1 多項式的乘除 3

1 ^{3 多項式的乘除}

計算下列各式：

1（－3x）•5x 2（－6x²）•3x 3（9x²）² 4 3x•7y 單項式乘以單項式時，係數與係數相乘，文字符號與文字符號相乘。

計算下列各式：

1 5x•3x 22x•（－5x²） 3（4x³）² 4（－2x）•3y 單項式乘以單項式

例

1

1 5x•3x＝5•3•x•x＝15x²

2 2x•（－5x²）＝2•x•（－5）•x²＝2•（－5）•x•x²＝－10x³ 3（4x³）²＝4x³•4x³＝4•4•x³•x³＝16x⁶

4（－2x）•3y＝（－2）•3•x•y＝－6xy

多項式的乘法

1

首先，讓我們複習指數律，做為多項式乘法運算的基礎。

指數律：若 x 為任意數，且 m、n 為正整數，則 x^m•xⁿ＝x^m＋n。 依據交換律、結合律與指數律可得：

6•2x＝（6•2）x＝12x

3x•6x＝3•x•6•x＝3•6•x•x＝18x²

（－5x³）²＝（－5x³）•（－5x³）＝（－5）•（－5）•x³•x³＝25x⁶

（－3x）•4y＝（－3）•x•4•y＝（－3）•4•x•y＝－12xy 　　由上面的例子可知，

也可用指數律

（x^m）ⁿ＝x^m×n，

（ax）^m＝a^mx^m

（－5x³）²

＝（－5）（x^{2 3}）²

＝25x^3×2

＝25x⁶

＝－15x² ＝－18x³ ＝81x⁴ ＝21xy 對應能力指標 8-a-05

配合習作 P9 基礎題 1

1 ^{3 多項式的乘除}

計算下列各式：

1 6x•（7x＋1） 2（－5x＋1）•6x

1-1 曾介紹過下面的分配律：

（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd

也可以利用此方法計算多項式乘以多項式，如（x＋3）（x ＋2）：

（x＋3）（x＋2）＝x²＋2x＋3x＋6

＝x²＋5x＋6

分配律也可以寫成直式，方法如下：

或 x ＋　 3

×） x ＋　 2 x² ＋ 3x

2x ＋ 6 x² ＋　 5x ＋ 6

x ＋ 3

×） x ＋ 2

2x ＋ 6

x² ＋ 3x

x² ＋ 5x ＋ 6 計算下列各式：

1 2x•（3x＋2） 2（x＋8）•（－3x）

多項式的單項式與多項式相乘

例

2

1 2x•（3x＋2）＝2x•3x＋2x•2

＝6x²＋4x

2（x＋8）•（－3x）＝x•（－3x）＋8•（－3x）

＝－3x²－24x

＝42x²＋6x ＝－30x²＋6x

配合習作 P9 基礎題 1

橫式

（2x²－3x＋1）（3x＋5）

＝6x³＋10x²－9x²－15x＋3x＋5

＝6x³＋x²－12x＋5 從高次項開始算：

直式

分離係數法

由於 2x²•3x＝6x³，因此積的最高項為三次，並依降冪排列得

（2x²－3x＋1）（3x＋5）＝6x³＋x²－12x＋5 2x²－ 3x ＋1

×）3x ＋ 5

6x³－ 9x²＋ 3x 10x²－15x＋5 6x³＋ x²－12x＋5

2－ 3＋ 1

×） 3＋ 5 6－ 9＋ 3 10－15＋5 6＋ 1－12＋5 計算（2x²－3x＋1）（3x＋5）的結果。

多項式乘以多項式

例

3

從常數項開始算：

直式：

分離係數法：

2x²－ 3x ＋ 1

×） 3x ＋ 5

