第三章平面向量
面積與二階行列式 平面向量的內積
平面向量的坐標表示法 平面向量的幾何表示法
4 3
3 3
2 3
1 3
§ 1 – 1 有向線段與向量 §
甲.有向線段：
有向線段：
1. 用大小數值與單位來描述長度、質量、體積的物理量，通稱為 .如：給兩個定點
P、Q，我們可以用一個實數來表示線段
PQ的長度；即純量只有大小而沒有方向.
說明：
4.47
P Q
∴
PQ=
2. 如果考慮由 P 到 Q 之間的 與 ，則我們可用 來表示，稱為從 P 到 Q 的 ，此時，P 點稱為有向線段的 ，Q 點稱為有向線段的 ，我
們常用 來表示有向線段
PQ的長度，且用 號表示有向線段
PQ的方向.
說明：
5.16
P Q
∴
PQ= ；
QP=
3. 若 P、Q 為相異兩點，
PQ≠
QP( ∵ )
例 1. 在下圖中畫出有向線段
AB、
AC、
DF例 2. 平面上(1)有 A、B、C、D、E，5 個相異的點，最多可以決定 個相異且不為零的向量.(2) 若有 n 個相異的點，最多可以決定 個相異且不為零的向量.
例 3. 如圖，已知
O為正六邊形
ABCDEF的中心﹐令
OA
a﹐
OB
b﹐
選出正確的選項：(1) a b (2)
BC
a (3)
DO
a
(4)
FA
b(5)
DC
bA B
C D
E
F
向量的幾何表示法:
向量：
1.向量：同時具有 與 的量，通常用一個 來表 示大小， 用 號來
表示方向.
2.兩向量的相等：若
CD EF
(1) (2) (P.S.不考慮起點)
3.單位向量：若 則
e為單位向量(可用表示所有向量的 基礎)
4.零向量：若
a= 0 則稱
a為零向量，常以 和 表之(即起、終點為同一點的向量) 說明： 請用符號表示以下的問題：
(1)由 P 點到 Q 點的距離：
(2)由 A 點位移到 B 點： ( 此時 表位移的大小 ) (3)由 A 對 B 施 5 牛頓的力： ( 此時 表施力的大小)
A B
例 4. 如圖所示，ABCD—EFGH 為一平行六面體，則
E F
G C
A B
D
H
例 5. 有一隻螞蟻，先朝正北方走 5 公尺後，再向正東方走 5 公尺，問這隻螞蟻位移大小為何？
位移方向為何？試以圖解之.
例 6. 有一顆籃球，如圖所示，同時受一個西 60°南 5 牛頓的力，及一個朝正東方 5 牛頓的力，
問此籃球受力有多大？方向如何？試圖解之.
5
5
乙.向量的加法與減法：
(1)
AB= = =
(2)
AD= = =
(3)
AE= = =
(4)一個平行六面體，利用邊長與
頂點，可以決定 個不同的向
量
向量的加法與減法：
1. 我們可以利用(1) 或 (2) 來 畫出兩 向量之和
說明：
2. 向量加法的性質：
(1) 向量 加法滿足交換律：即
a+
b=
說明：
(2) 向量加法滿足結合律：即
(a b ) c= 說明：
(3) 零向量是 向量加法的 (即
任何向量加上
0等於本身)
A
B
C D
平移
∴
0 PQ = = (4) 向量加法在物理上的應用：
(a) 合力：
f f1 f2(b)位移：
s s 1 s2(c)速度：
v v 1 v23.向量減法：
(1)
a的意義：
a表示與
a的的大小 ，但方向 . 說明： 若當
AB+ □ =
0，∴□ =
(此表示與
AB大小 ，方向 的向量)，故將
BA表為 (2) 向量減法的意義：
a-
b=
∴
a-
b的意義：等於
a加上一個與
b大小相同，方向相反的向量 4. 向量的拆解:
設
A﹐
B﹐
C為任意三點﹒向量
AB 可拆解如下：
(1)
AB
AC CB﹒ (2)
AB CB CA
例 7. 有兩向量如圖所示，試圖解
a b 與
a b 例 8. ABCD – EFGH 是一個長方體，分別圖解(1)
AB BC
(2)
AB CD
(3)
AF BC
(4)
AB CB
H
G E
C
A D
B
F
例 9. 當一艘船要渡河到對岸，試以下列條件畫出岸上的人所看到的實際船速：
(1) (2)
(3)當船想從碼頭 B 出發到正對岸的碼頭 A，則試畫出船速
A
B
例 10. 設 A、B、P 為空間中相異三點，試證明
AB AP BP
例 11. 已知
ABCD為四邊形﹐令 a AB﹐ b AD﹐ c BC﹒ 試將下列各向量以 a ﹐ b 和 c 表示：(1)
BD ﹒ (2)
AC ﹒ (3)
CD
﹐ c BC﹒ 試將下列各向量以 a ﹐ b 和 c 表示：(1)
BD ﹒ (2)
AC ﹒ (3)
CD
﹐ b 和 c 表示：(1)
BD ﹒ (2)
AC ﹒ (3)
CD表示：(1)
BD ﹒ (2)
水速
船
速 水速 速 船
水速
丙.向量係數積：
向量係數積：
1. 設
u是一個向量，r 是一個實數(
r R)，則係數積 r．
u表示
(1)當 r > 0 ：則 r．
u表示與
u方向 ，大小為 =
說明：(1)根據向量加法，發現
a a 方向與
a，大小是
a的 ∴將
a a 記成
圖解：
(2)當 r < 0：則 r．
u表示與
u方向 ，但大小亦為 = (3) 當 r = 0：則 r．
u=
2. 向量係數積的性質：設
a、
b為兩向量，r、s 為實數，則：
(1) r．
(a b )= (2) ( r + s )．
a=
(3) r ． s．
a= = 3.應用：若
AB//
CD，則
例 12. 已知
a、
b，如圖所示，試圖解 (1)
3a3b(2)
3 ( a b )例 13. 已知：
2(x5 ) 3a b a 4b，試用
a、
b表示
x.
