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# 國立中山大學教育研究所 碩士論文

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### Abstract

The main purpose of this research is to explore the implementation of probability problem-posing activities in vocational school. Curriculum based vocational school math book3 “problems on probabilities” . The method of posing problems is Leung’s

“problem category”,and “solving method category”.The problems that the investigator provided in probability problem-posing activities were review amendment by three math expect teachers.Students initially solved the problems that the teacher provided, then taking this problem as the foundation, students posed another problems with the same solving method by themselves and solved the problems as well.

The sample consisted of vocational school students in Kaohsiung. The goals of this research are five: first,development of probability problem-posing teaching material of vocational school; second, analyzing the categories of students’ work and the contents of posing problems that student created; third, investigating into the performance of problem solving; fourth, probing students’ opinions of

problem-posing activities; fifth, discussion on teacher’s reflection after probability problem-posing activities .During this research, the researcher utilized a variety of ways to collect data, problem-posing worksheets, learning diaries,teacher’s journals, and audio tapes.

The results of this research were five. First, probability is an ideal concept for developing problem-posing pedagogy in high school.Second,it showed that 96.6% of students given problems included sufficient data for solving. Students virtually were able to make feasible problems.Third, 98% of student solved the posed problems successfully. Students’ performance at problem posing then solving stage was higher.

Fourth, students expressed a liking of problem posing, they thought that the materials were interesting and showed promising study manner. Finally, teacher’s reflection indicate that students enjoy the activity and notice problem’s feasiblely and completeness.The above results yielded activities implications for teachers who consider integrating problem-posing teaching into mathematics activities in vocational school.

### keyword：

：problem-posing, vocational school, probability

(6)

### 目 錄

(7)

【附錄一】擬題單...128

【附錄二】學生學習日記...135

【附錄三】機率教學擬題活動回饋單 ...136

【附錄四】教師教學札記...137

【附錄五】學生擬題照片...138

(8)

(9)

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(11)

## 第一章 第一章 緒論 緒論 緒論 緒論

### 第一節 第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機

( Kilpatrick, 1987；Krulik ＆Rudnick, 1993；Silver ＆ Cai, 1993；梁

(12)

（Cifarelli & Sheets, 2009），擬題的過程可促進學生靈活思考，因需 考慮題目內容性質，，以及可能解題的方法，如此不僅能提高解題技 能，也強化和豐富基本數學概念（莊楊晉堅、梁淑坤，2008；English, 1997; Lin & Leung,2008）。

(13)

(14)

### 參 參、 、 、 、擬題 擬題 擬題 擬題作品 作品 作品 作品的類型 的類型 的類型 的類型

Problem）、非數學問題（non Math）、不可行的數學問題（Impossible）、 可行卻資料不足的數學問題（Insufficient）及可行並資料充足或超過

（Sufficient or Extraneous）五類，再依此分類方式，進行擬題作品類 型的探討。

(15)

## 第二章 第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

### 壹、 、 、 、Polya解題歷程 解題歷程 解題歷程 解題歷程

(16)

Polya 的解題歷程內容，詳述如表 2-1

(17)

### 貳 貳、 、 、 、Lester數學解題歷程 數學解題歷程 數學解題歷程 數學解題歷程

Lester(1980)將數學解題歷程分為六個階段，並強調這六階段 是不同但卻互相關聯的。說明如下：

（一）與問題相關及非相關的訊息有哪些？

（二）能夠瞭解訊息間的關係嗎？理解所有項目的意思嗎？

（一）轉譯(translation)：解題者將問題所提供的資訊轉換成對自 己有意義、能理解的字句。

（二）內化(internalization)：解題者提取相關訊息並進行分類，

(18)

（一）有任何子目標可以幫助達成目標嗎？

（二）這些子目標有一定的次序嗎？

（三）次序的編排正確嗎？

（四）有正確認清問題的運算條件嗎？

（一）問題是否有其它的方式可以解出？

（二）有更好的方法嗎？

（三）是否曾經解過類似的題目？

（四）這樣的計畫能達成目標或子目標嗎？

(19)

（一）使用的策略和方法正確嗎？

（二）計畫執行的步驟順序正確嗎？還是能使用不同的順序？

（一）解答是否符合問題的條件？是否具有一般性 (generalization)？

（二）解題者所學的是否能幫助解題者解決其它的問題？

### 參、 、 、 、Schoenfeld數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式

Schoenfeld（1985）重視解題者的心理活動，強調數學解題 要考慮四個變項：資源（resources）、捷思（heuristics）、控制

（control）和信念系統（belief system）。

(20)

