LEGO機器人融入數學建模學習活動在數學建模形式化歷程之探討~以小學四年級學生為例

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(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文 Graduate Institute of Mathematics and Science Education National Pingtung University of Education Master’s Thesis. LEGO 機器人融入數學建模學習活動在數學建模形式化歷程之探討~以小學四年級學生為例 Discuss of LEGO Mindstorms NXT Integrates in Mathematics Modeling Learning Activity to Mathematics Modeling Formalization Course:Take the 4th Grade of Elementary School as an Example. 指導教授：簡清華博士 Advisor: Dr.CHING-HUA CHIEN 研究生：林羽芝 Student: YU-CHIH LIN. 中. 華. 民. 國. 一. 百. 零. 三年七月.

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(3) 謝. 誌. 這是一場腦力、毅力與體力的整合試煉！在艱辛的研究所歲月中，心情總隨著論文的進度起伏不定，終於能夠完成作品，總算在學習中留下的難忘的扉頁。. 這篇論文可以順利完成，需要感謝的人很多，首先最感謝的是指導教授簡清華博士；簡老師是一位的對教育充滿熱誠的研究學者，從他身上不只學到如何鋪陳章節、忠實呈現研究結果，也謝謝老師在我論文遇到瓶頸時，給與的鼓勵和支持，使我能夠突破難關。另外，還要感謝口試委員黃樹乾教授和郭文金教授，在百忙之中撥空勞神費心的審閱論文，並提供許多寶貴的意見，補足了疏忽與缺漏之處，讓論文的內容更加豐富與周詳。還有感謝研究夥伴雅文老師、雅萍老師和周敏老師的經驗分享；感謝好友慧美的幫忙；也感謝國小同事行健老師的大力協助，和參與研究的國小四年級小朋友們，因為有你們的配合和付出，使得實驗教學得以順利的進行。更感謝數理所所長徐偉民教授和助理佳芳小姐在論文上也給我許多建議和鼎力協助。因為有你們我才能堅持到最後一刻。. 最後，感謝在研究上所有幫助過我的人，感恩您們！林羽芝. I. 謹誌.

(4) 中文摘要要為學生和教師提供更多的時間做「實際的」課題。在於使教學內容更加切合實際情境，其中最重要的方法，就是以「數學建模」（ M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g ）來提供這個實際課題過程的橋樑。而透過「 L E G O 機器人」教具提供了視覺化（ v i s u a l i z a t i o n ）和互動的（ i n t e r a c t i v e ）媒體環境，是一種整合科技和數學建模的學習模式。本研究目的旨在探討國小四年級學童在 LEGO 機器人融入數學建模學習活動，觀察八名國小四年級學童在實施建模教學時，如何形成數學建模歷程（ m o d e l i n g p r o c e s s e s ），以及在數學解題策略轉變的情形及其影響因素。樣本以屏東縣某國小四年級學生為研究對象，實施的時間為彈性課程 1 2 次，且每次 1.5 小時。研究方法採用質性研究，透過解題活動所形成「小四學生數學建模圖」為觀察依據，並輔以教學活動檢核表、反思筆記、個別訪談來分析。本次研究發現： ( 一 )LEGO 機器人的反饋功能，可促進學生發展數學模型，並影響學生數學解題策略的轉變，有助於解題。 (二 ) 在建模循環的歷程中，學生透過反思可促成模型的精緻化，並有效的解題。. 關鍵詞： LEGO 機器人、數學建模、反饋. II.

(5) Abstract To p r o v i d e s t u d e n t s a n d t e a c h e r m o r e t i m e t o i n v o l v e i n “realistic” topic is to make the content of teaching meet the real situation. The most important method is using the “Mathematical Modeling” as a bridge to the realistic topic. And through “Lego NXT ” teaching aid providing a visualization and interactive media environment, it is a kind of integrity of science and mathematical modeling learning model. The purpose of the study w a s e x p l o r e d e i g h t s t u d e n t s o f p r i m a r y s c h o o l ’s l e a r n i n g a c t i v i t y in using the LEGO NXT to involve the mathematic modeling teaching.The. researcher. explore. thestudents’condition. of. changing including of the pre-teaching,post-teaching of carrying out. mathematic. modeling. teaching,. the. application. in. p r o b l e m - s o l v i n g a n d t h e c h a n g e s i n p r o b l e m - s o l v i n g a t t i t u d e . We c h o s e t h e e l e m e n t a r y s c h o o l ’s s t u d e n t s t o b e t h e s u b j e c t s , adopted. qualitative. research. and. used. the. “observation”,. “interview” and “document analysis ”to collect the data while proceeding the research. By entering the computer classroom, the researcher observed the real teaching situation to develop the Lego NXT course. The main tool are including the self-design m a t e r i a l s f r o m t h e i n s t r u c t o r, t h e r e c o r d e r s f r o m i n t e r v i e w a n d the. pretest,. posttest. Scale”Findings. are. as. in. “Elementary. follows:Based. Mathematics on. the. Attitude. research. that. d i s c o v e r, f i r s t , T h e f e e d b a c k f u n c t i o n o f t h e c o m p u t e r L E G O NXT can promote the formulation of the mathematical modeling and influence the change in the problem-solving stratigies and elevate the problem-solving abilities. Second, the influencial effects are the familiarity toward the program design, and the a c t i v i t y o f t h e r e f l e c t i o n t y p e o f e r r o r. Keywords: LEGO NXT. mathematic modeling III. feedback.

(6) 目次謝誌 ·············································································· Ⅰ 中文摘要 ········································································ Ⅱ 英文摘要 ········································································ Ⅲ 目次 ·············································································· Ⅳ 表次 ·············································································· Ⅵ 圖次 ·············································································· Ⅶ 第壹章. 緒論 ································································· 1. 第一節. 研究背景與動機 ·········································· 1. 第二節. 研究目的與研究問題 ··································· 4. 第三節. 名詞解釋 ···················································· 5. 第四節. 研究限制 ···················································· 6. 第貳章. 文獻探討 ·························································· 7. 第一節. 真實情境概念探討 ······································ 7. 第二節. LEGO 機器人在教育上的應用 ······················· 15. 第三節. 數學建模之相關理論與研究 ························· 21. 第叁章. 研究設計與實施 ················································ 34. 第一節. 研究架構 ···················································· 34. IV.

(7) 第二節. 研究流程和方式 ·········································· 35. 第三節. 實施內容和步驟 ·········································· 39. 第四節. 研究工具和方法 ········································· 50. 第肆章. 研究結果與討論 ················································ 52. 第一節. LEGO 融入數學建模學習活動形式化歷程 ······ 52. 第二節. 人機互動對參與學生數學建模的影響 ············ 63. 第伍章. 結論與建議 ······················································· 71. 第一節. 結論 ·························································· 71. 第二節. 研究反思與建議 ·········································· 72. 參考文獻中文部份 ································································· 75 英文部份 ································································· 79 附錄 ·············································································· 82. V.

