用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)

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(1)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)

【巩固练习】 一、选择题 1. 抛物线

y

  

x

2

2

kx

2

与 x 轴的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.以上答案都不对 2.(2015•温州模拟)已知二次函数 y=x2+2x﹣10,小明利用计算器列出了下表: x ﹣4.14.24.34.4 x2+2x﹣10 ﹣1.39 0.76 0.11 0.56 那么方程x2+2x﹣10=0 的一个近似根是( ) A.﹣4.1 B.﹣4.2 C.﹣4.3 D.﹣4.4 3.已知函数

y

1

x

2与函数 2

1

3

2

y

 

x

的图象大致如图所示.若

y

1

y

2,则自变量 x 的取值范围是( ) A.

3

2

2

x

  

B.

2

3

2

x

  

C.

x 

2

3

2

x  

D.

x  

2

3

2

x 

4.如图所示,抛物线

y x

2

1

与双曲线

y

k

x

的交点 A 的横坐标是 1,则关于 x 的不等式

k x

2

1 0

x

 

的解集是( ) A.

x 

1

B.

x  

1

C.

0

 

x

1

D.

  

1

x

0

5.二次函数

y ax bx c

2

的图象如图所示,则下列选项正确的是( ) A.a>0,b>0,

b

2

4

ac

0

B.a<0,c>0,

b

2

4

ac

0

C.a>0,b<0,

b

2

4

ac

0

D.a>0,c<0,

b

2

4

ac

0

第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 6.如图所示,二次函数

y ax bx c

2

(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与 x 轴交点的横坐标分别 为

x

1

x

2,其中

   

2

x

1

1

0

x

2

1

,下列结论: ①

4

a

2

b c

 

0

;②

2

a b

 

0

;③

a  

1

;④

b

2

8

a

4

ac

.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题

(2)

7.二次函数

y x

2

2 1

x

的图象与 x 轴交点坐标为 ;与 y 轴的交点坐标为 . 8.已知二次函数

y x

2

(2

m

1)

x m

2

4

m

4

的图象与 x 轴有两个交点,则 m 的取值范围为 . 9.抛物线

y x

2

x

与直线 y=-3x+3 的交点坐标为 . 10.(2014 秋•河南期末)如图是抛物线 y=ax2+bx+c 的图象的一部分,请你根据图象写 出方程ax2+bx+c=0 的两根是 . 11.如图所示,已知抛物线

y x bx c

2

经过点(0,-3),请你确定一个 b 的值,使 该抛物线与 x 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的 b 的值是________. 12.如图所示,二次函数

y ax bx c

2

(a≠0).图象的顶点为 D,其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为-1 和 3,与 y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论:①

2

a b

 

0

; ②

a b c

  

0

;③只有当

1

2

a 

时,△ABD 是等腰直角三角形;④使△ACB 为等腰 三角形的 a 的值可以有三个. 那么其中正确的结论是___ _____.(只填你认为正确结论的序号) 三、解答题 13.已知函数

y mx

2

6

x

1

(m 是常数) (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值.

(3)

14. 已知抛物线

1

2

2

y

x

 

x c

与 x 轴没有交点. (1)求 c 的取值范围; (2)试确定直线

y cx

1

经过的象限,并说明理由. 15.(2014•上城区校级模拟)已知关于 x 的函数 y=(k﹣1)x2+4x+k 的图象与坐标轴只有 2 个交点,求 k 的值.

(4)

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C; 【解析】∵ 一元二次方程

 

x

2

2

kx

 

2 0

的根的判别式为 △=

(2 ) 4 ( 1) 2 4

k

2

    

k

2

8

, ∵

k 

2

0

,∴ △=

4

k  

2

8 0

.故抛物线

y

  

x

2

2

kx

2

与 x 轴有两个交点. 2.【答案】C; 【解析】根据表格得,当﹣4.4<x<﹣4.3 时,﹣0.11<y<0.56,即﹣0.11<x2+2x﹣10<0.56, ∵0 距﹣0.11 近一些, ∴方程 x2+2x﹣10=0 的一个近似根是﹣4.3,故选 C. 3.【答案】B; 【解析】设

y

1

x

2与 2

1

3

2

y

 

x

的交点横坐标为

x

1

x

2(

x x

1

2),观察图象可知,当

y

1

y

2时, 自变量 x 的取值范围是

x x x

1

 

2,所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标, 联立 2

1

3

2

y x

y

x

 

 



,可得 2

1

3 0

2

x

x

 

. 解得

x  

1

2

2

3

2

x 

,∴

2

3

2

x

  

. 4. 【答案】D; 【 解 析 】 不 等 式

k x

2

1 0

x

 

可 变 形 为 2

1

k

x

x

  

, 由

y x

2

1

与 2

1

y

  

x

关于原点对称,所以

y

k

x

y

  

x

2

1

的交点与点 A 关于原点对称, 其横坐标为-1,可画如图所示,观察图象可知

k

x

2

1

x

  

的解集是

  

1

x

0

. 5.【答案】A; 【解析】由抛物线开口向上,知 a>0, 又∵ 抛物线与 y 轴的交点(0,c)在 y 轴负半轴, ∴ c<0.由对称轴在 y 轴左侧, ∴

0

2

b

a

,∴ b>0. 又∵ 抛物线与 x 轴有两个交点, ∴

b

2

4

ac

0

,故选 A. 6.【答案】D; 【解析】由图象可知,当

x  

2

时,y<0.所以

4

a

2

b c

 

