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國立中山大學教育研究所 碩士論文

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Academic year: 2022

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(1)

國立中山大學教育研究所 碩士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Master Thesis

高職 高職

高職 高職機率 機率 機率 機率擬題 擬題 擬題 擬題活動 活動 活動 活動之研發 之研發 之研發 之研發、 、 、 、實踐與省思 實踐與省思 實踐與省思 實踐與省思

A study on probability problem-posing activities in vocational school: Development, practice, and reflection

研究生:黃雲卿 撰

Yun-Qing Huang 指導教授﹕梁淑坤 博士

Dr. Shuk-Kwan Leung 中華民國104年6月

June 2015

(2)
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謝 誌

每個人都有一座打造未來的工廠,中山大學教育研究所就是我的 夢想飛船。兩年的時光轉眼間已結束,在這段期間遇到許多挑戰與困 難,感謝許多老師和同學的協助與鼓勵,讓我能邁向下一個人生的旅 程,過程艱辛卻也讓我成長許多。

論文的完成,最感謝的人就是指導教授梁淑坤老師。在課堂上梁 老師教導了許多專業知能,並能感受到老師對學生的關心與鼓勵。沒 有梁老師的教導和督促,就沒有這篇論文的產生。也要特別感謝李旻 憲教授和羅春光教授在學位考試中,給予學生指導和建議,讓我的論 文更臻於完善。

感謝蕙帆、孟君和郁婷,在這兩年給予我許多課業與生活上的幫 助;感恩采姿、祥雲與永政,一起共同努力、互相督促與審視論文,

給我許多建設性的意見,才得以完成這份論文。也謝謝任教學校的協 助,以及高二 10 組活潑認真的學生們配合與支持,使我的論文能順 利完成。

最後,感謝家人和朋友的支持與鼓勵,讓我能無後顧之憂,專心 一致於課業上,讓我能堅持到底全心投入。以此書獻給所有關心我、

愛護我的人,謝謝你們!

(4)

高職機率擬題活動之研發 高職機率擬題活動之研發 高職機率擬題活動之研發

高職機率擬題活動之研發、 、 、 、實踐與省思 實踐與省思 實踐與省思 實踐與省思

摘要

本研究主旨是在探討高職機率擬題活動實施情形,以 99 課綱高職數學 B 第三冊「求機率問題」為教材內容,擬題方式採取梁淑坤(1997)的「題目類」

與「解法類」。擬題教學之教師佈題經學校三位專家共同審核修正,教學實施 係先由教師給予題目,要求學生解出此題目,然後再根據此題目及規定一種擬 題的運算方法,擬出另一個題目。

本研究樣本為高雄地區某高職學生。研究目的有:1.研發高職機率擬題教 材;2.分析學生擬題作品類型和內容;3.分析學生解擬題的解題表現;4.探討 學生對擬題活動的接受程度;5.探討擬題活動後教學者的教學省思。研究者透 過擬題單、學生學習日記、教師教學札記與錄音檔等多樣方式收集資料,以期 能充分解釋本研究結果,增加其客觀性及可靠性。

本研究共有五個發現,第一,高中職機率題材適合研發擬題教材。第二,

學生擬出的題目屬於資料充足的有 96.6﹪,學生皆能擬出可行的題目。第三,

學生在「解擬題」的解題成功有 98﹪,解題策略比起一般考試題目正確率明 顯提高,學生對於自己擬的題目更能理解並成功解題。第四,擬題活動是學生 希望的上課方式,大部分學生能接受擬題活動,最熱衷的部分為擬題過程與同 學分享的部分。他們覺得擬題活動可以激發自己的想像力,也更能理解數學。

最後,教學者實施擬題教學時,發現學生參與度高並能注意到題目的可行性與 完整性,並將教學歷程中的省思結果,作為日後數學教學的經驗。

關鍵字 關鍵字 關鍵字

關鍵字::擬題教學擬題教學擬題教學擬題教學、、高職高職高職高職、、機率機率機率機率

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A Study on probability problem-posing activities in vocational school: Development, practice, and reflection

Abstract

The main purpose of this research is to explore the implementation of probability problem-posing activities in vocational school. Curriculum based vocational school math book3 “problems on probabilities” . The method of posing problems is Leung’s

“problem category”,and “solving method category”.The problems that the investigator provided in probability problem-posing activities were review amendment by three math expect teachers.Students initially solved the problems that the teacher provided, then taking this problem as the foundation, students posed another problems with the same solving method by themselves and solved the problems as well.

The sample consisted of vocational school students in Kaohsiung. The goals of this research are five: first,development of probability problem-posing teaching material of vocational school; second, analyzing the categories of students’ work and the contents of posing problems that student created; third, investigating into the performance of problem solving; fourth, probing students’ opinions of

problem-posing activities; fifth, discussion on teacher’s reflection after probability problem-posing activities .During this research, the researcher utilized a variety of ways to collect data, problem-posing worksheets, learning diaries,teacher’s journals, and audio tapes.

The results of this research were five. First, probability is an ideal concept for developing problem-posing pedagogy in high school.Second,it showed that 96.6% of students given problems included sufficient data for solving. Students virtually were able to make feasible problems.Third, 98% of student solved the posed problems successfully. Students’ performance at problem posing then solving stage was higher.

Fourth, students expressed a liking of problem posing, they thought that the materials were interesting and showed promising study manner. Finally, teacher’s reflection indicate that students enjoy the activity and notice problem’s feasiblely and completeness.The above results yielded activities implications for teachers who consider integrating problem-posing teaching into mathematics activities in vocational school.

keyword:

:problem-posing, vocational school, probability

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目 錄

第一章 緒論...1

第一節 研究動機...1

第二節 研究目的與研究問題 ...3

第三節 名詞釋義...4

第二章 文獻探討...5

第一節 解題的相關概念...5

第二節 擬題的相關概念...15

第三節 不同學習階段擬題教學的相關研究 ...24

第四節 擬題和解題的關係...36

第五節 機率在高職數學課程之內容 ...39

第三章 研究設計...43

第一節 研究架構...43

第二節 研究對象...45

第三節 研究工具...45

第四節 研究程序...50

第五節 預試資料的分析...53

(7)

第四章 研究結果與討論 ...63

第一節 學生擬題作品類型與內容 ...63

第二節 學生解擬題的解題表現 ...77

第三節 學生對擬題教學活動的接受程度 ...84

第四節 擬題教學活動後教學者的教學省思 ...99

第五節 高職機率擬題教材可行性 ...104

第五章 結論與建議 ...115

第一節 結論...115

第二節 建議...118

參考文獻...121

附錄...128

【附錄一】擬題單...128

【附錄二】學生學習日記...135

【附錄三】機率教學擬題活動回饋單 ...136

【附錄四】教師教學札記...137

【附錄五】學生擬題照片...138

(8)

圖 次

圖 2-1 擬題分類流程 ...21

圖 2-2 解自己所擬的題目 ...36

圖 2-3 學生的擬題過程 ...37

圖 2-4 解題與擬題步驟 ...38

圖 2-5 求機率問題教材內容 ...40

圖 2-6 教材地位分析 ...41

圖 3-1 研究架構圖 ...43

圖 3-2 擬題教學活動流程圖 ...44

圖 3-3 高職機率擬題活動之研發、實踐與省思的研究流程 ...52

圖 3-4 預試擬題教學活動流程圖 ...53

表 次

表 2-1 Polya 的解題歷程內容表 ...6

表 2-2 解題理論之比較 ...13

表 2-3 擬題作品分類 ...20

表 2-4 擬題作品五分量表 ...20

表 2-5 學生擬題作品九分評量表 ...22

(9)