(8) 表次表 2-1-1：相關文獻一覽表 …………………………………..18 表 2-3-1：數學建模的定義. ……………………………….21. 表 2-3-2：數學建模過程的架構與定義表 …………………25 表 2-3-3：數學建模與機器人的運作歷程比較表 ………..29 表 2-3-4：數學建模之相關研究表 ………………..…………30 表 3-2-1：實施教材設計表 ………………………………….. 38 表 3-3-1：融入教學活動內容表 ………………………………41 表 4-1-1：小四生在機器人組裝時的思考策略表 … … … … 5 4 表 4-1-2：小四生錯誤類型及建模循環的歷程表 ………... 5 6 表 4-1-3：第一次活動的學生策略表 ……………………… . 5 9 表 4-2-1：建模修正循環測試表表 4-2-2：各組建模成敗表. …………………………..63. ……………………………….67. 表 4-2-3：促進模型再精緻化比較表 ……………………. VI. .68.

(9) 圖次圖 2-3-1：數學建模歷程 (1973) .......................................... 23 圖 2-3-2：數學建模歷程 (1980) .......................................... 24 圖 2-3-3：數學建模流程、鐘劍、簡國明、桂紹輝 (2000) ..... 24 圖 2-3-4：建模流程圖 ....................................................... 26 圖 2-3-5：發展數學建模歷程圖 … … … … … … … … … … … … ..27 圖 2-3-6：樂高機器人運作模式 ......................................... 28 圖 3-1-1：研究架構圖 ....................................................... 34 圖 3-2-1：研究流程圖 ………………………………………………37 圖 3-3-1：建模三階段圖 …………………………………………….40 圖 3-4-1：發展小四建模階段圖 … … … … … … … … … … … … ..50 圖 4 - 1 - 1：使用生活經驗建模圖 … … … … … … … … … … … … … . . . 6 1 圖 4-1-2：使用數學經驗建模圖 ……………………………………61 圖 4 - 1 - 3：不同經驗建模流程差異圖 … … … … … … … … … … … … 6 2 圖 4-2-1：解題歷程圖 ……………………………………………….65 圖 4 - 2 - 2：最小繞行距離圖 … … … … … … … … … … … … … … … … . 6 8. VII.

(10) 第壹章. 緒論. 本研究主要在探討 LEGO 機器人融入數學建模學習活動。第一節研究背景與動機，第二節研究目的與研究問題，第三節名詞釋義，第四節研究限制，共四小節，陳述如下。. 第一節研究背景與動機數學是研究真實生活中的數量關係和空間形式的科學，它與我們日常生活相關密切，生活上大小問題，都離不開數學的應用。例如：日常生活當中的買賣交易、時間的規劃、距離空間的概念…等等，以至於企業經營、科學發明、藝術創作等各行各業，都與數學具備密切的相關性。當實際問題需要我們分析、預報、做決策時，常離不開數學的應用，而「數學建模」（Mathematical Modeling）便是這個過程的關鍵。在國際數學教育委員會（The International Commission on Mathematical Instruction，ICMI）即在第 14 屆國際數學教育會議中，以數學建模與應用作為主要研究主題。其中數學建模歷程與認知策略被提出認為是值得研究的重要議題之一(Blum, 2002)。數學建模強調學生從現實生活問題中去找出問題的核心要素，透過共同討論的方法去假設與驗證要素與要素之間的關係，進而建立此一問題的關係式，最後讓學生能運用此關係式再去解決現實生活中相似的問題情境。以往的數學教育依照數學邏輯順序來教學，偏重計算以及公式的熟練性，讓人產生一種數學能力即等於計算能力的誤解。近來的數學教育改革則是以數學即生活的想法為中心，主張數學的學習應該更加生活化、意義化(教育部，2000，2003）而九. 1.

(11) 年一貫數學學習領域當中，特別強調數學連結的重要性，所謂數學內部的連結包括數與量、圖形與空間、代數、機率與統計等四個主題之間的連結，強調數學概念的融會貫通以及解題能力的培養與應用數學知識的能力。而數學外部的連結則是強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析等能力的培養。如果數學知識與技能欠缺內部連結，那麼個體必須記憶過多獨立的概念，增加許多額外的認知負荷；如果欠缺外部連結，則無法發現數學知識在其他領域的功能，也無法應用這些數學知識在其他領域之中。根據楊凱琳與林福來(2006)的研究更明確指出：數學建模在教學實務上能具體表現出數學內部的溝通，以及數學外部的連結。建模除了要找出問題的答案，更重要的是過程中體驗概念化的瞭解、嘗試表徵化的資訊處理、詮釋模式和現象間的意義，累積這些經驗漸漸能形成建模過程所需的能力，而此種能力亦即九年一貫課程綱要數學學習領域強調帶著走之能力的培養。但在教學實務上，現場教師對於「連結」主題比較缺乏相關資訊(鄭玉雯，2004)，因此了解學生如何從真實情境中建構數學模式，以做為建模教學參考是急需探討的主題。但是許多研究也同時舉出數學建模並不是一個簡單的歷程(Treiibs,1979; Trbilibs, Burkhardt, & Low, 1980 ;引自左台益、胡政德，2009) 此外，左台益、胡政德建議：電腦模擬可以提供建模者操作物件之輔助，讓建模者能著重於物件的操作在活動中使用適當的電腦軟體，可以方便進行模擬，他們更近一步指出，要想連結理想化和數學化之關鍵因素是「數學工具」，電腦化教學環境若被使用來當成中介工具，讓學生能夠從具體複雜的情境中，藉由電腦化的教學環境來進行情境的抽象，然後逐漸地進行數學的抽象，以幫助學生在情境中學習數學概念。因此，運用電腦化環境融入數學建模的學習使它們結合起來，是一個值得探討的方向。本研究即是研究者以一個觀察者身分，進入某國小的電腦教室觀察了整合 2.

(12) 「科技和數學建模的學習模式」的實驗教學，教學者簡教授是透過「LEGO 機器人」教具，提供了視覺化（visualization）和互動的（interactive）媒體環境，以自編教材方式，配合國小四年級數學領域，搭配設計與建模教學相關的問題，在課堂上利用樂高機器人來呈現與課程相關之概念，引導小學四年級學生進行「數學建模」活動。以一位現場的教育工作者的觀點：要為學生和教師提供更多的時間做「實際的」課題。在於使教學內容更加切合實際情境，其中最重要的方法，就是以「數學建模」（Mathematical Modeling）來提供這個實際課題過程的橋樑。另外學者 Rogers（2004）指出，LEGO 機器人對學生最顯然的優點為結合了動手做和創造的工作，可以使學生樂在其中，激發學生學習數學的動機；而且，樂高機器人是針對八歲以上兒童開發，而國內對於樂高機器人之研究，雖都肯定能提高學生之創造力，但探討的內容大都為教學法、功能性角色或學習策略等，只有少數配合數學單元作融入教學，例如：陳雅萍(2009)將 LEGO 融入圓周長概念的學習，辛宜(2013)融入分數教學成效分析，以及林久淵(2012) 運用 LEGO 教學，調查在數學態度、動機和學習行為的研究。但是在 LEGO 融入數學建模學習部分並無相關文獻，能提供完整之教學方案的研究。研究者認為，在提供學生組裝操作或瞭解程式功用之外。還有融入相關數學單元之外，若能再探討 LEGO 在視覺化（visualization）和互動化（interactive）的媒體環境之下，印證其能對學生之數學建模能力有所提升，或在數學的思維和學習態度有所影響或改變之處，皆是教育現場的工作者，值得探究的。本研究據此為研究背景，藉以探討「LEGO 機器人融入數學建模學習活動」中，小學四年級學生在數學建模形式化歷程，並期望了解小學四年級學生在建模過程中學員的互動情形。以提供現場教師未來延伸研究的參考。. 3.

