國中數學4 1 1等差數列

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1−1 等差數列

本節課程學習重點: ◎能觀察有次序的數列,並理解其規則性。 ◎能舉出數列的實例,並能判斷哪些數列是等差數列。 ◎能了解等差數列中的各項名詞。 ◎能利用首項和公差計算出等差數列的每一項。 ◎知道等差中項的意義及其求法。 一、數列:將數字排成一列,不管有規律、沒規律或重複出現,都叫做數列。可分成: (1)有規律的數列。例如:2 , 4 , 6 , 8 , 10, …。 (2)沒有規律的數列。例如:某期大樂透的中獎號碼為 9 , 11 , 17 , 39 , 40 , 43 , 46。 ◎名詞說明: (1)在數列中的每一個數字稱為項。 (2)第一個數稱為第 1 項或是首項,一般簡記為 a1。 (3)第二個數稱為第 2 項,記為 a2,第三個數稱為第 3 項,記為 a3,…。 (4)如果一個數列有 n 項,最後一個數稱為第 n 項或末項,記為 an【說明】已知一數列 5 , 8 , 12 , 7 , 19 , 23 , 33,則 a1=5,a2=8,a3=12,末項 a7=33,其項數為 7。 練習 1:觀察下列數列的規律,在空格中填入適當的數: (1) 1 , 3 , 5 , 7 , □ (2) 3 , 9 , 27 , □ , 243 , 729 (3) 1 ,-2 , 3 ,-4 , 5 , □ , 7 ,-8 , 9 ,-10 練習 2:觀察下列數列的規律,在空格中填入適當的數字: (1) 5 , 10 , 15 , 20 , □ (2) 1 , 4 , 9 , □ , 25 , 36 (3) 10 , 8 , 6 , □ , 2 【觀念釐清】直接看某個未知的數列,不同的人可能會觀察到不同的規律,進而推算出不同的結果。 【說明】例如:觀察數列 1 , 2 , 4 ,…的規律中,是否能找出 4 的下一項是多少? 以下列出兩種可能的看法: (1)若a1 = ,1 a2 = + = ,a1 1 2 a3 =a2+ = ,則2 4 a4 =a3+ = 。(階差數列) 3 7 1 2 4 7 +1 +2 +3 (2)若a1 = ,1 a2 = × = ,a1 2 2 a3 =a2× = ,則2 4 a4 = × = 。(等比數列) a3 2 8 1 2 4 8 ×2 ×2 ×2 所以只憑有限幾項可能會觀察到不同的規律,因而可以有不同的預測。 ◎循環小數:有些小數,其小數點後的數字也會呈現某種規律,例如:將 7 11化成小數為 0.636363…, 從小數點後,數字 6 和 3 重複循環出現,這種小數稱為循環小數,簡記為 7 11=0. 63 。

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練習 3:已知 13 27=0. 481 (即從小數點後,數字 4、8、1 重複循環出現), 將小數點後的數字依序排成數列:4 , 8 , 1 , 4 , 8 , 1 , …,則 (1)寫出這個數列的前 15 項。 (2)這個數列的第 49 項、第 59 項及第 69 項分別為多少? 練習 4:已知 25 37=0. 675 (即從小數點後,數字 6、7、5 重複循環出現),將小數點後的數字依序排成 數列:6 , 7 , 5 , 6 , 7 , 5 , 6 , 7 , 5 ,…,則 (1)寫出這個數列的前 12 項。 (2)這個數列的第 254 項為何? ◎沒有規律的數列: 不是所有的數列都有明顯的規律性,若不能找到各項之間的規律,就無法利用這個數列來求出可能 的下一項。例如:中央氣象局的天氣預報。 【觀念釐清】從圖形的序列之中也可以找到一些數量關係。 【說明】某些圖形間排列的規律,可以用數列的方式表現出來,還可以利用這些規律,來排出這些 圖形的後幾個圖形。 練習 5:用等長的吸管依次向右排出相連的三角形,如下圖。 如果要排第 10 個圖形,總共需要幾根吸管?(Hint:觀察遞迴關係) 第一個 第二個 第三個 … 練習 6:下圖是用黑色棋子排出來的實心正方形,觀察圖形的規律並回答問題: 第 1 個圖形 第 2 個圖形 第 3 個圖形 第 4 個圖形 第 5 個圖形 … (1)如果要排出第 6 個圖形,需要幾個黑色棋子? (2)如果要排出第 10 個圖形,需要幾個黑色棋子?

