國中數學4 1 1等差數列

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1−1 等差數列

本節課程學習重點： ◎能觀察有次序的數列，並理解其規則性。 ◎能舉出數列的實例，並能判斷哪些數列是等差數列。 ◎能了解等差數列中的各項名詞。 ◎能利用首項和公差計算出等差數列的每一項。 ◎知道等差中項的意義及其求法。一、數列：將數字排成一列，不管有規律、沒規律或重複出現，都叫做數列。可分成： (1)有規律的數列。例如：2 , 4 , 6 , 8 , 10, …。 (2)沒有規律的數列。例如：某期大樂透的中獎號碼為 9 , 11 , 17 , 39 , 40 , 43 , 46。 ◎名詞說明： (1)在數列中的每一個數字稱為項。 (2)第一個數稱為第 1 項或是首項，一般簡記為 a1。 (3)第二個數稱為第 2 項，記為 a2，第三個數稱為第 3 項，記為 a3，…。 (4)如果一個數列有 n 項，最後一個數稱為第 n 項或末項，記為 an。 【說明】已知一數列 5 , 8 , 12 , 7 , 19 , 23 , 33，則 a1＝5，a2＝8，a3＝12，末項 a7＝33，其項數為 7。練習 1：觀察下列數列的規律，在空格中填入適當的數： (1) 1 , 3 , 5 , 7 , □ (2) 3 , 9 , 27 , □ , 243 , 729 (3) 1 ,－2 , 3 ,－4 , 5 , □ , 7 ,－8 , 9 ,－10 練習 2：觀察下列數列的規律，在空格中填入適當的數字： (1) 5 , 10 , 15 , 20 , □ (2) 1 , 4 , 9 , □ , 25 , 36 (3) 10 , 8 , 6 , □ , 2 【觀念釐清】直接看某個未知的數列，不同的人可能會觀察到不同的規律，進而推算出不同的結果。【說明】例如：觀察數列 1 , 2 , 4 ,…的規律中，是否能找出 4 的下一項是多少？以下列出兩種可能的看法： (1)若a1 = ，1 a2 = + = ，a1 1 2 a3 =a2+ = ，則2 4 a4 =a3+ = 。(階差數列) 3 7 1 2 4 7 ＋1 ＋2 ＋3 (2)若a₁ = ，1 a₂ = × = ，a₁ 2 2 a₃ =a₂× = ，則2 4 a₄ = × = 。(等比數列) a₃ 2 8 1 2 4 8 ×2 ×2 ×2 所以只憑有限幾項可能會觀察到不同的規律，因而可以有不同的預測。 ◎循環小數：有些小數，其小數點後的數字也會呈現某種規律，例如：將 7 11化成小數為 0.636363…，從小數點後，數字 6 和 3 重複循環出現，這種小數稱為循環小數，簡記為 7 11＝0. 63 。

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練習 3：已知 13 27＝0. 481 (即從小數點後，數字 4、8、1 重複循環出現)，將小數點後的數字依序排成數列：4 , 8 , 1 , 4 , 8 , 1 , …，則 (1)寫出這個數列的前 15 項。 (2)這個數列的第 49 項、第 59 項及第 69 項分別為多少？練習 4：已知 25 37＝0. 675 (即從小數點後，數字 6、7、5 重複循環出現)，將小數點後的數字依序排成數列：6 , 7 , 5 , 6 , 7 , 5 , 6 , 7 , 5 ,…，則 (1)寫出這個數列的前 12 項。 (2)這個數列的第 254 項為何？ ◎沒有規律的數列：不是所有的數列都有明顯的規律性，若不能找到各項之間的規律，就無法利用這個數列來求出可能的下一項。例如：中央氣象局的天氣預報。【觀念釐清】從圖形的序列之中也可以找到一些數量關係。【說明】某些圖形間排列的規律，可以用數列的方式表現出來，還可以利用這些規律，來排出這些圖形的後幾個圖形。練習 5：用等長的吸管依次向右排出相連的三角形，如下圖。如果要排第 10 個圖形，總共需要幾根吸管？(Hint：觀察遞迴關係) 第一個第二個第三個 … 練習 6：下圖是用黑色棋子排出來的實心正方形，觀察圖形的規律並回答問題：第 1 個圖形第 2 個圖形第 3 個圖形第 4 個圖形第 5 個圖形 … (1)如果要排出第 6 個圖形，需要幾個黑色棋子？ (2)如果要排出第 10 個圖形，需要幾個黑色棋子？

