A
B C
A'
B' C'
D E
兩個多邊形相似，需同時具有「對應角相等」 ，且「對應邊成比例」 ， 才能確定這兩個多 邊形相似。
兩三角形相似則只需部份條件成立即可，比如（1）對應角相等，便可說明兩三角形相似
（AAA 相似、AA 相似性質）；或（2）對應邊成比例，便可說明兩三角形相似（SSS 相似性質）；
或（3）一對應角相等，且兩夾邊對應成比例（SAS 相似性質），便可說明兩三角形相似，以 下就此問題作進ㄧ步探討。
三角形的相似性質
【AAA 相似性質】如果兩個三角形的三內角對應相等，則這兩個三角形相似。
【SSS 相似性質】如果兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似。
【SAS 相似性質】如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊對應成比例，
則這兩個三角形相似。
現在就上列【AAA 相似性質】、【SSS 相似性質】、【SAS 相似性質】3 個性質來一ㄧ證明。
【AAA 相似性質】如果兩個三角形的三內角對應相等，則這兩個三角形相似。
【已知】在△ABC 與△A'B'C'中， Ð A＝ Ð A'， Ð B＝ Ð B'， Ð C＝ Ð C'。
【求證】△ABC～△A'B'C'。
【證明】(1)設 A ' B ' ＞ AB ，在 A ' B ' 上取一點 D，使得 D A' ＝ AB 。 (2)過 D 點作 B 'C ' 的平行線，交 A 'C ' 於 E 點，
則∠A' DE＝ Ð B ' ＝B，∠A' ED＝ Ð C ' ＝ Ð C 。
(3)在△A' DE 與△ABC 中，∵ D A' ＝ AB ， Ð A' ＝ Ð A， Ð A' DE＝ Ð B，
∴△A' DE @ △ABC，∴ AC ＝ E A' 。
(4) ∵ DE // B 'C ' ，∴ D A' ： A ' B ' ＝ E A' ： A 'C ' 。
(5) ∵ A' D ＝ AB ， A' E ＝ AC ，代入(4)式得AB： A ' B ' ＝ AC ： A 'C ' 。 (6)同理可得AB： A ' B ' ＝ BC ： B 'C ' 。
(7)由(5)與(6)可得AB： A ' B ' ＝ AC ： A 'C ' ＝ BC ： B 'C ' ，
又 Ð A＝ Ð A' ， Ð B＝ Ð B' ， Ð C＝ Ð C' ，所以△ABC～△A' B' C' 。
【SSS 相似性質】如果兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似。
【已知】在△ABC 與△A' B' C' 中，
' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC ＝ ' 'C A
AC
【求證】△ABC～△A' B' C' 。
【證明】(1)設 A ' B ' ＞ AB ，在 A ' B ' 上取一點 D，使得 D A' ＝ AB 。 (2)過 D 點作 B 'C ' 的平行線，交 A 'C ' 於 E 點
Ð A＝ Ð A'， Ð A'DE＝ Ð B'， Ð A'ED＝ Ð C'L L （i）
由 AAA 相似性質 Þ △A' DE～△A' B' C' 。 故
' ' '
B A
D A ＝
' 'C B
DE ＝ ' ' ' C A
E A
(3) ∵ D A' ＝ AB ，且 ' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC ＝ ' 'C A
AC
∴ DE ＝ BC ， E A' ＝ AC ，
∵ D A' ＝ AB ， DE ＝ BC ， E A' ＝ AC 由 SSS 全等性質 Þ △ABC @ △A' DE。
(4) ∵△ABC @ △A' DE，
∴ Ð A'＝ Ð A， Ð A'DE＝ Ð B， Ð A'ED＝ Ð C（對應角相等）L L （ii）
由（i）（ii） Þ Ð A＝ Ð A' ， Ð B＝ Ð B' ， Ð C＝ Ð C'
∴△ABC～△A' B' C' 。
【SAS 相似性質】如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊對應成比例，則這兩 個三角形相似。