Schoenfeld（1985）研究發現在這四個變項中，控制因素是 處於關鍵的重要地位。因為控制因素主導了如何合理的運用資 源、如何適當的採用捷思策略。故他進一步以控制因素的觀點，

(21)

### 肆、 、 、 、Mayer數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式 數學解題歷程模式

Mayer（1992）以心理學家的觀點，提出「問題」具有三個 特徵：「給予的條件狀態」、「目標」和「障礙」。他認為問題是個 體從已知的條件狀態到目標狀態時，因缺乏立即通往正確答案路 徑所處的一種情境。解題即是在符合限制條件的要求下，用各種 可能的方法，從已知條件狀態達到目標狀態的歷程。Mayer（1987, 1992）把數學解題分為以下四個階段：

(22)

Mayer 認為解題者需要具備五種知識：語言知識、語意知 識、基模知識、策略知識和程序性知識。其中，問題轉譯需要語 言知識和語意知識，問題整合需要基模知識，計畫和監控需要策 略知識，執行解題需要程序性知識。如果解題者在解題時，缺乏 五種知識中的任何一種，很可能就無法成功的解題。

### 伍、 、 、 、解題理 解題理 解題理 解題理論之比較 論之比較 論之比較 論之比較

(23)

Polya

（1945）

Lester (1980)

Schoenfeld

（1985）

Mayer

（1992）

Schoenfeld 和 Mayer 三人提出，最後階段「回顧解答」由 Polya、

Lester 和 Schoenfeld 三人提出。

1.教導學生解題策略：協助學生瞭解問題、擬定與執行計畫、並

(24)

(25)

### 壹、 、 、 、擬題的定義 擬題的定義 擬題的定義 擬題的定義、 、 、 、特徵與型式 特徵與型式 特徵與型式 特徵與型式

Dillon（1982）認為擬題是解題之後，找尋題目之過程。Silver

（1994）認為擬題主要分成二種方式，分別是產生新問題和依據給 予的問題而形成問題。梁淑坤（1994）將擬題定義為「自己想出一 個數學題目」。擬題者在擬題的過程中，會運用到自己數學知識與 生活經驗，將情境、人物、事件、數字、圖形等組織並建立關係，

(26)

(primitive)等四項特徵（梁淑坤，1994）。首先，擬題活動中最顯著 的特徵是個人化(idiosyncratic)，因擬題者通常會根據自己的數學知 識、生活經驗、文化背景…等，展現個人的擬題特性。其次，擬題 的過程充斥擬題者的猜想與可信推理(plausible reasoning)，擬題者 會去猜想所想出的題目是否合理，並且可能嘗試評估題目的答案。

(27)

（一）Reitman（1965）將題目分為結構題和非結構題，根據「已 知」已定義清楚或未定義清楚，和「目標」已定義清楚或 未定義清楚，分成四種不同的型式，其中「已知」和「目 標」皆已定義清楚者為結構題，其他三類為非結構題。

（二）平田耕山（1987）提出七種擬題類型：

1. 模仿法或類題法：即學習某個題目後，擬出和此題同類型 的題目。

2. 算式法：先列出公式，擬出適用此公式的題目。

3. 原理法：給予四則運算或通分等原理，擬出和此相對應的 題目來。

4. 訂正法：出一個題目，故意漏掉必要的條件，或者給予其 他不必要的條件，或形成矛盾，使其訂正的方法。

5. 實驗法：實驗或操作具體的東西，再以此實驗或操作為基 礎來擬題。

6. 自由法：以自由的題材，做成自由形式的問題。

7. 題材法：依據給定的主題來擬題。

（三）Silver（1995）認為擬題可以分為兩種類型：

1. 由已給定的題目中，再產生新的題目。

2. 由情境或經驗中創造一個新的數學題目。

(28)