0

,即①成立;因为

 

2

x

1

 

1

0

x

2

1

, 所以

1

0

2

b

a

  

,又因为抛物线开口向下,所以 a<0,所以

2

a b

 

0

,即②成立; 因为图象经过点(-1,2),所以 2

4

2

4

ac b

a

,所以

b

2

8

a

4

ac

,即④亦成立(注意 a<0,

(5)

两边乘以 4a 时不等号要反向);由图象经过点(-1,2),所以

a b c

  

2

,即

b a c

  

2

, 又∵

4

a

2

b c

 

0

,∴

2

b

4

a c

.∴

2

a

2

c

 

4 4

a c

, 即

2

a c

     

4 2 4

2

,∴

a  

1

,所以③成立. 二、填空题 7.【答案】(

1

2

,0),(

1

2

,0);(0,-1). 【解析】对于

y x

2

2 1

x

,令 x=0,则 y=-1. ∴ 抛物线

y x

2

2 1

x

与 y 轴的交点坐标是(0,-1). 令 y=0,则

x

2

2 1 0

x

 

.解得

x  

1

1

2

x  

2

1

2

. ∴ 抛物线

y x

2

2 1

x

与 x 轴的交点坐标是(

1

2

,0),(

1

2

,0). 8.【答案】

3

4

m  

; 【解析】∵ 二次函数

y x

2

(2

m

1)

x m

2

4

m

4

的图象与 x 轴有两个交点, ∴

[ (2

m

1)] 4(

2

m

2

4

m

4) 0

. 即

4

m

2

4

m

 

1 4

m

2

16

m

16 0

, 解得

3

4

m  

. 9.【答案】(-3,12),(1,0). 【解析】∵ 抛物线

y x

2

x

与直线 y=-3x+3 的交点的横坐标、纵坐标相同. 故可联立 2

3

3

y x

x

y

x

 

  

,∴

x

2

2

x

 

3 0

x  

1

3

x 

2

1

. 将 x1=-3,x2=1 代入 y=-3x+3 中得方程组的解为 1 1

3

12

x

y

 

 

, 2 2

1

0

x

y

 

. ∴ 抛物线

y x

2

x

与直线 y=-3x+3 的交点坐标为(-3,12),(1,0). 10.【答案】x1=﹣3,x2=1; 【解析】∵由图可知,抛物线与x 轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为直线 x=﹣1, ∴设抛物线与x 轴的另一交点为(x,0),则 =﹣1,解得 x=1, ∴方程ax2+bx+c=0 的两根是 x1=﹣3,x2=1. 11.【答案】

1

2

等; 【解析】由题意

x bx

2

 

3 0

的一个根在 1 与 3 之间,假设根为

x 

2

,代入得

2

2

2

b

 

3 0

1

2

b  

,答案不唯一.

(6)

12.【答案】①③; 【解析】抛物线的对称轴为

1 3 1

2

x

 

,∴

1

2

b

a

2

a b

 

0

,①正确; ②当

x 

1

时,

y 

0

a b c

  

0

,②错;③当

1

2

a 

时,顶点 D 的坐标为(1,-2), △ABD 为等腰直角三角形,又∵ 抛物线的开口向上,加之∠DAB,∠DBA 不可能为直角,所以 只有

1

2

a 

时,△ABD 是等腰直角三角形,∴ ③正确;△ACB 为等腰三角形,有三种可能性: ⅰ)AC=AB;ⅱ)BC=AB;ⅲ)AC=BC.∵ OA≠OB,∴ⅲ)不可能成立,故以△ABC 为等腰三角 形的点 C 的位置只有两个,因此 a 的值也只能是两个,∴④错. 三、解答题 13.【答案与解析】 解: (1)当 x=0 时,y=1,所以不论 m 为何值, 函数

y mx

2

6

x

1

的图象经过 y 轴上的一个定点(0,1). (2)①当 m=0 时,函数

y

  

6

x

1

的图象与 x 轴只有一个交点; ②当 m≠0 时,若函数

y mx

2

6

x

1

的图象与 x 轴只有一个交点,则方程

mx

2

6

x

 

1 0

有两个相等的实数根,所以△=(-6)2 -4m=0,m=9. 综上,若函数

y mx

2

6

x

1

的图象与 x 轴只有一个交点,则 m 的值为 0 或 9. 14.【答案与解析】 解:(1)∵ 抛物线与 x 轴没有交点 ∴ △<0,即

1 2

c

0

.解得

1

2

c 

, (2)∵

1

2

c 

∴ 直线

y cx

1

随 x 的增大而增大,∵

b 

1

∴ 直线

y cx

1

经过第一、二、三象限. 15.【答案与解析】 解:分情况讨论: (ⅰ)k﹣1=0 时,得 k=1. 此时y=4x+1 与坐标轴有两个交点,符合题意; (ⅱ)k﹣1≠0 时,得到一个二次函数. ①抛物线与 x 轴只有一个交点,△=16﹣4k(k﹣1)=0, 解得k= ; ②抛物线与 x 轴有两个交点,其中一个交点是(0,0), 把(0,0)代入函数解析式,得 k=0. ∴k=1 或 0 或 .

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參考文獻

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