10x²－15x ＋ 5 6x³－ 9x²＋ 3x 6x³＋ x²－12x ＋ 5

所以（2x²－3x＋1） （3x＋5）

＝6x³＋x²－12x＋5 2－ 3＋1

×） 3＋5 10－15＋5 6－ 9＋ 3 6＋ 1－12＋5

利用直式與分離係數法計算（x＋2）（3x²－2x＋5）

一般而言，從最高次項 開始算時，式子宜靠左 對齊；從常數項開始算 時，式子宜靠右對齊。

直式： x ＋2 分離係數法：

×） 3x²－2x ＋5 3x³＋6x² －2x²－4x ＋5x＋10 3x³＋4x²＋ x＋10

1＋2

×） 3－2＋5 3＋6 －2－4 ＋5＋10 3＋4＋1＋10 得 3x³＋4x²＋x＋10

配合習作 P9 基礎題 2

從高次項開始算：

直式

分離係數法

2x² ＋ 0x － 5

×）3x － 6

6x³ ＋　 0x² －15x

－ 12x² － 0x ＋ 30 6x³ －12x² －15x ＋ 30

2 ＋ 0 － 5

×）3 － 6

6 ＋　 0 －15

－ 12 － 0 ＋ 30 6 －12 －15 ＋ 30

所以（2x²－5）（3x－6）＝6x³－12x²－15x＋30 利用直式與分離係數法計算（2x²－5）（3x－6）。

缺項的多項式乘法

例

4

從常數項開始算 直式：

分離係數法：

2x²＋ 0x－ 5

×） 3x－ 6

－12x²－ 0x＋30 6x³＋ 0x²－15x 6x³－12x²－15x＋30

所以（2x²－5） （3x－6）

＝6x³－12x²－15x＋30 2＋ 0－ 5

×） 3－ 6 －12－ 0＋30 6＋ 0－15 6－12－15＋30

利用直式與分離係數法計算（2x²＋1）（x－7）。

分離係數法：

2x²＋ 0x ＋1

×） x － 7

2x³＋ 0x²＋ x －14x²＋0x－7 2x³－14x²＋ x－7

2＋ 0＋1

×） 1－ 7 2＋ 0＋1 －14＋0－7 2－14＋1－7 得 2x³－14x²＋x－7 直式：

配合習作 P9 基礎題 2

1（ a ＋b）²＝ a² ＋2• a• b＋b² 　　

　　　（5x＋4）²＝（5x）²＋2•5x•4＋4²

＝25x²＋40x＋16

2（ a ＋b）² ＝ a² ＋2• a •b＋b² 　　

　　　（x²＋3）²＝（x²）²＋2• x²•3＋3²

＝x⁴＋6x²＋9 　

3（a＋ b）² ＝a² ＋2•a• b ＋ b² 　　

（x＋2y）²＝x²＋ 2•x•2y＋（2y）²

＝x²＋4xy＋4y²

計算下列各式：

1（x＋7）² 2（6x＋1）²

3（2x＋5y）² 4（x²＋1）² 計算下列各式：

1（5x＋4）² 2（x²＋3）² 3（x＋2y）² 和的平方公式之運用

例

5

（5x）²表示 5x•5x，

結果等於 25x^2。

＝x²＋14x＋49 ＝36x²＋12x＋1

＝4x²＋20xy＋25y² ＝x⁴＋2x²＋1

配合習作 P10 基礎題 312

2（ a －b）²＝ a² －2• a •b＋b² 　　

（3x²－1）²＝（3x²）²－2•3x²•1＋1²

＝9x⁴－6x²＋1

1（a－b）² ＝ a² －2•a•b＋b² 　　

　　　（y－5）² ＝（y）²－2•y•5＋5²

＝y²－10y＋25

計算下列各式：

1（y－9）² 2（3－7x）²

