3-2-2空間中的直線與平面-空間坐標系

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(1)第三冊 2-2 空間中的直線與平面-空間坐標系【定義】空間坐標：在空間中取三條兩兩互相垂直的直線做為坐標軸，分別稱為 x 軸、 y 軸、 z 軸，使它構成一個右手系方向。在空間坐標中， x 軸與 y 軸所在的平面稱為 xy 平面， y 軸與 z 軸所在的平面稱為 yz 平面， z 軸與 x 軸所在的平面稱為 zx 平面。此三個平面將空間分為八個區域，每一區域稱為一個卦限，通常我們將坐標皆為正的那個卦限稱為第 Ι 卦限。坐標軸： x 軸、 y 軸、 z 軸稱之。坐標平面： xy 平面、 yz 平面、 zx 平面稱之。坐標：若 P 為空間中一點，過 P 點分別作一平面與 x 軸、 y 軸、 z 軸垂直，則這三平面依次與 x 軸、 y 軸、 z 軸交點的坐標為 a, b, c ，分別稱為 P 點的 x 坐標、 y 坐標、 z 坐標，而 (a, b, c) 就稱為 P 點的坐標。 z. c P y b a x. 兩點間的距離：設 P1 , P2 為空間中的任意兩點，其坐標分別為 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) ，則此兩點的距離. P1 P2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 。. P1(x1,y1,z1) P2(x2,y2,z2). 15.

(2) 【問題】 1. 設 A, B 為空間中的任意兩點，試問滿足 PA = PB 之點 P 所成圖形為何？ 2. 若 P 為空間中一點，則點 P 在三個坐標平面上的正射影及點 P 到三個坐標面的距離為何？點 P 在三條坐標軸上的正射影及點 P 到三條坐標軸的距離為何？【定義】方向餘弦：空間中向量 OP = (a, b, c) ，則其方向餘弦為 (cos α , cos β , cos γ ) ，其中 α , β , γ 分別為向量 OP 與 x 軸正向、 y 軸正向與 z 軸正向的夾角，且 0 ≤ α , β ,γ ≤ π 。 a b c 可得 (cos α , cos β , cos γ ) = ( , , )。 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c a +b +c a + b2 + c2. γ α. P. β. 【性質】 1. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 2. ⎛ ⎞ ⎛ a b ⎟ +⎜ = ⎜⎜ ⎜ 2 2 2 2 ⎟ 2 2 ⎝ a +b +c ⎠ ⎝ a +b +c 2. sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 。 3. cos 2α + cos 2β + cos 2γ = −1 4. 用長度及角度來形容空間中的點：. 2. ⎞ ⎛ c ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎠ ⎝ a +b +c. 2. ⎞ ⎟ = 1。 ⎟ ⎠. OP = (a, b, c) = (| OP | cos α , | OP | cos β , | OP | cos γ ) 。【問題】 1. 是否任給三個角度都可構成空間中某一點的方向餘弦？【問題】 1. 設點 P 的坐標 (a, b, c) ，點 P 在 xy 平面與 x 軸的投影分別為 Q, R ，試問 Q 點在 x 軸的投影點是否為 R 點？(即點 P 直接投影到 x 軸上定坐標，結果是否相同？) 【定理】三垂線定理：若 PQ 垂直平面 E 於 Q 點，且直線 QR 垂直平面 E 上的直線 L 於 R 點，則直線 PR 與直線 L 垂直。. 16.

(3) P. Q. R. E. L. 證明：設 O 是直線 L 上異於 R 的一個點， 2. 2. 則由 PQ ⊥ OQ ⇒ PQ + OQ = OP 2. 2. 2. 2. 2. 2. 由 PQ ⊥ QR ⇒ PQ + QR = PR 由 QR ⊥ OR ⇒ QR + OR = OQ 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 可得 PR + OR = PQ + QR + OR = PQ + OQ = OP 【問題】 1. (三垂線定理的逆命題)若直線 PQ 垂直平面 E 於 Q 點，直線 PR 垂直平面 E 上不過點 Q 的一直線 L 於 R 點，則 QR 垂直直線 L 於 R 點？ 2. 設點 P 在平面 E 上的正射影為點 Q，點 Q 在平面 E 上的一直線 L 的正射影為點 R ，直線 L 上異於點 R 的一點 S ，試問 P, Q, R, S 這些點組成何種形狀的空間圖形？組成幾個直角三角形？. 17.

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