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二、等差數列：在一數列中，任意相鄰的兩項，其後項減去前項的差都相等的數列，就稱為等差數列， 而這個差稱為公差。例如：數列 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 為公差 2 的等差數列。 【觀念釐清】等差數列的前後項關係：後項－前項＝公差；後項＝前項＋公差；前項＝後項－公差。練習 7：判斷下列何者是等差數列。如果是等差數列，請寫出它的公差。 (1) 6 , 6 , 6 , 6 , 6 (2) 2 , 1 , 0 ,－1 ,－2 (3) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 (4) 2 ,－2 , 2 ,－2 , 2 練習 8：判斷下列何者是等差數列。如果是等差數列，請寫出它的公差。 (1) 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 (2) 5 , 50 , 500 , 5000 , 50000 (3)－1 ,－1 ,－1 ,－1 ,－1 ,－1 (4) 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 練習 9：若等差數列的首項為 2，公差為 3，寫出這個等差數列的前 5 項。練習 10：若等差數列的首項為 5，公差為－3，寫出這個等差數列的第 6 項。練習 11：(1)若等差數列的首項為－8，公差為 4，寫出這個等差數列的前 7 項。 (2)若等差數列的首項是－3，公差是－5，寫出這個等差數列的第 8 項。練習 12：在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) , 11 , 7, 。 (2)－2 3 , 3 3 , 8 3 , , 。 (3) , a , a＋5 , a＋10 , 。 (4) , ,a , a＋d , , 。 練習 13：在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) , , 1 , 5 , 9 , 。 (2) , 11 , 5 , 。 (3) , a , a＋4 , a＋8 , 。 (4) , a＋d , a , a－d , , 。

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三、等差數列的第 n 項：

◎等差數列的第 n 項公式：當首項為 a1，公差為 d，則第 n 項 an＝a1＋(n－1)×d。

【說明】a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d，a5＝a1＋4d，…，an＝a1＋(n－1)d。

a

＋d

a

＋2d

a

＋3d

a

＋4d 2×d 1×d 3×d 4×d

d

_公差 …

d

【觀念釐清】(1)等差數列中，若公差為 d，則 an＝ak＋(n－k)×d。 (2)奇數 1 , 3 , 5 ,…的第 n 個奇數為 2n－1；偶數 2 , 4 , 6 , …的第 n 個偶數為 2n。 練習 14：已知一等差數列的 a1＝24，d＝－4，求此等差數列的 a12。 練習 15：已知一等差數列的 a1＝7，d＝6，求此等差數列的 a23。練習 16：設一等差數列的首項為 2，末項為 93，公差為 7，則這個等差數列共有幾項？練習 17：設一等差數列的首項為 7，末項為－161，公差為－6，則這個等差數列共有幾項？練習 18：設一等差數列的第 3 項為 12，第 5 項為 10，則 (1)公差為多少？ (2)首項為多少？ (3)第 15 項為多少？練習 19：設一等差數列的第 3 項為 10，第 6 項為 22，則 (1)公差為多少？ (2)首項為多少？ (3)第 10 項為多少？

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練習 20：自 200 到 1000 的整數中，3 的倍數有幾個？練習 21：自 246 到 1382 的整數中，4 的倍數有幾個？練習 22：用等長的吸管依次向右排出相連的正方形，如下圖，觀察圖形的規律並回答問題：第 1 個圖形第 2 個圖形第 3 個圖形第 4 個圖形 … (1)如果要排出第 10 個圖形，總共需要幾根吸管？ (2)如果要排出第 n 個圖形，總共需要幾根吸管？ (3)如果排出第 m 個圖形需要 40 根吸管，則 m＝？ (4)用 87 根吸管是否能恰好排出如上圖相連的正方形？練習 23：用等長的吸管依次向右排出相連的正六邊形，如下圖，觀察圖形的規律並回答問題：第 1 個圖形第 2 個圖形第 3 個圖形第 4 個圖形 … (1)如果要排出第 10 個圖形，需要幾根吸管？ (2)如果要排出第 n 個圖形，需要 76 根吸管，則 n＝？ (3)用 266 根吸管是否能恰好排出如上圖相連的正六邊形？ 四、等差中項：當 a , b , c 為等差數列時，b 稱為 a 和 c 的等差中項，且 b＝a＋c 2 。【說明】當三個數成一等差數列時，我們就把中間那一項稱為另外兩項的等差中項。例如：3, 4, 5 是等差數列，則 4 就是 3 和 5 的等差中項。可知等差中項為前後兩項之和的一半。