3（2x－5y）² 4（2x²－3）² 計算下列各式：

1（y－5）² 2（3x²－1）² 差的平方公式之運用

例

6

＝y²－18y＋81

＝4x²－20xy＋25y²

＝9－42x＋49x²

＝4x⁴－12x²＋9

配合習作 P10 基礎題 334

1 （a＋b）（a－b）＝a²－b² 　　

（x＋3）（x－3）＝x²－3² ＝x²－9

2 （a－b） （a＋b）＝ a² －b² 　　

（x²－9）（x²＋9）＝（x ²）²－9² ＝x⁴－81

計算下列各式：

1（x＋7y）（x－7y） 2（2x²－5）（2x²＋5）

多項式的算式中有加、減、乘、除混合運算時，其運算順序與數的四則運 算相同，要先算乘、除，後算加、減。

A•C＋B＝（－x＋5）（4x－3）＋（8x²－6x＋9）

＝（－4x²＋3x＋20x－15）＋（8x²－6x＋9）

＝4x²＋17x－6 計算下列各式：

1（x＋3）（x－3） 2（x²－9）（x²＋9）

平方差公式的運用

例

7

已知多項式 A＝－x＋5，多項式 B＝8x²－6x＋9，多項式 C＝4x－3，

求 A•C＋B。

以文字符號代表多項式

例

8

已知多項式 A＝2x＋3，B＝x－5，C＝－x＋2，求 A•C＋5B。

＝x²－49y² ＝4x⁴－25

A．C＋5B＝（2x＋3）（－x＋2）＋5（x－5）

＝（－2x²＋4x－3x＋6）＋（5x－25）＝－2x²＋6x－19

配合習作 P10 基礎題 356

求右圖中藍色區域的周長及面積。

如右圖，周長為

2〔x＋（5x－9）〕＋2〔2x＋（3x－1）〕

＝2（6x－9）＋2（5x－1）

＝12x－18＋10x－2 ＝22x－20

如右圖，面積為

x•2x＋〔x＋（5x－9）〕•（3x－1）

＝2x²＋（6x－9）（3x－1）

＝2x²＋18x²－6x－27x＋9 ＝20x²－33x＋9

x 2x 2x

5x－9

3x－1

x

2x 2x

3x－1 5x－9

x

x 2x

3x－1 5x－9

求右圖中藍色區域的周長及面積。 ^x

x x＋2

1 1

5x－4

以多項式表示周長與面積

例

9

周長為

2〔x＋（x＋2）〕＋2〔x＋1＋（5x－4）〕

＝16x－2 面積為

〔x＋（x＋2）〕〔x＋1＋（5x－4）〕－x（x＋2）

－（5x－4）

＝11x²－x－2

x＋2

x

1

5x－4

我們已學習了多項式的乘法，接下來看看多項式的除法。

像數的逆算一樣，例如， 2×（　　）＝18，則（　　）＝18÷2＝9　 這種乘除互逆的關係，對於多項式也成立，實例說明如下。

1 5x•（　　）＝35x²

（　　）＝35x²÷5x

＝ 35x² 5x

＝ 355 •x^2－1＝7x

2 5x•（　　）＝7x³ （　　）＝7x³÷5x

＝ 7x³

5x

＝ 7

5 •x^3－1＝ 7 5 x²

在下列空格中填入適當的多項式：

1 5• ＝15x 2 2x• ＝6x² 3 •9x＝36x³ 4 5x• ＝ 5

2 x²

在例題 10 第1題，35x²÷5x 也可利用直式計算：

所以 35x²÷5x＝7x。

例

10

求下列（　　）中的多項式：

1 5x•（　　）＝35x² 2 5x•（　　）＝7x³

7x ...

5x 35x² ...

35x² ...

0 ...