(13) 第二節研究目的與研究問題. 基於上述研究背景，本研究目的如下：. 一、研究目的： (一)、探討 LEGO 機器人融入數學建模學習活動中，對小學四年級學生在數學建模形式化歷程情形。. (二)、探討 LEGO 機器人融入數學建模學習活動，對小學四年級學生數學建模能力的影響。. 二、研究問題：依據上述之研究目的，本研究將探討下列問題，分述如下： (一)、探討 LEGO 機器人融入數學建模學習活動中，小學四年級學生在數學建模形式化歷程情形為何？ (二)、經過 LEGO 機器人融入數學建模學習活動後，人機互動對參與學生的數學建模影響為何？ (三)、經過 LEGO 機器人融入數學建模學習活動後，能否促進學生數學模型的建立？. 4.

(14) 第三節. 名詞解釋. 一、真實情境在荷蘭的真實數學教育（Realistic Mathematics Education,. 簡稱 RME）. 中，對情境（context）有廣義和狹義的意義，廣義的情境可能是指日常生活情境和可想像的情境，或是數學題目本身，重要的是這些是適合數學化的情境或題目，學生在其中能想像一些事情並使用他們的經驗和知識。狹義的情境是指要有情境；在本研究中，情境屬於廣義的情境，是指學生透過操作 LEGO 機器人，將數學問題在真實情境中呈現，提供學生一個與真實世界中所選擇的待測問題溝通連結的中介工具。. 二、LEGO 機器人融入教學本研究所使用的 LEGO 機器人(LEGO MINDSTORMS NXT），除了像傳統的樂高積木可以自由造型外，並將電腦和積木結合一體，具備可程式積木（Programmable Brick）及視覺化的程式編輯環境。在本研究中的 LEGO 機器人融入數學建模教學活動，是以 LEGO 機器人為教具，佈置一個學生能真實操縱的情境，讓學生能運用數學概念在此情境中進行數學建模學習的教學方式。. 三、數學建模模型是一種現象、物件和想法的表徵。所謂數學建模是指在現實世界中，為了某一個特定的目的，而將實際問題抽象、簡化成數學模型後，運用數學的語言和方法對數學模型進行求解，在反覆的假設、驗証過程後，將得到的結果回歸到實際問題，這個過程稱為「數學建模」。. 5.

(15) 四、反饋(feedback) 系統功能作用的結果反過來對系統功能特性的影響。在反饋過程中，系統的輸出通過環境反過來作用於系統本身並構成輸入的一部分,結果使系統的輸出受到影響,形成的這種迴路稱為反饋迴路。從由系統和環境組成的更大的系統來看，反饋是系統組成部分間相互作用的一種形式。這種相互作用構成系統結構上的因果鏈。反饋如能增強系統功能作用的結果稱為正反饋。. 在本研究指的是機器人的功能是通過參與學生的輸入（環境對系統的作用）和輸出（系統對環境的作用）關係表現出來的現象。. 第四節研究限制研究過程中，研究者力求減少干擾研究結果之變因，但限於時間、人力、課程及學校配合的關係，本研究樣本數僅八名，研究對象是立意取樣，故不宜將研究結果作過度的推論，所形成之研究限制在所難免。. 6.

(16) 第貳章. 文獻探討. 本章旨在由相關的文獻探討，以期對本研究相關主題有更深入的了解，藉以形成本研究之理論基礎及建立實徵研究架構之依據。共分四節加以闡釋，第一節為真實情境概念探討，用以瞭解情境學習理論的意涵、真實數學的意義；第二節則針對本研究所採用的數學建模理論進行探討；第三節探討樂高積木在教育上的應用。. 第一節真實情境概念探討數學課程的設計上，為了安排多元的教材，以便於激發學生的學習興趣，只有讓學生對課程內容感到興趣，才能激發學生進行有意義的學習，從中建構數學概念，數學的學習如能貼近學生的生活，學生才能將數學運用在日常生活中（教育部，2003），因此，數學課程的發展應注重與生活經驗的連結，學生能在真實情境中學習，更顯重要；本節將探討情境學習理論及真實數學教育理論。. 一、情境學習理論情境學習理論強調學習者在真實世界以及親身體驗的重要性，透過與環境的互動歷程，能使學習者在學習過程中建構知識，進而能活用知識解決問題；而生活本身即是一連串問題解決的過程，所以教學現場愈接近真實情境，愈能使學習貼近學習者的日常生活表現，學習者將能內化所學得的知識，應用在生活中，所以提供真實情境的教學有其重要性與必要性；以下針對情境學習的意涵及情境學習的特性作進一步探討。. 7.

(17) （一）情境學習的意涵情境教學重視真實情境或模擬真實情境的學習，如果學習活動的內容在理論上與實際情況互相契合，且是目標導向的，就具有「真實性」（Moore, et al.,1994）；情境認知學者 Brown, Collins 和 Duguid（1989）強調知識是學習者與環境互動所產生的，必須在它所產生及應用的活動與情境中去解釋，才能產生意義，知識是無法從它所存在的社會脈絡（context）中孤立出來的，學習情境對於學習者的重要；而學習一旦脫離情境脈絡，學習者將無法有效應用它來解決日常生活所遭遇的問題，這些知識即為 Whitehead 所指的「僵化知識」；知識除了具有情境特性外，還包括透過真實活動而逐漸發展的特性（Brown et al. ,1989）。因此，在教學時，應透過真實的活動使學習者與環境產生互動，讓他們從親身體驗中獲得知識，使知識有意義化，進而能將知識應用到日常生活中，解決所面臨的問題。 1996 年，數學教育學者 Vergnaud 提出從情境發展概念的理論，他論述了構成概念（concept）的三個特性：（1）情境（situations）：使概念成為有意義的集合，（2）不變性（invariants）：包含在基模（schemes）內的一組運思不變量，可發展成為處理上述的情境，及（3）符號表徵（symbolic representations）：包括自然語言（ natural language）、圖示（diagrams）、圖表（graphs）、與代數（algeabra）等，此符號表徵可以用來表示符號之間的關係，並幫助學習者瞭解情境。之後， Vergnaud 又論及概念域（conceptual field）是一組情境，他強調學習者若要精熟概念域，需要具備數個相互關連的概念；同時概念域也可以看成是一組不同性質的概念，這些概念是從大量的情境中抽離出來的，若其中某一個概念產生缺陷，就會影響其他概念發展的完備性。每一組的概念雖然具有不同的性質，但是每個概念的意義是從不同情境的變化（variety）引申出來，而一個概念也可以用一組情境來說明。由上述文獻可知：情境認知理論強調真實或模擬真實的 8.