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二、等差數列:在一數列中,任意相鄰的兩項,其後項減去前項的差都相等的數列,就稱為等差數列, 而這個差稱為公差。例如:數列 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 為公差 2 的等差數列。 【觀念釐清】等差數列的前後項關係:後項-前項=公差;後項=前項+公差;前項=後項-公差。 練習 7:判斷下列何者是等差數列。如果是等差數列,請寫出它的公差。 (1) 6 , 6 , 6 , 6 , 6 (2) 2 , 1 , 0 ,-1 ,-2 (3) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 (4) 2 ,-2 , 2 ,-2 , 2 練習 8:判斷下列何者是等差數列。如果是等差數列,請寫出它的公差。 (1) 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 (2) 5 , 50 , 500 , 5000 , 50000 (3)-1 ,-1 ,-1 ,-1 ,-1 ,-1 (4) 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 練習 9:若等差數列的首項為 2,公差為 3,寫出這個等差數列的前 5 項。 練習 10:若等差數列的首項為 5,公差為-3,寫出這個等差數列的第 6 項。 練習 11:(1)若等差數列的首項為-8,公差為 4,寫出這個等差數列的前 7 項。 (2)若等差數列的首項是-3,公差是-5,寫出這個等差數列的第 8 項。 練習 12:在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) , 11 , 7, 。 (2)-2 3 , 3 3 , 8 3 , , 。 (3) , a , a+5 , a+10 , 。 (4) , ,a , a+d , , 。 練習 13:在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) , , 1 , 5 , 9 , 。 (2) , 11 , 5 , 。 (3) , a , a+4 , a+8 , 。 (4) , a+d , a , a-d , , 。

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三、等差數列的第 n 項:

◎等差數列的第 n 項公式:當首項為 a1,公差為 d,則第 n 項 an=a1+(n-1)×d。

【說明】a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,a5=a1+4d,…,an=a1+(n-1)d。

a

a

+d

a

+2d

a

+3d

a

+4d 2×d 1×d 3×d 4×d

d

公差

d

d

d

【觀念釐清】(1)等差數列中,若公差為 d,則 an=ak+(n-k)×d。 (2)奇數 1 , 3 , 5 ,…的第 n 個奇數為 2n-1;偶數 2 , 4 , 6 , …的第 n 個偶數為 2n。 練習 14:已知一等差數列的 a1=24,d=-4,求此等差數列的 a12。 練習 15:已知一等差數列的 a1=7,d=6,求此等差數列的 a23。 練習 16:設一等差數列的首項為 2,末項為 93,公差為 7,則這個等差數列共有幾項? 練習 17:設一等差數列的首項為 7,末項為-161,公差為-6,則這個等差數列共有幾項? 練習 18:設一等差數列的第 3 項為 12,第 5 項為 10,則 (1)公差為多少? (2)首項為多少? (3)第 15 項為多少? 練習 19:設一等差數列的第 3 項為 10,第 6 項為 22,則 (1)公差為多少? (2)首項為多少? (3)第 10 項為多少?

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練習 20:自 200 到 1000 的整數中,3 的倍數有幾個? 練習 21:自 246 到 1382 的整數中,4 的倍數有幾個? 練習 22:用等長的吸管依次向右排出相連的正方形,如下圖,觀察圖形的規律並回答問題: 第 1 個圖形 第 2 個圖形 第 3 個圖形 第 4 個圖形 … (1)如果要排出第 10 個圖形,總共需要幾根吸管? (2)如果要排出第 n 個圖形,總共需要幾根吸管? (3)如果排出第 m 個圖形需要 40 根吸管,則 m=? (4)用 87 根吸管是否能恰好排出如上圖相連的正方形? 練習 23:用等長的吸管依次向右排出相連的正六邊形,如下圖,觀察圖形的規律並回答問題: 第 1 個圖形 第 2 個圖形 第 3 個圖形 第 4 個圖形 … (1)如果要排出第 10 個圖形,需要幾根吸管? (2)如果要排出第 n 個圖形,需要 76 根吸管,則 n=? (3)用 266 根吸管是否能恰好排出如上圖相連的正六邊形? 四、等差中項:當 a , b , c 為等差數列時,b 稱為 a 和 c 的等差中項,且 b=a+c 2 【說明】當三個數成一等差數列時,我們就把中間那一項稱為另外兩項的等差中項。例如:3, 4, 5 是 等差數列,則 4 就是 3 和 5 的等差中項。可知等差中項為前後兩項之和的一半。