除式

5x•7x

除數

7… ^商 5 35… ^被除數

35… 5×7 0… ^餘數

）

商式

餘式

被除式

）

在上例 35x²÷5x 的直式除法中，35x² 稱為被除式，5x 稱為除式，

7x 稱為商式，0 稱為餘式。當多項式除法的餘式為 0 時，稱為整除。

多項式的除法

2

3x 4x²

1 2 x 3x

對應能力指標 8-a-06

配合習作 P10 基礎題 4

1

2

3x ＋ 4

2x 6x² ＋ 8x － 3 6x²

8x 8x

－ 3

多項式的除法運算中，被除式、除式、商式、餘式都是多項式，且被除式 與除式採用降冪排列。

當餘式不為 0 時，餘式的次數須低於除式的次數。

如果被除式的次數低於除式的次數，則商式為 0，而餘式即為被除式。

例如：2÷3x 的商式為 0，餘式為 2。

所以（6x²＋8x－3）÷2x 的商式為 3x＋4，餘式為－3。

5x － 4 x 5x² － 4x

5x²

－ 4x

－ 4x 0

（5x²－4x）÷x 的商式為 5x－4，餘式為 0。

多項式除以單項式

例

11

求下列各式的商式及餘式：

1（6x²＋8x－3）÷2x 2（5x²－4x）÷x

6x²÷2x＝3x 8x÷2x＝4

）

...

...

...

...

8x 的次數沒有低於 2x 的次數，還要繼續除。

餘式 －3 的次數低於除式 2x 的次數，

除法直式計算到此為止。

2x•4 2x•3x

）

配合習作 P11 基礎題 51

求下列各式的商式及餘式：

1（9x²－6x＋5）÷3x 2（4x²－6x）÷（－2x）

求下列各式的商式及餘式：

1（x²－5x＋4）÷（x－8） 2（6x²－13x－7）÷（3x＋1）

二次式除以一次式（直式）

例

12

求（4x²－2x＋5）÷（2x＋1）的商式及餘式。

（4x²－2x＋5）÷（2x＋1）的商式為 2x－2，餘式為 7。

2x － 2

4x² － 2x ＋ 5 4x² ＋ 2x

－ 4x ＋ 5

－ 4x － 2 7

4x²÷2x＝2x

2x＋1

（－4x）÷2x＝－2

...