表 3-1 檢驗擬題單教師佈題之專家名單 ...46

表 3-2 擬題單之教師佈題表 ...48

表 3-3 預試之學生擬題作品類型統計表 ...54

表 3-4 預試之學生解擬題成敗統計表 ...55

表 3-5 預試之學生對於自己擬題題目喜歡程度統計表 ...57

表 3-6 預試之擬題教學活動喜歡程度統計表 ...58

表 4-1 學生擬題作品類型統計表 ...64

表 4-2 擬題作品內容分析表 ...69

表 4-3 學生解擬題成敗統計表 ...77

表 4-4 學生對於自己擬題題目喜歡程度統計表 ...86

表 4-5 學生對於擬題教學活動喜歡程度統計表 ...91

表 4-6 七次擬題教學活動後學生是否喜歡擬題教學活動 ...95

表 4-7 比較喜愛平常上課方式還是擬題上課方式 ...96

表 4-8 擬題方式對數學解題思考有無幫助 ...97

表 4-9 擬題教學活動表現最好及尚待加強部分 ...98

(10)

(11)

第一章 第一章

第一章 第一章 緒論 緒論 緒論 緒論

本章內容分別針對本研究之研究動機、研究目的、研究問題與名 詞釋義共四個部分進行描述與探討。

第一節 第一節

第一節 第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機

數學一直是極具挑戰的學科,對高職學生更是如此,研究者任教 時發現高職學生對於數學學習動機普遍低落,可見傳統的教學方式已 不敷使用。建構主義認為「知識不是被動的接受,而是經由感官或溝 通等方式,由認識的個體主動的建立」 ( Von Glasersfeld,1995),強調 由學生自己建構知識,而不是被動接受知識(甯自強,1993)。所以,

建構主義主張教學應以「學習者的學習活動」為中心,教師角色應由 傳統的「教學者」轉變為情境的「設計者」、教師應成為學生們討論 與溝通的「協調者」,以促進學生學習。因此,在教學情境中,學生 已儼然為主角,在整個學習過程中,學生是知識的詮釋者、創造者及 問題的探索者(張美珍,2002)。

國內外有許多學者提出建議,學習數學過程應由學生主動建構,

而提供學生在課堂中擬題的機會,便是一項被推薦的教學方式

( Kilpatrick, 1987;Krulik &Rudnick, 1993;Silver & Cai, 1993;梁

(12)

淑坤,1994)。比起教科書中或是教師所出的題目,學生們解自己所 擬的題目的動機比較強烈(Brown &Walter, 1993;梁淑坤,1994)。

擬題讓學生基於其先備經驗或特定情境產生和發展數學問題

(Cifarelli & Sheets, 2009),擬題的過程可促進學生靈活思考,因需 考慮題目內容性質,,以及可能解題的方法,如此不僅能提高解題技 能,也強化和豐富基本數學概念(莊楊晉堅、梁淑坤,2008;English, 1997; Lin & Leung,2008)。

美國數學教師協會主張若要培養學生產生自學的數學家精神,擬 題活動是數學課程中不可缺少的活動(NCTM,1989;1991),在課程標 準裡建議應讓學生在問題情節中探索和形成問題(NCTM,1989),專 業發展標準裡(NCTM,1991)建議製造機會讓學生自行形成問題,並 依照問題之條件修正為新的題目(NCTM,1991),最後,在評量標準 裡也建議「從學生自行擬題中瞭解學生的能力」(NCTM,1995)。

此外,梁淑坤(2012)提及數學學習低落學生補救教學之策略,

建議採用生活化的數學和簡易化的數學。綜觀高職數學教材中,機率 單元較為生活化,亦不需太多先備知識,不用擔心基礎尚未打好等問 題。因此,研究者將擬題與機率教學相結合,探討學生擬題加深對問 題情境結構的熟悉,自己形成數學問題,自己解決數學問題,並且透 過全班討論的進行,分享擬題的成果,增加學習的樂趣。

(13)

第二節 第二節

第二節 第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的與研究問題 與研究問題 與研究問題 與研究問題

壹 壹

壹 壹、 、 、 、研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

根據上述研究動機,本研究的研究目的如下:

一、 研發高職機率擬題教材並執行擬題教學活動。

二、 分析學生擬題作品類型。

三、 分析學生解擬題的解題表現。

四、 探討學生對擬題教學活動的接受程度。

五、 探討擬題教學活動後教學者的教學省思。

貳 貳 貳

貳、 、 、 、研究問題 研究問題 研究問題 研究問題

根據以上研究目的,本研究的待答問題如下:

一、 研發之高職機率擬題教材執行擬題教學活動是否可行?

二、 學生的擬題作品出現那些類型?

三、 學生的擬題作品出現那些類型?

四、 學生對擬題教學活動的接受程度有哪些?

五、 教學者在擬題教學活動後的教學省思為何?

(14)

第三 第三

第三 第三節 節 節 節 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義

本研究重要相關名詞,分別敘述如下。

壹 壹

壹 壹、 、 、 、擬題 擬題 擬題 擬題

本研究中所指的擬題是指「學生先解完教師提供的一道題目後,

再以原題為基礎,想出另一個類似的數學問題,解法與原題相同,學 生可以改變數字、事物與問題結構等。」

貳 貳

貳 貳、 、 、 、擬題教學 擬題教學 擬題教學 擬題教學活動 活動 活動 活動

本研究中所指的擬題教學活動是由教師根據課本單元設計擬題 單與學生學習日記,由學生進行擬題教學活動。

參 參

參 參、 、 、 、擬題 擬題 擬題 擬題作品 作品 作品 作品的類型 的類型 的類型 的類型

研究者採用國內學者梁淑坤(梁淑坤,1999;Leung , 2013)所 發展出的一套評量工具,將學生擬題的作品分成非問題(Not a

Problem)、非數學問題(non Math)、不可行的數學問題(Impossible)、 可行卻資料不足的數學問題(Insufficient)及可行並資料充足或超過

(Sufficient or Extraneous)五類,再依此分類方式,進行擬題作品類 型的探討。

肆 肆

肆 肆、 、 、 、高職機率 高職機率 高職機率 高職機率

係配合教育部 99 課綱之實施,本研究採用泰宇出版高職二年級 第三冊「求機率問題」內容,但不包含貝式定理。

(15)

第二章 第二章

第二章 第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

本章內容共分成五節,第一節探討解題的相關概念;第二節探討 擬題的相關概念;第三節探討不同學習階段擬題教學的相關研究;第 四節探討解題和擬題的關係;第五節描述機率在高職數學課程內容。

第一節 第一節

第一節 第一節 解題的相關概念 解題的相關概念 解題的相關概念 解題的相關概念

本節針對國外幾位學者對於解題歷程之研究,分述如下:

壹 壹 壹

壹、 、 、 、Polya解題歷程 解題歷程 解題歷程 解題歷程

波蘭數學家 Polya(1945)在其著作《How to solve it》中,

將解題歷程分成四個階段。

一、瞭解題意(Understand):瞭解題目是問什麼?理解已知和未知 的條件各是什麼?