【已知】在△ABC 與△A' B' C' 中， Ð A＝ Ð A' ， AB ： A ' B ' ＝ AC ： A 'C ' 。
【求證】△ABC～△A' B' C'
【證明】(1)設 A ' B ' ＞ AB ，在 A ' B ' 上取一點 D，使得 D A' ＝ AB 。 (2)過 D 點作 DE ，使得∠A' DE＝∠B，且 E 點在 A 'C ' 上。
(3)在△ABC 與△A' DE 中，∵ Ð A ＝ Ð A ' ， AB ＝ D A' ， Ð B ＝ Ð A' DE ， 由 ASA 全等性質 Þ △ABC @ △A' DE
∵△ABC @ △A' DE，故 E A' ＝ AC ， D A' ＝ AB ， DE ＝ BCL L （i）
A
B C
A'
B' C'
D E
A
B C
A'
B' C'
D E
A
D E
B C
A
D E
B C
E D
A
B C
A
D E
B C
A
D E
B C
Ð A'＝ Ð A， Ð A'DE＝ Ð B， Ð A'ED＝ Ð CL L （ii）
(4)∵ D A' ＝ AB ， E A' ＝ AC ，且 AB ： A ' B ' ＝ AC ： A 'C '
∴ D A' ： A ' B ' ＝ E A' ： A 'C ' ，故 DE // B 'C ' 。 (5)∵ DE // B 'C ' ∴△A' DE～△A' B' C' 。
∵△A' DE～△A' B' C'
∴ Ð A'＝ Ð A'， Ð A'DE＝ Ð B'， Ð A'ED＝ Ð C'L L （iii）
' ' '
B A
D A ＝
' 'C B
DE ＝ ' ' ' C A
E
A L L （iiii）
(6) 由（i）（ii） （iii）（iiii）
Þ Ð A＝ Ð A' ， Ð B＝ Ð B' ， Ð C＝ Ð C'
' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC ＝ ' 'C A
AC
∴△ABC～△A' B' C' 有關相似三角形的計算
若 DE // BC ，便可延伸出以下四個常見的計算公式：
AD AE DE
= = AB AC BC
AD AE DB = EC
AB AC
DB = EC BC
ED AB DA AC
EA = =
AD：AB＝AE：AC
＝DE :BC
AD：DB＝ AE：EC AB：DB＝ AC：EC EA： AC ＝DA： AB
＝ED:BC
【已知】在△ABC 與△ADE 中， AD AE DE
= = AB AC BC
【求證】 AD AE
DB = EC , AB AC DB = EC
【證明】在△ABC 與△ADE 中， Q AD AE DE
= = AB AC BC
\△ABC～△ADE (線段成比例)
3 2 4
3 6
X A
B
C
D
E
A
B C
D E
Þ AC AE AE AD
AB AD
-
=
- (Q
a c
d a b
a c
d b a
= - Þ -
= )
Þ AD AE
DB = EC ，同理可證， AB AC DB = EC
【範例】如圖，求 X＝________。
【解答】
【範例】
【已知】在△ABC中， DE // BC 。
【求證】△ADE～△ABC 且AD： AB ＝ AE ： AC ＝ DE ： BC 。
【證明】
【範例】A、B兩點間有湖泊，為了求 AB ，我們先找一點C，量得 AC ＝100公尺。
在 AC 上取 AE 為20公尺，過E點作 ED // BC ，使A、D、B三點共線，
量得AD＝38公尺，求 AB 。
【解答】
C
B
E
D A
6公尺 1.5 公尺 A
B
C
D 1 E
A
B C
D
E G F
P
【範例】如右圖，某人為了要測樹高 AB ，打了一根標桿 CD 於離樹根 6 公尺處 D 點，
並在 BD 的延長線上找到一點 E，使 A、C、E 三點成一直線。已知 CD ＝1 公尺，
又測得 DE ＝1.5 公尺，求樹高 AB 。
【解】
【範例】如圖，ABCD 為梯形，且 AD // EF // BC ，若 AD ＝3 公分， BC ＝6 公分，
且 AE ： EB ＝3：2，求 EF 的長。
【解】
【範例】 Ð ACD＝ Ð B， AC ＝8， CD ＝9， BC ＝18，則 AB ＝? AD ＝?
