11
空間向量
11.1
空間概念
空間中點、 線、 面的公設(空間中點線面之間存在直觀上的基本關係): 1. 相異兩點可以決定一直線; 一直線至少含有相異的兩點。 2. 不共線的三點可以決定一平面。 3. 若直線 L 有相異兩點落於平面 E 上, 則直線L 在平面 E 上。 4. 若相異兩平面相交,則此兩平面相交於一直線。 空間中決定平面的條件: 1. 不共線的三點 2. 一線及線外一點 3. 相交於一點的兩直線 4. 兩平行線 空間中相異兩直線的關係: 1. 兩直線相交一點 (此時兩直線必共平面) 2. 兩直線平行 L//M (此時兩直線必共平面) 3. 歪斜不相交 (不相交又不平行),此時兩直線L, M 為歪斜線(此時兩線不共平面)。 E M L −⇀n E L M E L M L′ 線與平面的關係:2 高中數學講義
空間概念
2. 直線L 落於平面E 上。(直線上的點均在平面上) 3. 直線L 與平面 E 相交一點 P。 E L E L −⇀n E P L 平面的垂線: 若直線 L 和平面 E 相交於 P 點, 平面 E 上通過 P 點的任一直線都與 L 垂直, 則稱 直線 L和平面 E 垂直。記為 L⊥E P L E 空間垂直線 平面與平面的關係: 1. 兩平面平行 (沒有交點) 2. 兩平面相交一線 3. 兩平面重合 E1 E2 E2 E1 E2 L E1 E2 直線、 平面間垂直與平行的關係: 1. 與直線 L 垂直的直線有無限多個 (不同方向的直線) 2. 與直線 L 垂直的平面有無限多個 (平面均為平行面) 3. 與直線 L 平行的直線有無限多個 (方向相同)4. 與直線 L 平行的平面有無限多個 (平面法向量方向不同) 1. 與平面 E 垂直的直線有無限多個 (均為平行線) 2. 與平面 E 垂直的平面有無限多個 (法向量方向不同) 3. 與平面 E 平行的直線有無限多個 (不同方向的直線) 4. 與平面 E 平行的平面有無限多個 (相同法向量的平面) 三垂線定理: 設直線 ←→AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B, C, D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C , 則 AC⊥CD 利用 ∠ABC = ∠ABD = ∠BCD = 90◦, 直角三角形畢氏定理: AD2 = AB2 + BD2 = (AC2− BC2) + (BC2+ CD2) = AC2+ CD2 ⇒ ∠ACD = 90◦ 向量觀點: 已知 −⇀ AB ·−⇀BC = −⇀0 −⇀ BC ·−⇀CD = −⇀0 ⇒ −⇀ AC ·−⇀CD = (−⇀AB +−⇀BC) ·−⇀CD = −⇀0 E A B C D L 意義: 若L1 在E上, L2 不在 E 上, 它們相交於一點, 則要判別 L1, L2 是否互相垂直時, 可將 L2 在E 上的正射影 L3 , 則只要判別 L1, L3 是否垂直即可。 三垂線定理的逆定理: 設直線←→AB 垂直於平面E 於B,若B, C, D 都在平面E 上, 且AC⊥CD 於 C , 則BC⊥CD 平行關係的判定與性質: 1. 平面E 外的一直線 L 和平面上的一直線平行, 則直線 L//E 。 2. 直線L 和一平面E 平行, 經過 L 的平面E′ 交平面E 於一線 L′ , 則 L//L′ 3. 平面E上的兩相交直線都平行於一平面 E′, 則兩平面E//E′ 。 4. 兩平行平面與第三個平面相交, 則其兩交線互為平行。 垂直關係的判定與性質: 一直線 與一個平面上的兩相交直線都垂直 則直線 垂直於此平面。
4 高中數學講義
空間概念
2. 若兩直線同垂直於一平面, 則此兩直線互相平行。 3. 若平面 E 包含另一平面 E′ 的垂線, 則兩平面 E⊥E′ 。 4. 若兩平面 E, E′ 互相垂直,且交線為L, 若 L′ 在平面E 上,且 L⊥L′ 則L′⊥E′ 。 5. 平面E 上的一直線L 與另一斜直線 L′ ( L′ * E )垂直的充要條件是 L 與L′在平面 E 上的正射影垂直。 三垂線逆定理。 兩面角: 若 AB, BC 分別在兩平面 E1, E2 上, 且均與兩平面相交的稜邊垂直, 則 ∠ABC 為其兩面夾 角。 E2 E1 B A θ θ C L1 L2 五個正多面體: 正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體 頂點個數 V 4 8 6 20 12 面個數 F 4 6 8 12 20 稜長個數 E 6 12 12 30 30 尤拉公式 V + F − E = 2 2 2 2 2 2 每面正 N 邊形 3 4 3 5 3正四面體: 每一面均為稜長 a 的正三角形。 A C B D h 1. 高 h = √ 6a 3 2. 表面積 =√3a2 3. 體積 = 13 × √3a2 4 × h = √ 2a3 12 4. 外接球半徑 R = 3h4 = √ 6a 4 5. 內切球半徑 r = 1h4 = √ 6a 12 6. 兩面夾角餘弦cos θ = 13 7. 外接球球心 O 到任兩頂點夾角α, ⇒ cos α = −1 3 正八面體: 連接正四面體各稜長的中點, 為正八面體。 正八面體體積: 為同稜長正四面體體積的4倍。 正立方體的八個頂點中, 任四頂點形成的正四面體有兩類: 稜長為 √2a 及 a 兩種。 正六面體(正立方體): 每面均為稜長a 的正方形 1. 斜對角線長 √3a 2. 外接球半徑 R = √ 3a 2 3. 內切球半徑 r = 1a2 A B C D E F G H A D C B O 四角錐體: 底面為四邊形, 側面為三角形,稜邊共同相交一點。
6 高中數學講義
空間概念
例題
範例 1: 一長方體如圖: 若已知AB = 4, BC = 12, AE = 3 A B C D E F G H 1. 求長方體的稜邊中與 AB 不共平面的邊長 (歪斜線) 有幾個? 4 2. 求AG 長? 13 3. 求cos ∠ABH =? 4 13 4. △ABH 是否為直角三角形? yes 5. 求△ABH 面積? 6 √ 17 演練 1a : 承例1: 求長方體的稜邊中與 AF 不共平面的邊長 (歪斜線)有哪幾個? 6;DH, HG, CG, CD, BC, EH演練 1b : 承例1: 比較下列三角形面積大小: △AF H, △BEG, △CHF, △DGE? 全等
演練 1c : 承例1: 求 BH, CE, DF 長? 13 演練 1d : 將相同的兩個長、 寬、 高 分別為5,4,3單位長方體之全等的面重合組成一個大的長方體, 則 這個長方體的對角線最長為? 單位 5 √ 5 演練 1e : 選出下列正確選項? (1) 空間中兩相異平面可能恰相交一點(2)空間中一直線與平面可能恰 相交一點(3) 空間中若一直線與兩平行線都相交,則這三直線共平面(4)空間中兩直線不相 交, 則這兩直線互相平行 (5) 空間中兩相異平面 E, F 相交於一線 M, 若平面 E 上一直線 L 與平面 F 不相交, 則 L//M (6) 空間中若一直線過平面上一點與平面外一點, 則此直線 與平面恰相交一點 (7) 直線L, M 分別在兩平行面 E, F 上,則L//M (8)將一張 A4的紙 上下對摺, 再上下對摺一次, 則這些摺痕線互為平行線 2,3,5,6,8 演練 1f : 選出下列正確選項? (1)空間中一直線與一平面平行,則此直線與平面上的任一直線平行(2) 空間中一直線與一平面垂直於點 P , 則此直線與平面上過 P 點的任一直線垂直 (3) 空間中 一直線 L 與另一直線M 平行, 則此直線L 必平行於包含直線 M 的平面 E (4) 一直線與 兩相交的平面都平行,則此直線與這兩平面的相交線亦平行(5)空間中一直線和平面上兩相 交直線都垂直, 則此直線必垂直於這平面 2,4,5 範例 2: 邊長為1的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ , 則cos θ =?
