀P = sO^⇀A + tO^⇀B，其中 0 ≤ s ≤ 2，0 ≤ t ≤ 3，試問所有 P 點所形成的圖形為何？

（4 分）

解：_{1 O}^⇀_{C = 1}

3（1，3，1）+ 1

2（0，2，−1）

=

（

6

）

2 如圖2所示

O^⇀P = sO^⇀A + tO^⇀B，其中 0 ≤ s ≤ 2，0 ≤ t ≤ 3 O^⇀P 的終點落在平行四邊形 OEFG 中（含邊界）

因此 P 點所形成的圖形為平行四邊形 OEFG

例題 10

如右圖所示，ABCD－EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。

若 P 點在立方體之內部且滿足 A^⇀P = 2 5 A

⇀B + 1 2 A

⇀D + 2 3 A

⇀E，

則 P 點到直線 AB 之距離為　　　　。（10 分）

解：^{如右圖，建立坐標系}

則 A^⇀B =（1，0，0），A^⇀D =（0，1，0），A^⇀E =（0，0，1）

∵ A^⇀P = 25 A^⇀B + 12 A^⇀D + 23 A^⇀E

∴ A^⇀P = 25（1，0，0）+ 1

2（0，1，0）+ 2

3（0，0，1）

=

（

）

⇨ P 點坐標為

（

）

因此 P 到直線 AB 之距離 = P 到 x 軸之距離 =

√ ^（

^）

^（

^）

圖!

圖@