...（2x＋1）•（－2）

）

（2x＋1）•2x

3x －2 9x²－6x＋5 9x²

－6x

－6x 5 3x

）

商式為 3x－2 餘式為 5

－2x ＋3 4x² －6x 4x²

－6x －6x 0

－2x

）

商式為 －2x＋3 餘式為 0

x ＋3 x²－5x＋ 4 x²－8x

3x＋ 4 3x－24 28 x－8

）

商式為 x＋3 餘式為 28

2x － 5 6x²－13x－7 6x²＋ 2x

－15x－7

－15x－5

－2 3x＋1

）

商式為 2x－5 餘式為 －2 配合習作 P11 基礎題 52

除法也可以用分離係數法來計算。

所以（－4x²＋12x＋1）÷（－2x＋1）的商式為 2x－5，餘式為 6。

求下列各式的商式及餘式：

1（－6x²＋11x＋8）÷（2x＋1） 2（－x²＋11x－31）÷（－x＋5）

二次式除以一次式（分離係數法）

例

13

求（－4x²＋12x＋1）÷（－2x＋1）的商式及餘式。

2x － 5

－ 4x² ＋ 12x ＋ 1

－ 4x² ＋ 2x

10x ＋ 1 10x － 5

6

－2x＋1

）

2 － 5

－ 4 ＋ 12 ＋ 1

－ 4 ＋ 2

10 ＋ 1 10 － 5

6

－2＋1

）

我們也可以用分離係數法，

將左邊的直式運算記錄如下：

－3x ＋ 7

－6x²＋11x＋8

－6x²－ 3x 14x＋8 14x＋7 1 2x＋1

）

商式為 －3x＋7 餘式為 1

x － 6

－x²＋11x－31

－x²＋ 5x 6x－31 6x－30 － 1

－x＋5

）

商式為 x－6 餘式為 －1

所以（3x²＋6x＋1）÷（3x＋5）的商式為 x＋ 1

3 ，餘式為－ 2 3 。

求下列各式的商式及餘式：

1（2x²＋2x＋1）÷（2x＋3） 2（x²－12x＋5）÷（3x＋9）

二次式除以一次式（商式的係數有分數）

例

14

求（3x²＋6x＋1）÷（3x＋5）的商式及餘式。

x ＋ 1 3

3x² ＋ 6x ＋ 1 3x² ＋ 5x

x ＋ 1 x ＋ 5 3 － 2

3 3x＋5

）

分離係數法 1 ＋ 1

3

3 ＋ 6 ＋ 1 3 ＋ 5

1 ＋ 1

1 ＋ 5 3

－ 2 3 3＋5 ）

x － 1 2 2x²＋2x＋ 1 2x²＋3x － x＋ 1 － x－ 3 2

5

2 2x＋3

）

商式為 x－ 1 2 餘式為 5

2

1 3 x －5

x²－12x＋ 5 x²＋ 3x －15x＋ 5 －15x－45

50

3x＋9

）

商式為 1 3 x－5 餘式為 50

所以（x³＋3x²－5x＋1）÷（x＋1）的商式為 x²＋2x－7，餘式為 8。

求（2x³－3x²－5x＋46）÷（x＋3）的商式及餘式。

三次式除以一次式

例

15

求（x³＋3x²－5x＋1）÷（x＋1）的商式及餘式。

x² ＋ 2x － 7 x³ ＋ 3x² － 5x ＋ 1

x³ ＋ x²

2x² － 5x 2x² ＋ 2x

－ 7x ＋ 1

－ 7x － 7 8

x＋1

）

1 ＋ 3 － 5 ＋ 1 1 ＋ 1

2 － 5 2 ＋ 2

－ 7 ＋ 1

－ 7 － 7 8 1＋1 ）

2x²－9x ＋22 2x³－3x²－ 5x＋46 2x³＋6x²

－9x²－ 5x

－9x²－27x 22x＋46 22x＋66

－20

x＋3

）

商式為 2x²－9x＋22 餘式為 －20

分離係數法

1

2

所以（4x²＋1）÷（2x＋1）的商式為 2x－1，餘式為 2。

2x － 1

4x²＋ 0x ＋ 1 4x²＋ 2x

－ 2x ＋ 1

－ 2x － 1 2 2x＋1

所以（x³＋x²＋2）÷（x²＋1）的商式為 x＋1，餘式為－x＋1。

除法和乘法一樣，遇到被除式或除式缺項時，通常要補零。

求下列各式的商式及餘式：

1（4x²＋1）÷（2x＋1） 2（x³＋x²＋2）÷（x²＋1）

）

4 ＋ 2

－ 2 ＋ 1

－ 2 － 1 2 2＋1 ）

x²＋0x＋1

x ＋ 1

x³ ＋ x² ＋ 0x ＋ 2 x³ ＋ 0x² ＋ x

x² － x ＋ 2 x² ＋ 0x ＋ 1

－ x ＋ 1

）

分離係數法

1 ＋ 1

1 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 2 1 ＋ 0 ＋ 1