二、擬定解題計畫(Plan):發現未知數和已知數之間的關係,如果 找不著關係,就須考慮一些輔助問題,想辦法擬定解題的方 法、策略和執行步驟。

三、實行解題計畫(Carry out):執行所擬定的解題計畫。

四、回顧解答(Look back):檢驗解答的合理性,並且鼓勵用多樣 不同方法求出解,或應用延伸到別的問題

(16)

Polya 的解題歷程內容,詳述如表 2-1

表 2-1 Polya 的解題歷程內容表(Polya, 1945;閻育蘇譯,1993:12)

第一步 你必須弄清問題

瞭解題意

未知數是什麼?已知數據是什麼?條件是什麼?滿足 條件是否可能?要確定未知數,條件是否充分?或者它 是否不充分?或者是多餘的?或者是矛盾的?畫張 圖。引入適當的符號。把條件的各個部份分開。你能否 把它們都寫下來?

第二步 找出已知數與未知 數之間的聯繫 如果找不出直接的 聯繫,你就 可能不得不考慮輔 助問題

你應該最終得出一 個求解的計畫

擬定解題計畫

你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有 不同?你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個 可能用得上的定理?看看未知數!試想出一個具有相 同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這裏有一個與你現在的問題有關,且早已解決的問題。

你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它 的方法嗎?為了能利用它,你是否應該引入某些輔助元 素?你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的 方法重新敘述它?

回到定義去!

如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關 的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一 個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問 題?你能否解決這個問題的一部份?僅僅保持條件的 一部份而捨去其餘部份,這樣對於未知數能確定到什麼 程度?它會怎樣變化?你能不能從已知數據導出某些 有用的東西?你能不能想出適於確定未知數的其他數 據?如果需要的話,你能不能想改變未知數或數據,或 者二者都改變,以使新未知數和新數據彼此更接近?

你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條 件?你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?

第三步 實行你的計畫

實行解題計畫

實現你的求解計畫,檢驗每一步驟。你能否清楚的看出 這一步驟是正確的嗎?你能否證明這一步驟是正確 的?

第四步 驗算所得到的解答

回顧解答

你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出這個結 果?你能不能一下子看出它來?你能不能把這結果或 方法用於其他的問題?

(17)

貳 貳

貳 貳、 、 、 、Lester數學解題歷程 數學解題歷程 數學解題歷程 數學解題歷程

Lester(1980)將數學解題歷程分為六個階段,並強調這六階段 是不同但卻互相關聯的。說明如下:

一、察覺問題(problem awareness):解題者能夠察覺到這是一個問 題,進而能發現解題困難的存在,並且解題者是有意願解決問 題。如果學生沒有意識到解題的困難,或者學生沒有解題的意 願,那麼這個歷程是毫無意義的。此時解題者必須理解:

(一)與問題相關及非相關的訊息有哪些?

(二)能夠瞭解訊息間的關係嗎?理解所有項目的意思嗎?

二、理解問題(problem comprehension):此階段發生於當學生開始對 這個問題產生感覺(making sense out of the problem)時。這個階 段包含兩個子階段:

(一)轉譯(translation):解題者將問題所提供的資訊轉換成對自 己有意義、能理解的字句。

(二)內化(internalization):解題者提取相關訊息並進行分類,

且判斷相關的程度。

三、目標分析(goal analysis):此階段解題者將訊息歸類,並作成細 目,進行子目標分析,進而理解問題的結構與成分。某些問題 適合建立子目標,有些問題則不適合建立子目標。而確認子目

(18)

標即確認問題的組成,有助於理解問題與發展解題歷程,也便 於應用熟悉的策略與技巧。故解題者須分析問題是否滿足以下 的條件:

(一)有任何子目標可以幫助達成目標嗎?

(二)這些子目標有一定的次序嗎?

(三)次序的編排正確嗎?

(四)有正確認清問題的運算條件嗎?

四、計畫發展(plan development):計畫發展包括辨識更多可能性的 策略。解題者擬定一個可行的計畫、訂定策略,將子目標排列 及詳細運算。解題者必須要能理解解題所需進行的程序與方 法,這個階段往往也是學生感到困難的部份,因為學生通常較 無法組織思考和計畫。因此,解題者應注意下列事項:

(一)問題是否有其它的方式可以解出?

(二)有更好的方法嗎?

(三)是否曾經解過類似的題目?

(四)這樣的計畫能達成目標或子目標嗎?

五、執行計畫(plan implementation):解題者執行擬定的解題計畫。

執行錯誤可能會提升情境的混淆,解題者有時會因為簡單的計 算錯誤而無法找到正確的模式。因此,解題者必須注意下列的

(19)

事項:

(一)使用的策略和方法正確嗎?

(二)計畫執行的步驟順序正確嗎?還是能使用不同的順序?

六、程序和解答評估(procedures and solution evaluation):此階段除 了要檢查答案是否具有意義,還要對解題歷程目標分析作系統 性的評估。因此解題者應該注意下列的事項:

(一)解答是否符合問題的條件?是否具有一般性 (generalization)?

(二)解題者所學的是否能幫助解題者解決其它的問題?

參 參 參

參、 、 、 、Schoenfeld數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式

Schoenfeld(1985)重視解題者的心理活動,強調數學解題 要考慮四個變項:資源(resources)、捷思(heuristics)、控制

(control)和信念系統(belief system)。

一、資源:解題者所具有的相關數學知識,包括數學事實、數學定 義、運算程序及相關技巧等。解題者若缺乏資源,則解題活動 將無法進行。相對的,具有更多資源的解題者,解答正確的機 會越高。

二、捷思:捷思策略(heuristics strategies),例如畫表格、簡化問題、

(20)

尋找組型、猜測等。解題者即便具有資源,但若缺乏適當的解 題策略,仍無法正確解題。此外,解題者可藉由解題的經驗,

累積解題策略,之後對相似的問題,便會運用解題策略來進行 解題。

三、控制:解題者如何決定解題計畫、如何選擇目標、如何採用策 略、監控和評估解題結果等。

四、信念系統:解題者對數學的認知觀點,此觀點會影響解題者的 行為。例如有些學生認為數學是需要天分,無法藉由後天的努 力來增強,故在遇到解題失敗時,容易歸因於本身,遇上較耗 費時間的問題,也容易會選擇放棄作答。

Schoenfeld(1985)研究發現在這四個變項中,控制因素是 處於關鍵的重要地位。因為控制因素主導了如何合理的運用資 源、如何適當的採用捷思策略。故他進一步以控制因素的觀點,

將解題歷程分成六個階段,分述如下。

一、讀題(reading):解題者閱讀題目,解題者為求更理解題意時,

複述題目中重要條件的情形。

二、分析(analysis):讀題後,理解問題的陳述,有系統的重新陳 述問題,尋找解題的方向。

(21)

三、探索(exploration):探索也是在讀題後尋找解題的路徑。但分 析和探索的差別是,分析通常較具有良好結構(well structured)

形式,而探索較不具良好的結構,所以分析是有系統化的找尋 解題路徑。

四、計畫(planning):自分析或探索階段獲得一個解題路徑時,依 此路徑規劃解題步驟。

五、執行(implement):將所規劃的解題步驟逐一執行。

六、驗證(verify):檢驗答案合理性。

肆 肆 肆

肆、 、 、 、Mayer數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式

Mayer(1992)以心理學家的觀點,提出「問題」具有三個 特徵:「給予的條件狀態」、「目標」和「障礙」。他認為問題是個 體從已知的條件狀態到目標狀態時,因缺乏立即通往正確答案路 徑所處的一種情境。解題即是在符合限制條件的要求下,用各種 可能的方法,從已知條件狀態達到目標狀態的歷程。Mayer(1987, 1992)把數學解題分為以下四個階段:

一、問題轉譯:將每一個陳述句轉譯為內在表徵,即理解語句之間 的關係,並將每一個陳述句加以解釋。

二、問題整合:包括認識問題的類型和資料、決定解題所需要的資

(22)

料、用圖示或圖畫來表示問題等,即將資料整合而成一個問題 表徵。

三、解題計畫和監控:設想及監控解題計畫。

四、解題執行:依照解題計畫,運用演算法則進行計算。

而這四個階段可分成「問題表徵」和「問題解決」二大步驟:

問題表徵包含問題轉譯和問題整合兩個歷程;問題解決則包含計 畫和監控、解題執行兩個階段。

Mayer 認為解題者需要具備五種知識:語言知識、語意知 識、基模知識、策略知識和程序性知識。其中,問題轉譯需要語 言知識和語意知識,問題整合需要基模知識,計畫和監控需要策 略知識,執行解題需要程序性知識。如果解題者在解題時,缺乏 五種知識中的任何一種,很可能就無法成功的解題。

伍 伍 伍

伍、 、 、 、解題理 解題理 解題理 解題理論之比較 論之比較 論之比較 論之比較

針對 Polya(1945)、Lester(1980)、Schoenfeld(1985)及 Mayer(1992)五個學者解題理論作比較,整理如表 2-2。

(23)

表 2-2 解題理論之比較

學者 內容分析

Polya

(1945)

Lester (1980)

Schoenfeld

(1985)

Mayer

(1992)

察覺問題    

數學知識  

問題轉譯  

擬定策略    

執行策略    

監控評估   

回顧解答   

從上表中可看出,「察覺問題、擬定策略、執行策略」是四 人共同的看法,「數學知識」由 Schoenfeld 和 Mayer 提出,「問題 轉譯」為 Lester 和 Mayer 提出,而「監控評估」則是 Lester、

Schoenfeld 和 Mayer 三人提出,最後階段「回顧解答」由 Polya、

Lester 和 Schoenfeld 三人提出。

由於心理層面難以察覺與監控,並且擬題於正式教學後實 施,意即學生應具有數學知識和相關概念,故本研究在教導解題 技巧以 Polya 四階段為主軸。

然而要提升學生的解題能力,需要有適當的解題教學策略。

施淑娟(1999)從促進學生學習的觀點,提出數學教學策略為:

1.教導學生解題策略:協助學生瞭解問題、擬定與執行計畫、並

(24)

協助回顧與檢核的策略等。2.採用生活化、趣味化的佈題:提供 生活化或趣味化的佈題,若是學生自己的問題最佳。3.搭配數學 遊戲。4.結合數學寫作活動。5.採用擬題的方式。而塗金堂(1999)

依據合作學習精神,主張「合作--省思」數學解題教學法,其策 略分為三個步驟:1.教師示範教學:教師示範解題思考的歷程,

讓學生發現解題時,是需要經過探索與分析的過程。2.小組合作 解題:二人一組共同解題,一人為解題者,另一人為協助者,解 題者藉由協助者的幫忙,進而省思自己的解題行為。3.全班成果 分享:學習欣賞與比較別人不同的解法,進而省思自身的解題歷 程。

綜合以上學者的教學策略,研究者歸納五點重點:1.解題教 學應以學生為中心;2.鼓勵學生發展自己的解題策略;3.採用生 活化、趣味化的佈題;4.讓學生自我思考和省思;5.讓學生多發 表;6.擬題為促進解題之途徑。

其中擬題與生活化的佈題可促進解題的教學策略,即是本研 究中擬題教學活動的重點。將機率和擬題教學活動相結合,並採 用生活化的佈題,讓學生能親近與熟悉問題情境的結構,自己形 成數學問題,解決數學問題,並且透過全班討論的進行,分享擬

(25)

第二節 第二節

第二節 第二節 擬題的相關概念 擬題的相關概念 擬題的相關概念 擬題的相關概念

本節針對「擬題」分成以下二個部份進行探討,第一部分為 擬題的定義、特徵與型式,第二部分為擬題的評量。

壹 壹 壹

壹、 、 、 、擬題的定義 擬題的定義 擬題的定義 擬題的定義、 、 、 、特徵與型式 特徵與型式 特徵與型式 特徵與型式

一、擬題的定義:

Dillon(1982)認為擬題是解題之後,找尋題目之過程。Silver

(1994)認為擬題主要分成二種方式,分別是產生新問題和依據給 予的問題而形成問題。梁淑坤(1994)將擬題定義為「自己想出一 個數學題目」。擬題者在擬題的過程中,會運用到自己數學知識與 生活經驗,將情境、人物、事件、數字、圖形等組織並建立關係,

進而擬出一個數學題目。Stoyanova 和 Ellerton(1996)認為學生依 據數學知識和經驗作為基礎,創造出有意義的數學題目,是一個屬 於個人化的過程。

綜合上述學者見解,本研究將擬題界定為學生根據教師提供之 題目,然後用自己的數學經驗,擬定一個數學題目。

(26)

二、擬題的特徵:

學生的擬題是依照教師提供之題目,用自己的數學知識或經 驗,想出一個全新的數學題目,則也代表擬題行為的特徵可能包含 個人化(idiosyncratic)、猜想及可信推理(plausible reasoning)、解題之 連接(before, during, and after problem solving)和題目粗糙性

(primitive)等四項特徵(梁淑坤,1994)。首先,擬題活動中最顯著 的特徵是個人化(idiosyncratic),因擬題者通常會根據自己的數學知 識、生活經驗、文化背景…等,展現個人的擬題特性。其次,擬題 的過程充斥擬題者的猜想與可信推理(plausible reasoning),擬題者 會去猜想所想出的題目是否合理,並且可能嘗試評估題目的答案。

再者,發生擬題的情況有很多種,有可能是在解題前先擬題,也有 可能是藉由解自己所擬的問題中再修定自己所擬的題目,抑或解題 後再擬題,但無論是何種情況皆與解題有所連接。最後,擬題者可 能因經驗不足,使得擬出之題目是較為粗糙、不完整,甚至是不可 行,或者是欠缺足夠的解題資料。

根據以上的特徵,我們能夠理解學生擬題之題目可能較不完 整,但學生能藉此想出一個可行的題目並嘗試去解答,已是一個良 好的開始,並可養成主動問題解答的習慣,其後也許學生們會想出 一些自己尚未有辦法解答的題目時,將更要求自己多學一些數學以 求有能力解題(梁淑坤,1995)。

(27)

三、擬題的型式:

有關擬題之型式,以下列舉幾位學者的看法:

(一)Reitman(1965)將題目分為結構題和非結構題,根據「已 知」已定義清楚或未定義清楚,和「目標」已定義清楚或 未定義清楚,分成四種不同的型式,其中「已知」和「目 標」皆已定義清楚者為結構題,其他三類為非結構題。

(二)平田耕山(1987)提出七種擬題類型:

1. 模仿法或類題法:即學習某個題目後,擬出和此題同類型 的題目。

2. 算式法:先列出公式,擬出適用此公式的題目。

3. 原理法:給予四則運算或通分等原理,擬出和此相對應的 題目來。

4. 訂正法:出一個題目,故意漏掉必要的條件,或者給予其 他不必要的條件,或形成矛盾,使其訂正的方法。

5. 實驗法:實驗或操作具體的東西,再以此實驗或操作為基 礎來擬題。

6. 自由法:以自由的題材,做成自由形式的問題。

7. 題材法:依據給定的主題來擬題。

(三)Silver(1995)認為擬題可以分為兩種類型:

1. 由已給定的題目中,再產生新的題目。

2. 由情境或經驗中創造一個新的數學題目。

(28)

(四)Stovanova 和 Ellerton(1996)則將擬題分成三種情境:

1. 結構的情境:擬題者利用現有的題目加以改變。

2. 半結構的情境:學生利用先前的數學知識、技巧、概念以 及關係連結,完成一個完整結構的問題。

3. 自由的情境:讓學生在一個給定的自然情境下自由發揮。

(五)梁淑坤(1997)將擬題類型分為六種:

1. 算式類:給予一個算式,讓學生依此算式擬出題目。

2. 文字類:呈現一段文字敘述,讓學生依此段文字敘述所給 定的條件,再擬出題目。

3. 圖表類:提供一個圖表,讓學生依此圖表擬出題目。

4. 解法類:規定一種擬題的運算方法,如減法,讓學生依據 此規定擬出題目。

5. 答案類:給予一個答案或一組計算過程,讓學生依據此答 案或計算過程擬出題目。

6. 題目類:提供一個題目,要求學生解出此題,再根據此題 目擬出另一個題目。

由上述可知進行擬題的方式,有多樣性的選擇。研究者考量學 生為初次接觸擬題的活動,較不易建構出問題的情境,故本研究採 用梁淑坤(1997)的題目類與解法類,先由教師給予題目,要求學 生解出此題目,然後再根據此題目及規定一種擬題的運算方法,擬 出另一個題目。

(29)

貳 貳

貳 貳、 、 、 、擬題的評量 擬題的評量 擬題的評量 擬題的評量

教學的評量在教學領域裡是不可或缺的,雖然它通常被放置在 教學過程的最後一個階段,但教學評量並不是教學的結束或終點,

而是提供教學的回饋,並作為教學修正與補教教學的依據。Bloom

(1989)也提出評量在教育中的地位的主要是用來改進教與學,以 下為不同研究者提出擬題評量的方法與工具。

Getzels 和 Jackson(1962)、Balka(1974)的研究皆以故事情 境來作為擬題的材料,要求學生擬出有數學結構的題目,以此評量 學生數學創造力。其中,Getzels 和 Jackson 是根據題目的解題程 序來評分,算法越複雜,其分數越高,表示越具有數學創造力,類 似 Torrance 創造力的精緻性指標。而 Balka 則運用 Torrance 創造 力的三個指標(流暢性、變通性、獨創性)來評量學生。徐文鈺(1996)

認為擬題能力可視為數學創造力指標,可以依據 Torrance 創造力測 驗四個指標向度(流暢性、變通性、獨創性和精緻性)來評估擬題 的能力,使擬題能力的評估更有系統性,並具數學特色。其中,擬 題的流暢性是指學生擬出正確題目的題數、變通性是擬題題型的種 類、獨創性是指擬題題目和他人與眾不同的程度、精緻性則是評估 解題所需的步驟。

梁淑坤(1996)則從流暢性、變通性及複雜性來評學生的擬題 能力(表 2-3),並又於 1999 年修訂出擬題作品五分量表,並於 2013 年在 Educational Studies in Mathematics 發表教師在課堂實施擬題的 挑戰與策略中提出編碼 1=Not a problem,2=Non Math,

3=Impossible,,4=Insufficient,5=Sufficient or Extraneous.(表 2-4)。

(30)

表 2-3 擬題作品分類梁淑坤(1996)

與題目所提供訊息無關 超出範圍

正確題數(流暢性)

題型種類數(變通性)

可解的

適中、正確

題目所需解題步驟(複雜性)

題意不清 條件不足 邏輯不符 數學問題

不可解的

答案與題意不合 非數學問題

敘述問題

表 2-4 擬題作品五分量表(梁淑坤,1999;Leung,2013)

題目類

可行 分類

非題目 Not a Problem

非數學 Non Math

不可行 Impossible

資料不足 Insufficient

資料充足或超過 Sufficient or

Extraneous

評分 1 2 3 4 5

此分類方式非等比制,亦即「4」並不是「2」的二倍,但仍可 以作為題目好壞程度的高低評比。

研究者將上述評分標準及分類方式整理說明如下圖:

(31)

圖 2-1 擬題分類流程(梁淑坤,1999)

擬題答案

題目 非題目(1 分)

例題:教室長10 公 尺,有6個窗戶。

說明:只是敘述的語 句,並不是題目。

數學 非數學(2 分)

例題:跳繩有2公尺,可以切 開來使用嗎?

說明:雖有提問,但不能算 是數學題目。

可行 不可行(3 分)

例題:妹妹體重10 公斤,爸爸體 重5公斤,二人差多少公斤?

說明:雖是數學題目,爸爸體重 但不符邏輯。無法解答。

資料不足(4 分)

例題:糖每公斤18元,

阿忠付了200元,還剩 下多少元?

說明:缺少阿忠買糖多 少公斤的資料。說明:

雖是數學題目,但不符 邏輯。無法解答。

資料適中(5 分)

例題:建民有五顆 糖,錦輝有六顆 ,兩人共有幾顆 糖?

說明:資料清楚、

適當,可解。

資料超過(5 分)

例題:正方形每邊長 12 公分,共有四個 邊,求它的面積是多

說明:資料過多,正 方形本來就有四邊 形,但可解。

(32)

此外,陳佩琦(2003)參考梁淑坤(1999)設計出「學生擬 題作品九分量表」,其評分標準如表 2-5

表 2-5 學生擬題作品九分評量表(陳佩琦,2003)

分數 類型 舉例

9

結構完整,正確無誤可 解的數學題。

家裡原有 35 張春聯,哥哥又買了一些,現在 有 48 張春聯,請問哥哥買了幾張春聯?

8

結構完整,但有錯字或 漏字的可解數學問題。

1. 一支兵棒7元,買5支要多少元?

2. 小明有 76 元,買玩具雄花了 69,小明還 剩下多少錢?

7

結構完整,但文句不通 順的可解數學問題。

1. 公園裡有 27 個人,走掉了 12 個人,現在 公園裡共有幾個人?

2. 姊姊買了錶 120 元,哥哥買了書 45 元,兩 人共加起來多少元?

6

與題目所提供訊息無關 的可解數學問題

擬題算式:27-12=( )

學生擬題:魚缸裡有12條魚,媽媽又放進 21 條魚,現在魚缸裡一共有幾條魚?

5

因條件不足、或答案與 題意不合而不可解的數 學問題。

小哲身高136公分,他又長高了幾公分,

請問小哲長現在幾公分?

4

題意不清,不可解的數 學問題

小梅有192元,小梅買了52元的燈籠,小 梅花了多少錢?

3 非數學問題

哥哥原有100元,買了28元的玩具車,請 問玩具車是什麼顏色?