如果 a , b , c 三數成等差數列，則 b－a＝c－b，得 2b＝a＋c，所以 b＝a＋c

2 。 【觀念釐清】若 an為等差數列的第 n 項，則 a1＋an＝a2＋an－₁＝a₃＋a_n－₂＝…。

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練習 24：已知－14 , p , 7 成等差數列，求 p＝？。 練習 25：已知 a , 5 , c 成等差數列，求 a＋c＝？ 練習 26：在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) a－d , , a＋d。 (2) , 9 , , 19 , 。練習 27：在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) 27 , , 53 , 。 (2) , 0 , , 8 , 。 (3) a－3 , , a＋1 , 。 【觀念釐清】三數成等差數列的假設法： 當三數成等差數列時，若 a 為等差中項，d 為公差，則此三數可以寫成 a－d , a , a＋d。 練習 28：若直角三角形三個角的度數成等差數列，則這三個角的度數分別是多少？練習 29：若三角形中三個內角的度數成等差數列，且最小內角是 20°，求最大內角的度數。練習 30：若兩數的等差中項為 9，且此兩數的積為 45，求此兩數。練習 31：若兩數的等差中項為 4，且此兩數的積為－33，求此兩數。

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自我評量 1. 在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) －3 , 3 , , 。 (2) , 2 , 5 , 。 (3) 18 , , , , 2。 (4) , 2a－3d , , 4a＋3d , 。 2. 設等差數列的首項為 8，第 2 項為－6。 (1) 求第 8 項。 (2) 若第 n 項為－132，求 n 的值。 3. 設一等差數列的第 4 項為 15，第 9 項為 35，試求(1) 首項，(2) 公差，(3) 第 24 項減第 19 項的差。 4. 若一數列的第 n 項可寫成 an＝4n＋3，則 (1)此數列的第 19 項為何？ (2)此數列是否為等差數列？若是，其公差為何？

5. 如果 a、b 兩數的等差中項為 15，且 2a＋b、3a－b 兩數的等差中項為 30，求 a、b 的值。

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7. 如下圖，觀察圖形的規律並回答下列問題：

…

第 1 個第 2 個第 3 個第 4 個第 5 個第 6 個 (1)若有 15 個框，則交點數共有多少個？ (2)若有 n 個框時，交點數共有 89 個，則 n＝？ 習作 1. 觀察下列各數列的規律性，在各□中填入適當的數。 (1) 1 1 , 1 2 , 1 3 , □ , 1 5 , □ , 1 7 , 1 8 (2) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, □, □, 5, 5, 5, 5 (3) 1 1 , 2 1 , 1 2 , 3 1 , 2 2 , 1 3 , 4 1 , □ , 2 3 , 1 4 , □ , 4 2 , 3 3 , 2 4 , 1 5 2. 在下列各空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) , 7 , 3 , , (2) 4 , , , , 20 (3) 4＋ 7 , 1＋3 7 , , －5＋7 7 , (4) , a＋5d , , a－5d , 3. 設一等差數列的首項為 7，第 23 項為－37，則此等差數列的公差是多少？ 4. 設一等差數列的首項為 42 3 ，末項為 18 1 6 ，公差為 3 2 ，則這個等差數列共有幾項？ 5. 一等差數列的第 8 項為 35，第 15 項為 63，試求(1)公差，(2)首項，(3)第 23 項。

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3 23 17 b a 6. 若一數列的第 n 項可寫成 an＝4n－3，則 (1) a12＝？ (2)此數列是否為等差數列？若是，其公差為何？ 7. 設兩數的等差中項為 8，兩數的積為 39，試求此兩數。

8. 等差數列 a1、a2、a3、…、an中，設公差為 d，回答下列問題：

(1) a50－a30＝ ×d。 (2)若 a50－a30＝8，則 a300－a100＝。 9. 如圖，若在每個方格中各填入一個數，使橫列與直行各成等差數列，則 a、b 的值為何？ 10. 某公司請五名警衛甲、乙、丙、丁、戊來輪值夜班，且輪值的規則如下表，請回答下列問題： (1)最快到第幾週時，輪值表會和第 1 週相同？ (2)誰在第 22 週輪值夜班兩次？ (3)第 33 週的星期日是由誰輪夜班？星期週次一二三四五六日 1 甲乙丙丁戊甲乙 2 丙丁戊甲乙丙丁 3 戊甲乙丙丁戊甲 4 5 … …