(18) 情境，只要是有助於概念認知發展的情境即是真實的情境。. （二）情境學習的特性情境認知（situated cognition）或情境學習，強調學習者須處於情境脈絡中。也就是知識是蘊含於學習情境脈絡以及學習活動之內的（陳品華，1997），所以提供學習者愈真實的學習情境，就愈能引發有意義的學習。而本研究符合情境學習的以下幾點特性（鍾邦友，1994；龔玉春，2003；引自陳雅萍，2009）： 1. 強調學習活動的真實性情境學習強調在真實情境中建構知識，所以知識除了具有情境特性外，還包括透過真實活動逐漸發展的特性（Brown et al., 1989），因此教學者須提供最真實的學習環境，學習者才能體會知識的意義與價值，以利學習遷移，有助於學習者應用知識並成為未來解決問題的工具。 2. 強調學習者的主動探索與操作情境學習以學習者為中心，強調學習者主動認知的過程（林宏旻，2006）。主張情境學習理論的學者認為，所謂學習包括「知識的吸收」與「知識的應用」兩種認知歷程，而知識就如同生活中的工具，必須透過使用才能瞭解它們；說明了唯有從活動中不斷地操作與探索，才能體驗知識所蘊含的抽象意義。 3. 合作學習與知識分享情境學習強調學習是一種共同參與的社會化過程，包含思考方式、察覺、問題解決、互動，而非只是獲得一套描述性或有順序、結構性的知識。在這個過程中，學習者在不斷地與實際情境互動中，建構知識的意義；學習過程，不再只是「單一的學習者」，而是「學習者加上周圍環境」，如：學習環境、學習活動及學習同儕，因此學習是一個對知識持續不斷建立意義的歷程（鄭晉昌， 1993；吳宗立，2000；廖桂菁，2001；徐佩瑜，2005；Brown et al., 1989）。因此 9.

(19) 在實際生活中面臨的問題時，應從不同的面向去探索、測試及與其他人互動合作；在活動中，師生及同學間透過相互的討論、質疑、辯證及澄清的歷程，產生多元的想法及策略。對於每個人所提出的想法及策略都是有價值的，學生透過不斷討論及省思的過程中，豐富自己的數學知識；因此情境學習重視合作學習，引起學習者的學習動機，在小組中彼此分享知識。由上述可知，情境學習強調以真實生活或模擬真實生活情境來引導學生學習，所以教師在教學環境上必須營造情境化的學習環境，在教學活動中觀察學習者，提供適時的協助，更要以示範、提供鷹架等方式支持學生學習。. 二、真實數學教育真實數學教育(Realistic Mathematics Education)，簡稱為 RME，是荷蘭人為了呼應全世界對數學的教與學所做的改革。荷蘭改革運動的根源可以追溯到 70 年代早期，當時 RME 的觀念第一次被概念化。它是為了回應美國「新數學」運動而在荷蘭開始流行，及改革荷蘭本地的「機械式的數學教育」(mechanistic mathematics education)。荷蘭開始推行真實數學教育（RME），目前已有許多國家採用並在實行數學教育上。. （一）RME 理論的意涵 RME 是根據 Freudenthal 對數學教育觀點所形成，Freudenthal 強調數學行動（activity）才是數學的起點，主要的觀念就是「以真實活動教學，思考數學的本質」，其特色在於解題、尋求問題與組織數學學科在實際生活中的資料。這意指數學教育不是把數學當成封閉的體系，而是一種活動，一種數學化的過程 (Freudenthal，1968)。Freudenthal 的兩個重要觀點為： 1.數學必須與真實情境連結。 10.

(20) 2.數學是人類的活動。數學要對人類有意義，必須與真實情境連結、貼近兒童及和社會關連，聚焦在學生數學知識的理解與發展的過程。所謂的「真實」，可以是學生感受或想像的問題情境，也可以是與真實世界相關聯的脈絡（黃興果，2005）。而且 RME 將數學視為人類的活動，著重於有意義的應用，學生運用情境和模式，通過各種不同的數學化層次，發展自己的數學概念，因此學校的數學課程應重視兒童的生活經驗，使學生在真實的情境下探討問題。從教學中使學生數學知識和生活經驗相互連結，學生才能感受到學習數學與生活並非互不相關，促使學生能將所學的數學知識應用在生活中，以增進學生的適應生活環境的能力。. （二）RME 理論的關鍵原則 Gravemeijer（1994)指出 RME 理論有兩個關鍵原則（引自范瑞娟，2005）： 1. 數學化和重新引導發明數學數學教育應該提供「引導」（guided），學生經由做數學中而能「再發明」（re-invent）數學的機會，在數學教學中，直接教導公式、算則解題是極不適當的，教師應該引導學生去體驗數學公式或通則被發明的類似過程。Freudenthal 認為數學教育的關鍵過程是「數學化」，數學是與現實生活緊密結合的真實活動，經由這個真實的活動，學生達到數學化；因此，數學化不是數學家才會經歷的過程，學生在日常生活中運用數學解決問題就是數學化的活動。數學化關係著學生的學習層次。學生在這個層次的活動及觀點會成為下一個更高層次研究討論的基礎，透過教師一步步地引導，學生漸漸凝聚數學概念，得以進入更高層次的數學思維。而此數學概念是由日常生活中所發展出來的，所以學生也有能力將數學概念應用於日常生活中。在一個真實脈絡性的問題中，教師引導學生整合類似解題的過程，或者學生使用非形式化的解題策略， 11.

(21) 將數學知識重新組織，都是重新發明數學的機會（范瑞娟，2005）。學生若能在不同的情境脈絡中，使用自己的策略進行解題，即代表學生已內化數學知識了。 2. 自我發展的模式學生是數學教學中的主角，學生能在不同層次的活動中，發展數學概念並能加以應用，由情境脈絡逐漸數學化到形式化數學，才能形成自我發展的模式 (self-developed models)，所以非形式化數學是藉由自我發展的模式進入形式化數學階段，在情境脈絡中，學生能建構自我發展的模式，是學習的基礎，自我發展的模式由下而上發展，並逐漸發展成形式化數學知識；自我發展的模式有層次之別。另外根據 Marja(1998) 所提出的觀點：RME 的一個重要特徵是聚焦在學生的知識和數學了解的成長。RME 對學生的進展持續工作。在這個過程中，模型 (models)扮演重要的角色，它的起源來自脈絡情境，並且做為高層次了解的橋樑的功能。換句話說，在 RME 內，脈絡問題和真實生活情境被利用來組織數學概念和應用數學概念。當學生在脈絡問題中學習時，學生可以發展他們的數學工具和了解。首先，他們發展的策略貼切地連結到脈絡中。再者，脈絡情境的明確形態可以變成更一般。這個意思是說從這個脈絡或多或少可以學到模型 (model)的特性，並且在解答其它相關的問題時可以得到支持。最後，模型讓學生能接受更形式的數學知識(李源順、楊瑞智譯，2000 ) 。因此 RME 的特徵為：脈絡的運用、模型的利用以及學生自己產生和建構的利用。而本研究即是據此觀點來探究小學生在真實情境中，藉由 LEGO 機器人的操作，來組織數學概念和應用數學概念。而這運作的過程，與數學建模的發展歷程相當符合，在了解學生如何建構形式化的數學知識上，及如何確立模型的過程，運用 RME 的論述是相當貼切的。. 12.