【解】
相似三角形的相關性質：
【性質 1】兩相似三角形對應高的比等於其對應邊的比。
【性質 2】兩個相似三角形周長的比等於對應邊的比。
【性質 3】兩個相似三角形對應分角線長的比等於任一組對應邊的比。
【性質 4】兩個相似三角形對應中線的比等於任一組對應邊的比。。
【性質 5】兩個相似三角形面積的比等於對應邊平方的比。
現在就上列 5 個性質來一ㄧ證明:
【性質 1】兩相似三角形對應高的比等於其對應邊的比。
【已知】△ABC～△A'B'C'， AH 與 A ' H ' 是這兩個三角形的對應高。
【求證】
' ' H A
AH ＝ ' ' B A
AB 。
【證明】(1) 在△ABH 與△A'B'H'中，
∵∠B＝∠B'， ∠AHB＝90 0 ＝∠A'H'B'，
∴∠BAH＝∠B'A'H'。
(2) ∵△ABH 與△A'B'H'的三內角對應相等，
∴△ABH～△A'B'H'。
(3) ∵△ABH～△A'B'H' ∴ ' ' H A
AH ＝ ' ' B A
AB 。
【性質 2】兩個相似三角形周長的比等於對應邊的比。
【已知】△ABC ～△A'B'C'
【求證】
' ' ' ABC A B C D D
周長 周長 ＝
' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC ＝ ' 'C A
AC
【證明】 （1）∵△ABC～△A'B'C'
∴ AB
A'B' ＝ BC
B'C' ＝ AC A'C'
（2）設 AB
A'B' ＝ BC
B'C' ＝ AC A'C' ＝r
則 AB ＝rA'B' ， BC ＝rB'C' ， CA ＝r C'A'
（3） ABC A'B'C' D D
周長
周長 ＝ AB +BC +AC
A'B' +B'C' +A'C' ＝ rA'B' +rB'C' +rA'C' A'B' +B'C' +A'C' ＝r
∴ ABC A'B'C' D D
周長
周長 ＝ AB
A'B' ＝ BC
B'C' ＝ AC A'C'
A
B C
A'
B' C'
H H'
A
B C
A'
B' C'
A
B C
D
1 A'
B' C'
D' 2
【性質 3】兩個相似三角形對應分角線長的比等於任一組對應邊的比。
【已知】DABC～DA'B'C'， AD 、 A ' D ' 分別為 Ð A、 Ð A'的分角線
【求證】
' ' D A
AD ＝ ' ' B A
AB
【證明】(1)∵△ABC～△A'B'C'
∴ Ð A ＝ Ð A'， Ð B＝ Ð B'（對應角）
(2)在△ABD 與△A'B'D'中
∵ Ð B＝ Ð B' ，又 Ð 1＝
2
1 Ð A＝
2
1 Ð A'＝ Ð 2
∴△ABD～△A'B'D' (AA 相似) (3)∴
' ' D A
AD ＝ ' ' B A
AB （對應邊成比例）
【性質 4】兩個相似三角形對應中線長的比等於任一組對應邊的比。
【已知】△ABC～△A'B'C'， AM 為 BC 上中線， A ' M ' 為 B 'C ' 上中線。
【求證】
' ' M A
AM ＝ ' ' B A
AB
【證明】(1)∵△ABC～△A'B'C' ∴ Ð B＝ Ð B'
' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC ＝ ' 'C A
AC
(2)又 AM 、 A ' M ' 分別為 BC 、 B 'C ' 上的中線
∴ A ' B ' AB ＝
' 'C B
BC ＝
' 2 ' 1 2 1
C B
BC
＝ B ' M ' BM
(3)在△ABM 與△A'B'M'中
∵ Ð B＝ Ð B' ， ' ' B A
AB ＝ ' ' M B
BM
∴△ABM～△A'B'M'（SAS 相似）
(4)∴
' ' M A
AM ＝ ' ' B A
AB （對應邊成比例）
A
B C
A'
B' C'
M M'
【性質 5】兩個相似三角形面積的比等於對應邊平方的比。