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類題補充

1. 若一直角三角形的三邊長成等差數列，求三邊長的比。

2. 若直角三角形的三邊長成等差數列，面積為 216 平方公分，求其周長。

3. 有一個等差數列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7，若 a1＋a2＝23，a6＋a7＝5，則 a3＋a4＋a5的值為何？

4. 數列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , …，其中第 1 項為 1，第 2 項為 1，自第 3 項起每一項均等於前兩項的和，如此規則的數列稱為費氏數列；則該數列第 2007 項應符合下列哪個特質？ (A) 0 (B)奇數 (C)偶數 (D)條件不足，不能判斷 5. 如圖，若在每個方格中各填入一個數，使橫列與直行各成等差數列，則 a＝。 27 a 26 －1 6. 設 9x＋7 , 7x＋1 , 3x＋4 成等差數列，則 x＝。

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7. 將 13 70化成小數，得 13 70＝0.1857142857142…，將小數點以後的數字依序排成一數列，則第 99 項為。 8. 設有兩等差數列，其中一數列首項是 17，公差是 4，另一數列首項是 19，公差是 6，則 (1)此兩數列中最小的共同項是。 (2)其共同項也會形成等差數列，此等差數列的第 10 項是。 9. 甲依序數：1 , 2 , 3 , 4 , …，乙同時以同速率倒數 a , a－1 , a－2 , …，如果甲數到 42 時，乙數到 68， 則(1) a＝，(2)兩人會同時數的是哪一個數？ 10. 一個等差數列的第 8 項是第 5 項的兩倍，且此兩項的和是 27，試求此數列的首項、公差、第 2 項與第 11 項。 11. 長 25 公分、寬 20 公分的長方形紙張，以下圖的方式疊在桌面上，疊完 8 張後，所有紙張的總面積為多少平方公分？ … (1 張) (2 張) (3 張) (4 張)

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12. 設 a1 , a2 , a3 , a4成等差數列，若 a1＋a2＝8、a3＋a4＝16，則此數列的公差為多少？ 13. 一等差數列的公差為 4，若將每一項乘以 3 後再加上 3，所形成的新數列其公差為多少？ 14. 在 12 與－44 之間插入 n 個數，使其成為公差為－4 的等差數列，則 n＝？ 15. 設一等差數列的首項是 35，公差是－4，則由第項開始為負數。 16. 若 a , b , c 三數成等差數列，則 b＋a b－a＋ b＋c b－c＝。 17. 自 100 到 300 的整數中，除以 6 餘 2 的整數有個。 18. 某劇場共有 25 排座位，每一排都比前一排多 2 個座位，如果最後一排有 90 個座位，則此劇場第一排有個座位，最中間的一排有個座位。

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19. 試求數列 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … 的第 2013 項為。 20. 觀察圖(一)～圖(三)的規律，回答下列問題： (1)圖(三十)的白色方格比灰色方格多個。 (2)若圖(n)中，灰色方格與白色方格的總數恰為 672個，則 n＝。 … 圖(一) 圖(二) 圖(三) 21. 在－8 和 76 之間插入一些數，使其成為等差數列，若插入的第 4 個數為 20，則共插入個數。 22. 若 14 , 27 , a , 53 , b , c 形成一組等差數列，則 c－a＝？ 23. 已知 a , b , c 為一等差數列，其中 a＜b＜c，若 a＋b＋c＝24，abc＝440，則此等差數列為何？ 24. 將一堆同樣大小的彈珠，依照下圖的規律排出正三角形的圖案，請問圖(十五)中有顆彈珠。圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) …