(22) （三）RME 理論的相關研究比利時學者 Verschaffelc 和 De Corte，在 1997 年使用真實數學建模進行探索性質的教學實驗，他們以五年級（10-11 歲）一個班級的 19 名男學童為實驗組，六年級（11-12 歲）兩個班級的 18 名和 17 名男學童為控制組，整個實驗教學包含五個教學單元，每個教學單元進行約 2.5 小時，延續時間約 2.5 周，教學單元提供真實情境的文字題，透過小組討論與全班討論的方式，讓學生應用數學去解決真實情境的問題，研究結果發現透過小組活動和全班討論的方式，學生在解題時考量真實世界的知識的比例大為提升，而且不論在小組活動或全班討論中，高程度學生都有較高的參與度，所以也比中、低程度學生受益於此教學。黃幸美（2003）以 80 名四年級學童為研究對象，探討經由討論和提供實物的真實情境下，學童解決生活情境數學問題與類比遷移解題的影響，以及分析學童討論解題的策略與錯誤類型。研究結果發現在同時提供學童討論環境及實物的真實情境下，學童的解題表現最好，而經過三週後，只提供討論或實物，或同時提供討論及實物的情境，類比遷移解題的表現較無討論無實物的情境佳。范瑞娟（2005）採用行動研究方式，以一個國三常態班級 35 名學生為對象，在數學課中採用 5E 的教學模式，並將 RME 的理論精神融入教材中，研究時間共進行兩學期，研究目的之一為了解學生接受此教學模式的知覺感受和認知方面的學習成效影響。研究結果發現學生的知覺感受中，喜歡這種教學模式的學生達到 60％，並且認為此種教學模式有助於數學知識的學習、刺激思考、引起研究的興趣。黃興果（2005）採用行動研究法，以 33 名國一學生為研究對象，數學教材的編輯以 RME 理論為基礎，並將 Polya 解題策略融入於 RME 理論，探討對學生解題能力和數學學習焦慮的影響。研究結果發現整體學生的數學解題能力有 13.

(23) 顯著性的提升；學生的數學焦慮改變也有降低的趨勢，而且學生對數學學習的思考方式和學習信心有改變。蘇柏丞 (2012)透過情境教學的方式來設計及應用在教學上，並透過 LEGO 機器人來輔助教學，給與孩童學習目標，讓孩童透過操作，並與同學間相互討論思考如何運用方法及訂定規則，來達成最終學習目標，藉由 LEGO 機器人的幫助，反映出孩童是如何思考並解決問題。研究結果發現學生：在認知學徒制中有六項教學方法-示範(modeling)、指導(coaching)、鷹架支持(scaffolding)、闡明 (articulation)、反思(reflection)、探索(exploration) (Collins et al., 1989)，透過上述六個方法，讓孩童了解學習活動的方向，並促進問題解決，從簡單到複雜、由單一到多數，了解到學習活動的整體概念進而更深入探討局部。透過這樣的學習環境，可以塑造出多元與探究的班級氣氛，及培養出孩童討論與發表的能力。從文獻探討中可知，情境學習以學習者為主體，重視學習者與環境互動的重要性，強調在真實世界與社會脈絡中主動的探索，學習者探索新知識或重組已經具備的知識，在合作學習的過程中共同分享觀點、討論與反思，以建構數學知識。而本研究特徵之處在於真實情境中，教學者是一位促進者的角色，而探究的過程中，教學者並不需要給學生示範，藉由 LEGO 機器人的操作，在過程中經由跟小組成員的討論、互動與反思，逐步修正和精緻化自己的想法，體會如何進行數學建模，此時機器人的電腦程式就是一個模型，教學者給予一個數學問題，學生透過真實情境的活動，瞭解從真實情境的模型中如何如何建構形式化的數學模型，再進而能運用數學知識和數學模型解決日常生活中的問題。. 14.

(24) 第二節 LEGO 機器人在教育上的應用 LEGO 機器人是樂高公司在 1984 年開始與美國麻省理工學院合作，並由媒體實驗室（Media Lab at MIT）的 Resnick. 教授及 Papert 教授共同主導、. 研發出利用現代科技與傳統玩具相互結合的新教具，「LEGO 機器人」，就是將電腦與積木結合在一起，結合電腦和七百片積木，創造出能和孩童互動，並且讓孩子可以不斷學習的電腦玩具，因而使得 LEGO 機器人更富教育意義；這個理念符合了樂高成立的基本價值：讓孩子從動手中做，體驗發掘問題，最後解決問題，也和當時媒體實驗室的建構性教學目標一致，建構主義的學習觀也成為 LEGO 機器人學習理論的基礎，也就是 Papert 所提出來的建造論（Constructionism）（吳志緯，2003）。本節將分別探討建構主義學習觀、建造論及應用在 LEGO 機器人教育上的相關研究。. 一、建構理論和建造論的學習觀建構理論（constructivism）對於「知識是什麼」、「人類如何學習知識」等的解釋有別於以往不同的派典（paradigm）。但因研究者眾多，並且來自不同領域，因此產生一些不同的派別，如一般建構主義、根本建構主義及社會建構主義等派別。張靜嚳歸結出現代建構主義的三個基本原理（黃明章，2001）： 1. 知識是認知個體主動的建構，不是被動的接受或吸收； 2. 認知功能在適應，是用來組織經驗的世界，不是用來發現本體的現實； 3. 知識是個人與他人經由磋商與和解的社會建構。 Piaget 主張知識是由個體主動認知建構而成的，不是被動的接受或吸收，其理念可視為建構主義學習觀的根基；然而，由於電腦科技的高度發展，Papert. 15.

(25) 修正了 Piaget 的理論，提出了建造論（Constructionism），強調「做中學」的觀念，並且認為學習者的思考風格，「形式運思」不一定優於「具體運思」，因而提出認識多元論的主張，強調在具體、可動手操作過程中，也可以有相同的學習成效。因此，Papert 所提出的建造論是建立於兩個不同的建構（construction）觀念：第一是學習是認知個體用他的先備經驗作為學習的基礎，主動的建構新知識，而不是被動的接受，重視學習者的主動性；第二是學習者透過實際動手做的互動過程，並且進一步的呈現、發表，或與他人分享而達到個人有意義化的建構學習。McGrath 認為：Constructionism（Papert）＝Constructivism（Piaget）＋ Construction（Lego／Logo），說明了 Papert 的建造論是涵蓋 Piaget 的建構理論，再加上能夠讓學習者主動操作的具體物，如可程式化的樂高積木或 Logo 程式語言等（吳志緯，2003）。. 二、應用 LEGO 機器人在教育上的相關研究國內目前有關應用 LEGO 機器人教學的研究有逐漸增多的趨勢，在國、高中主要應用於程式設計教學與學習的研究，在國小的部份，目前研究有十多篇，僅陳述與本研究相關之內涵及結論分述如下。吳志緯（2003）採用質的研究方式，以 6 位六年級學生，透過社團活動的方式，在學校成立 LEGO 機器人實驗室的學習團隊，實施每周三天，四周共 36 小時的課程，以小組活動方式進行教學方案和探究活動，探討國小學生以 LEGO 機器人進行科學學習之個案研究。研究結果發現，可以培養學生各種的科學過程技能，提供學生問題解決的訓練與培養，並可以達到合作學習之目的，及在互動式可具體動手操作的環境中，協助學生科學學習態度的正向發展。辛宜 (2013) 應用 LEGO Mindstorms 這套教具，創造出一個真實的學習 16.