2 只是敘述 池塘裡有 47 隻青蛙,又來了二十五隻青蛙

(33)

綜合上述評量方式,國內學者梁淑坤與陳佩琦所制訂的擬題評分 標準提供擬題題目的給分標準,尤其梁淑坤教授的五分量表分類較為 明確、簡單且具有效度,故本研究之擬題能力評量是採梁淑坤教授的 五分量表作為評量給分標準。

然研究者於 2015 年 3 月 2 日與梁淑坤教授討論後,認為此分 類方式非等比制,亦即「4」並不是「2」的二倍,但採用「分」這 個字詞容易造成讀者混淆,故本研究評量標準採用為 1、2 表示,

而非以 1 分、2 分表示之。

(34)

第三節 第三節 第三節

第三節 不同學習階段擬題教學的相關研究 不同學習階段擬題教學的相關研究 不同學習階段擬題教學的相關研究 不同學習階段擬題教學的相關研究

研究者將近年來國內外擬題教學的相關研究,依研究對象的不 同,分為國小學生、中學生、大學教育與師資培育研究三面向,將 其研究內容與成效整理如下。

壹 壹 壹

壹、 、 、 、國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究

Keil(1965)研究八百多位六年級學生,將學生分成實驗組與 控制組,實驗組每週有一堂擬題教學活動,由老師提供與數學課本 類似的情境,讓學生進行擬題;而控制組只解課本題目。經過十六 週實驗,結果發現實驗組學生的解題能力表現高於控制組的學生,

因此,擬題教學活動對於解題能力有正面的影響。

Stover(1982)研究六年級的學生,採用的方式是將已知的故 事題,透過圖形或添加其他訊息,進行編排與改寫。在研究過程中,

數學課程結合寫作作業。結果發現,學生經過這樣的活動後,在解 題表現有明顯的進步。

坪田耕三(1987)針對國小一到六年級學生,進行開放性問題 教學。以學生解過的問題為基礎,讓學生從原有問題中再擬出問題 來。因此,學生不會在找出答案後就結束探索,反而能藉由更改題 目的條件或數據,主動地發現問題和分析問題。

(35)

Van den Brink(1987)要求國小一年級學生進行故事題擬題,

學生在整個學年中進行許多次的擬題活動,呈現出有趣並富有創意 的擬題作品。

Skinner(1990)將自己在幼稚園至國二年級的教學經驗,寫成 What’s your problem 一書,分享擬題教學的樂趣。他強調上課之佈 題必須是自己擬出,並且擬出的題目需要動腦筋才能解出來,太簡 單的題目反而達不到擬題教學的成效。此外,學生在解別人擬的題 目時,可以反問擬題者,則擬題者藉由他人的疑問,從而發現自己 擬出的題目之漏洞或缺失,有助於釐清觀念。透過這樣擬題與解題 活動的互動情形,顯示幼稚園和低年級學生也可學會自行擬題。

Winograd(1990)讓國小五年級學生透過擬題、解題和小組分 享的活動,以瞭解學生在擬題課程中的數學信念,並發現學生的擬 題行為、解題行為和面臨的困難。研究結果顯示學生在擬題過程中 表現多樣化的型態,而在小組合作學習時,學童多以任務導向學 習,並且在擬題寫作表現出數學的信念,進一步建議學生的擬題可 以成為教師佈題以及教材的來源。

Silver, Leung &Cai (1995)以數彈珠的題目探討美國小學生的 解題策略,題目是 25 顆彈珠並排列成 5×5 的正方形,要求所有的

(36)

受試者,以計算或畫圖的方式數數看有幾顆彈珠,最後將受試者的 解題策略歸類,包括計數法、分類法、重組法、視覺法、混合法等。

徐文鈺(1996)研究 104 位國小五年級學生,將學生分成三 組,分別為合作擬題組、個別擬題組及控制組。三組學生各接受六 週,每週二次、每次約 40 分鐘的分數課程教學。結果發現,合作 擬題組在複雜的「部份/整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力、

分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性,效果均優於其二組;但 在分數概念的增進效果上,三組並無顯著差異;而合作擬題組擬題 能力的變通性,效果優於控制組,與個別擬題組並沒有差異。

English(1997)研究五年級和七年級的學生,不同能力的組別 在數學課程中擬題的表現,研究結果發現,擬題能力強的學生在平 常數字計算能力並不是很好,但是針對特殊題目的解題,卻有不錯 的成效。並且,學生擬出的題目具有複雜性,展現出學生豐富的創 造思考力。

孫秀芳(1997)研究國小二年級學生加法擬題能力,以及學生 對擬題的認知程度。結果發現,大多數學生都具有擬題能力,學生 所擬出來的題目大都是熟悉的情境,並且確定擬題與解題的活動是 相連的。

(37)

English(1998)研究 54 位三年級學生的擬題能力,發現學生 在數的概念和解題能力表現出不同的類型;在非例行性的情境中,

學生可以擬出多樣化的題目;但學生在加法和除法的類型中,擬的 題目類型卻是傾向一致的,可能是受到教材中例行性題目的影響,

使得學生思考產生固化。

Cai(1998)研究 404 位六年級的學生,其中 181 位美國六年 級學生,223 位中國六年級學生,進行跨文化的比較,探討不同文 化其擬題和解題的認知分析。結果發現,中國學生在計算方面優於 美國學生,但是在擬題方面卻有許多相似之處。

梁淑坤與鄔瑞香(Leung & Wu,1999)以將錯就錯的方式進行 國小比例擬題活動,即給予學生不完整的題目,例如題目中遺漏了 某些重要的解題訊息,讓學生試著加以修正題目,擬出另一個數學 題目。提供學生擬題的機會,也能藉此釐清學生的數學觀念。此外,

梁淑坤與鄔瑞香(Leung & Wu,2000)也採用日記的形式,讓家長 與子女在自己家中進行擬題與解題,藉此將擬題活動帶入家庭變成 家中的親子活動,並可藉由日記與他人分享擬題心得。

林德宗(1999)研究國小五年級擬題活動之應用。結果發現,

學生透過擬題活動,可以增進學生對數學概念的理解,並且協助學

(38)

生將知識連結到日常生活。此外,學生透過討論,修正題目並學習 接納同學的意見。

楊惠如(2000)以行動研究方式研究國小三年級擬題活動,首 先設計擬題的活動教材,並探討擬題活動所遭遇到的困難與解決的方 式,以及老師在擬題教學中所需扮演的角色。研究結果發現,雖然在 整個擬題教學過程中,老師能從「初試啼聲」到「漸入佳境」以及「步 入軌道」,但仍會遭遇到許多困難,包括教學準備、學生擬題、全班 討論、共同評鑑等,但透過不斷反省尋求解決方法,以實際的行動解 決了教學上的困難。

鍾雅琴(2000)透過合作擬題的教學方式,研究國小五年級學 生分數概念、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果。研究發現 合作擬題教學能增進學生在「整體與複雜的分數概念」和「分數 的數線概念」兩種表徵轉換的學習。分數擬題的「流暢性」、「變 通性」、「精緻性」和「獨特性」四個特性也有明顯的增長。另 外,在合作擬題教學方式學生在自評表中對於認知、情意、技能 三方面都給予肯定的評價。

李承華(2000)探討擬題活動對學生數學文字題語意結構之掌 握及其對文字題解題的影響。研究結果顯示,擬題教學活動確實提 升學生掌握文字題語意結構,但兩組學生在解題能力上並無顯著差

(39)

異,顯示擬題可以提升學生掌握問題語意結構,但解題歷程除了語 意結構的理解外,還包括了其他因素,而這些因素並不是單獨的擬 題活動就能有效提升的。

周幸儀(2002)以國小二年級學生為研究對象,透過合作擬題 教學活動,探討學生擬題學習歷程,以及擬題教學對學生的數學概 念、擬題能力、解題能力的增進效果。結果發現,透過擬題教學活 動的實施,學生在數學概念、擬題能力及解題能力的表現上,均有 明顯的進步。