cos θ = 1 3 A C B D h 演練 2a : 將長寬各為2,1 的長方形ABCD 沿對角線 AC 摺成兩互相垂直的平面, 求頂點B 和 D 的 距離? 17 √ 5 A B C D ⇒ A C B D
演練 2b : 正四面體ABCD 的稜 AB, AC, CD, BD 中點分別為 K, L, M, N 利用向量證明: 1. AB⊥CD hint:−⇀AB = −⇀a ,−⇀AC =−⇀b ,−⇀AD = −⇀c −⇀ AB ·−⇀CD = 0 2. KL// = NM −⇀ KL = 1 2( −⇀ b − −⇀a ) =−−⇀NM 範例 3: 求稜邊邊長為 a的正四面體的體積? √ 2a3 12 A C B D h 演練 3a : 稜邊邊長為 a的正四面體, 求兩不相交的稜邊的距離? √ 2 2 a A C B D F E H 演練 3b : 設A, B, C, D 為空間中相異四點, 且直線CD 垂直平面ABC, 已知 AB = BC = CD = 10, sin ∠ABC 為銳角,則 AD =? 6 √ 5 C B A D 範例 4: 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面的所夾的 兩面角為 θ , 求 cos θ =? 及錐頂點到底面的高 h = ? cos θ = 1 √ 3; h = a √ 2
8 高中數學講義
空間概念
B O D A C 演練 4a : 正八面體的每一面均為正三角形, 求稜邊邊長為 a 的正八面體體積? √ 2 3 a 3 B F E D A C 演練 4b : 平面 E 上有一直角三角形 ABC, 點 D 為斜邊 AB 中點, 若空間中一線 CE 垂直平面 E 於C 點,且已知 AC = 6, BC = 8, EC = 12 , 求線段 EA, EB, ED 長? EA = 6√5,EB = 4√13,ED = 12 5 √ 29 三垂線定理應用 範例 5: 平面外一點 A 垂直平面 E 於 B 點, 平面上 BC 垂直直線 ←→CD 於 C 點, 若 AB = 12, BC = 3, CD = 4, 求AD 長? 13 E A B C D 演練 5a : 平面外一點 A 垂直平面 E 於 B 點, 平面上 BC 垂直直線 ←→CD 於 C 點,CD 中點 M 若 AD = 13, BC = 3, CD = 4, 求AB及 AM 長? 12; √ 157 演練 5b : 平面外一點P 垂直平面上三角形OAC 於O 點,已知AC 中點B 且AC = 20 ,∠OAP = 60◦, ∠OBP = 45◦, ∠OCP = 30◦, 求 OP 長? 及∠P AC =? 5 √ 6;90◦ E P O C B A∠DAB = 60◦, ∠CAD = 90◦, 求CD 長? 20 √ 2 E A B C D 演練 5d : 如圖: 三角錐 P − ABC 中,∠P AB = ∠P AC = ∠ABC = 90◦ , 且 AB = 2, BC = √ 13, P C =√29, 求 1. 證明:P B⊥BC hint: 先說明 P A⊥△ABC, 再依三垂線定理 2. 側面 P BC 與底面 ABC 所成兩面角的大小? 60 ◦ A C B P 習題11-1 空間概念 1. 如圖: 邊長為2的正四面體 ABCD, 從頂點 D 對底面 ABC 作垂線 DH 交底面於 H 點, 求高 DH 的長度為何? A C B D h 2. 一長方體的稜邊共有幾組歪斜線? 四面體的稜邊有幾組歪斜線? 3. 將長寬各為4,3 的長方形 ABCD 沿對角線 AC 摺成兩互相垂直的平面, 求頂點 B 和 D 的距 離? √ 337 5 A B C D ⇒ A C B D 4. 下列有關空間敘述, 那些是正確? (A)過已知直線外一點, 恰有一平面與此直線垂直。 (B) 過已知直線外一點,恰有一平面與此直 線平行。 (C) 過已知平面外一點,恰有一直線與此平面平行。 (D)過已知平面外一點,恰有一平 面與此平面垂直。 (E) 過已知平面外一點, 恰有一平面與此平面平行。
10 高中數學講義
空間向量的坐標表示法
6. 請指出或說明下列敘述錯誤的地方? (A)平行於同一平面的兩相異直線必平行。(B) 垂直於同一直線的兩線戶相平行。(C) 任意兩相 異直線必有一公垂線。(D)兩相異直線若不相交,必平行。(E)過平面外一點,恰有一直線平行於 此平面。(F) 兩相異平面可能只交於一點。 7. 設直線 AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C, 且 AC = 2, BC = CD = 1, 則AD =?, AB =?習題
11-1
1. 2 √ 6 3 2. 4×12÷2 = 24, 1×6÷2 = 3 4. AE 5. 1/3 6. (A)可能相交。(B)三度空間 不真。(C) 二度空間不真。(D) 可 為歪斜線。(E) 無限多條。(F) 交 一線或不相交。 7. AD =√5, AB =√311.2
空間向量的坐標表示法
空間坐標系: 在平面上建立一直角坐標系, 過原點 O 作一直線, 使它同時與 x, y 軸互相垂直, 此直線稱為 z 軸。 依右手法則規定z軸正負方向, 就組成空間坐標系, 此三個軸稱為空間坐標軸;由x軸與y 軸 所決定的平面稱為xy 平面; 由y 軸與 z軸所決定的平面稱為yz 平面;由 x 軸與z 軸所決定的 平面稱為xz 平面;此三平面稱為坐標平面,坐標平面將空間分割成八個部份,稱為卦限,三個坐 標軸正向所圍成的卦限稱為第一卦限。 空間點P (a, b, c)對坐標軸與坐標平面的關係: 如圖: 空間向量 −⇀OP = (a, b, c) 與三坐標軸正向夾角 α, β, γ 關係: cos α = √ a a2+ b2+ c2, cos β = b √ a2+ b2+ c2, cos γ = c √ a2+ b2+ c2 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 空間兩點P1, P2距離: 若P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2),則P1P2 =p(a1− a2)2+ (b1− b2)2+ (c1− c2)2 空間兩點P1, P2 中點坐標: P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2)中點M = ( a1 + a2 2, b1 + b2 2, c1+ c2 2)垂足點 對稱點 距離 x 軸 (a, 0, 0) (a, −b, −c) √b2+ c2 y 軸 (0, b, 0) (−a, b, −c) √a2+ c2 z 軸 (0, 0, c) (−a, −b, c) √a2+ b2 xy 平面 (a, b, 0) (a, b, −c) |c| yz 平面 (0, b, c) (−a, b, c) |a| xz 平面 (a, 0, c) (a, −b, c) |b| x y z P(a, b, c) (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c) (a, b, 0) (a, 0, c) (0, b, c)
圖
1: 空間坐標點 P (a, b, c) 對坐標軸與坐標平面的關係 正四面體空間坐標: 稜邊邊長為√2單位的正四面體四個頂點坐標(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) A C B D h E F G H x y z A B C D 空間向量的坐標表示法: 坐標空間中, 始點 A(x1, y1, z1), 終點 B(x2, y2, z2) 的位置向量−⇀AB 其坐標 表示為−⇀AB = (x2− x1, y2− y1, z2− z1) 我們可將−⇀AB 平移,使得它的始點落於原點O上,使其位置向量−⇀AB =−⇀OP 設−⇀OP = (a, b, c),a, b, c 分別為−⇀OP 的x 分量、y 分量、z 分量。 O x y z P −⇀ AB空間中 P 點坐標 (a, b, c), 向量 −⇀OP 亦表示為 (a, b, c) 。 依前後文敘述判別 (a, b, c) 為點坐標或向 量。 零向量 −⇀O = (0, 0, 0) 向量相等: 向量−⇀a = (a1, a2, a3),− ⇀ b = (b1, b2, b3) 若−⇀a =− ⇀ b ⇔ a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 空間向量的加減與係數乘法: 設空間中兩向量 −⇀a = (x1, y1, z1),− ⇀ b = (x2, y2, z2),r 為實數 加法: −⇀a +−⇀b = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2) 減法: −⇀a −−⇀b = (x1− x2, y1− y2, z1− z2) 係數積: r−⇀a = (rx1, ry1, rz1)
