目錄

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單元一：一元二次方程式及解的意義 ... 2

課文：一元二次方程式及解的意義 ... 2

單元二：因式分解法解一元二次方程式 ... 10

課文 A：利用提公因式法因式分解解一元二次方程式 ... 10

課文 B：利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 ... 16

課文 C：利用乘法公式因式分解解一元二次方程式 ... 24

單元三：利用配方法解一元二次方程式 ... 30

課文 A：利用平方根的概念解一元二次方程式 ... 30

課文 B：配成完全平方式 ... 36

課文 C：利用配方法解x 係數為 1 的一元二次方程式 ... 44 ² 課文 D：利用配方法解x 係數不為 1 的一元二次方程式... 51 ² 單元四：利用公式解解一元二次方程式 ... 55

課文 A：一元二次方程式的一般式 ... 55

課文 B：利用公式解解一元二次方程式 ... 58

課文 C：一元二次方程式的判別式 ... 65

單元五：一元二次方程式的應用問題 ... 71

課文 A：一元二次方程式的應用問題 ... 71

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單元一：一元二次方程式及解的意義 課文：一元二次方程式及解的意義

我們在七上的時候就曾經學過「一元一次方程式」，指的是含有一個未知 數(一元)，最高次方是一次方(一次)的等式(方程式)。

而我們這單元所要討論的是「𝑥 的一元二次方程式」，什麼是一元二次方 程式呢？

例如 𝑥²+ 3𝑥 + 2 = 0 、𝑥² = 4，它們都只有一個未知數 𝑥 (一元)，而且 最高次方都是二次方(二次)的等式(方程式)，就叫「一元二次方程式」。

我們舉幾個例子來判斷看看！

例題一：判斷下列各式是不是一元二次方程式：

(1) 2𝑥 + 3 = 5 (2) 𝑥² + 3𝑥 − 5 (3) 𝑥² = 5

(4) (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

◎解題思維：

一元二次方程式包含了三個條件：「一元」是指只有一個未知數；「二 次」是指那個未知數最高次方是二次方；「方程式」代表它是一個等 式。接下來就檢驗有沒有同時符合這三個條件。

3

解：

(1) 2𝑥 + 3 = 5

這個式子只有一個未知數，但是它最高次方是一次方，而且 明顯是一個等式。「一個未知數、一次方、等式」，所以它應 該是「一元一次方程式」。

(2) 𝑥² + 3𝑥 − 5

這個式子的確只有一個未知數，它最高次方也是二次方，但 是它沒有等號，所以不是一個等式，這樣的式子就是一個「一 元二次多項式」。

(3) 𝑥² = 5

這個式子有一個未知數，最高次方也是二次方，而且明顯是 一個等式。這個式子完全符合「一個未知數、二次方、等式」， 所以它就是一個「一元二次方程式」。

(4) (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

這個式子看起來感覺不像一元二次方程式，但是這是還沒有 乘開化簡的樣子，所以我們將它乘開化簡開來看看。

乘開後是 𝑥²− 3𝑥 − 4𝑥 + 12 = 0 再整理化簡 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0

發現(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0乘開化簡後的結果是 (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

4

𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0，它只有一個未知數，最高次方也是二次 方，而且明顯是一個等式。這個式子完全符合「一個未知數、

二次方、等式」，所以它就是一個「一元二次方程式」。

認識完一元二次方程式後，接下來介紹一元二次方程式的解。

先回想一下，我們以前曾經在國七時學過一元一次方程式的解。

有一個一元一次方程式 𝑥 − 2 = 3 ，我們知道這個方程式中的 𝑥 是 一個 未知數，而當我們將 𝑥 = 5 代入𝑥 − 2 = 3 這個方程式時，會發現等式成 立，那麼我們就說「 5 是方程式 𝑥 − 2 = 3 的解」。

同樣的，一元二次方程式的解，意思就是將某個數字代入一元二次方程式 中，如果等式成立了，那麼我們就會說那個數字是一元二次方程式的解。

舉一個例子來說，一元二次方程式𝑥² − 7𝑥 + 12 = 0的解是什麼呢？

我們嘗試將 𝑥 = 1

、

𝑥 = 2

、

𝑥 = 3

、

𝑥 = 4 代入方程式，看看有什麼結果？

5

代入 𝑥

＝ 1

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

1

²− 7 ×

1

+ 12 = 1 − 7 + 12 = 6

≠ 0

代入 𝑥

＝ 2

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

2

² − 7 ×

2

+ 12 = 4 − 14 + 12 = 2

≠ 0

代入 𝑥

＝ 3

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

3

² − 7 ×

3

+ 12 = 9 − 21 + 12 = 0

= 0

代入 𝑥

＝ 4

𝑥²− 7𝑥 + 12 =

4

² − 7 ×

4

+ 12 = 16 − 28 + 12 = 0

= 0

我們將 𝑥

＝

1

、

𝑥

＝

2 代入時，等式不成立，所以 𝑥

＝

1

、

𝑥

＝

2 都不是方程 式 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0 的「解」。

而當我們將 𝑥

＝

3

、

𝑥

＝

4 代入時，等式成立，所以𝑥

＝

3

、

𝑥

＝

4 都是方程式 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0 的「解」，也可以稱作「根」。

我們再看一題！

例題二：判斷 −1 是否為一元二次方程式 𝑥²− 3𝑥 = −5𝑥 + 3 的解？

6

解：我們就是要將 𝑥 =

−1 代入 𝑥

²− 3𝑥 = −5𝑥 + 3 這個方程式裡 面，看看等式會不會成立！

等號左邊：𝑥² − 3𝑥 =

(−1)

²− 3 ×

(−1)

= 1 + 3 = 4 等號右邊：−5𝑥 + 3 = (−5) ×

(−1)

+ 3 = 5 + 3 = 8

4 ≠ 8 ，左邊 ≠ 右邊，等式不成立，所以−1 不是 𝑥² − 3𝑥 = −5𝑥 + 3 的解！

☆心得筆記

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重點提問

1. 上面的課文中提到，如果直接按照字面上的意思來翻譯，「一元二次方 程式」指的是什麼？並請你舉一個一元二次方程式的例子。

2. 依據上面的課文，請問所謂一元二次方程式的「解」，指的是什麼？並 請你舉一個例子說明一下。

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․隨堂練習：

1. 判斷下列各式是哪種式子，填入格子內。

(A)一元一次多項式 (B)一元一次方程式 (C)二元一次式 (D)二元一次方程式 (E)一元二次多項式 (F)一元二次方程式

(1) 3𝑥 − 8 是 。 (2) 𝑥² + 5𝑥 + 6 是 。 (3) 𝑥 + 2𝑦 = 4 是 。 (4) 3𝑥 − 6 = 9 是 。 (5) 3𝑥 + 2𝑦 是 。 (6) 3𝑥²− 8 = 5𝑥 + 3 是 。

2. −2、 − 1、0、1、2 這些數中，

哪些是一元二次方程式 𝑥²− 𝑥 − 2 = 0 的解？

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3. 𝑥 = 1 是下列哪些一元二次方程式的根？（複選）

(A) 𝑥²− 1

＝

0

(B) 𝑥²− 2𝑥 + 1 = 0 (C) 𝑥²+ 2𝑥 + 1 = 0 (D) 𝑥²− 5𝑥 − 6 = 0 (E) 3𝑥² + 5𝑥 − 2 = 0 (F) 2𝑥² − 5 = 2𝑥 − 7

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/V4KmsLaUus8

如果例題一、二還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?v

=LrT_E-qOkzM