陳佩琦(2003)以國小一年級學生為研究對象,探討擬題教學 的實施情形。結果發現,學生在擬題、解題表現有明顯進步;擬圖 畫題或文字題,均優於擬算式題;擬題教學可增進解題教學。

林群雄(2004)透過行動研究方式,研究國小三年級學生擬題 活動,探討教師的專業成長,瞭解擬題教學的困難和適用的擬題素 材。結果發現,教師引導討論的能力獲致成長,心態也轉為學生本 位;學生也能提升學習興趣、動機和自信。

吳進寶(2005)研究五年級學生在整數四則混合運算的擬題教 學。研究發現學生大部分能接受擬題活動,並且能擬出可行之題 目,學生對四則混合運算題目的掌控度高;但學生在三步驟的四則 混合運算錯誤較多,可能原因為程序性數學知識不足。

(40)

趙坤川(2006)以小數為題材,探討一個六年級的班級學生小 數加減運算及小數大小比較概念。研究發現擬題教學提升學生擬題 能力及解擬題成功率,並且學生能將小數概念運用在日常生活中,

但是在實施擬題教學時有時間不足的壓力。

吳佳慧(2006)探討國小三年級學生在「數與計算」的擬題活 動,將學生分成實驗組和控制組。研究結果發現實驗組在「乘法」、

「有餘數的除法」、「乘與除」、「兩步驟的四則運算和「小數的 加減」與控制組有顯著差異,其他並無顯著差異。學生在教師進行 擬題教學之後其「數學溝通能力」有顯現出來。

郭賢忠(2007)研究國小四年級學生在「數與計算」的擬題活 動,研究結果發現擬題教學能提升學生擬題能力、增進學生數學學 習態度、有助於學生數學學習。透過親子擬題的方式也能增進親子 互動並讓家長更能理解學校課程,以能指導孩子。最後教學者省思 發現擬題教學是可行的,並符合九年一貫以「學生為主」精神。

李正如(2007)研究台東縣原住民國小五年級學生,以分數作 為擬題教學之教材。研究結果顯示學生在分數擬題表現和解題能力 都有明顯的進步,更發現學生在學習態度的轉變,進而增加學習興 趣與自信。

(41)

荘楊晉堅、梁淑坤(2008)探討國小六年級在「比例問題」的 擬題活動,研究結果顯示學生大多數能擬出可行且資料適中的題 目,只有少數學生改變題目結構。研究者發現影響學生在比例問題 最重要的因素是題目中的數字結構。此外,學生認為透過擬題教學 能發現學習數學的方法與樂趣。

陳逸亮(2014)比較國小五年級學生接受合作擬題教學法和傳 統教學法在「怎樣列式」的學習成效、概念保留、學習態度及擬題 能力。研究結果顯示實施合作擬題教學法與傳統教學法學習成效有 差異,並且合作擬題教學法的學生學習態度有正向的評價。

貳 貳 貳

貳、 、 、 、中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究

本研究依據臺灣教育制度,將中學生分成國中學生與高中學生 作為探討,以國中學生為對象之相關國內外擬題研究如下。

Brown and Walter(1983)在 The art of problem posing 一書中,

說明如何在教學中加入擬題活動,使學生能主動思考與學習。他們 提出的擬題策略是「What-if-not」,鼓勵學生在獲得答案後,第一 步先接受答案,第二步再挑戰各種假設,試想情況如果改變為不成 立時,那麼答案又是如何,如此便又形成一個新的問題。這個擬題 策略即是屬於 Silver(1993)所說的:解題之後的擬題。

(42)

Ellerton(1986)則先用測驗將學生分成高低能力組,再研究 高低組學生在擬題的差異,研究發現高能力組的學生會在出題目時 會有系統地策劃,例如:當他出到有分數數據的題目時會考慮解題 過程中是否可約分。

Borba(1994)研究 200 位八年級學生,在九個星期的課程中,

每一小組必須選定一個主題,並且擬出一個題目,再由小組成員合 作去解他們所擬的題目。結果發現學生覺得透過擬題的活動能感受 到學習的自主權,並能自由選擇自己有興趣的題材。但研究者也發 現,教師必須適時的引導,才能讓學生分工合作,完成小組的任務。

Van den Brink(1995)讓學生進行「百分比」的擬題活動,並 在教學過程中引導學生擬出兩個百分比的題目,這兩個題目一題為 簡單題,另一題則為困難題,透過學生擬題的程度即可發現學生對 百分比概念認識更能理解及深入,也可以作為老師教學依據。

劉芳妃(1998)以國中一年級的學生為研究對象,探討學生學 習合作擬題時的情意層面和擬題能力。研究結果顯示,小組合作擬 題活動提供學生溝通數學概念的機會,加強學生社會化的發展,並 且在擬題的活動,學生在欣賞別人的擬題後,可進一步提出自己的 看法,從中培養出學生的批判能力。

(43)

莊美蘭(2003)以國中一年級的學生為研究對象,進行合作擬 題和個別擬題的教學活動,探討適合進行擬題活動之單元,以及合 作擬題和個別擬題的差異。結果發現,負數、體積、容積與容量等 較容易進行擬題教學活動;合作擬題的優點是可以透過同儕的互 動,提供討論機會,促進小組的學習,個別擬題則是讓同學激發個 人擬題的創意與實力,發現自己在數學概念的錯誤。

以中學生為對象之相關研究除了上述以國中學生為對象的擬 題研究外,也有以高中學生為對象之擬題相關研究如下。

謝佩真(2004)探討高二學生排列組合擬題活動對解題表現之 影響,採用實驗研究法前後測與半結構式晤談,研究結果發現擬題 實驗教學活動確實能改善高二學生排列組合解題表現。

綜上所述,我們可以發現以中學生為對象之擬題研究多以國中 學生居多,以高中學生為對象之擬題研究微乎其微。

參 參 參

參、 、 、 、大學生 大學生 大學生 大學生、 、 、 、職前教師或在職教師為對象之擬題相關 職前教師或在職教師為對象之擬題相關 職前教師或在職教師為對象之擬題相關 職前教師或在職教師為對象之擬題相關 研究

研究 研究 研究

梁淑坤(1993)研究美國某教育學院修「國小數學教材研究」

的 18 位學生,他設計一份開放性作業-「十五枝火柴」,同時研究

(44)

「擬題」與「一題多解」,並建議在師資培育的課程中須增設擬題 的課程。

Schloemer(1994)將擬題教學策略〝What-if not〞以認知學徒 制的教學方式來教導大學生高等代數,將學生分為實驗組和控制 組,實驗組進行擬題教學,而控制組則不進行。結果發現在數學成 就方面,兩組並無顯著差異。在擬題能力方面,實驗組表現比控制 組好;在數學態度的表現方面,兩組的前、後測均下降。根據研究 者的結論,他認為實驗組可能已經習慣原來的教材,所以當老師進 行擬題,反而讓他們在數學態度上產生負面的影響。

梁淑坤(1995)研究 65 位職前教師和 127 位在職教師之擬題 行為,以及三種擬題形式(包含數值、文字敘述、包含符號)對擬 題之影響。結果發現,在擬題數量方面,職前教師與和在職教師並 無差異;在三種擬題形式方面,有數值的形式較其他二種,容易為 教師們所接受;在文字敘述方面,教師們則自行提供資料、或擬出 資料不足、或甚至不可行的題目;在包含符號的形式方面,教師們 依然傾向寫出非題目、非數學或不可行的題目。

