ABCD //  343 ab  4321 ab

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：102.11.18 範

圍 1-5;2-1 測量、直線班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 試求過P(3, 5)且在兩軸上截距相等的直線為________.

答案： x y 8 解析：

如圖，設 :x y 1

L a a ，P(3, 5)在 L 上 ³ ⁵ ⁸ 1 a 8 a a a

     

∴ : 1 8

8 8 x y

L     x y

2 P(5, 3)對L: 4x3y4的對稱點座標為________，投影點座標為________.

答案： ( 3, 3), (1, 0)  解析：

設 P 關於 L 之對稱點為P a b( , )，取PP之中點 ( ⁵, ³)

2 2

a b

M   L

5 3

4 3 4 4 20 3 9 8

2 2

a b

 

        4

a

3

b

  21

又 : 3 4 4 ⁴ ⁴ ⁴

3 3 ^L 3

L y     x y x m   又PP L，∴m_PP_m_L 1 3 3

4 12 3 15

4 5

PP

m b b a

 a

       

 3

a

4

b

3

   4 3 21

3 ( 3, 3) (1, 0) 3 4 3

a b

a b P M

a b

  

 

          

3 梯形 ABCD 中，

AB CD ，

// A(1, 4) (3, 3) (4, 2)、B 、C  ，D 在直線L: 3x2y 4 0上，則

D 點座標為________.

答案： ( 1, )¹

 2 解析：

4 3 1 1 3 2 mAB   

  ,

2 1( 4) 2 4 4 2 0

CD   y 2 x  y     x x y

2 0 1

: 1,

3 2 4 2

x y

D x y

x y

 

    

   

 ， ( 1, )¹

D 2

 

4 座標平面上，圓 O 的圓心為Q(1,1)，若直線 L 與圓 O 相切於 ( 2, 3)

P  ，則 L 的方程式為________.

答案： 3x2y120 解析：

∵PQL，∴ ^{3 1} ² 2 1 3 mPQ   

  

3

L 2

m  ，

(2)

: 3 3( 2) 2 6 3 6 3 2 12 0 L y  2 x  y  x  x y 

5 設A(2,1), (4, 3), (3, 5)B C  ，則過 A 且平分

ABC

面積之直線為________.

答案： 4x3y11 解析：

所求即為過 A 與 BC 邊上中點 M 的直線，取 ( , 1)⁷ M 2  1 ( 1)

: 1 ( 2)

2 7 2 AM y    x





1 2 ( 2) 3 3 4 8 4 3 11

3 2

y x y x x y

           



6 過點P(2, 3) 且平行於直線L: 2x3y 5 0之直線為________.

答案： 2x3y130

解析： : 2 3 5 0 3 2 5 ² ⁵

3 3

L x y   y x  y x 2

L 3

m m

   _

設 : 3 ²( 2) 3 9 2 4 2 3 13 0 y  3 x  y  x  x y 



7. 過點P(1, 2)且垂直於直線L: 3x2y 1 0之直線為________.

答案： 2x3y 4 0

解析： : 3 2 1 0 2 3 1 ³ ¹ ³

2 2 ^L 2

L x y   y     x y x m  

∵L ，∴

m

_L

m

_  1 ² m 3

 _ 

∴ : 2 ²( 1) 3 6 2 2 2 3 4 0 y  3 x  y  x  x y 



8. 過

L

₁: 5

x

4

y

  與7 0

L

₂:

x

2

y

  的交點，且與7 0

L

₃:

x

  垂直的直線方程式為___.

y

1 答案： x  y 2 0

解析： 5 4 7 2 7

x y x y

  

  









: 6x 2y 0 y 3x

    

  代入：得x1,y3 P(1, 3)

3: 1 3 1

L y

   

x m

  ， 

L

₃，

m

_ 1 :y       3 1 (x 1) x y 2 0



9. 座標平面上兩點A( 5, 9), (2, 5) B  ，若 P 點在AB上，且

PA PB

: 2 : 5，則 P 點座標為_____.

答案： ( 3, 5) 解析：

5 ( 5) 2 2 5 9 2 ( 5)

( , ) ( 3, 5)

7 7

P         P 

10. 直線 L 上兩點A(5, 2), (1, 1)B  ，若 P 點在AB延長線段上，且

PA PB

: 3 : 2，則 P 點座標

(3)

為________.