(26) 環境來讓學生認識數學單元裡的分數。目的在於項讓學生了解並認知了解到在現實生活中學習分數的意義與目的。因此打破以往的傳統教學模式和學習方法，來增進並刺激學生們學習。研究結果發現：利用「在行動中求知」（knowing in action）及「在行動中反省」（reflection in action）的兩個學習概念能提高學生的學習成效，亦是推動良好的學習策略的關鍵要素。劉妍岑 (2013)結合科技配適度、科技接受理論、計劃行為理論、Flow 理論來探討學生運用 LEGO 機器人學習之意願。研究結果發現：該理論有顯著正相關關係。在科技接受度上受測者被認為認知易用性、認知有用性、態度與使用意圖具有顯著的正相關關係。學生在主觀規範、內在、外具有滿意度和認知享受。總體而言，學生認為樂高機器人可以運用於學習上面。李鎮亦 (2012) 整合由情境學習理論發展出來的錨式教學法，以及網頁導向和問題導向的學習理論，再加上專門用來描述及解釋動機的沉浸理論，歸納出專門針對學生主動探索學習與問題解決能力的樂高機器人課程設計原則。研究結果發現：從相關的文獻整理、分類出七個面向，分別是學習情境、知識、學生、團隊合作、網路資訊、教師以及問題解法。並發展出七個相對應的樂高機器人課程設計原則，並根據這七項原則設計出一套專為國小學生初學者的樂高機器人錨式教學課程。此範例課程與七項設計原則也將為未來樂高機器人課程設計提供指引。蘇柏丞 (2012) 透過情境教學的方式來設計及應用在教學上，並透過 LEGO 機器人來輔助教學，給與孩童學習目標，讓孩童透過操作，並與同學間相互討論思考如何運用方法及訂定規則，來達成最終學習目標，藉由 LEGO 機器人的幫助，反映出孩童是如何思考並解決問題。研究結果發現學生：在認知學徒制中有六項教學方法-示範(modeling)、指導(coaching)、鷹架支持(scaffolding)、闡明 (articulation)、反思(reflection)、探索(exploration) (Collins et al., 1989)，透過上述六 17.

(27) 個方法，讓孩童了解學習活動的方向，並促進問題解決，從簡單到複雜、由單一到多數，了解到學習活動的整體概念進而更深入探討局部。透過這樣的學習環境，可以塑造出多元與探究的班級氣氛，及培養出孩童討論與發表的能力。林三田 (2011) 以計劃行為理論為基礎,加入背景變項及研究者在上課時發現的疑問，設計成一個假設模組來探討學生使用機器人學習數學的意向。然後收集高雄市和屏東縣 2 個班共計 55 位學生的問卷資料,以積差相關、t 考驗及多元迴歸等統計方法進行分析。研究結果顯示：行為態度、知覺行為控制較能影響行為意向，而背景變項則是部份與行為意向有相關，是否曾經玩過機器人此變項則是與行為意向有相關但是是否曾經玩過機器人兩者在行為意向表現並無差異。由上述文獻整理如下表。表 2-1-1 相關文獻一覽表研究者. 研究內涵. (2013). 應用 LEGO Mindstorms 這套教具，創造出一個真實的學習環境來讓學生認識數學單元裡的分數。目的在於項讓學生了解並認知了解到在現實生活中學習分數的意義與目的。因此打破以往的傳統教學模式和學習方法，來增進並刺激學生們學習。. 研究結果. 研究結果發現利用「在行動中求知」（knowing in. 辛宜. action）及「在行動中反省」（reflection in action）的兩個學習概念能提高學生的學習成效，亦是推動良好的學習策略的關鍵要素。研究者劉妍岑 (2013) 研究結果. 研究內涵結合科技配適度、科技接受理論、計劃行為理論、 Flow 理論來探討學生運用 LEGO 機器人學習之意願。研究結果發現：該理論有顯著正相關關係。在科技接受度上受測者被認為認知易用性、認知有用性、 18.

(28) 態度與使用意圖具有顯著的正相關關係。學生在主觀規範、內在、外具有滿意度和認知享受。總體而言，學生認為樂高機器人可以運用於學習上面。研究者李鎮亦 (2012). 研究結果. 研究者. 研究內涵整合由情境學習理論發展出來的錨式教學法，以及網頁導向和問題導向的學習理論，再加上專門用來描述及解釋動機的沉浸理論，歸納出專門針對學生主動探索學習與問題解決能力的樂高機器人課程設計原則。研究結果發現：從相關的文獻整理、分類出七個面向，分別是學習情境、知識、學生、團隊合作、網路資訊、教師以及問題解法。並發展出七個相對應的樂高機器人課程設計原則，並根據這七項原則設計出一套專為國小學生初學者的樂高機器人錨式教學課程。此範例課程與七項設計原則也將為未來樂高機器人課程設計提供指引，特別是針對有上述相同問題的初學者。研究內涵. (2012). 透過情境教學的方式來設計及應用在教學上，並透過 LEGO 機器人來輔助教學，給與孩童學習目標，讓孩童透過操作，並與同學間相互討論思考如何運用方法及訂定規則，來達成最終學習目標，藉由 LEGO 機器人的幫助，反映出孩童是如何思考並解決問題。. 研究結果. 研究結果發現學生：運用在認知學徒制中有六項教. 蘇柏丞. 學方法，讓孩童了解學習活動的方向，並促進問題解決，從簡單到複雜、由單一到多數，了解到學習活動的整體概念進而更深入探討局部。透過這樣的學習環境，可以塑造出多元與探究的班級氣氛，及培養出孩童討論與發表的能力。林三田 (2012). 以計劃行為理論為基礎,加入背景變項及研究者在上課時發現的疑問，設計成一個假設模組來探討學生使用機器人學習數學的意向。然後收集高雄市和屏東縣 2 個班共計 55 位學生的問卷資料,以積差相關、t 考驗及多元迴歸等統計方法進行分析。. 19.

(29) 研究結果. 研究結果發現：行為態度、知覺行為控制較能影響行為意向，而背景變項則是部份與行為意向有相關，是否曾經玩過機器人此變項則是與行為意向有相關但是是否曾經玩過機器人兩者在行為意向表現並無差異。 (續前頁). 由上述文獻中可以看出，LEGO 機器人的設計理念即是以建構主義為主軸，讓孩子從操作中進行探索、思考問題，發展解決問題的能力，並以相關的理論做搭配，例如：蘇柏丞(2012)運用認知學徒制中有六項教學方法，塑造出多元與探究的班級氣氛，及培養出孩童討論與發表的能力。劉妍岑 (2013)和林三田(2012)皆以計劃行為理論為基礎，暸解學生使用機器人學習數學的意向。顯示出藉由 LEGO 機器人的幫助，能夠反映出孩童是如何思考並解決問題。又從整理的文獻中得知，目前關於的相關 LEGO 機器人研究，已從研究學童創造力及科學教育為主，擴展到 LEGO 機器人進行教學，文獻顯示均能提升學童的創造力、問題解決能力及學習興趣等，而 LEGO 機器人應用在數學建模教學上，是否也能得到類似的成果？因此，本研究即是研究者以一個觀察者身分，進入某國小的電腦教室觀察了整合「科技和數學建模的學習模式」的實驗教學，教學者簡教授是透過「LEGO 機器人」教具，提供了視覺化（visualization）和互動的（interactive）媒體環境，藉以探討是否能夠促進及提升數學建模能力。數學建模實踐「以學生為中心」的理念，對於能否促進學生彼此之間的互動有所助益，是值得在研究中近一步觀察的。. 20.