12 高中數學講義
空間向量的坐標表示法
空間中內分點公式: 若點 P是空間中 AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則−⇀OP = n−⇀OA + mm + n−⇀OB = ( nx1+ mx2 m + n ,nym + n ,1+ my2 nzm + n )1+ mz2 O A P B 向量的線性組合: 若−⇀OA,−⇀OB 為空間中兩不平行的非零向量,若空間向量 OP−⇀能表示成 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB 其 中x, y 為實數,稱為 −⇀OA,−⇀OB 的線性組合。 若平面E 通過O, A, B 三點, 則平面E 上任一點 P ,則由向量和的平行四邊形法可知 −⇀OP 為 −⇀ OA,−⇀OB 的線性組合。 即 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB 其中 x, y 為實數。 若 O, A, B, P 四點不共平面, 因 x−⇀OA + yOB−⇀ 的終邊必在平面 E 上, 故 −⇀OP 不可能表示成 x−⇀OA + y−⇀OB 若 −⇀OD = r−⇀OA + s−⇀OB + t−⇀OC ,其中 r + s + t = 1 , 則 A, B, C, D四點共平面 1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底(互相垂直) 向量組 成。 (平面上任一向量 −⇀OP = a−⇀ex + b−⇀ey 可表示成兩不平行向量的線性組合, 其係數和未 必為1。若係數和為1,表示 P, A, B 共線) 2. 空間中直角坐標點 P (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)是由 (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)三基底 (互相垂直)向量的線性組成。 O −⇀u = 3−⇀a + 2−⇀b −⇀a −⇀ b −⇀v = s−⇀a + 1−⇀b −⇀w = 2−⇀a + t−⇀b例題
範例 1: 坐標空間中, 點 B(1, 2, 3) 對 z 軸的對稱點 B′ 的坐標為何? 又點 B 對 xy 平面的對稱點 R 坐標為何? E F G H x y z A B C D B′(−1, −2, 3), R(1, 2, −3)演練 1a : 空間坐標中一點 P (3, 4, 12) , 求 1. 求點 P 與原點的距離? 13 2. 點P 對Z 軸的垂足點 H 坐標? 及點P 到Z 軸的距離? H(0, 0, 12);d = 5 3. 點P 對xy 平面的垂足點 H′ 坐標? 及點 P 到 xy 平面的距離? H ′(3, 4, 0);d = 12 演練 1b : 空間坐標中原點 O(0, 0, 0)及一點 P (−3, 2, −6) , 分別求OP 與三個坐標軸所夾的角之餘 弦值? −3 7 , 2 7, −6 7 演練 1c : 求空間向量與x、y、z 三坐標軸夾角均相等時, 求此方向夾角的餘弦值? 均為 1 √ 3 範例 2: 正四角錐體 (稜邊相等的金字塔形) 的底面四頂點的空間坐標分別為 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) , 求此錐體的錐頂點坐標? ±( 1 2, 1 2, √ 2 2 ) A D C B O H 演練 2a : 空間座標軸上有一長方體 ABCO − EF GH (如圖), 已知 OA = 3, OC = 4, OH = 5, P 為GH 上一點, HP = 1,求點P 坐標? 及 AP 長? P (0, 1, 5) ;l = √ 35 今有一螞蟻只能沿著此長方體表面爬行, 求螞蟻從 A 點爬行至 P 點的最短距離為何? √ 41 ; 沿著 AE-HO-CG 展開平面直線前進 A B C O x y z E F G H P 演練 2b : 一長方體的長寬高分別與坐標軸平行(如圖),若已知點坐標B(2, 2, −2), H(−3, −2, 1) ,求 其它頂點坐標?(hint: 觀察 −−⇀BH) A(2, −2, −2), C(−3, 2, 1), D(−3, −2, −2), E(2, −2, 1), F (2, 2, 1), G(−3, 2, 1)
14 高中數學講義
空間向量的坐標表示法
A B(2, 2, −2) C D x y z E F G H(−3, −2, 1) 範例 3: 坐標空間中,平行四邊形 ABCD的三頂點坐標,A(1, 2, 5), B(4, −4, −3), C(−6, 5, 9) , 求 頂點 D 的坐標? D(−9, 11, 17) 演練 3a : 已知坐標空間中, 三點 A(3, 2, 6), B(5, −1, 0), C(−3, 4, 3) , 試證明 △ABC 為等腰直角三 角形? 演練 3b : 空間中三點 A(1, 9, 3), B(3, 6, 4), C(7, 0, 6) , 求 −⇀AB 及 −⇀AC ; 並判斷 A、B、C 三點是否共 線? (2, −3, 1)//(6, −9, 3);yes 範例 4: 已知點P 在線段 AB上的點, P A : P B = 2 : 3 , 若 A(1, −1, 8), B(11, −6, −2)求 P 點 坐標? P (5, −3, 4) 演練 4a : 空間坐標中已知點 P (−1, 2, 3) 且−⇀P Q = (5, 4, −1) , 求點 Q坐標? (4, 6, 2) 演練 4b : 求空間向量 −⇀v = (2, −3, −6)的長度及其單位向量? 7; 1 7(2, −3, −6) 範例 5: 坐標空間中, 已知 −⇀OA = (1, 2, 3),−⇀OB = (0, 1, −1) 1. 若−⇀OC = 1 2 −⇀ OA + 2 3 −⇀ OB , 試描述C 點的位置? −⇀ OC = (1 2, 5 3, 5 6) 2. 若−⇀OD =−⇀OA + 2−⇀OB , 試描述D 點的位置? −⇀ OD = (1, 4, 1) 3. 若−⇀OP =−⇀OA + t−⇀OB, 0 ≤ t ≤ 1 , 試描述P 點位置所形成的圖形? 線段 AM 4. 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2 , 試描述 P 點位置所形成的圖形? 平行四邊形 OANE 5. 若 −⇀OP = x ·−⇀OA + y ·−⇀OB , 0 < x, 0 < y, 且 x + y > 1 ; 試描述 P 點位置可能位置? 在直線 ←→AB 的右半平面上M O −⇀p = 1−⇀a + 2−⇀b −⇀ OB B E N −⇀ OA A −⇀ OP =−⇀OA+ t−⇀OB −⇀p = s−⇀a + 2−⇀b 演練 5a : 空間坐標中,已知 −⇀OA,−⇀OB , 選出下列正確選項?(圖形僅供參考,並不表示實際方向、 大小) M O −⇀ OB B E N −⇀ OA A (1) 若 −⇀OP = −1 3 · −⇀ OA +4 3 · −⇀ OB ; 則 A, B, P 三點共線。 (2) 若 −⇀OP =−⇀OA + 2 ·−⇀OB ; 則 P 點的位置落在線段 AE 上。 (3) 若 −⇀OP =−⇀OA + y ·−⇀OB, y ∈ R ; 則P 點位置必落在直線 ←−→AM 上。 (4) 若 −⇀OP = x ·−⇀OA + y ·−⇀OB, 0 < x < 1, 0 < y < 2 ; 則 P 點位置必落在平行四邊形 OANE 內部。 (5) 若−⇀OP = x ·−⇀OA + y ·−⇀OB , 0 < x, 0 < y, 且x + y > 1 ; 則P 點位置必落在直線 ←→AB 的右半平面上。 1,3,4,5 習題11-2 空間向量的坐標表示法 1. 已知 P (2, 3, 4)為坐標空間中一點, 求下列各值? (a) P 點到原點的距離? (b) P 點到 yz 平面的距離? (c) P 點到 x 軸的距離? (d) P 點對 xy 平面的垂足點P′ 坐標? 2. 在第一卦限內有一點 P到 x 軸,y 軸,z 軸的距離分別為 15, 13,√106, 求 P點的坐標? 3. 設A(2, 1, −2), B(0, −2, −1), C(1, 1, 0) ,求一點 P使 P A2+ P B2+ P C2 為最小,並求其最 小值? 4. 坐標空間中, △ABC 的三頂點為 A(2, 3, −1), B(0, 5, 2), C(1, 5, −4)求B,C邊上的中線AM 長?