例 14. 設 M 為△ABC 中
BC的中點，試以
AB、
AC表示
AM.
例 15. 下圖為由同一平面上的三個正六邊形連接而成的.試用
a、
b表示
AB、
PQ、
PR.
丁.向量的線性組合:
1.何謂向量的線性組合:若
OA 和OB 為平面上兩個不平行的非零向量﹐則平面上的每一個向 量OP 都可以唯一表示成 OP xOA yOB 的形式﹒我們將這種形式的向量稱為OA 與OB 的
都可以唯一表示成 OP xOA yOB 的形式﹒我們將這種形式的向量稱為OA 與OB 的
的
線性組合﹒
說明
(1) 存在性： 首先過
P作直線 OB 的平行線交直線 OA 於
A﹐再過
P作直線 OA 的平行線交直線 OB 於
B﹐得
OP OA OB
﹒若令
,
OA
x OA OBy OB﹐則
OP OA OB
x OA y OB .(2) 唯一性： 設向量
OP 有兩種表示法﹐OP x OA y OB
1 1 x OA y OB
2 2 ﹒(反證法)
﹒(反證法)
移項得 x
1 x OA
2 y
2 y OB
1 ……
若
x1 x2﹐則
2 11 2
y y
OA OB
x x
﹐
即
OA OB 此與OA 和OB 不平行不合﹒
和OB 不平行不合﹒
b a
R Q
P B
A
因此
x1 x2﹐代入式又得
y1 y2﹒故表示法是唯一的﹒
例 16. 已知
u不平行
v，r、s
R；(1)若
ru sv 0，則 r= s = 0 (2)若( x + y – 3 )
u+ ( x – y + 1 )
v=
0，求 x、y 之值
例 17. 在平行四邊形
ABCD中﹐
AE
3EC﹐
F為
BC的中點﹒ (1)設 AE x AB y AD ﹐求
x﹐
y的值﹒
(2)設
EF
r AB s AD﹐求
r﹐
s的值
戊.向量的分點公式：
1.若
P為
△OAB中
AB邊上一點﹐且
AP PB m n: :﹐則
說明：
OP+
高二上 3 – 1 10
=
OA+ m m n AB
=
OA+ m ( ) OB OA m n
= (1 m ) OA m n
+ m m n OB
=
特例：當 P 為中點時， 1 1
2 2
OP OA OB
2.三點共線定理：(三點共線定理)若 A、B、C 三點共線
存在兩實數 α、β 且 α+β =1，使得
OC
OA
OB，其中 O 為任意一點
說明：
) ∵ A、B、C 三點共線 ∴
ACOC OA t OB OA ( )
OC (1 t OA tOB)
令 α= 1-t、β= t
α+β = 1-t + t = 1，且
OC
OA
OB
) ∵存在兩實數 α、β 且 α+β =1，使得
OC
OA
OBOC (1
)OA
OB OC OA
(OB OA ) OC OA
(OB OA )
例 18. 如右圖﹐
P在
△ OAB的
AB邊上，且
BP2AP﹐
C為
OB的中點﹒
(1)設
OP x OA y OB
﹐求
x﹐
y的值﹒
(2)設
CP r OA s OB
﹐求
r﹐
s的值
例 19. 如右圖﹐O﹐A﹐B 三點不共線﹐點 P 在直 線 AB 上﹐且
AP5﹐
BP3﹒設
OP x OA y OB
﹐求
x﹐
y的值﹒
例 20. 知△ABC 中，點 D 是
AB中點，E 在
AC且
AE EC: 2 :1，
CD與
BE交於 P 點，(1)若
AP x AB y AC
，求 x、y 之值 (2)
BP PE:(3) △ABC 的面積是 PBC 之面積的 倍
P D E
A
B C
【重要練習】
1. 如右圖﹐
O為正方形
ABCD對角線的交點﹐且
E﹐
F﹐
G﹐
H分別為線段
OA﹐
OB﹐
OC﹐
OD的中點﹒選出正確的選項：
(1)
OB
2OH(2)
OA
2OG(3)
AD CB
0(4)
OA AB BC
(5)
AB BC
DB2. 下圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合﹐且每一小格都是菱形﹒試以 a 和 b 表示下列各向