(30) 第三節數學建模之相關理論與研究本節將從探討數學建模的意義、數學建模之歷程、數學建模與 LEGO 的運作模式比較以及數學建模的相關研究，來說明研究者為何要探討 LEGO 機器人融入數學建模在小學數學學習活動之原因。. 一、數學建模的意義數學建模的定義在文獻中有多樣性的描述，但其本質是相似的。所謂數學建模是指在現實世界中，為了某一個特定的目的，而將實際問題抽象、簡化成數學模型後，運用數學的語言和方法對數學模型進行求解，在反覆的假設、驗証過程後，將得到的結果回歸到實際問題，這個過程稱為「數學建模」。茲將內容整理如下表 2-3-1：表 2-3-1 數學建模的定義作者/出版日期. 數. 學. 建. 模. 定. 義. Roberts(1976). 數學建模是關於一個問題、情境或現象翻譯成數學條件的假設過程，然後使用數學工具去分析問題。. Swetz(1989). 數學建模是真實世界主要的解題形式，它必須運用各種數學技巧，並且將注意力放在整個問題上而非答案，解題者必須小心確認及澄清問題，在理解後解題方法才會浮現。. 姜啟源(1992). 現實對象的數學模型可描述為，對於現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。而建立數學模型的全過程簡稱建模。王丹華(1997)數學建模是用數學方法求解實際問題，通常先把實際問題抽象成數學模型，再根據數學模型確定相應的演算法，最後求得實際問題的解的過程。 21.

(31) 葉其孝(1997). 數學建模就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，並應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學問題（也可稱為一個數學模型），求解該數學問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用於解決實際問題的多次循環、不斷深化的過程。. 鐘劍、簡國明、數學建模是指對現實世界的某一特定系統或特定問桂紹輝（2000）題，為了一個特定的目的，運用數學的語言和方法，通過抽象和簡化，建立一個近似描述系統或問題的數學結構(亦即數學模型)，運用適當的數學工具以及計算機技術來求解模型，最後將其結果接受實驗的檢驗，並反覆修改完善。岳忠玉（2002）. 數學模型是為一定目的而作的關於部分現實世界的抽象、簡化的數學結構。用數學解決現實問題，首先要建立數學模型，再用數學的理論方法及數學軟體系統對數學模型進行求解，得到一個結果，最後將得到的結果應用到現實問題中去，這個過程稱為數學建模。. 馬德炎（2002）. 把數學應用到任何一個實際問題中去，都需要把這個問題的內在規律運用數字、圖表、公式、符號表示出來，經過數學的處理，得出供人們作出分析、預報、決策或者控制的定量結果，這個過程就是「數學建模」。. 趙翌（2003）. 所謂「數學模型」是用數學語言對實際問題進行描述而得到的一個數學結構，建造數學模型的過程就是「數學建模」。. 二、數學建模之歷程數學建模歷程通常是由一個真實世界的情境為起始點，將現實問題瞭解後經過簡化、假設及確認目標，再藉由建模者自身的數學知識與經驗建立一個解決問題的數學模式，處理真實世界與數學表徵之間的複雜關係，形成一個建模循環的過程。以下簡略描述一些學者對於數學建模歷程所提出的看法。 22.

(32) Maki、Thompson（1973）認為數學建模的程序主要有五個步驟如(圖 2-3-1)： 1.對真實世界中訊息、情境的研究。 2.對照真實世界，盡可能形成相符的真實模型。 3.將真實模型轉變成數學模型。 4.對所建立的數學模型作詮釋。 5.與真實世界作比較，驗證所建立的數學模型。. 真實世界. 理想化. 真實模型. 近似的描述抽象化符號的表達. 比較. 數學理論結論預測. 數學模型. 圖 2-3-1 數學建模歷程，Maki and Thompson（1973）. 而 Kaiser（2005）說明數學建模過程為： 1.真實情境理想化：將真實世界的情境簡化和結構化。 2.數學化模式：將真實情境做轉化，形成真實情境的數學模式。 3.數學操作：操作數學模式，解答出數學的答案結果。 4.解釋：將數學結果置放於真實情境中做解釋。 5.評估：檢查結果的適當性，若無法滿足真實情境的問題，就必須再重複上述的過程。. 23.

(33) Burghes、Wood（1980）提到建模的過程包括有模式選取、建構、確認、分析與擴展運用等如(圖 2-3-2)。. 真實世界. 闡述真實模型. 確認模型是否有效. 數學世界. 假定模型. 闡述數學模型. 解釋答案. 解決數學問題. 使用模型去解釋、預言、決定及設計. 圖 2-3-2 數學建模歷程，Burghes and Wood（1980）. 鐘劍、簡國明，桂紹輝（2000）所提出的數學建模流程圖如(圖 2-3-3)。. 抽象、簡化、假設、設定變量、參數. 評價、推廣並交付使用，生產經濟、社會效益. 歸納數學模型. 是否符合. 數學方法求解模型、估計參數. 實際問題. 用實例相關知識檢驗模型. 圖 2-3-3 數學建模流程，鐘劍、簡國明、桂紹輝(2000). 24.

(34) 楊凱琳和林福來（2006）數學建模過程的架構與定義如下表： (表 2-3-2) 楊凱琳和林福來（2006）數學建模過程的架構與定義表數學建模過程. 操. 作. 型. 定. 零散的想法. 無關、模糊或純直覺的說明。. 清楚且完整的想法. 用此想法可合理解決問題，但不一定可一般化。. 用數學語言表達. 用到數學概念來描述情境特徵。. 解數學模式. 求出數學模式的解。. 詮釋數學解的意義. 清楚描述數學結構與情境結構的關係。. 義. 推廣和應用至其他進一步找出充分或必要條件。應用在其他非例行性問問題題。. 由以上幾位學者所提出的數學建模歷程可知，雖然有各自表述的方法，但大致上其本質與基本建模精神差異並不大，從中可以看出數學建模的歷程是循環進行的，若選擇的模式無法有效的解決問題，那麼就必須再重新啟動並開始另一次的建模循環，直到找到合適的模式。當完成了這一次的數學建模歷程之後，這時候所獲得的新知識、技巧、方法等，就成了下一次更進一步的數學建模所可以運用的新工具。而且在建模過程中，建模者也許會經歷好幾次的建模循環，也可能在建模過程中遭遇失敗，即便如此，建模者的數學知識也就在這不斷循環的建模歷程中逐漸的成長、穩固。為了更瞭解數學建模教學，首先要先瞭解數學建模的進行步驟，熟悉數學建模的進行步驟，有助於我們協助學生釐清模型，或不知如何下手的問題當中，找到一個遵循的解題原則。. 25.

