Sec1-4 對數函數與圖形
重點整理
1. 反函數：
(1) 設 A、B為兩非空集合，函數 f A: B，g B: A，若滿足"對任意
x A ， 恆 有 g f x ( )g f x ( ) x" 且 " 對 任 意 y B ， 恆 有
( ) ( )
f g y f g y y"則稱g為 f 的反函數，以g f1表之，亦稱 f 為g
之反函數，以 f g1表之，即 f 與g互為反函數。NOTE ：(f1)1 f
(2) 設函數 f A: B，則當滿足x1x2 f x( )1 f x( )2 時，即 f 把A中的不 同元素對應到B中的不同元素時，則稱 f 為一對一函數。
(3) 設函數 f A: B，則當 f 為一對一函數時，函數 f 的反函數才存在。且
反函數 f1: ( )f A A，其中 f A( )y y| f x x A( ),
(4) 函數與其反函數兩者的圖形對稱於直線L y: x。 Pf ：
設點( , )a b 在 f 的圖形上， f a( ) b a f1( )b ( , )b a 在 f1的圖形上
2. 指數函數與對數函數的關係：
設 f x( )與g x( )分別表同以a為底數的指數函數與對數函數，即 f R: R， ( ) x
f x a ；g R: R，g x( ) log ax，其中a0，a1，則 f x( )與g x( ) 互為反函數。即y a x與ylogax的圖形對稱於直線L y: x。
Pf ：
x R，g f x ( )g f x ( ) logaax x；
y R
， f g y ( ) f g y ( ) alogay y
3. 對數函數的基本性質：
(1) 對數函數的圖形： yloga x，a0，a1
(2) 當a 1時，則："0x1 x2loga x1loga x2" 嚴格遞增函數；
(3) 當0 a1時，則："0x1x2loga x1logax2" 嚴格遞減函數；
(4) 當a 1時， f x( ) log a x的圖形凹向下，即 1 2 ( )1 ( )2 ( )
2 2
x x f x f x
f
；
(5) 當0 a1時， f x( ) log a x的圖形凹向上，即 1 2 ( )1 ( )2 ( )
2 2
x x f x f x
f
；
(6) 不論a為任意不等於1 的正數，恆有log 1 0a ，即函數ylogax的圖形 恆過點(1,0)。
(7) 函數yloga x圖形的漸近線為y軸。
4. 對數不等式：
(1) 若a1，loga f x( ) log ag x( )，則：
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
x g x f
x g
x f
(2) 若0 a 1，loga f x( ) log a g x( )，則：
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
x g x f
x g
x f