16 高中數學講義
空間向量的內積
6. 已知 P (1, 2, 2), Q(2, −3, 5) 與 R(x, y, 11) 為坐標空間中三點, 且 P, Q, R 三點共線, 求 x, y 之值? 7. 已知 A(9, 3, 1), B(6, 4, 3), C(0, 6, 7)為空間中三點, 判斷 A,B,C 三點是否共線? 並說明理由? 8. 設 A(3, −1, 2), B(4, 1, 0), C(0, −1, −2) , 若 ∆ABC 中 ∠A 的內角平分線, 外角平分線交底 邊←→BC 於 D,E 兩點,求 D,E 兩點坐標? 9. 空間三點 A(1, a, 1), B(3, −5, 5), C(−1, 1, b)共線, 求a,b 之值?10. 設A(3, −1, 2), B(0, 3, 2), C(3, 7, −4) , 求 △ABC 之重心坐標? ∠A 的內角平分線交 BC 於 D, 求D 點坐標? 11. 若平行四邊形 ABCD,已知三頂點 A(1, 2, 3), B(4, 3, 1), C(2, −3, 5)求D 點坐標? 12. 坐標空間中, 已知 −⇀OA = (1, 2, 2),−⇀OB = (−1, 2, 3) 若−⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, s, t ∈ R (a) 若 s = 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述P 點位置所形成的圖形? (b) 若 −⇀OP = s−⇀OA +−⇀OB, 0 ≤ s ≤ 1試描述 P 點位置所形成的圖形? (c) 若 −1 ≤ s ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 3 試描述 P 點位置所形成的區域面積是 −⇀OA,−⇀OB所張開平行四 邊形面積的幾倍 ?
習題
11-2
1a. √29 1b. 2 1c. 5 1d. P′(2, 3, 0) 2. (5, 9, 12) 3. P (1, 0, −1), 10 4. AM = 52 5. P (2 3, 0, 0) 6. x = 4, y = −13 7. −⇀AC = 3−⇀AB , 共線 8. D(5/2, 1/4, −3/4), E(10, 4, 3) 9. a = −2, b = −3 10. (2, 3, 0); (1, 13/3, 0) 11. D(−1, −4, 7) 12a. 線段: −⇀OP 終點 P 落於 2AM 內 12b. 平行四邊形OAMB中的 線段 BM 12c. 9 倍11.3
空間向量的內積
空間的向量內積: −⇀a ·−⇀b = |−⇀a ||−⇀b | cos θ = a1b1+ a2b2+ a3b3 若−⇀a =−⇀OA = (a1, a2, a3),− ⇀ b =−⇀OB = (b1, b2, b3) 則由餘弦定理:AB2 = OA2+ OB2− 2OA × OB cos θ 及內積的定義 −⇀ OA·−⇀OB = |−⇀OA||−⇀OB| cos θ = |−⇀OA||−⇀OB| ×| −⇀ OA|2+ |−⇀OB|2− |−⇀AB|2 2|−⇀OA||−⇀OB| = 1 2(OA 2 + OB2− AB2) = 1 2[(a 2 1+ a 2 2+ a 2 3) + (b 2 1+ b 2 2+ b 2 3) − ((a1− b1)2+ (a2− b2)2+ (a3− b3)2)] = a1b1+ a2b2+ a3b3 故 −⇀a ·−⇀b = |−⇀a ||−⇀b | cos θ = a1b1+ a2b2+ a3b3 O y z x θ −⇀a A −⇀ b B 空間向量內積的基本性質: 空間中任意向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 1. 空間向量內積具有交換律: −⇀a ·−⇀b =−⇀b · −⇀a 2. 空間向量內積與係數乘法關係: (α−⇀a ) ·−⇀b = −⇀a · (α−⇀b ) = α(−⇀b · −⇀c ) 3. 內空間向量積對加法的分配律:−⇀a · (−⇀b + −⇀c ) = −⇀a ·−⇀b + −⇀a · −⇀c 4. 空間向量自己內積值為其長度平方:−⇀a · −⇀a = |−⇀a |2 空間中兩向量垂直的判定: 設 −⇀a = (a1, a2, a3),− ⇀ b = (b1, b2, b3) 若−⇀a ⊥−⇀b ⇔ −⇀a ·−⇀b = a1b1 + a2b2+ a3b3 = 0 空間向量的正射影(投影): −⇀a 在−⇀b 上的投影 = (−⇀a 在−⇀b 的投影長) ×(−⇀b 的單位向量) −⇀a 在−⇀b 的正射影= (−⇀a ·−⇀b |−⇀b | ) × −⇀ b |−⇀b | = ( −⇀a ·−⇀b |−⇀b |2 ) × −⇀ b , 為一向量。 θ −⇀a −⇀ b −⇀c −⇀a 在 −⇀b 的正射影= (−⇀a ·−⇀b |−⇀b| ) × −⇀ b |−⇀b | −⇀a 在−⇀b 的投影長與 −⇀c 在−⇀b 的投影長相等 −⇀a ·−⇀b |−⇀b | = −⇀c ·−⇀b |−⇀b | , 為一正實數。 −⇀ b 在−⇀a 的正射影 = (− ⇀ b · −⇀a |−⇀a |2 ) × −⇀a 。 其正射影長= | −⇀ b · −⇀a |−⇀a | | 柯西不等式: |−⇀a ·−⇀b | = |−⇀a ||−⇀b || cos θ| ≤ |−⇀a ||−⇀b | 且當 (a1, a2, a3) = t(b1, b2, b3) 時等式成立。
18 高中數學講義
空間向量的內積
−⇀a //−⇀b ; a1 b1 = a 2 b2 = a 3 b3 時等式成立。 即P a2 i P b 2 i ≥ (P aibi)2 。 兩群變數平方和的乘積 ≥ 變數兩兩乘積和的平方例題
範例 1: 圖中 ABCD 為正四面體,M 為 CD 中點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A) 直線 CD 與 平面 ABM 垂直 (B) 向量 −⇀AB 與向量 −⇀CD垂直 (C) ∠AMB > ∠ADB (D) 平面 ACD與平面 BCD 的二面角( 銳角) 大於 60◦ (E) AB = BM ABCD C D A B M 演練 1a : 四角錐體 P − ABCD 中, 已知底面 ABCD 為一個平行四邊形, −⇀AB = (−1, 2, 1),−⇀AD = (0, −2, 3),−⇀AP = (8, 3, 2) ,求←→P A與底面ABCD的夾角? 及稜邊P C 長? 90 ◦;√94 B C D A P
演練 1b : 四角體P − ABC 中,已知 AB, AC, AP 兩兩互相垂直,且AB = AC = 2 , E 為BC 中 點,兩直線←→AE,←→P C 方向所夾的角θ ,cos θ = √ 10 10 求P A長及此四角體 P − ABC 體積? P A = 4;8 3 B C A P E 演練 1c : 四面體 ABCD 中, 已知 P, Q, M, N 分別為AB, BC, CD, DA 中點且 AC = BD, 求 ←−→ P M,←→QN 夾角θ?(hint:−−⇀P M = −⇀P Q +−−⇀QM ,−−⇀QN =−−⇀QM +−−⇀MN ) 90 ◦ A C B D P Q M N
