中學生通訊解題第三期 問題編號 88301 坐標平面上有相異的10 個點，其中沒有三點在同一條直線上，每一點 均為格子點，試證明這10 個點兩兩之間的連接線段中，必有一個異於這 10 個點的格子點。( 點 A 為格子點的意思，就是點 A 坐標(m , n)中，m , n 均為 整數) 參考解答： 因為10 個點坐標均為格子點，根據整數的奇偶性來分類，可分為(奇, 偶)、(偶,奇)、(奇,奇)、(偶,偶)四個情形，故必有二個頂點的坐標其奇偶性一樣， 設這兩個點為A,B，則線段 AB 的中點 M 必為格子點，因為 10 點中任 3 點 不共線，所以M 必異於這 10 點。 解題重點： 本題主要是利用鴿籠原理、整數奇偶性這兩個概念解決問題。 問題編號 88302 九位好人好事代表，他們的年齡分別是10,21,22,23,24,31,40,86,87 歲， 已知其中有5 位代表年齡總和是另外 3 位代表年齡總和的 4 倍，試問剩下 1 位代表的年齡是多少歲？ 參考解答 1： 設5 位代表年齡總和為 m，另 3 位代表年齡總和為 n。 由題意知m=4n m+n=4n+n=5n ∴ 即8 位代表的年齡總和必為 5 之倍數
10= 5 ×2+ 0 31= 5 ×6+ 1 21= 5 ×4+ 1 40= 5 ×8 + 0 22= 5 ×4+ 2 86= 5 ×17+ 1 23= 5 ×4+ 3 87= 5 ×17+ 2 24= 5 ×4+ 4 檢驗24 被 5 除之餘數為 4，其餘 8 個數之餘數和恰可被 5 整除。故剩下數字 必為24，即另一位代表的年齡為 24 歲。 參考解答 2： 設5 位代表年齡總和為 m，另 3 位代表年齡總和為 n。 而剩下一位代表為x 歲。 由題意知 m=4n 九位代表年齡總和為 m+n+x=344 4n+n+x=344 5n+x=344 即 344-x=5n 為 5 之倍數。 故x 之個位數必為 4 或 9， x=24 即另一位代表年齡為24 歲。 解題重點： 1.依題意正確假設。 2.利用倍數相關性質求解。
問題編號 88304 有一個四邊形紙板ABCD，一面塗成白色，一面塗成黑色，現在將白面 朝上，再將紙板分割成6 小塊，然後把每一小塊翻過面來(黑面朝上)，但不 改變每一小塊的相對位置，請問此紙板要如何分割，才會使得翻過面後，仍 然可以拼成原來的四邊形ABCD。 參考解答： 連接AC ，利用幾何作圖找出△ ABC 與
與△ ADC 的內心 I1、I2，由內心I1, I2對 兩三角形的三邊分別作垂線，垂足為分別 為E、F、G、H、I、J（如圖），如此 可構成六個四邊形AEI1G、EBFI1、 FCGI1、AHI2J、DJI2I、HCII2，每個四邊 形都是軸對稱圖形，對稱軸分別為AI1、 BI1、CI1、AI2、DI2、CI2，以這些軸為準， 將六個四邊形各別翻面，所得圖形仍然為原來的四邊形。 解題重點： 1. 依題意知分割成 6 小塊的每一塊均為軸對稱圖形。 2. 連接任一對角線可將圖形分割成 2 個三角形，由三角形之相關性質著手。 可有兩種情形： (a). 若要使分割成的六小塊，每一塊均為四邊形，則此時可作 2 個三角形 之內心，再過內心對三邊作垂線，可得六個鳶形。 A B C D I1 E F G H I I2 J
(b). 若要使分割成的六小塊，每一塊均為三角形，則此時可作 2 個三角形 之外心，再過外心作三頂點連線，可得六個等腰三角形。 問題編號 88305 某班學生共計24 人，男女生各占一半。他們數學老師為加強「有號數乘 法」單元的教學效果，請學生到操場面向圓心圍成兩個圓圈，男生在外圈， 女生在內圈，且每一男生都要恰好站在一名女生的後方。然後發給每人一張 寫有一個整數的牌子，要學生在哨音響起時，女生依逆時針，男生依順時針 的方向，以原來排列的順序繞圈子移動，在哨音停止時，每一男生都要站在 一名女生的身後。這時所有女生轉過身來，與身後的男生共同計算他們兩人 手上牌子的整數乘積，並將結果報告給老師。老師發下數字牌時，已事先安 排，使得所有男生手中數字牌上的數字和為負數，所有女生數字牌上的數字 和也是負數。這時老師向同學們說：「不管你們怎樣轉圈圈，你們所得到的 12 個整數乘積之和永遠是個負數。」請你判斷老師這句話是對的或是錯的， 並說明你的理由。 參考解答：
設男、女生依順時針方向的排列順序分別是a1、a2、a3、…、a12與b1、b2、b3、 …、b12，由題意知：a1＋a2＋a3＋…＋a12<0，且 b1＋b2＋b3＋…＋b12<0。故 (a1 ＋a2＋a3＋…＋a12)(b1＋b2＋b3＋…＋b12)>0。 哨聲停止時，男女生一一對應的相對位置共有12 種不同的可能情況，設每 一情形下12 對男女生手中的牌數字乘積之總和分別是 k1、k2、k3、…、k12，且 k1=a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a12b12， k2=a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋a12b1， k3=a1b3＋a2b4＋a3b5＋…＋a12b2， ……… k12=a1b12＋a2b1＋a3b2＋…＋a12b11。
(3)但 k1＋k2＋k3＋…＋k12共144 項，重新排列後恰好可以因式分解成 k1＋k2＋k3＋…＋k12=(a1＋a2＋a3＋…＋a12)(b1＋b2＋b3＋…＋b12)>0，如果 k1、k2、k3、…k12都小於0，則 k1＋k2＋k3＋…＋k12<0，此與 k1＋k2＋k3＋…＋ k12>0 之事實不符。所以 k1、k2、k3、…、k12中必至少有一為正數，因此老師的話 不真。 解題重點： 本題的解題關鍵是在假設老師所說的話是對的情況下，逐步推演出與老 師的話互相矛盾的結果，進而否定了老師所說的『所得到的12 整數乘積之和 永遠是個負數。』