【已知】△ABC～△A ' B ' C ' ， BC 與 B 'C ' 為對應邊。
【求證】 2
2
' ' '
'
' B C BC C
B A
ABC = D
D 。
【證明】(1)設 AH 與 A ' H ' 為這兩個三角形的對應高。
' ' M A
AM ＝ ' ' B A
AB ＝ ' 'C B
BC
(2)∵ D ABC 的面積＝
2
1 × BC × AH ，
' ' ' C B A
D 的面積＝
2
1 × B 'C ' × A ' H ' ，
∴ A ' C B ' ' ABC D
D ＝
' ' ' 2 ' 1 2 1
H A C B
AH BC
´
´
´
´
＝ B ' C ' A ' H ' AH BC
´
´
＝ B 'C ' BC ×
' ' AH A H ＝
' 'C B
BC × ' 'C B
BC ＝ 2
' '
2
C B
BC
∴ 2
2
' ' '
'
' B C BC C
B A
ABC = D
D
【範例】 如右圖，設在DABC 中， DE // BC ， AH ^ BC ，已知 AH ＝2 公尺， BC ＝3 公尺， GH ＝0.5 公尺，求 DE 。
【解】
A
B
D G E
H C
A
B C
A'
B' C'
H H'
A
D E
B C
A
C D
A
B
D
【範例】 如右圖，△ABC 中， DE // BC 且 D A ： DB ＝2：1，那麼△ADE：四邊形 BDEC 為多少？
【解】
直角三角形的相似性質：
我們很容易把一個直角三角形分成兩個直角三角形，而這兩個大小不等的直角三角形亦 為相似的。
【定理】:直角三角形斜邊上的高，把原形分成兩個直角三角形與原來的三角形相似
如下圖，證明△ABC 中，∠A 為直角， AD ^ BC ，則△ABD～△CBA，△CAD～△CBA。
【證明】
(1)在△ABD 與△CBA 中，
∵ Ð ADB ＝90 0 ＝ Ð CAB ，∠B ＝∠B，
∴△ABD～△CBA。(AA 相似) (2)在△CAD 與△CBA 中，
∵ Ð CAB ＝90 0 ＝ Ð ADC ，∠C＝∠C，
∴△CAD～△CBA。(AA 相似)
【範例】△ABC 中，∠BAC＝90 0 ，AD⊥ BC
【求證】 （1）AD 2 ＝BD× CD （2）AB 2 ＝BD× BC （3） AC 2 ＝ CD × BC
【證明】△ABC 中，∵∠BAC＝90 0 且AD⊥ BC ∴△ABD～△CAD～△CBA
（1）∵△ABD～△CAD ∴AD： CD ＝BD：AD Þ AD 2 ＝BD× CD
A
B C
D
A
B C
D
A
B
D
A
B C
A
C D
A
B C
（2）∵△ABD～△CBA ∴AB： BC ＝BD：AB Þ AB 2 ＝BD× BC
（3）∵△CAD～△CBA ∴ AC ： BC ＝ CD ： AC Þ AC 2 ＝ CD × BC
【範例】如右圖，△ABC 中∠B 為直角，D 為 B 到 AC 的垂足。
已知 CD ＝9 公分， AD ＝4 公分，求 AB 、 BC 、 BD 。
【解】
【範例】如圖，△ABC中，∠BAC＝90˚，AD為斜邊 BC 上的高，若AD＝4， CD ＝2，試 求：(1) AC ＝？ (2)BD＝？
【解】
【範例】如圖，在△ABC中， BC 的中垂線分別與AB、 BC 相交於P、H兩點。已知BP＝ 18公分，AP＝6公分， BC ＝12公分，且△ABC的面積為 96 2 平方公分，
則 PH ＝？
A
B
C
4 D 9
A E
C
B D
1.4
3 9
【解】
【範例】如圖，將邊長為14公分的正方形PQRS放在矩形ABCD上，其中QR 疊在 BC 上。今 沿BP、 CS 剪出△PST，結果頂點T恰好在AD上，已知 BC ＝42公分，
試求AB＝？
【解】
【範例】如圖，△ABC 中，∠B＝90 0 ， AB ＝15， BC ＝8，又 DE 是 AC 的中垂線，
求 DE ＝?
