用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）

(1)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）

【巩固练习】一、选择题 1. 抛物线

y

  

x

2

2 kx



2

与 x 轴的交点个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．以上答案都不对 2．（_{2015•温州模拟）已知二次函数 y=x}2_{+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：} x ﹣_4.1 ﹣_4.2 ﹣_4.3 ﹣_4.4 x2_{+2x﹣10 ﹣1.39} _﹣_0.76 _﹣_0.11 _0.56 那么方程x2+2x﹣10=0 的一个近似根是（） A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.4 3．已知函数

y

₁



x

2与函数 ₂

1

3

2 y

 

x



的图象大致如图所示．若

y

₁



y

₂，则自变量 x 的取值范围是( ) A．

3

2

2 x

  

B．

2

3

2 x

  

C．

x 

2

或

3

2 x  

D．

x  

2

或

3

2 x 

4．如图所示，抛物线

y x



2



1

与双曲线

y

k

x



的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式

k x

2

1 0

x



 

的解集是( ) A．

x 

1

B．

x  

1

C．

0  

x

1

D．

  

1 x

0

5．二次函数

y ax bx c



2



的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) A．a＞0，b＞0，

b

2



4 ac



0

B．a＜0，c＞0，

b

2



4 ac



0

C．a＞0，b＜0，

b

2



4 ac



0

D．a＞0，c＜0，

b

2



4 ac



0

第 3 题第 4 题第 5 题第 6 题 6．如图所示，二次函数

y ax bx c



2



(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与 x 轴交点的横坐标分别为

x

₁、

x

₂，其中

   

2 x

₁

1

，

0 

x

₂



1

，下列结论： ①

4 a



2 b c

 

0

；②

2 a b

 

0

；③

a  

1

；④

b

2



8 a



4 ac

．其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题

(2)

7．二次函数

y x



2



2 1

x



的图象与 x 轴交点坐标为；与 y 轴的交点坐标为． 8．已知二次函数

y x



2



(2

m



1)

x m



2



4 m



4

的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围为． 9．抛物线

y x



2



x

与直线 y＝-3x+3 的交点坐标为． 10．（_{2014 秋•河南期末）如图是抛物线 y=ax}2_{+bx+c 的图象的一部分，请你根据图象写} 出方程ax2+bx+c=0 的两根是． 11．如图所示，已知抛物线

y x bx c



2



经过点(0，-3)，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的 b 的值是________． 12．如图所示，二次函数

y ax bx c



2



(a≠0)．图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为-1 和 3，与 y 轴负半轴交于点 C．下面四个结论：①

2 a b

 

0

； ②

a b c

  

0

；③只有当

1

2 a 

时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的 a 的值可以有三个．那么其中正确的结论是___ _____．(只填你认为正确结论的序号) 三、解答题 13．已知函数

y mx



2



6 x



1

(m 是常数) (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值．

(3)

14. 已知抛物线

1

2

2 y



x

 

x c

与 x 轴没有交点． (1)求 c 的取值范围； (2)试确定直线

y cx





1

经过的象限，并说明理由． 15．（_{2014•上城区校级模拟）已知关于 x 的函数 y=（k﹣1）x}2_{+4x+k 的图象与坐标轴只有 2 个交点，求 k} 的值．

(4)

【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C；【解析】∵ 一元二次方程

 

x

2

2 kx

 

2 0

的根的判别式为 △＝

(2 ) 4 ( 1) 2 4

k

2

    

k

2



8

， ∵

k 

2

0

，∴ △＝

4 k  

2

8 0

．故抛物线

y

  

x

2

2 kx



2

与 x 轴有两个交点． 2.【答案】C；【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3 时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56， ∵0 距﹣0.11 近一些， ∴方程 x2+2x﹣10=0 的一个近似根是﹣4.3，故选 C． 3.【答案】B；【解析】设

y

₁



x

2与 ₂

1

3

2 y

 

x



的交点横坐标为

x

₁，

x

₂(

x x

₁



₂)，观察图象可知，当

y

₁



y

₂时，自变量 x 的取值范围是

x x x

₁

 

₂，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立 2

1 ₃

2 y x

y

x

 





 





，可得 2

1 _{3 0}

2 x



x

 

．解得

x  

₁

2

， ₂

3

2 x 

，∴

2

3

2 x

  

． 4. 【答案】D；【解析】不等式

k x

2

1 0

x



 

可变形为 2

1 k

_x

x

  

，由

y x



2



1

与 2

₁

y

  

x

关于原点对称，所以

y

k

x



与

y

  

x

2

1

的交点与点 A 关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示，观察图象可知

k

x

2

1 x

  

的解集是

  

1 x

0

． 5.【答案】A；【解析】由抛物线开口向上，知 a＞0，又∵ 抛物线与 y 轴的交点(0，c)在 y 轴负半轴， ∴ c＜0．由对称轴在 y 轴左侧， ∴

0

2 b

a





，∴ b＞0．又∵ 抛物线与 x 轴有两个交点， ∴

b

2



4 ac



0

，故选 A． 6.【答案】D；【解析】由图象可知，当

x  

2

时，y＜0．所以

4 a



2 b c

 