演練 1d : 正四面體ABCD 中, 設高 DH 的中點為 M,求 −−⇀MB,−−⇀MC 夾角? 90 ◦ A C B D M H 演練 1e : 長方體ABCD − EF GH 中,AB = 9, AD = AE = 3√3, P 為GH 上一點, HP = 3, 求 △P AC 與 底面 ABCD 所夾的銳夾角θ 大小 ? θ = π 3 A B C D x y z E F G H P 演練 1f : 空間中,以AB 為共同邊的兩正方形ABCD, ABEF , 其邊長皆為4,已知內積−⇀AD ·−⇀AF = 11, 則 −⇀AC ·−⇀AE =? 27 演練 1g : 如圖:設ABCD−EF GH 為空間中長、 寬、 高分別為2,3,5的長方體,已知AB = 2, AD = BC = 3,且 DH = 5 , 則內積−⇀AH ·−⇀AC 之值為? 9 A B C D E F G H 範例 2: 已知空間向量 −⇀a = (2, 1, 1),−⇀b = (−1, −2, 1) 兩向量, 若兩向量的夾角為 θ , 則 θ =? θ = 2π 3 演練 2a : 空間中兩點P (1, 2, −1), Q(−1, 3, 5)證明: OP 直線與 OQ直線互相垂直。 −⇀ OP ·−⇀OQ = 0 演練 2b : 若空間向量 −⇀a = (3, 1, 1),−⇀b = (2, 5t, t2 )兩向量互相垂直, 求實數 t 值? t = −2, −3 演練 2c : 已知空間中三角柱體ABC −A′B′C′的六頂點坐標,分別為A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4)
,A′(5, 0, 1), B′(4, 3, 1), C′(4, 0, 5) 1. 求線段 AA′ 長? √ 17 2. 驗證此三角柱的三側面均為平行四邊形? 三側面是否為矩形? −−⇀ AA′ =−−⇀BB′ AA′B′B 不是矩形 (−−⇀AA′·−⇀AB 6= 0);ACC′A′ 是矩形;BCC′B′ 不是矩形 −⇀ π π π 4
20 高中數學講義
空間向量的內積
演練 2e : 已知空間向量的長 |−⇀v | = 10 且與三個坐標軸方向夾角分別為 π 3, π 3 及 3π 4 , 求向量 − ⇀v = ? (5, 5, −5√2) 範例 3: 空間中兩向量 −⇀u , −⇀v 滿足|−⇀u | = 3, |−⇀v | = 2 且−⇀u , −⇀v 的夾角為 120◦, 求|2−⇀u − −⇀v | =? √ 52 演練 3a : 空間中已知向量 −⇀u = (1, −2, 3), −⇀v = (2, 3, 6),若 k−⇀u + −⇀v 與−⇀u 垂直, 求實係數 k 值? k = −1演練 3b : 空間中三角形 ABC, 已知三頂點坐標 A(1, 2, 3), B(2, 3, 5), 及 C(2, 0, 2), 求 ∠BAC =?
及△ABC 面積? 120 ◦;A = 3 2 √ 3 演練 3c : 空間中已知向量 −⇀a = (−2, 6, 3),|−⇀b | = 3 ,求 −⇀a ·−⇀b 的最大值? 21 演練 3d : 設 −⇀u = (1, −2, 2), −⇀v = (6, 3, −6), 若 −⇀w = 3−⇀u + t−⇀v 平分 −⇀u , −⇀v 的夾角, 求 −⇀w 及實 數t 值? −⇀w = (9, −3, 0);t = 1 範例 4: 已知向量−⇀a = (4, 5, 2),−⇀b = (1, 2, 2)求−⇀a 在−⇀b 上的正射影及正射影長? −⇀c = (2, 4, 4), |−⇀c | = 6 演練 4a : 向量−⇀a = (1, 2, 3),−⇀b = (4, 10, 6)求 1. 向量 −⇀b 在 −⇀a 上的正射影長? 42 √ 14 2. 向量 −⇀b 在 −⇀a 上的正射影? −⇀c = (3, 6, 9) 3. 將向量−⇀b 分解成與 −⇀a 平行與垂直的分量和, 則其垂直分量為何? (1, 4, −3) 演練 4b : 已知空間中三點A(1, 0, 1), B(4, 0, 1), C(3, 2, 3),求−⇀AB 在−⇀AC 方向上的正射影及其長度? 並求點 B 在直線AC 上的投影點坐標? (1, 1, 1), √ 3; H(2, 1, 2)
演練 4c : △ABC中, A(1, 1, 1), B(3, 3, 0), C(2, 1, 3)求∠BAC =? 及此三角形面積? 90
◦;A = 3√5 2 又此△ABC 三頂點A, B, C在xy 平面上的投影點分別為A′, B′, C′ 則△ABC 所在平面 與xy 平面銳夾角的餘弦值為何? 又∠B′A′C′ =? 及△A′B′C′ 面積? 2 3√5;45 ◦;A = 1 範例 5: 已知實數 x, y, z 滿足 x2 + 4y2 + 9z2 = 3 , 當 x, y, z 分別為何值時, 會使得 x + 2y + 3z 為最大值多少? (1, 1 2, 1 3);max=3 演練 5a : 已知實數 x, y, z, 且3x − 2y + 6z = 14 ,當 x, y, z 分別為何值時,會使得 x2 + y2 + z2 有 最小值多少? ( 6 7, −4 7 , 12 7); m = 4 演練 5b : 已知實數 x, y, z, 且 3x − 2y + 6z = 4 , 求 (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 的最小值 ? m = 1 演練 5c : 空間中一平面 E : x + 2y + 2z = 6 , 若點 P (a, b, c) 在此平面上, 求P 點與原點的最短距 (2 3, 2 3, 2 3); d = 2
習題11-3 空間向量的內積 1. 設A(8, 4, 3), B(4, 10, −9),求 −⇀AB 與三坐標軸的方向餘弦? 2. 有一向量 −⇀a , 其長度為10, 始點在點 (0, 1, −1) , 方向角為 π 3 ,π4 ,π3 , 求−⇀a的終點坐標? 3. 空間中有 A,B,C,D 四點, 已知 AB = 1, BC = 2, CD = 3, ∠ABC = ∠BCD = 120◦, 而 −⇀ AB,−⇀CD 夾角為 60◦ , 則AD 之長? 4. 設−⇀a = (2, 1, −3),−⇀b = (1, 0, 2), −⇀c = −⇀a + t−⇀b , 則當t =?,|−⇀c |有最小值?又−⇀a ⊥−⇀c 時,t之 值=? 5. 一長方體的長 AD = 1, 寬 CD = 2 , 高DH = 1 兩斜對角線 DF , BH 相交於點 P, 求 ∠BP F 的餘弦值? E F G H A B C D x y z 6. 設x, y, x ∈ R 且 (x − 1)2 + 4y2 + z2 = 9 求2x + 4y + z 的最大值與最小值? 7. 已知空間中三點 A(1, 3, 4), B(1, −2, −2), C(2, 5, 7)求−⇀AB 在 −⇀AC 上的正射影長? 另求 B 點 在直線AC 上的投影點H 坐標? 8. 已知實數 x, y, z 滿足x + 4y + 2z = 9 , 求 x2 + 4y2 + z2 的最小值 ? 並求此時 x, y, z 的值? 9. 已知正數 x, y, z 滿足x + y + z = 6 求 1 x + 4 y + 9 z 的最小值? 及此時x, y, z 的值?