表示下列各向
量：
(1)
AB ﹒ (2)CD ﹒
3.將適當的向量填入下列空格：
(1) += (4) =+
(2) = (5) =
(3) =
4. 如下圖﹐D 為
AB的中點﹐
AC CE: 2 :1﹒設 DE x AB y AC ﹐求
x﹐
y的值﹒
5. 已知 a 與 b 為不平行的非零向量﹐且 x 2 a b y a 2 b 5 a
為不平行的非零向量﹐且 x 2 a b y a 2 b 5 a
﹐求實數
x﹐
y的值﹒
6. 如下圖﹐在
△OAB中﹐
C為
OB中點﹐
AD DC: 2 : 3﹒設 OD xOA yOB ﹐求
x﹐
y的值﹒
7. 下圖為由同一平面上的三個正六邊形所連接而成﹐試用 a ﹐ b 表示
AB 與 PQ ﹒
表示
AB 與 PQ ﹒
8. 已知
G為
△ ABC的重心﹐求證：
GA GB GC
0﹒
9.已知「在
△ ABC中﹐若
BAC的角平分線交
BC於
D﹐則
BD DC: AB AC:」﹒試問：若在
△ ABC
中﹐
AB8﹐
BC7﹐
CA6﹐
BAC的角平分線交
BC於
D﹐則 (1)設 AD x AB y AC
﹐求
x﹐
y的值﹒(2)設
I為
△ ABC的內心﹐且
AI
r AB s AC﹐求
r﹐
s的值
答案:1. (2)(3)(5)2.(1) 2 3 2
AB a b (2) 4 3 3 2
CD a b 3. (1)
PQ(2)
QP(3)
CB(4)
MY(5)
CX4. 1
x ﹐ 2 3
y 5. 2
x2﹐
y16. 3
x ﹐ 5 1
y 7. 5
AB
2 a2 b﹐
4
PQ
a b8. 略 9. (1) 3
x ﹐ 7 4
y (2) 7 2
r ﹐ 7 8 s 21
【歷屆考題】
1. 有一正方體，其邊長都為 1，如果向量的起點與終點都是此立方體的頂點，且|| = 1，則共有 多少個不相等的向量？(A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 24 (E) 28 (86 學測)
2.如圖，下列哪一個選項中的向量與另兩個向量、之和等於零向量？
(1) (2) (3) (4)
(5)
(91 學測)3. 設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且=
1 5+
25
，
則 等於 (1)
15
(2)
14
(3)
25
(4)
12
(5)
23
(92 學測)
4.設ABC 為平面上的一個三角形，P 為平面上一點且= 1
3 + t，其中 t 為一實數。試問下列哪一選 項為 t 的最大範圍，使得 P 落在ABC 的內部？
(1) 0＜t＜ 1
4 (2) 0＜t＜ 1
3 (3) 0＜t＜ 1
2 (4) 0＜t＜ 2
3 (5) 0＜t＜ 3
4 (93 學測)
5.
如右圖所示，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？‧
‧ ‧
‧ ‧
‧
‧
‧ A B
C D E
P O
Q
(1)+2 (2)3 4+1
3
(3)3 41
3 (4)3 4+1
5
(5)3 41
5 (94 學測)
6. 如圖所示，D 在∆ABC 之
BC邊上，且
CD= 2
BD，G 為
AC之中點，若將向量寫為 = r + s，
其中 r 及 s 為實數，則 r + s 之值為： (A)
2 1(B)
3 2
(C)
3 1
(D)
3
1
(E)
4 3
[83 社]
7.如圖所示，O 為正方形 ABCD 對角線的交點，且 E、F、G、H 分別為線段
OA、
OB、
OC、
OD的中點。試問下列何者為真？
(A) +=+++ (B) = 2 (C) = (D) ++=
(E) = 0 [86 社]
答案: 1. (B) 2. ( C ) 3. ( C ) 4. (4) 5. (1) (2) 6. (A) 7. ABCDE
A
O
H
G F
E
D
C B
A
D
G
C B
