3-3 平面上的直線

(1)

3-3 平面上的直線

直線的參數式

1 1

兩直線的交角

2 2

點到直線的距離

3 3

(2)

1 1 ^{直線的參數式}

如圖所示，設直線 L 過點 _，且與非零向量平行，

則直線 L 的參數式為

t 為實數。

 ^{x x at} ^{y y bt} ^{ } ^{ }

⁰₀

^， ^，



^,



v  a b



^{A x}

^

⁰ ^, ^y⁰

^

(3)

1

已知平面上兩點 P ( － 1 , 2) ， Q (2 , 3) ，試求直線 PQ 的一個參數式。

取直線 PQ 的方向向量為

= ( 2 － ( － 1) , 3 － 2 ) = (3 , 1) ，

因為直線 PQ 過點 P ( － 1 , 2) ，又 = ( 3 , 1 ) 為方向向量，

故得直線 PQ 的參數式為

t 為實數。

 ^x ^y ^ ^{ } ^－， ² ^{1 3} ^ ^t ^， ^t

PQ



PQ



(4)

2

已知直線 L 的參數式為 t 為實數，試求 L 的直線方程式。

[ 解法一 ]

取 t = 0 ，得 L 上的一點 ( － 2 , 1) ； 取 t = 1 ，得 L 上的另一點 (1 , 3) ，



^x^y^{ }^{ }^{1 2}^{2 3}^t^，^t^，

故由第 2 章可求得 L 的方程式為。2x 3y  7 0

(5)

2

2x 3y  7 0 [ 解法二 ]

^① ^② ①×2 －^② ×3 得

，

即。



2x 3y   2( 2 3 ) 3(1 2 )t   t  7 2 3

x    t 1 2 y   t



^x^y^{ }^{ }^{1 2}^{2 3}^t^，^t^，

已知直線 L 的參數式為 t 為實數，試求 L 的直線方程式。

(6)

3

在花蓮正東方公里處有一艘船，以每小時 20 公里的時速朝西北方移動，試問：

(1) 經過 t 小時後，船與花蓮的距離。

(2) 在船行進中有兩個時刻與花蓮的距離恰為 250 公里，請問這兩個時刻相距多久？

使花蓮

在原點 O ( 0 , 0 ) ， A 點坐標為 ( , 0 ) ，設 t 小時後船移動 至 P 點，可得，

200 2

且與 x 軸正向夾角為，於是

20 AP  t

135^



AP (1) 定坐標系，如右圖所示，

(7)

3

(20 cos135 ,20 sin135 )

AP  t  ^ t  ^



( 10 2 10 2 )t , t

  ，

2 2

20 , 20

2 2

t t

   

      

 

又由於

OP OA AP

 

 



^{200 2,0}

 

^{10 2 ,10 2}^t ^t



  



200 2 10 2 ,10 2t t



  ，

故得

(8)

3

即 t 小時後船與花蓮的距離為 公里。

20 t2 20t  200



^{200 2 10 2}

 

² ^{10 2}



²

OP  OP



  t  t

400t2 8000t 80000

  

20 t2 20t 200

   。

(9)

3

(2) 承 (1) ，由題意可得

，

兩邊平方得，

整理得，



²



400 t 20t  200  62500 20 t2  20t  200 250

4t2 80t 175 0

可分解為，解得

或，

故共相距小時。

5

t  2 35

t  2 35 5 15

2  2



²^t ^^{5 2}

 

^t ^³⁵



^ ⁰

(10)

2 2 ^{兩直線的交角}

設為平面上的一直線，若為 L 的一個 方向向量，則只要與垂直的向量都稱為直線 L 的法向量

。

直線的法向量：

向量為直線的一個法向量。

: 0

L ax by c  



^{a b}^,



L ax by c:    0



u



u

(11)

2 2 ^{兩直線的交角}

設平面上兩相交直線 , 的法向量分別為、，且與的夾角為。如圖可知，即為與的一個夾角，

而另一個夾角為，因此，只要求出兩直線法向量的夾角，即可得兩直線的交角。

L1 L₂



 L₁ L₂ 180^  n1

 

ⁿ₂



ⁿ₁



n₂

(12)

4

與的法向量分別為，。試求兩直線，的交角。

1: 3 7 0

L x y   L₂ : 2x y  3 0 L2

L1

於是，得，

故與有一交角為，另一交角為

  45^

1 (3 , 1)

n  

 

ⁿ₂ ^ ^{(2 , 1)}

1

 2

6 1 10 5

 



1 2

cos n n n n

 

 

^

 

設與的夾角為，則 n1

 

ⁿ₂ 

(13)

5

在直線 L 上取兩點

故 L 的方向向量為

試求點到直線的距離。P(3,2) L x: 3  4y  7 0

( 3 1,4 1) ( 4,3)      ，



^1,1



A ，^B



^^{3 , 4}



，

L 的參數式為 t 為實數。

如圖所示，

和直線 L 上的點的距離為



^x^y^{ }^{ }^{1 4}^{1 3}^t^t^，^，



^{3 , 2}



P Q(1 4 ,1 3 ) t  t

3 3 ^{點到直線的距離}

(14)

5

故在時，

有最短距離，即 P 到 L 的距離為 2

 



^{1 4} ³



²

 ^

^{1 3}

^

²



²

PQ   t    t  25t2 10t 5

  

1 2

25 4

t 5

 

    

  。

1

t  5 4 3 9 2

1 ,1 ,

5 5 5 5

Q Q

       

    

此時 

PQ 4 2

試求點到直線的距離。P(3,2) L x: 3  4y  7 0

(15)

3 3 ^{點到直線的距離}

點到直線的距離公式：

點到直線的距離為

0 0

( , )

P x y L ax by c:    0

0 0

2 2

ax by c a b

 

 。

利用點到直線的距離公式，可以進一步導出兩平行線之間的距離。

(16)

6

試求點到直線的距離。P(3,2) L x: 3  4y  7 0

點 P 到直線 L 的距離為

2 2

3 3 4 2 7 10 5 2 3 4

   

 

 。

(17)

7

設圓，若直線與圓 C 有交點，試求 k 的最大可能範圍。

因為圓 C 與直線 L 有交點，

所以圓 C 的圓心至 L 的距離

小於或等於圓 C 的半徑，即

2 2

: 1

C x  y  L x y k:    0



^{0 , 0}



O

 

²

2

0 0 1

1 1

  k

   ，

2 k  ， 2 k 2

   。

如圖所示，

整理得故得

3-3 平面上的直線