(35) (一)Burgher and wood A. D.(1980)所主張的數學建模進行步驟。數學世界 □□. 現實世界. (3) 闡述數學問 1) 闡述真實的模型 (Formulate Real Model). (2) 假定模式. 題. Assumed for mode. Mathematical problem. 5) 解釋答案 6)確認模型 Validate Model. (interpret. Formulate. 4) 解決數學問題. solution). 7)使用模型去解釋，預言，決定，及設計。. (SOLVE Mathematcal problem. (Use model to explain predict ,decide. And design). 圖 2-3-4 建模流程圖在圖 2-3-4 顯示的步驟描述如下： 1.闡述真實世界的模型(Formulate Real Model): 在這個步驟中，闡述真實世界的模型與清楚確認欲解決的實際問題為何。“真實世界”的問題並非總是定義明確，這使得實際的問題不容易被陳述。 2.假定模式（Assumed for mode）: 問題在這步驟被簡化或被理想化，考慮對於真實世界的問題，哪些條件是必須? 哪些條件是可以被忽略?如：對研究問題而言什麼是基本的?什麼是不相關的？描述問題時，什麼資料必須被保留?什麼數量可以被排除? 3.闡述數學問題(Formulate Mathematical problem)：根據「假定模式」，重要特徵轉化為數學的數量，並運用數學符號建起這些數量之間的彼此的關係，轉成數學模型。 26.

(36) 4.解決數學問題(solve mathematical problem): 從「闡述數學問題」接下來，運用數學語言進行運算，從數學模型中求得的解。 5.解釋答案(Intert Solution): 將求解後獲得的答案放回到真實世界中，並解釋在真實世界中所代表的意義。 6.確認模型(Validate Model)：確認獲得的數學結果，數學解法應該與現實世界問題觀察的結果有“好的一致性”。也就是說，獲得的數學結果應該令解題者滿意。然而，如果需要修改獲得的數學結果，則重複「假定模型」~「確認模型」，建立一個新數學模型。這過程可能經過多次的循環繼續著，數學模型在每個循環裡被修改以獲得更準確的結果。 7.使用模型去解釋，預言，決定，及設計(Use model to explain, ptedict,decide, and design)：利用數學模式求得的解，對真實世界的問題提出適合的解決。本研究著重於小四學生 LEGO 融入數學建模學習活動後的建模歷程的發展，乃參酌 Burghes and Wood A. D.葉其孝、岳忠玉，袁震東與楊啟帆等人的見解，再依據建模教學的實際情形，並將建模數學流程圖修改如(下圖 2-3-5)，以探討學生發展數學建模的情況。. 數學世界. LEGO. (1)實際問題. (6)模型驗證. (7).模型應用. (2)分析簡化. (3)模型建立. (5)模型解釋. (4)模型求解. 圖 2-3-5 發展數學建模歷程圖 27.

(37) 三、數學建模與 LEGO 機器人之運作. 有人說，數學本身就是模式的科學。數學抽象本就是一種概括，一種建模的過程，用來表明一類事物或現象在數量等方面的共同特性。據此，LEGO 機器人運作模式，亦是一個模式的、模型的存在。LEGO 機器人之運作方式，簡而言之就是訊息輸入、程式設計、輸出、運作。把生活中的各種情境訊息，由感應器接收並輸入到可程式控制積木，經程式設計後，輸出到伺服馬達，進而使得機器人運作。如圖 2-3-6 所示。機器人的感應器就如同人的五官，可接收外界的各種訊息。在進行感應器的相關教學時，可以指導學生分析日常生活的各種訊息，再加以分類。瞭解碰觸、音源、光源與超音波感應器的運作原理，以及伺服馬達運作方式與零件的組合變化。. 輸出. 機器人運作. 輸入. 伺服器馬達. 可程式控制積木. 感應器. 生活物件數(學物件. 傳送. 運作. ) 圖 2-3-6 樂高機器人運作模式根據上圖可看出機器人在融入數學學習活動之時，在生活物件部份則改以數學物件，這時機器人的程式設計方面則與數學的相關概念搭配，學生一方面練習數學建模的解題，一方面運用 LEGO 機器人來測試「程式設計」是否達到期待的目標，如果測試未成功，可以重覆測試直到模型建立為止，因此融入 28.

(38) 在數學建模的解題上有事半功倍的效果。從這個意義上看，實質上數學建模與機器人的運作模式，其實有很多的共通性存在，以下是兩者相關內涵資料整理的比較(如表 2-3-3)。表 2-3-3 數學建模與機器人的運作歷程之比較表項. 目. 定. 義. 屬. 性. 解題活動. 探索活動. 結. 果. 建立數學模型. 求得程式的答案. 複雜度高. 複雜度高. 問題情境. 數. 學. 建. 模. 數學建模是指在現實世界中，為了某一個特定的目的，而將實際問題抽象、簡化成數學模型後，運用數學的語言和方法對數學模型進行求解，在反覆的假設、驗証過程後，將得到的結果回歸到實際問題。. 使用方法運用數學相關知識與能力. 機器人的運作模式簡而言之就是訊息輸入、程式設計、輸出、運作。把生活中的各種情境訊息，由感應器接收並輸入到可程式控制積木，經程式設計後，輸出到伺服馬達，進而使得機器人運作。. 運用數學相關知識與能力. 解題歷程. 動態循環目標導向. 動態目標導向. 學習對象. 中學以上學生為主. 小學生~成人皆可. 由上述的比較可以發現，兩者的屬性皆同為解題活動，問題都源自於現實生活的情境，解題的方法都必須使用所學的數學相關知識與能力。而兩者的差異主要在學習對象不同、結果訴求不同與解題歷程中一為動態循環一為單項之差別以及問題情境的複雜程度的不同，但是這些差異其實是屬於程度方面的不同，內涵其實是相似的。因此研究者認為，在小學的階段可以將 LEGO 機器人的教學融入數學建模學習活動的方式來進行實驗教學。 29.

(39) 四、數學建模之相關研究在 1970 年代，數學建模被認為是重要的數學學習概念，而且以數學建模作為數學教學與學習的相關議題也在引起國際數學教育的關注與探討。以下是將近年來有關數學建模教學的研究做整理，從中可以瞭解到建模教學的運用情況以及對於學生學習上的各種影響(如表 2-3-4)。表 2-3-4 數學建模之相關研究表研究者 Galbraith 、Clatworthy(1990). 研究結果. 研究者. 研究內涵以 secondary college 的學生（相當於我國高二、高三的學生）針對數學課程「三角學、微積分、計算和機械學」來進行建模教學，設計的課程目標除了要確認建模對學生的目標與價值外，還希望學生能學習團隊合作，在書寫和口語溝通上發展自信和能力，學習準備個人與小組報告，以及能清楚說明和捍衛自己的決定、使用方法與獲得的結論。實驗結果得知，建模教學方式對學生的個人成就是有幫助的，而從學生在問卷上的反應也可發現，他們認為建模步驟的方法架構是有效的，活動的過程也非常有趣與重要，能改變自己對數學本質的思維，對自己的解題方法與數學應用於日常生活中式很有幫助的。另外，他們亦強烈地反應出小組工作與整組討論的興趣和重要性。研究內涵. Izsak(2003). 以代數為主題內容，先選取 12 組 8 年級學生進行活動，再挑選其中一組學生作個案分析。他利用一種絞盤(winch)裝置設計活動，讓學生建模絞盤的各種現象以發展知識，。. 研究結果. 1. 能分辨「對任何自變數的值均適用的方程式」與「固定自變數為單一數值的方程式」之差別。 2. 解出後者方程式，並以所求得的解來解釋特定的現象發生時之情況。. 研究者. 研究內涵. 30.