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加強練習 1. 設兩數的等差中項為 64，求此兩數和為。 2. 一等差數列的第 9 項為 31，第 20 項為 53，則 (1)首項＝，(2)公差＝，(3)第 28 項＝。 3. 若 a , b , c 三數成等差數列，則下列何者不是等差數列？ (A) a × 2 , b × 2 , c × 2 (B) a－2 , b－2 , c－2 (C) a ÷ 2＋1 , b ÷ 2＋1 , c ÷ 2＋1 (D) 1 a , 1 b , 1 c 4. 若一等差數列的第 n 項 an＝4n－3，則此數列的公差為何？ (A)－3 (B) 3 (C)－4 (D) 4 5. 觀察 1 1×3、 1 2×5、 1 3×7、 1 4×9、…的規律，則依此規律的第 25 個數為何？ (A) 1 24×25 (B) 1 25×26 (C) 1 25×51 (D) 1 25×27 6. 有一條串珠項鍊，其花色為☆★☉◇☆★☉◇…，請問哪一個位置為★？ (A) 64 (B) 82 (C) 95 (D) 100 7. 若 a , b , c 三數成等差數列，公差為 5，則 a 5, b 5, c 5 為等差數列，其公差為。 8. 有一等差數列，a1000＝99，a3000＝11，則 a2000＝。 9. 有一等差數列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6，公差為 d ( d≠0)，則下列敘述何者一定正確？

(A) a5－a1＝4d (B) a2＋a3＝5d (C) a5－a3＝a2 (D) a1＋a2＝a3

10. 已知 6

13＝0.461538461538…，則小數點後第 120 個數字是多少？ (A) 4 (B) 6 (C) 5 (D) 8

11. 有一等差數列 a1 , a2 , … , a100，若 a35－a21＜0，則下列何者正確？

(A) a35－a60＜0 (B) a27＋a33＜a15＋a45 (C) a30＋a50＜a20＋a60 (D) a100－a58＜0

12. 一規律數列其各項是 a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…，則下列何者為真？

(A) a6－a5＝5 (B) a6＝1＋2＋3＋4＋5 (C) a10＝55 (D) a12＝2a6

13. 若 1 x, 1 6, 1 8三數成等差數列，則 x＝。 14. 直角三角形的三邊長成等差數列，且其面積為 54 平方公分，則此直角三角形斜邊上的高為幾公分？ 15. 設有兩個等差數列，一數列首項為 11，公差為 15；另一數列首項為 7，公差為 11，則這兩個數列最小的共同項為。 16. 在坐標平面上，由 A1(－50 , 39)向右移動 3 單位，再向下移動 2 單位走到 A2，繼續由 A2同樣向右 移動 3 單位，再向下移動 2 單位走到 A3，如此移動，依次到達 A4、A5、A6…，則 A15在第幾象限？ 17. 等差數列 a1 , a2 , a3 , … , an中，若 a7－a6＝7，則 a650－a50＝。 18. 一等差數列的第 26 項為 144，公差為 6，則 18 為此數列的第項。 19. 有一個等差數列 a1 , a2 , a3 , … , a39，已知該數列的公差為－6，且 a20＝0，則下列敘述何者正確？

(A) a1－a12＜0 (B) a12＋a28＜0 (C) a1＋a39＜a2＋a38 (D) a2＋a39＜0

20. 已知兩個等差數列，其中一數列的首項為 12，公差為 2；另一數列的首項為 7，公差為 3，則此兩數列的共同項所形成的數列中，第 10 項為。 21. 已知一等差數列的第 n 項為 an，公差為 d，且 a6＜0，a10＞0，則下列敘述何者正確？ (A) a1＞0，d＞0 (B) a1＞0，d＜0 (C) a1＜0，d＞0 (D) a1＜0，d＜0 22. 已知一等差數列的第 5 項為 52，第 7 項為 72_{，則第 3 項為何？ (A) 1}2 (B) 22 (C) 32 (D) 42 23. 已知數列：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , …。觀察以上數列可發現從第 3 項開始，每一項都是前兩項的和，若寫出此數列的前 200 項，請問這 200 個數中共有幾個偶數？ 24. 已知 x、y 兩數的等差中項為 7，且(2x＋y)、(3x－2y)兩數的等差中項為－10， 則 x＝，y＝。 25. 用相同的牙籤排出相連的八邊形，如圖。若想排出 n 個相連的八邊形，則共需要枝牙籤。

(15)

Ans：1. 128；2.(1) 15，(2) 2，(3) 69；3.(D)；4.(D)；5.(C)；6.(B)；7. 1；8. 55；9.(A)；10.(D)； 11.(D)；12.(C)；13.24 5 ；14. 36 5 公分；15. 161；16.第二象限；17. 4200；18. 5；19.(D)；20. 70； 21.(C)；22.(A)；23. 66 個；24.－1，15；25.1 7n+ 。心得筆記