答案： ( 7, 7)  解析：

設P x y( , )，又

AB BP

: 1: 2 (1, 1) (¹ ^{2 5 1}, ^{2 2})

3 3

x y

     

  

10 3 7

4 3 7

x x

y y

   

 

       ，∴P( 7, 7)  11. 若A(2, 4), ( 3, 5), (2 3 , 2B  C  a a3)在同一直線上，則 a________.

答案： 5

解析： ∵m_AB m_BC，∴ 5 4 (2 3) 5 1 2 8 3 2 (2 3 ) ( 3) 5 5 3

a a

      

      

5 3

a

10

a

40 7

a

35

a

5

        

12. 已知兩相異直線

L x

₁: 

ay

   ,(

a

3) 0

L

₂:

ax

 (

a

2)

y

  平行，則 a2 0 ________.

答案： 1

解析： ¹ ³ ² 2 ² 2 0 ( 2)( 1) 0 2, 1

2 2

a a

a a a a a a a

a a

                



檢查： 1: ¹ ¹ ⁴ 1 1 2 a    

 , 2 :¹ ² ¹

2 4 2

a   故取

a

  1

13. 已知

L ax

₁:  (

a

2)

y

  與1 0

L

₂:

x



ay

 (2

a

) 垂直，則 a0 ________.

答案： 0, 3

解析： ₁: ( 2) 1 ¹ ₁

2 2 2

a a

L a y ax y x m

a a a

 

        

  

2 2

1 2 1

: ( 2) a

L ay x a y x m

a a a

           

1 2

L



L

 ， 

m m

₁ ₂  1 ¹ 1 2

a

a a

  

    

2 2

2 3 0 ( 3) 0 0, 3

a a a a a a a a

            

14. 已知平面上兩點A( 2,1), (4, 3) B ，則AB的垂直平分線方程式為__.

答案： 3x y 5 解析：

取AB的中點M(1, 2)， 3 1 1 4 ( 2) 3

m

AB 

 

 

L 3

L



AB

，

m

 



: 2 3( 1) 3 5

L y   x  x y

15. 

ABC

之三頂點座標為(3, 6), (2, 2), (–1, –5)，則

ABC

之重心座標為________.

答案： ( , 1)⁴ 3

解析：重心 (^{3 2 1 6}, ^{2 5}) ( , 1)⁴

3 3 3

G     

(4)

16. 平面上二直線

L

₁:

y

   ，

x

4 ₂: ¹ ¹

2 2

L y x ，

L

₃:

y



mx

不可圍成一個三角形，則 m ________

答案： 1,1 12 3,



解析： 

L L

₁// ₃  

m

1

 ₂ ₃ 1

/ 2

/

L L  m



L L 與

₁, ₂

L 交於一點

₃ 1 1 2

4 2

y x y x



  



 



9 0 3, 1

2 3

2x x y

     

(3,1)代入 ₃:1 ¹ 3 3

L  m m 1,1 1 3 2, m 

 

17. 直線(3 2 ) k x (2 k y)   ( 8 3 )k 0，不論 k 為任何實數，恆過一定點，則此定點為_____.

答案： (2, 1)

解析： (3 2 ) k x (2 k y)   ( 8 3 )k  0 (3x2y 8) k(2x  y 3) 0 3 2 8 0

2 3 0

x y x y

  

     ^^{( , )}^{x y} ^^{(2, 1)}

18. 若 f x( )3021x1958，則 ⁽²⁰⁹³⁾ ⁽²⁰⁶³⁾ 30

f  f ________.

答案： 3021

解析：即求斜率 = 3021

19. 直線axby c 0，若ac0,bc0，則 L 不過第________象限.

答案：四

解析： 0, c 0

y x

   a 0, c 0

x y

   b  不過第四象限

20. 過二直線x2y 3 0與x2y0之交點，且 y 截距為–2 之直線方程式為________.

答案： 5x6y120

解析：設所求直線方程式為(x2y 3) k x( 2 )y 0

∵過(0, –2)   ( 4 3) k(04)0 ¹ k 4 ( 2 3) 1( 2 ) 0 5 6 12 0

x y 4 x y x y

         

21. 設A(2, 3), ( 6, 5)B  ，若 P 點在 x 軸上移動，且PAPB之值最小，則 P 座標=________.