【解】
【範例】某大樓前有一盞探照燈，照在大樓前的牆壁上，小榮的身高為 1.4 公尺，站在 離大樓 9 公尺，離探照燈 3 公尺處，則小榮在大樓牆壁上的人影高多少公尺?
【解】
B F C D E
A
A
B C
D
M
N 6
18
A D
P E
F
B C
【範例】 直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90 0 ，AB ＝30，BC ＝15，內接半圓的直徑 DE // BC 且切 BC 於 F,則 FC ＝?
【解】
【範例】如圖中， AB , CD , MN 都和 BD 垂直， AB ＝6 公分， CD ＝18 公分， BD =12 公分，則 MN 之長為?
【解】
【範例】如圖，長方形 ABCD 中， AC 為對角線， AD ＝9 公分， AB ＝12 公分，若 AE ＝ CF ，則 AP 為多少公分?
【解】
【範例一】 【練習一】
如圖，△ABC 中， Ð A＝90 0 ，D 在 AB 上且 DE ^ BC
求證：△ABC～△EBD
如圖，五邊形 ABCDE～五邊形 A'B'C'D'E' 求證：△ABC～△A'B'C'
【範例二】 【練習二】
如圖，D 為△ABC 內部一點，E、F、G 分別為 AB 、 AD 、 AC 之中點
求證：△EFG～△BDC
如右圖，DABC 中， Ð BCD＝ Ð A， AD ＝5
， BD ＝4
(1)求證：△BCD～△BAC (2)求 BC 的長。
A
B C
D
E
A
B
C D
E
A'
B'
C' D'
E'
A
B D C
E
F
G
A
B C
D 5
4
8
A
B C
D 1
2 3
4
E
【範例三】 【練習三】
如圖， Ð B＝ Ð ACD， AB ＝8， BC ＝6，
AC ＝9， CD ＝12
求證：(1) △ABC～△DCA (2)求 AD 之長
ABCD 為一梯形 AD // BC ， DC ^ BC ， AD ＝ 2
1 BC ，若 BC ＝10， CD ＝12，求 CE 之長。
【範例四】 【練習四】
△ABC 中，∠C＝90 0 ， CD ⊥ AB 於 D，
若 AC ＝3， BC ＝4，求
（1） AD ＝？
（2）△ABC：△CBD＝？
如圖，△ABC 中，∠ACB＝90 0 ，∠CAB＝60 0 ，CD
⊥ AB
求 AD ： BD 的比值。
A
B
C
D 8
6 9
12
A
B
C D
A B
C
D
【範例五】 【練習五】
如圖， OA AA' ＝
OB BB' ＝
OC CC '
＝ 2
1 ，其中 A'、B'、
C'分別在 OA 、 OB 、 OC 的延長線上，
則 的面積
的面積 ' ' ' C B A
ABC D
D ＝？
如右圖，P 為DABC 外一點，試分別在直線 PA、
PB、PC 上各取一點 D、E、F，使DDEF～DABC，
而且DDEF 面積是DABC 面積的 4 倍。
A'
B' C'
A
B O C
P A
B C