（四）Stovanova 和 Ellerton（1996）則將擬題分成三種情境：

1. 結構的情境：擬題者利用現有的題目加以改變。

2. 半結構的情境：學生利用先前的數學知識、技巧、概念以 及關係連結，完成一個完整結構的問題。

3. 自由的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由發揮。

（五）梁淑坤（1997）將擬題類型分為六種：

1. 算式類：給予一個算式，讓學生依此算式擬出題目。

2. 文字類：呈現一段文字敘述，讓學生依此段文字敘述所給 定的條件，再擬出題目。

3. 圖表類：提供一個圖表，讓學生依此圖表擬出題目。

4. 解法類：規定一種擬題的運算方法，如減法，讓學生依據 此規定擬出題目。

5. 答案類：給予一個答案或一組計算過程，讓學生依據此答 案或計算過程擬出題目。

6. 題目類：提供一個題目，要求學生解出此題，再根據此題 目擬出另一個題目。

(29)

### 貳 貳、 、 、 、擬題的評量 擬題的評量 擬題的評量 擬題的評量

（1989）也提出評量在教育中的地位的主要是用來改進教與學，以 下為不同研究者提出擬題評量的方法與工具。

Getzels 和 Jackson（1962）、Balka（1974）的研究皆以故事情 境來作為擬題的材料，要求學生擬出有數學結構的題目，以此評量 學生數學創造力。其中，Getzels 和 Jackson 是根據題目的解題程 序來評分，算法越複雜，其分數越高，表示越具有數學創造力，類 似 Torrance 創造力的精緻性指標。而 Balka 則運用 Torrance 創造 力的三個指標（流暢性、變通性、獨創性）來評量學生。徐文鈺（1996）

3=Impossible,，4=Insufficient，5=Sufficient or Extraneous.（表 2-4）。

(30)

Extraneous

(31)

例題：教室長10 公 尺，有6個窗戶。

說明：只是敘述的語 句，並不是題目。

例題：跳繩有2公尺，可以切 開來使用嗎？

說明：雖有提問，但不能算 是數學題目。

例題：妹妹體重10 公斤，爸爸體 重5公斤，二人差多少公斤？

說明：雖是數學題目，爸爸體重 但不符邏輯。無法解答。

例題：糖每公斤18元，

說明：缺少阿忠買糖多 少公斤的資料。說明：

例題：建民有五顆 糖，錦輝有六顆 ，兩人共有幾顆 糖？

說明：資料清楚、

例題：正方形每邊長 12 公分，共有四個 邊，求它的面積是多

說明：資料過多，正 方形本來就有四邊 形，但可解。

(32)

9

8

1. 一支兵棒7元，買5支要多少元？

2. 小明有 76 元，買玩具雄花了 69，小明還 剩下多少錢？

7

1. 公園裡有 27 個人，走掉了 12 個人，現在 公園裡共有幾個人？

2. 姊姊買了錶 120 元，哥哥買了書 45 元，兩 人共加起來多少元？

6

5

4

3 非數學問題

2 只是敘述 池塘裡有 47 隻青蛙，又來了二十五隻青蛙

(33)

(34)

### 壹、 、 、 、國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究 國小學生為對象之擬題相關研究

Keil（1965）研究八百多位六年級學生，將學生分成實驗組與 控制組，實驗組每週有一堂擬題教學活動，由老師提供與數學課本 類似的情境，讓學生進行擬題；而控制組只解課本題目。經過十六 週實驗，結果發現實驗組學生的解題能力表現高於控制組的學生，

Stover（1982）研究六年級的學生，採用的方式是將已知的故 事題，透過圖形或添加其他訊息，進行編排與改寫。在研究過程中，

(35)

Van den Brink（1987）要求國小一年級學生進行故事題擬題，

Skinner（1990）將自己在幼稚園至國二年級的教學經驗，寫成 What’s your problem 一書，分享擬題教學的樂趣。他強調上課之佈 題必須是自己擬出，並且擬出的題目需要動腦筋才能解出來，太簡 單的題目反而達不到擬題教學的成效。此外，學生在解別人擬的題 目時，可以反問擬題者，則擬題者藉由他人的疑問，從而發現自己 擬出的題目之漏洞或缺失，有助於釐清觀念。透過這樣擬題與解題 活動的互動情形，顯示幼稚園和低年級學生也可學會自行擬題。

Winograd（1990）讓國小五年級學生透過擬題、解題和小組分 享的活動，以瞭解學生在擬題課程中的數學信念，並發現學生的擬 題行為、解題行為和面臨的困難。研究結果顯示學生在擬題過程中 表現多樣化的型態，而在小組合作學習時，學童多以任務導向學 習，並且在擬題寫作表現出數學的信念，進一步建議學生的擬題可 以成為教師佈題以及教材的來源。