Silver、Mamona-domwns、Leung 和 Kenney(1996)研究 53 位 中學教師和 28 位職前教師,以個別擬題或合作擬題的方式,研究 其 IP(Initial Posing)、PS(Problem Posing)、AP(Additional Posing)

(45)

等階段。結果發現,受試者在解題前擬的題目比在解題後擬的題目 多,而這種擬題能力可以影響教師將來教學時的佈題。

Leung 和 Silver(1997)嘗試建立擬題作品系統化分類的工具,

以 TAPP(Test Arithmetic Problem Posing)來測驗 63 位職前教師,

結果發現許多受試者都可以擬出「可行的」題目。

葉丙成、賴以威等(2014)在《葉丙成的機率驚豔:當數學遇 上文學,學生考不好也會笑著離開》一書中闡述葉丙成教授在數學 機率課的擬題活動。首先先將學生進行分組,讓他們為作業出題,

題目就像關卡,讓各組之間互相攻破關卡,並設立了網站讓學生看 到每一組攻破了多少題目,則落後的組別就會有危機感,增加競爭 感也成功引起學生學習動機。

根據以上不同學習階段的研究,我們可發現數學擬題教學活動 吸引國內外各專家學者研究的教學方式,各個學習階段的教師在教 學現場進行不同單元的擬題教學,突破學生在數學學習中的困難和 盲點。但我們也可看到擬題教學在高中職階段之研究微乎其微,然 高中職階段應亦有研究之必要,本研究針對高職階段進行機率擬題 活動之研究,期盼能有所發現。

(46)

第四 第四 第四

第四節 節 節 擬題和解題的關係 節 擬題和解題的關係 擬題和解題的關係 擬題和解題的關係

Polya(1945)在《How to solve it》一書中提出解題四個階段:

解題者須先瞭解題意(Understand),才能擬定解題計畫(Plan),

接著執行解題計畫(Carry out),最後回顧解答(Look back)。

國內學者梁淑坤(1994)根據 Polya 的解題模式,以擬題(Pose)

代替瞭解題意(Understand),成為擬題的四個步驟。

圖 2-2 解自己所擬的題目(梁淑坤,1994:159)

從圖 2-2 可看出,解題者的工作程序為先擬出題目擬定 解題計畫執行解題回顧解答再擬題。因為解題者亦是擬題 者,他(她)當然清楚題目的內容,馬上可以做策劃功夫,不用再 理解他(她)自己擬出的題目了。在解題時也許會想出新的題目來,

然後再策劃、再解題。再者解題後可將所得結果整理後再擬出題目

(47)

來,這樣下去,可以變成永無休止的擬題和解題活動(梁淑坤,

1994:159)。

林群雄(2004)參照 Polya(1945)和梁淑坤(1994)的擬題 步驟,並依據自己實際上課經驗,將學生的擬題過程呈現如圖 2-3



圖 2-3 學生的擬題過程(林群雄,2004:15)

林群雄認為在規劃解題策略時,解題者若發現題目條件不足 時,則會重新檢視題目或者重新擬題,因此擬題和策劃是「雙向箭 頭」,表示擬題和策劃是可以不斷來回的過程。甚至有些解題者,

在執行解題步驟時,遇到窒礙難行之處,會先重新規劃解題策略,

若還是無法解題,則會重新檢視題目或重新擬題,再進行解題,因 此策劃和執行之間,是以「迴圈」,表示二者是可以返回的過程。

(48)

Leung(2009)進一步提出解題和擬題過程是雙向的,當步驟 不成功時,會重新返回上個步驟,如圖 2-4。



圖 2-4 解題與擬題步驟(梁淑坤,2009:13)

擬題與解題是相連性的活動(Brown & Walter, 1983 ; Leung, 2009)。擬題教學的作用是可以擴展學生重要數學概念的了解,以 及改善學生解題的方法(Stoyanova & Ellerton, 1996)。故為了增強 學生的解題能力,教師可以將擬題活動設計融入在數學課堂中,藉 由擬題增進學生對於數學題目的理解,並進一步改善學生對於數學 解題的排斥,提升學生解題的能力與興趣。

(49)

第五 第五 第五

第五節 節 節 節 機率在高職數學課程之內容 機率在高職數學課程之內容 機率在高職數學課程之內容 機率在高職數學課程之內容

本研究教材內容為泰宇出版股份有限公司高職數學 B 第三 冊,以「求機率問題」為擬題活動的教材。其教學目標、教學內容 與教材地位分析分述如下。

壹 壹 壹

壹、 、 、 、「 「 「 「求機率問題 求機率問題 求機率問題 求機率問題」 」 」 」之教學目標 之教學目標 之教學目標 之教學目標

一、能知道古典機率的定義。

二、能利用古典機率的定義求出機率。

三、能了解機率的性質並會應用。

四、能把機率的觀念應用在實際問題上。

五、能從實際問題的解決,了解機率的意涵。

故本研究設計生活化應用題,使學生能活用機率性質,應用於 實際問題,並進而解決實際問題,了解機率的意涵,以達教學目標。

(50)

貳 貳

貳 貳、 、 、 、「 「 「 「求機率問題 求機率問題 求機率問題 求機率問題」 」 」 」之教學內容 之教學內容 之教學內容 之教學內容

本研究教材內容為泰宇出版股份有限公司高職數學 B 第三 冊,以「求機率問題」為擬題活動的教材。內容可分為古典機率、

機率的性質、條件機率、獨立機率與貝式定理。其中古典機率涵蓋 簡單機率、包含階乘(!)機率問題、包含排列(P)機率問題、包 含組合(C)機率問題。如圖 2-5

圖 2-5 求機率問題教材內容(泰宇出版社,2014)

由於時間限制與學生適性條件,故本研究僅設計古典機率、機 率的性質、條件機率與獨立機率之題目,不包含貝式定理,而機率 的性質則採用最常使用的

P

(

A

B

)=

P

(

A

)+

P

(

B

)

P

(

A

B

),總共設計 7 種擬題活動單。

古典機率

條件機率

獨立事件

貝式定理

簡單機率

包含階乘(!)

包含排列(P)

包含組合(C) 機率的性質

(51)

參 參

參 參、 、 、 、「 「 「 「求機率問題 求機率問題 求機率問題 求機率問題」 」 」 」之教材地位分析 之教材地位分析 之教材地位分析 之教材地位分析

根據為泰宇出版股份有限公司高職數學 B 教材內容,本研究教 材內容單元為第三冊第二單元機率與統計,其教材地位如圖 2-6。

圖 2-6 教材地位分析(泰宇出版社,2014)

從上圖我們得知在學習本研究單元之內容,須先具備國中能在 具體情境中認知機率的概念,以及高職第三冊第一單元排列組合之 概念,故進行本研究須注意學生是否具備這些能力。

國中 第六冊第三單元

機率與抽樣 D-4-04 能在具體情境中認

識機率的概念。

高職 第三冊第一單元

排列組合 1. 乘法 原 理 與 樹

狀圖。

2.排列與組合。

3. 重 複 排 列與 重 複組合。

4.二項式定理。

高職 第三冊第二單元

機率與統計 1.樣 本 空 間 與 事

件。

2.求機率問題。

3.數學期望值。

4.資 料 整 理 與 圖 表編製。

5.算術平均數、中 位 數 、 百 分 等 級。

6.四 分 位 差 與 標 準差。

7.抽樣方法。

8.解 讀 信 賴 區 間 與信心水準。

(52)

參考文獻

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