0

，即①成立；因为

 

2 x

₁

 

1

，

0 

x

₂



1

，所以

1

0

2 b

a

  



，又因为抛物线开口向下，所以 a＜0，所以

2 a b

 

0

，即②成立；因为图象经过点(-1，2)，所以 2

4 ₂

4 ac b

a





，所以

b

2



8 a



4 ac

，即④亦成立(注意 a＜0，

(5)

两边乘以 4a 时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以

a b c

  

2

，即

b a c

  

2

，又∵

4 a



2 b c

 

0

，∴

2 b



4 a c



．∴

2 a



2 c

 

4 4

a c



，即

2 a c

     

4 2 4

2

，∴

a  

1

，所以③成立．二、填空题 7．【答案】(

1 

2

，0)，(

1 

2

，0)；(0，-1)．【解析】对于

y x



2



2 1

x



，令 x＝0，则 y＝-1． ∴ 抛物线

y x



2



2 1

x



与 y 轴的交点坐标是(0，-1)．令 y＝0，则

x

2



2 1 0

x

 

．解得

x  

₁

1

2

，

x  

₂

1

2

． ∴ 抛物线

y x



2



2 1

x



与 x 轴的交点坐标是(

1 

2

，0)，(

1 

2

，0)． 8．【答案】

3

4 m  

；【解析】∵ 二次函数

y x



2



(2

m



1)

x m



2



4 m



4

的图象与 x 轴有两个交点， ∴

[ (2



m



1)] 4(

2



m

2



4 m



4) 0



．即

4 m

2



4 m

 

1 4

m

2



16 m



16 0



，解得

3

4 m  

． 9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵ 抛物线

y x



2



x

与直线 y＝-3x+3 的交点的横坐标、纵坐标相同．故可联立 2

3

3 y x

x

y

x

 





  



，∴

x

2



2 x

 

3 0

，

x  

1

3

，

x 

2

1

．将 x1＝-3，x2＝1 代入 y＝-3x+3 中得方程组的解为 1 1

3

12 x

y

 



 



， 2 2

1

0 x

y





 



． ∴ 抛物线

y x



2



x

与直线 y＝-3x+3 的交点坐标为(-3，12)，(1，0)． 10．【答案】_x1=﹣3，x2=1；【解析】∵由图可知，抛物线与_{x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线 x=﹣1，} ∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x，0），则 =﹣1，解得 x=1， ∴方程ax2+bx+c=0 的两根是 x1=﹣3，x2=1． 11．【答案】

1

2 

等；【解析】由题意

x bx

2



 

3 0

的一个根在 1 与 3 之间，假设根为

x 

2

，代入得

2



2 b

 

3 0

∴

1

2 b  

，答案不唯一.

(6)

12．【答案】①③；【解析】抛物线的对称轴为

1 3 1

2 x



 



，∴

1

2 b

a





，

2 a b

 

0

，①正确； ②当

x 

1

时，

y 

0

即

a b c

  

0

，②错；③当

1

2 a 

时，顶点 D 的坐标为（1，-2）， △ABD 为等腰直角三角形，又∵ 抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA 不可能为直角，所以只有

1

2 a 

时，△ABD 是等腰直角三角形，∴ ③正确；△ACB 为等腰三角形，有三种可能性： ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵ OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC 为等腰三角形的点 C 的位置只有两个，因此 a 的值也只能是两个，∴④错. 三、解答题 13.【答案与解析】解： (1)当 x＝0 时，y＝1，所以不论 m 为何值，函数

y mx



2



6 x



1

的图象经过 y 轴上的一个定点(0，1)． (2)①当 m＝0 时，函数

y

  

6 x

1

的图象与 x 轴只有一个交点； ②当 m≠0 时，若函数

y mx



2



6 x



1

的图象与 x 轴只有一个交点，则方程

mx

2



6 x

 

1 0

有两个相等的实数根，所以△＝(-6)2 -4m＝0，m＝9．综上，若函数

y mx



2



6 x



1

的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为 0 或 9． 14.【答案与解析】解：（1）∵ 抛物线与 x 轴没有交点 ∴ △＜0，即

1 2



c



0

．解得

1

2 c 

，（2）∵

1

2 c 

∴ 直线

y cx





1

随 x 的增大而增大，∵

b 

1

∴ 直线

y cx





1

经过第一、二、三象限． 15.【答案与解析】解：分情况讨论：（ⅰ）_{k﹣1=0 时，得 k=1．} 此时_{y=4x+1 与坐标轴有两个交点，符合题意；} （ⅱ）_{k﹣1≠0 时，得到一个二次函数．} ①抛物线与 x 轴只有一个交点，△=16﹣4k（k﹣1）=0，解得_k= ； ②抛物线与 x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（_{0，0）代入函数解析式，得 k=0．} ∴k=1 或 0 或．