Silver, Leung &Cai (1995)以數彈珠的題目探討美國小學生的 解題策略，題目是 25 顆彈珠並排列成 5×5 的正方形，要求所有的

(36)

English（1997）研究五年級和七年級的學生，不同能力的組別 在數學課程中擬題的表現，研究結果發現，擬題能力強的學生在平 常數字計算能力並不是很好，但是針對特殊題目的解題，卻有不錯 的成效。並且，學生擬出的題目具有複雜性，展現出學生豐富的創 造思考力。

(37)

English（1998）研究 54 位三年級學生的擬題能力，發現學生 在數的概念和解題能力表現出不同的類型；在非例行性的情境中，

Cai（1998）研究 404 位六年級的學生，其中 181 位美國六年 級學生，223 位中國六年級學生，進行跨文化的比較，探討不同文 化其擬題和解題的認知分析。結果發現，中國學生在計算方面優於 美國學生，但是在擬題方面卻有許多相似之處。

(38)

(39)

(40)

「有餘數的除法」、「乘與除」、「兩步驟的四則運算和「小數的 加減」與控制組有顯著差異，其他並無顯著差異。學生在教師進行 擬題教學之後其「數學溝通能力」有顯現出來。

(41)

### 貳、 、 、 、中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究 中學生為對象之擬題相關研究

Brown and Walter（1983）在 The art of problem posing 一書中，

(42)

Ellerton（1986）則先用測驗將學生分成高低能力組，再研究 高低組學生在擬題的差異，研究發現高能力組的學生會在出題目時 會有系統地策劃，例如：當他出到有分數數據的題目時會考慮解題 過程中是否可約分。

Borba（1994）研究 200 位八年級學生，在九個星期的課程中，

Van den Brink（1995）讓學生進行「百分比」的擬題活動，並 在教學過程中引導學生擬出兩個百分比的題目，這兩個題目一題為 簡單題，另一題則為困難題，透過學生擬題的程度即可發現學生對 百分比概念認識更能理解及深入，也可以作為老師教學依據。

(43)

### 研究 研究 研究

(44)

「擬題」與「一題多解」，並建議在師資培育的課程中須增設擬題 的課程。

Schloemer（1994）將擬題教學策略〝What-if not〞以認知學徒 制的教學方式來教導大學生高等代數，將學生分為實驗組和控制 組，實驗組進行擬題教學，而控制組則不進行。結果發現在數學成 就方面，兩組並無顯著差異。在擬題能力方面，實驗組表現比控制 組好；在數學態度的表現方面，兩組的前、後測均下降。根據研究 者的結論，他認為實驗組可能已經習慣原來的教材，所以當老師進 行擬題，反而讓他們在數學態度上產生負面的影響。

Silver、Mamona-domwns、Leung 和 Kenney（1996）研究 53 位 中學教師和 28 位職前教師，以個別擬題或合作擬題的方式，研究 其 IP（Initial Posing）、PS（Problem Posing）、AP（Additional Posing）

(45)

Leung 和 Silver（1997）嘗試建立擬題作品系統化分類的工具，

(46)

### 第四節 節 節 擬題和解題的關係 節 擬題和解題的關係 擬題和解題的關係 擬題和解題的關係

Polya（1945）在《How to solve it》一書中提出解題四個階段：

(47)

1994：159）。

### 

(48)

Leung（2009）進一步提出解題和擬題過程是雙向的，當步驟 不成功時，會重新返回上個步驟，如圖 2-4。

(49)

(50)

(

)=

(

)+

(

)

(

)，總共設計 7 種擬題活動單。

(51)

### 參 參、 、 、 、「 「 「 「求機率問題 求機率問題 求機率問題 求機率問題」 」 」 」之教材地位分析 之教材地位分析 之教材地位分析 之教材地位分析

2.排列與組合。

3. 重 複 排 列與 重 複組合。

4.二項式定理。

2.求機率問題。

3.數學期望值。

4.資 料 整 理 與 圖 表編製。

5.算術平均數、中 位 數 、 百 分 等 級。

6.四 分 位 差 與 標 準差。

7.抽樣方法。

8.解 讀 信 賴 區 間 與信心水準。

(52)

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