習題
11-3
1. −2/7, 3/7, −6/7 2. 5, 1 + 5√2, 4 3. 5 4. t = 4/5, |−⇀c | = 3√30/5; t = 7/2 5. 2 3 6. max = 11, min − 7 7. 2√14; H(−1, −1, −2) 8. min=9;x = 1, y = 1, z = 2 9. x = 1, y = 2, z = 3; min = 611.4
外積、 體積與行列式
空間向量的外積: 空間中兩不平行非零向量 −⇀a = (a1, a2, a3),− ⇀ b = (b1, b2, b3), 夾角為 θ, 則兩向量所張開的平22 高中數學講義
外積、 體積與行列式
行四邊形面積 S = |−⇀a ||−⇀b | sin θ = |−⇀a ||−⇀b |√1 − cos2θ = q |−⇀a |2 |−⇀b |2 − (−⇀a ·−⇀b )2 = q (a2 1+ a 2 2+ a 2 3)(b 2 1 + b 2 2+ b 2 3) − (a1b1+ a2b2+ a3b3)2 = p(a2b3− a3b2)2+ (a3b1− a1b3)2+ (a1b2− a2b1)2 = v u u u t a2 a3 b2 b3 2 + a3 a1 b3 b1 2 + a1 a2 b1 b2 2 等於向量 ( a2 a3 b2 b3 , a3 a1 b3 b1 , a1 a2 b1 b2 )的長度 空間中向量 −⇀a = (a1, a2, a3),− ⇀ b = (b1, b2, b3)的外積定義: −⇀a ×−⇀b = ( a2 a3 b2 b3 , a3 a1 b3 b1 , a1 a2 b1 b2 ) = (a2b3− a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2− a2b1) 向量外積的計算法: b1 b2 b3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 − − − + + + 外積 −⇀a ×−⇀b 為−⇀a ,−⇀b 的一公垂向量。 即 (−⇀a ×−⇀b )⊥−⇀a 且(−⇀a ×−⇀b )⊥−⇀b 兩向量−⇀a ,−⇀b 則其外積−⇀c = (x, y, z),為 a1x + a2y + a3z = 0 b1x + b2y + b3z = 0 的解,即−⇀c = −⇀a ×−⇀b = ( a2 a3 b2 b3 , a3 a1 b3 b1 , a1 a2 b1 b2 ) = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1) 外積的性質: 空間向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 1. (−⇀a ×−⇀b ) · −⇀a = 0, (−⇀a ×−⇀b ) ·−⇀b = 0 2. −⇀a ×−⇀b = −(−⇀b × −⇀a ) 3. −⇀a × (−⇀b + −⇀c ) = −⇀a ×−⇀b + −⇀a × −⇀c 4. (α−⇀a ) ×−⇀b = −⇀a × (α−⇀b ) = α(−⇀a ×−⇀b )x y z −⇀a −⇀b −⇀a ×−⇀b x y z −⇀a −⇀ b −⇀ b × −⇀a 向量外積大小的幾何意義: 外積−⇀a ×−⇀b 的大小 |−⇀a ×−⇀b | 表示 −⇀a ,−⇀b 所展開的平行四邊形面積。 |−⇀a ×−⇀b | = |−⇀a ||−⇀b | sin θ= v u u u t a2 a3 b2 b3 2 + a3 a1 b3 b1 2 + a1 a2 b1 b2 2 是以 −⇀a ,−⇀b 為兩邊所張開的平行四邊形面積。 內積值 −⇀a ·−⇀b 在物理上的意義為作功。 θ −⇀ b −⇀a |−⇀b| sin θ (a + c, b + d) x y (a, b) (c, d) a a+ c d b + d c a+ c 如圖示: 由兩向量所張開的平行四邊形面積A = 大長方形面積 − 兩個小長方形面積 − 4個三 角形面積。 即 A = (a + c)(b + d) − 2 × 1 2ab − 2 × 1 2cd − 2bc = ad − bc 空間三角形面積: a△ABC = 12ab sin C = 1
2 ac sin B = 12 bc sin A=12 |−⇀AB ×−⇀AC|
三向量所張出的平行六面體體積: 空間三向量−⇀a ,−⇀b , −⇀c 張開的平行六面體體積V = |−⇀a ·(−⇀b ×−⇀c )| V = Ah = |−⇀b × −⇀c | · |−⇀a || cos φ|=|−⇀a | · |−⇀b × −⇀c | · | cos φ|=|−⇀a · (−⇀b × −⇀c )| 或V = |−⇀b · (−⇀a × −⇀c )| = |−⇀c · (−⇀a ×−⇀b )| = a1 × b2 b3 c2 c3 + a2 × b3 b1 c3 c1 + a3 × b1 b2 c1 c2 = |a1b2c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a1b3c2− a2b1c3− a3b2c1| A −⇀ b × −⇀c −⇀ b −⇀c −⇀a h φ ⊚ 三階行列式的定義: 餘因子降階展開法
24 高中數學講義
外積、 體積與行列式
餘因子Cij 的和,逐次降階展開稱為餘因子降階展開行列式值。 其中元素 aij 的餘因子: Cij = (−1)i+j× (去除第 i 列第 j 行元素後的行列式值) |A3| = det A3 = ai1Ci1+ ai2Ci2+ ai3Ci3 = a1jC1j + a2jC2j+ a3jC3j |A3| = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = a1× b2 c2 b3 c3 −b1× a2 c2 a3 c3 +c1× a2 b2 a3 b3 ,(按第一列降階展開) = a1 × b2 c2 b3 c3 − a2× b1 c1 b3 c3 + a3× b1 c1 b2 c2 ,(按第1行降階展開) = a1× b2 b3 c2 c3 + a2× b3 b1 c3 c1 + a3× b1 b2 c1 c2 ,(二階行列式性質: 行列對調值不變, 任 兩行對調其值異號) = a1b2c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a1b3c2− a2b1c3− a3b2c1 ,(展開整理的行列式值) = (a1, a2, a3) · [(b1, b2, b3) × (c1, c2, c3)] = −⇀a · (− ⇀ b × −⇀c ) a3 b3 c3 a3 b3 a2 b2 c2 a2 b2 a1 b1 c1 a1 b1 − − − + + + 由上可知: 我們將選擇零元素最多的某行或某列降階展開比較容易計算。 ⊚ 行列式的性質: 1. 將行與列的所有元素互換, 其值不變。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 2. 將某兩行(列) 元素對調位置, 其值變號。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = − b1 b2 b3 a1 a2 a3 c1 c2 c3 , a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = − a2 a1 a3 b2 b1 b3 c2 c1 c3 3. 任一行 (列) 之數可提出公因數。 a1 ka2 a3 b1 kb2 b3 c1 kc2 c3 = k a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 , ka1 ka2 ka3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = k a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 4. 若某行 (列) 之數均為0,則其行列式值為0。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 05. 任兩行 (列) 之數成比例,其行列式值為0。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 kb1 kb2 kb3 = 0, a1 ka1 a3 b1 kb1 b3 c1 kc1 c3 = 0 6. 將某行 (列) 的各數乘上一非零的數 k,加至另一行 (列), 則其行列式值不變。 