如果 a , b , c 三數成等差數列,則 b-a=c-b,得 2b=a+c,所以 b=a+c

2 【觀念釐清】若 an為等差數列的第 n 項,則 a1+an=a2+an1=a3+an2=…。

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練習 24:已知-14 , p , 7 成等差數列,求 p=?。 練習 25:已知 a , 5 , c 成等差數列,求 a+c=? 練習 26:在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) a-d , , a+d。 (2) , 9 , , 19 , 。 練習 27:在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) 27 , , 53 , 。 (2) , 0 , , 8 , 。 (3) a-3 , , a+1 , 。 【觀念釐清】三數成等差數列的假設法: 當三數成等差數列時,若 a 為等差中項,d 為公差,則此三數可以寫成 a-d , a , a+d。 練習 28:若直角三角形三個角的度數成等差數列,則這三個角的度數分別是多少? 練習 29:若三角形中三個內角的度數成等差數列,且最小內角是 20°,求最大內角的度數。 練習 30:若兩數的等差中項為 9,且此兩數的積為 45,求此兩數。 練習 31:若兩數的等差中項為 4,且此兩數的積為-33,求此兩數。

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自我評量 1. 在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) -3 , 3 , , 。 (2) , 2 , 5 , 。 (3) 18 , , , , 2。 (4) , 2a-3d , , 4a+3d , 。 2. 設等差數列的首項為 8,第 2 項為-6。 (1) 求第 8 項。 (2) 若第 n 項為-132,求 n 的值。 3. 設一等差數列的第 4 項為 15,第 9 項為 35,試求(1) 首項,(2) 公差,(3) 第 24 項減第 19 項的差。 4. 若一數列的第 n 項可寫成 an=4n+3,則 (1)此數列的第 19 項為何? (2)此數列是否為等差數列?若是,其公差為何?

5. 如果 a、b 兩數的等差中項為 15,且 2a+b、3a-b 兩數的等差中項為 30,求 a、b 的值。

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7. 如下圖,觀察圖形的規律並回答下列問題:

第 1 個 第 2 個 第 3 個 第 4 個 第 5 個 第 6 個 (1)若有 15 個框,則交點數共有多少個? (2)若有 n 個框時,交點數共有 89 個,則 n=? 習作 1. 觀察下列各數列的規律性,在各□中填入適當的數。 (1) 1 1 , 1 2 , 1 3 , □ , 1 5 , □ , 1 7 , 1 8 (2) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, □, □, 5, 5, 5, 5 (3) 1 1 , 2 1 , 1 2 , 3 1 , 2 2 , 1 3 , 4 1 , □ , 2 3 , 1 4 , □ , 4 2 , 3 3 , 2 4 , 1 5 2. 在下列各空格中填入適當的數,使每個數列成為等差數列。 (1) , 7 , 3 , , (2) 4 , , , , 20 (3) 4+ 7 , 1+3 7 , , -5+7 7 , (4) , a+5d , , a-5d , 3. 設一等差數列的首項為 7,第 23 項為-37,則此等差數列的公差是多少? 4. 設一等差數列的首項為 42 3 ,末項為 18 1 6 ,公差為 3 2 ,則這個等差數列共有幾項? 5. 一等差數列的第 8 項為 35,第 15 項為 63,試求(1)公差,(2)首項,(3)第 23 項。

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3 23 17 b a 6. 若一數列的第 n 項可寫成 an=4n-3,則 (1) a12=? (2)此數列是否為等差數列?若是,其公差為何? 7. 設兩數的等差中項為 8,兩數的積為 39,試求此兩數。

8. 等差數列 a1、a2、a3、…、an中,設公差為 d,回答下列問題:

(1) a50-a30= ×d。 (2)若 a50-a30=8,則 a300-a100= 。 9. 如圖,若在每個方格中各填入一個數,使橫列與直行各成等差數列,則 a、b 的值為何? 10. 某公司請五名警衛甲、乙、丙、丁、戊來輪值夜班,且輪值的規則如下表,請回答下列問題: (1)最快到第幾週時,輪值表會和第 1 週相同? (2)誰在第 22 週輪值夜班兩次? (3)第 33 週的星期日是由誰輪夜班? 星期 週次 一 二 三 四 五 六 日 1 甲 乙 丙 丁 戊 甲 乙 2 丙 丁 戊 甲 乙 丙 丁 3 戊 甲 乙 丙 丁 戊 甲 4 5 … …

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類題補充

1. 若一直角三角形的三邊長成等差數列,求三邊長的比。

2. 若直角三角形的三邊長成等差數列,面積為 216 平方公分,求其周長。

3. 有一個等差數列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7,若 a1+a2=23,a6+a7=5,則 a3+a4+a5的值為何?

4. 數列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , …,其中第 1 項為 1,第 2 項為 1,自第 3 項起每一項均等於前兩項的和, 如此規則的數列稱為費氏數列;則該數列第 2007 項應符合下列哪個特質? (A) 0 (B)奇數 (C)偶數 (D)條件不足,不能判斷 5. 如圖,若在每個方格中各填入一個數,使橫列與直行各成等差數列,則 a= 。 27 a 26 -1 6. 設 9x+7 , 7x+1 , 3x+4 成等差數列,則 x= 。

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7. 將 13 70化成小數,得 13 70=0.1857142857142…,將小數點以後的數字依序排成一數列,則第 99 項 為 。 8. 設有兩等差數列,其中一數列首項是 17,公差是 4,另一數列首項是 19,公差是 6,則 (1)此兩數列中最小的共同項是 。 (2)其共同項也會形成等差數列,此等差數列的第 10 項是 。 9. 甲依序數:1 , 2 , 3 , 4 , …,乙同時以同速率倒數 a , a-1 , a-2 , …,如果甲數到 42 時,乙數到 68, 則(1) a= ,(2)兩人會同時數的是哪一個數? 10. 一個等差數列的第 8 項是第 5 項的兩倍,且此兩項的和是 27,試求此數列的首項、公差、第 2 項與 第 11 項。 11. 長 25 公分、寬 20 公分的長方形紙張,以下圖的方式疊在桌面上,疊完 8 張後,所有紙張的總面積 為多少平方公分? … (1 張) (2 張) (3 張) (4 張)

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12. 設 a1 , a2 , a3 , a4成等差數列,若 a1+a2=8、a3+a4=16,則此數列的公差為多少? 13. 一等差數列的公差為 4,若將每一項乘以 3 後再加上 3,所形成的新數列其公差為多少? 14. 在 12 與-44 之間插入 n 個數,使其成為公差為-4 的等差數列,則 n=? 15. 設一等差數列的首項是 35,公差是-4,則由第 項開始為負數。 16. 若 a , b , c 三數成等差數列,則 b+a b-ab+c b-c= 。 17. 自 100 到 300 的整數中,除以 6 餘 2 的整數有 個。 18. 某劇場共有 25 排座位,每一排都比前一排多 2 個座位,如果最後一排有 90 個座位,則此劇場 第一排有 個座位,最中間的一排有 個座位。

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19. 試求數列 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … 的第 2013 項為 。 20. 觀察圖(一)~圖(三)的規律,回答下列問題: (1)圖(三十)的白色方格比灰色方格多 個。 (2)若圖(n)中,灰色方格與白色方格的總數恰為 672個,則 n= 。 … 圖(一) 圖(二) 圖(三) 21. 在-8 和 76 之間插入一些數,使其成為等差數列,若插入的第 4 個數為 20,則共插入 個數。 22. 若 14 , 27 , a , 53 , b , c 形成一組等差數列,則 c-a=? 23. 已知 a , b , c 為一等差數列,其中 a<b<c,若 a+b+c=24,abc=440,則此等差數列為何? 24. 將一堆同樣大小的彈珠,依照下圖的規律排出正三角形的圖案,請問圖(十五)中有 顆彈珠。 圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) …