1 － 1 ＋ 2 1 ＋ 0 ＋ 1

－ 1 ＋ 1 1＋0＋1 ）

多項式的除法（缺項補零）

例

16

求下列各式的商式及餘式 ：

1（3x²－5）÷（x＋1） 2（x³＋2x²）÷（x²－1）

整數的除法中，我們知道「 被除數＝除數×商＋餘數 」。

例如：37÷7 的商為 5，餘數為 2，則 37＝7×5＋2。

由例題 13 的計算結果，我們檢查看看多項式的除法是不是也具有

「 被除式＝除式×商式＋餘式 」的結果。

（－2x＋1）（2x－5）＋6

＝－4x²＋10x＋2x－5＋6

＝－4x²＋12x＋1

即（－2x＋1）（2x－5）＋ 6 ＝－4x²＋12x＋1 除式 × 商式 ＋ 餘式＝ 被除式

2x － 5 － 4x² ＋ 12x ＋ 1

－ 4x² ＋ 2x 10x ＋ 1 10x － 5

6

－2x＋1

）

3x －3 3x²＋0x－5 3x²＋3x

－3x－5

－3x－3

－2

x＋1

）

商式為 3x－3 餘式為 －2

x ＋2

x³＋2x²＋0x＋0 x³＋0x²－ x

2x²＋ x＋0 2x²＋0x－2 x＋2 x²＋0x－1

）

商式為 x＋2 餘式為 x＋2

重點回顧

!多項式的乘法：利用分配律與乘法公式進行多項式的乘法。

@多項式的除法：多項式除以多項式時，先做降冪排列，再用直式算法 來演算。

#多項式的乘除法都可用分離係數法來演算，如有缺項通常必須補 0。

$被除式＝除式×商式＋餘式

被除式＝ 除式 × 商式 ＋ 餘式

A ＝ （2x－5） （3x＋6）＋ 3 ＝6x²－3x－27

已知多項式 A，A 除以 x²－3x＋1 得商式為 x＋5，餘式為 2，求 A。

被除式＝除式×商式＋餘式

例

17

已知多項式 A，A 除以 2x－5 得商式為 3x＋6，餘式為 3，求 A。

A＝（x²－3x＋1）（x＋5）＋2

＝（x³＋5x²－3x²－15x＋x＋5）＋2 ＝x³＋2x²－14x＋7

1計算下列各式的結果：

1（－5x＋3）（－4x） 2（2x＋1）（3x－8）

3（4x＋3）² 4（2x－5）²

5（5x＋4）（5x－4） 6（x＋1）（2x－1）－（x－1）²

2求下列各式的商式及餘式：

1（6y－4y²＋8y³）÷2y 2（x²＋5x＋6）÷（x＋2）

自 我 評 量 3-1 1-3

＝20x²－12x

＝16x²＋24x＋9

＝25x²－16

＝6x²－16x＋3x－8

＝6x²－13x－8

＝4x²－20x＋25

＝（2x²－x＋2x－1）－（x²－2x＋1）

＝x²＋3x－2

商式為 4y²－2y＋3 餘式為 0

4y²－2y ＋3 8y³－4y²＋6y 8y³

－4y²

－4y² 6y 6y 0 2y

）

商式為 x＋3 餘式為 0

x ＋3 x²＋5x＋6 x²＋2x

3x＋6 3x＋6 0 x＋2

）

3（16x²－10）÷（4x－1）

3已知 A 為一多項式，且 A•（4x－3）＝－20x²＋47x－24，求 A。

4已知 A 為一多項式，且 3x³＋5x²＋x＋10＝（x²＋2x＋1）．A＋11，求 A。

4x ＋1 16x²＋0x－10 16x²－4x

4x－10 4x－ 1 － 9 4x－1

）

商式為 4x＋1 餘式為 －9

（x²＋2x＋1）．A＝（3x³＋5x²＋x＋10）－11

＝3x³＋5x²＋x－1

A＝（3x³＋5x²＋x－1）÷（x²＋2x＋1）

＝3x－1

A＝（－20x²＋47x－24）÷（4x－3）

＝－5x＋8

－ 5x ＋8

－20x²＋47x－24

－20x²＋15x 32x－24 32x－24 0 4x－3

）

3x －1

3x³＋5x²＋ x－1 3x³＋6x²＋3x

－ x²－2x－1

－ x²－2x－1 0 x²＋2x＋1

）

冪的故事

　　「 冪 」原本的字義是「 覆蓋器物的布巾 」，後來引申為凡是方形的東 西都叫「 冪 」。

　　我國古代的數學典籍《 九章算術 》卷一＜方田＞中，有一段敘述：

「 廣從步數相乘得積步。」劉徽注：「 此積謂田冪，凡廣從相乘謂之冪。」

田表示平面圖形，廣指的是長方形的寬，從指的是長方形的長，步是長 度單位，積步是以平方步表示面積；因此長方形的長與寬相乘的積稱為 冪。這是「 冪 」字第一次出現在數學典籍中。

在本章課文中提到「 將計算的結果依降（升）冪排列 」，這裡所說的

「 冪 」指的是「 同一數自乘若干次 」，如 2 自乘四次，就是 2 的四次冪。

a ⁿ

底數 冪