a1+ kb1 a2+ kb2 a3+ kb3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 7. 行列式的合併拆解: 可依任一行 (列)元素拆分,將一個行列式拆成兩個行列式。 a1+ d1 a2+ d2 a3+ d3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 + d1 d2 d3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 (第一列的分解、 合併) a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 + x1 a2 a3 y1 b2 b3 z1 c2 c3 = a1+ x1 a2 a3 b1+ y1 b2 b3 c1 + z1 c2 c3 (第一行元素的分解、 合併) ⊚ 行列式的應用: 1. 平面上三直線共點: 三相異不平行直線共同交一點: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 a3x + b3y = c3 (將 L1, L2 克拉瑪公式解有相同解, 代入 L3 ) ⇒ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = 0 2. 空間三角形 ABC 面積: 兩向量−⇀AB = (a1, a2, a3),−⇀AC = (b1, b2, b3)則 △ABC 面積 = 12|−⇀AB ×−⇀AC| = 12 v u u u t a2 a3 b2 b3 2 + a3 a1 b3 b1 2 + a1 a2 b1 b2 2 3. 平面上三角形ABC 面積: 平面上 A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) 則 a△ABC = 12 q
|−⇀AB|2|−⇀AC|2 − (−⇀AB ·−⇀AC)2
= 12| b1 − a1 b2− a2 c1 − a1 c2− a2 | = 12| 0 0 1 b1− a1 b2− a2 1 c1− a1 c2− a2 1 | = 12| a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1 | 4. 平面上 A、B、C 三點共線: 平面上 A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) 三點共線 則 a△ABC = 12| b1− a1 b2− a2 c1− a1 c2− a2 | = 12| a1 a2 1 b1 b2 1 | = 0
26 高中數學講義
外積、 體積與行列式
5. 平行六面體體積: 向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 張開出的平行六面體體積 V = |−⇀a · (−⇀b × −⇀c )| = |a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1| = | a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | 6. 空間中ABCD 四面體體積:VD−ABC = 1 3× ( −⇀ AB = −⇀a ,−⇀AC =−⇀b ,−⇀AD = −⇀c 張開出的平 行六面體體積)。(註: 錐體體積 = 13 柱體體積) VD−ABC = 1 3| −⇀ AD · (−⇀AB ×−⇀AC)| = 13| a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | 7. 空間中 A、B、C、D 四點共面: 若A、B、C、D 四點共面則其四面體體積為0 若 −⇀AB = (a1, a2, a3),−⇀AC = (b1, b2, b3),−⇀AD = (c1, c2, c3) 則 VD−ABC = 13| a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 | = 0 ,(此亦表示三向量−⇀AB、−⇀AC、−⇀AD 共平面) 三角形ABC 面積公式: a△ABC = 12ab sin θ = ps(s − a)(s − b)(s − c), s = 1 2(a + b + c) = r內· s = abc 4R外 = 1 2| −⇀AB||−⇀AC| sin θ = 1 2 q |−⇀AB|2 |−⇀AC|2 − (−⇀AB ·−⇀AC)2, 平面或空間三角形均適用 = 1 2| a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1 |, 平面上點A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) = 1 2| b1− a1 b2− a2 c1− a1 c2− a2 |, 平面上點A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) = 1 2| −⇀ AB ×−⇀AC|, 空間三角形適用
例題
−⇀−⇀ AB,−⇀AC? ± √ 3 3 (1, 1, 1) 演練 1a : 求空間中與通過A(0, 0, 1), B(1, 0, 1), C(−1, −1, −1)三點的平面垂直的向量? (0, 2, −1)t 演練 1b : 已知空間向量−⇀a = (2, 3, 5),−⇀b = (1, 2, 3),求−⇀a ×−⇀b =? 及|−⇀a ×−⇀b | =? (−1, −1, 1); √ 3 演練 1c : 若已知 −⇀u × −⇀v = (2, −3, 6), 則−⇀v × −⇀u =? |−⇀v × −⇀u | = (−2, 3, −6);7 演練 1d : 已知空間向量 −⇀u = (2, −3, 1),−⇀v = (−3, 3, 2), 及−⇀w = (1, 1, 3), 求 1. 求一向量, 使其同時垂直 −⇀u , −⇀v ? (9, 7, 3)t, t ∈ R 2. 求一向量, 使其同時垂直 −⇀u , (1, 1, 0)? (−1, 1, 5)t, t ∈ R 3. −⇀u × −⇀v = (−9, −7, −3) 4. 3−⇀u × −⇀v = (−27, −21, −9) 5. −⇀u · (−⇀u × −⇀v ) = 0 6. −⇀u · (−⇀v × −⇀w ) = −25 7. −⇀v · (−⇀u × −⇀w ) = 25 範例 2: 坐標空間中△ABC 三頂點分別為 A(1, 2, 3), B(−1, 4, 6), C(5, 7, 3) ,求此三角形的面積? 3 2 √ 77 已知向量−⇀a = (1, 1, 2),−⇀b = (1, −2, −1)求由−⇀a ,−⇀b 所張開出的平行四邊形面積? 3 √ 3 演練 2a : 坐標空間中 △ABC 三頂點分別為 A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4) , 求此三角形的面積? 13 2 演練 2b : 坐標空間中, 已知平行四邊形 ABCD 頂點坐標分別為 A(0, 0, 0), B(3, 2, 1),C(−1, 3, −1), 及D(2, 1, 0) , 求此平行四邊形面積? 3 √ 6 演練 2c : 平面上三角形ABC的三頂點坐標A(2, 3), B(5, 2), C(6, 5) ,求此三角形面積? 5 演練 2d : ⊚利用3階行列式值, 求平面上三角形 ABC 的三頂點坐標分別為 A(2, 3), B(5, 2), C(6, 5) 的面積? 5 範例 3: 設 −⇀a = (2, 1, 3),−⇀b = (1, 2, 1), −⇀c = (−1, 3, 2) , 求由 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平行六面體 體積? 14 z x y −⇀ b −⇀a −⇀c
28 高中數學講義
外積、 體積與行列式
演練 3a : 平行六面體 (如圖) 已知 −⇀OA = (1, 2, 3),−⇀OB = (2, 1, 1),−⇀AC = (2, −3, −1) , 求此六面體 的體積? 14 A O B C z x y 演練 3b : 若 −⇀a = (3, −2, 4),−⇀b = (2, 1, −2), −⇀c = (3, −6, −2) , 求由 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平行 六面體體積? 98演練 3c : 空間中四面體O − ABC 頂點坐標分別為 O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), C(1, 3, 2) ,求此