答案： ( 1, 0) 解析：

作 A 對 x 軸之對稱點A(2, 3) ；

8 1 : 1

A B 8

m _    A B x   y 若y0,x 1  P( 1, 0)

22. 設A(6, 3), ( 2, 7) B  ，若P x y( , )使得

PA

²

PB

²之值最小，則 P 之座標=________.

答案： (2, 2)

(5)

解析：

PA

²

PB

² (

x

6)²(

y

3)² (

x

2)²(

y

7)²

6 2 2 2

3 7 2 2

x

y

   

    



時，有 min P(2, 2)

23. 如圖，地面上有一旗桿 OP ，為了測量它的高度，我們在直線 L 上取了 A, B 兩點，且測 得

AB

20公尺，在 A 點測得 P 點的仰角

OAP

 ，在 B 點測得 P 點的仰角30 

PBO

  ，45 又測得

AOB

  ，測得旗桿的高度為60

3 a

b 公尺，則數對( , )a b ____.

答案： (20, 4) 解析：設 OP

h

△

OAP

中： ¹ 3

tan 30

OA OA h

OP   





OBP

中： OP OB 

h



OAB

中：

AB

² ( 3 )

h

² 

h

²2 3

h h

 cos 60

2 2 1

400 4 2 3 h h 2

    ² 400

4 3



h





20 4 3

 h



24. 為了測量河的寬度，在河岸邊選定 A, B 兩點，看到對岸的大樹 C，測得

CBA

  ,75 30



CAB

  ,

AB

100公尺，則河寬為__________公尺.

答案： 50 解析：



ABC

中： 

C

180       75 30 75 故

ABC

為等腰三角形 

AC



AB

100 又

h

sin 30

AC

  100 ¹ h 2

   50

25. 如圖，小明欲測量大廈的高度，他在 C 點的正西方 A 點處測得仰角為 45，在 C 點的南 方 B 點處測得仰角是 30，且

AB

200m，試問大廈的高度為_________公尺.

答案： 100

解析：設 CD

x

AC x CD, 3 x



ABC

中：x²( 3 )x ² 200²4x² 200²  

x

100

26. 某工廠的一個煙囪高 25 公尺，其頂部裝有一支長 5 公尺的避雷針，在地面上

A 點測得煙囪頂及避雷針頂的仰角分別為 

與 90  ，則 A 點到煙囪底部的



距離為__________公尺.

答案： 5 30 解析：

設 AC

x

25 tan ( )

30 1

tan(90 ) ( ) tan

x ACD

x ABC



 

 



    



中



 25

30 x

 x   x² 25 30  

x

5 30

(6)

27. 巧虎在山腳測得山頂的仰角是 45，沿傾斜30 的直路前進 2 公里後，又測得山頂的仰角是 75 ，若山路與山頂在同一個鉛直平面上，則山高為__________公里.

答案： 2 解析：

ADF中：

CE



DF

 2 sin 30  1

ABF中：

BAF

      ; 45 30 15 

ABF

      45 15 30 2

sin15 sin 30

BF



 

2 6 2

6 2

1 4

2

BF 

    

6 2

BEBF 4 6 2

( 6 2)

4

    1

BC BE EC

    1 12

28. 設一湖，欲測湖岸兩點 P、Q 的距離，已知湖岸築有鐵絲網不能靠近，今 在鐵絲網外取得 A、B 兩點，得

AB

100公尺，如圖，測得PAB 75 ,

45



QAB

 ^,PBA 60 ,

QBA

90^，則AP___公尺；PQ___公尺.

答案： 50 6 ； 50 2

解析： (1)△

PAB

中，

APB

180^(75^60 )^ 45^

由正弦定理： 100

sin 60 sin 45

AP

_  _ 

AP

50 6 (2)△QAB中，

ABQ

90^ AQ100 2

75 45 30



PAQ

 ^ ^ ^

由餘弦定理：

PQ

² (50 6)²(100 2)² 2 50 6 100 2 cos 30 ^ 5000

∴PQ 500050 2