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加強練習 1. 設兩數的等差中項為 64,求此兩數和為 。 2. 一等差數列的第 9 項為 31,第 20 項為 53,則 (1)首項= ,(2)公差= ,(3)第 28 項= 。 3. 若 a , b , c 三數成等差數列,則下列何者不是等差數列? (A) a × 2 , b × 2 , c × 2 (B) a-2 , b-2 , c-2 (C) a ÷ 2+1 , b ÷ 2+1 , c ÷ 2+1 (D) 1 a , 1 b , 1 c 4. 若一等差數列的第 n 項 an=4n-3,則此數列的公差為何? (A)-3 (B) 3 (C)-4 (D) 4 5. 觀察 1 1×3、 1 2×5、 1 3×7、 1 4×9、…的規律,則依此規律的第 25 個數為何? (A) 1 24×25 (B) 1 25×26 (C) 1 25×51 (D) 1 25×27 6. 有一條串珠項鍊,其花色為☆★☉◇☆★☉◇…,請問哪一個位置為★? (A) 64 (B) 82 (C) 95 (D) 100 7. 若 a , b , c 三數成等差數列,公差為 5,則 a 5, b 5, c 5 為等差數列,其公差為 。 8. 有一等差數列,a1000=99,a3000=11,則 a2000= 。 9. 有一等差數列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6,公差為 d ( d≠0),則下列敘述何者一定正確?

(A) a5-a1=4d (B) a2+a3=5d (C) a5-a3=a2 (D) a1+a2=a3

10. 已知 6

13=0.461538461538…,則小數點後第 120 個數字是多少? (A) 4 (B) 6 (C) 5 (D) 8

11. 有一等差數列 a1 , a2 , … , a100,若 a35-a21<0,則下列何者正確?

(A) a35-a60<0 (B) a27+a33<a15+a45 (C) a30+a50<a20+a60 (D) a100-a58<0

12. 一規律數列其各項是 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,…,則下列何者為真?

(A) a6-a5=5 (B) a6=1+2+3+4+5 (C) a10=55 (D) a12=2a6

13. 若 1 x, 1 6, 1 8三數成等差數列,則 x= 。 14. 直角三角形的三邊長成等差數列,且其面積為 54 平方公分,則此直角三角形斜邊上的高為幾公分? 15. 設有兩個等差數列,一數列首項為 11,公差為 15;另一數列首項為 7,公差為 11,則這兩個數列 最小的共同項為 。 16. 在坐標平面上,由 A1(-50 , 39)向右移動 3 單位,再向下移動 2 單位走到 A2,繼續由 A2同樣向右 移動 3 單位,再向下移動 2 單位走到 A3,如此移動,依次到達 A4、A5、A6…,則 A15在第幾象限? 17. 等差數列 a1 , a2 , a3 , … , an中,若 a7-a6=7,則 a650-a50= 。 18. 一等差數列的第 26 項為 144,公差為 6,則 18 為此數列的第 項。 19. 有一個等差數列 a1 , a2 , a3 , … , a39,已知該數列的公差為-6,且 a20=0,則下列敘述何者正確?

(A) a1-a12<0 (B) a12+a28<0 (C) a1+a39<a2+a38 (D) a2+a39<0

20. 已知兩個等差數列,其中一數列的首項為 12,公差為 2;另一數列的首項為 7,公差為 3,則此兩數 列的共同項所形成的數列中,第 10 項為 。 21. 已知一等差數列的第 n 項為 an,公差為 d,且 a6<0,a10>0,則下列敘述何者正確? (A) a1>0,d>0 (B) a1>0,d<0 (C) a1<0,d>0 (D) a1<0,d<0 22. 已知一等差數列的第 5 項為 52,第 7 項為 72,則第 3 項為何? (A) 12 (B) 22 (C) 32 (D) 42 23. 已知數列:1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , …。觀察以上數列可發現從第 3 項開始,每一項都是前兩項 的和,若寫出此數列的前 200 項,請問這 200 個數中共有幾個偶數? 24. 已知 x、y 兩數的等差中項為 7,且(2x+y)、(3x-2y)兩數的等差中項為-10, 則 x= ,y= 。 25. 用相同的牙籤排出相連的八邊形,如圖。若想排出 n 個相連的八邊形,則共需要 枝牙籤。

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Ans:1. 128;2.(1) 15,(2) 2,(3) 69;3.(D);4.(D);5.(C);6.(B);7. 1;8. 55;9.(A);10.(D); 11.(D);12.(C);13.24 5 ;14. 36 5 公分;15. 161;16.第二象限;17. 4200;18. 5;19.(D);20. 70; 21.(C);22.(A);23. 66 個;24.-1,15;25.1 7n+ 。 心得筆記

數據

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參考文獻

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