四面體體積? 2 演練 3d : 考慮向量−⇀u = (a, b, 0), −⇀v = (c, d, 1),其中a2 + b2 = c2 + d2 = 1, 請選出正確選項?(1)向 量−⇀v 與z 軸正向的夾角恆為定值(與c, d無關) (2) −⇀u ·−⇀v 的最大值為√2 (3) −⇀u 與−⇀v 夾 角的最大值為135◦ (4) ad−bc的值可能為 5 4 (5) |− ⇀u ×−⇀v |的最大值為√2 1,3,5 演練 3e : 給定向量 −⇀u = (2, 2, 1), 請選出正確選項:(1) 可找到向量 −⇀v 使得 −⇀u · −⇀v = √2 (2) 可 找到向量 −⇀v 使得 −⇀u × −⇀v = (1, 3, 4) (3) 若非零向量 −⇀v 滿足 |−⇀u · −⇀v | = 2|−⇀v |, 則 −⇀u × −⇀v = −⇀0 (4)若非零向量 −⇀v 滿足 |−⇀u × −⇀v | = 3|−⇀v |, 則 −⇀u · −⇀v = 0 (5)若向量 −⇀v 滿足−⇀u · −⇀v | = 0,且 −⇀u × −⇀v =−⇀0 ,則 −⇀v =−⇀0 1,4,5 範例 4: ⊚ 求行列式值 3 2 1 −1 2 2 4 1 −3 =? −23 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 =? 0 ; Vandermonde 行列式 1 1 1 a b c a2 b2 c2 =? (a − b)(b − c)(c − a) 演練 4a : 用A, B, C 表示行列式值 A B C 2 3 5 1 2 3 =? −A − B + C 演練 4b : 已知行列式值 a b c d = 5, 求行列式值 0 b a 2 −3 4 0 d c = ? 10 演練 4c : 已知行列式值 a b c x y z α β γ = 5, 求行列式值 2a + b − c b c 2x + y − z y z 2α + β − γ β γ = ? 10
演練 4d : 已知行列式值 x y z u v w 1 2 3 = 4 , 利用行列式性質求 1. 1 2 3 u v w x y z =? 4 2. x y z −3 −6 −9 u v w =? 3 × 4 = 12 3. 1 2 3 x − 3 y − 6 z − 9 2u 2v 2w =? −4 4. x + 3 y + 6 z + 9 3u − 1 3v − 2 3w − 3 1 2 3 =? 12 演練 4e : 若 x 2 3 1 x 0 6 1 −2 = 7 , 求x 的解? x = 0, −9 3階行列式應用: 平面上三直線共點或三直線存在平行關係 範例 5: ⊚ 設實數 a > 0, x, y 的方程組 2x − y = 1 x − 2y = a x − ay = 122 有解, 則a 值 =? a = 14 演練 5a : 平面上三相異直線L1 : 2x + (1 − k)y = 3, L2 : 2x + y = 3 − k, L3 : (2 − k)x + y = 3, 共 交點, 求實數 k 值? k = 6,(k = 0 不合) 演練 5b : 若聯立方程組 2x + ay = 5 x + 2y = a + 3 (a + 2)x − y = 5 恰一解, 則實數a 值為何? a = 1 3階行列式應用: 空間中四點共平面 範例 6: ⊚ 已知空間中四點 A(a, 1, 1), B(a + 1, 1, 0), C(1, 2, 1), D(−1, −1, 3) 共平面, 求 a 值? a = 1 演練 6a : 空間中四點 A(−1, 2, 2), B(3, 3, 4), C(2, −2, 10), D(0, 2, 2)是否共平面? V = 0,yes 演練 6b : 已知空間中四點A(2, a, 1), B(2−a, 0, 2), C(4, 1, 3), D(6, 4, 5)共平面,求a值? a = −1, −2
30 高中數學講義
外積、 體積與行列式
範例 7: ⊚已知空間中三向量−⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開的平行六面體體積為5,求2−⇀a −3−⇀b , 3−⇀b +4−⇀c , −⇀c三向量所張開的平行六面體體積? 30
演練 7a : 四面體的稜邊OA, OB, OC兩兩互相垂直,若△OAB面積為a,△OBC面積為b, △OAC
面積為 c,△ABC 面積為 d,說明: d2 = a2 + b2 + c2 A B O C −⇀ A −⇀ B −⇀ C (解:)d = 1 2|( −⇀ B −−⇀A ) × (−⇀C −−⇀A )| 演練 7b : 四面體頂點座標分別為A(1, 0, 2), B(3, −1, 4), C(1, 5, 2), P (4, 4, 4) ,求頂點P 到底面ABC 的距離 (高) 為何? √ 2 2 ;V = 1 3Ah 習題11-4 外積、 體積與行列式 1. 向量 −⇀n 同時垂直 −⇀a = (2, 2, 1),−⇀b = (1, 0, 1) ,且 |−⇀n | = 3 , 求 −⇀n =? 2. 空間坐標中△ABC 三頂點分別為 A(0, 0, 0), B(1, 2, 3), C(3, 2, 1) ,求此三角形的面積? 3. 已知空間中 △ABC 三頂點分別為 A(−1, −2, −3), B(5, −2, 3), C(1, 0, k) , 此三角形的面積 為9,求 k值? 4. 坐標空間中, 已知平行四邊形 ABCD 頂點坐標分別為 A(1, 1, 2), B(1, 2, 3),C(−2, 3, 0), 及 D(−2, 4, 1) , 求此平行四邊形面積?
5. 已知空間中四點A(−1, 2, 1), B(2, −1, 0), C(1, 2, 3), D(0, −1, 1)求向量−⇀AB,−⇀AC,−⇀AD 所張開 的平行六面體體積? 四面體A − BCD 的體積?
6. 已知空間中四點 A(1, 0, 6), B(2, 3, −8), C(8, −5, 6), 及原點 O(0, 0, 0) 求向量 −⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 所張開的平行六面體體積? 7. 設 a b c d = 3, 則 3a − 4b 5a + 3b 3c − 4d 5c + 3d =? 8. 求行列式值: √ 2 +√13 − 4 √13 √ 2 +√13 + 4 √2 + 4 =?
9. 設平面坐標上三點 A(−1, 2), B(3, −2), C(a, a + 2) , 若 △ABC 面積為10, 則 a 值為? 又當 A、B、C 三點共線時,a 值為?
10. ⊚ 求行列式值 (1) 3 27 −41 −1 11 −23 −5 −32 65 =? (2) 228 −342 339 −92 138 −161 1116 93 186 =? 11. ⊚ 試解方程式 x 1 0 0 x 1 6 −11 x + 6 = 0 12. ⊚ 行列式 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 值, 與下列哪些行列式值相同? (A) a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 (B) a1− b1 b1 c1 a2− b2 b2 c2 a3− b3 b3 c3 (C) a1 b1 c1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 (D) a1b1 b1 c1 a2b2 b2 c2 a3b3 b3 c3 (E) 2a1 2a2 2a3 1 2 b1 12 b2 12b3 c1 c2 c3 13. ⊚ 求行列式值 (1) 1 1 1 0 0 −4 1 2 2 =? (2) cot θ csc θ csc θ cot θ =? 14. ⊚ 求行列式值: 1 2 3 2 5 −1 −1 3 1 =?, 14 −6 4 4 −5 12 −21 9 −6 =? 15. ⊚ 化簡行列式值 1 1 1 a b c a3 b3 c3 =? 16. ⊚ 化簡求值 1 1 1 a b c b + c a + c a + b =? 17. ⊚ 試判別空間中四點 A(2, 1, 3), B(3, 5, 4), C(1, 5, 5), D(0, 2, 4)是否共平面? 18. ⊚ 設a, b, c, x, y, z均為實數,且a2 + b2 + c2 = 25,x2 + y2 + z2 = 16 , 求行列式 2 1 −2 a b c x y z 的絕對值最大值為何?
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