合作學習對於國中生在幾何單元的溝通能力發展之影響

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(1) . 國立台灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士. 合作學習對於國中生在幾何單元的溝通能力發展之影響. 研究生：賴于真中華民國 104 年 6 月.

(2) 謝誌在寫謝誌的同時心中五味雜陳，感謝師大讓我有機會重持學生的角色，我很珍惜，期間更是收穫滿滿。寫完論文到了正式告別的時刻，有些不捨，但更多的是滿滿的感謝。日後我還是會努力學習，會記著當初想為學生多做些什麼的自己，會記著在上課期間老師們對於教育的堅持，我會深刻記著，並提醒自己，莫忘初衷。論文撰寫期間，首先要感謝指導教授曹博盛老師，且耐心的指導，不斷督促及勉勵。在老師身上看到從事研究的態度，老師深厚的學養以及嚴謹治學方式，在專業上給予方向的指引、提醒我在細節上陳述的要領，不僅幫助我釐清概念也給予教學上的建議，在資料分析上總適時提醒著我如何在學生身上看得多一些，進而找到幫助學生的方法。ㄧ切的一切點滴在心頭，在曹老師的身上真的學習到很多，在此獻上最誠摯的敬意和謝忱。感謝口試委員楊凱琳教授以及李源順教授。很謝謝凱琳老師在課堂及研習中帶給我專業的知識與多樣的視野，認真且可愛的老師一直是我學習的榜樣。謝謝源順老師，在百忙之中仍願意提供寶貴的意見，並細心提醒我要注意的部分。而兩位老師在口試時給予的建議與指正，使得本論文能更臻周詳。感謝暑期修課期間的好夥伴淑裕、建亨、美惠，在充滿挑戰的暑假裡，有你們的陪伴，大家努力完成的每一份作業，感覺困難好像也少一些。感謝麗惠老師、俊志老師以及建淳老師，在教學上如果我有一絲絲的成就，都是因為你們當初無私的指導，才有今天的我。很感謝在修課寫論文期間，二話不說提供協助的建華老師、淑華老師、文達老師、威仁老師、淑鏗老師、志銘老師，你們的意見及協助讓我的論文得以順利完成。感謝我人生中的摯友，孟惠、芷妤、康寧、佳惠、琬雲、佳穎、詠甯、親愛的劉先生、最愛的爸爸媽媽以及我的家人，你們是如此重要的存在著，有你們一路陪伴，我才得以成長。最後，謹將此論文獻給所有關心我的人，謝謝你們！ . i.

(3) . ii.

(4) 合作學習對於國中生在幾何單元的溝通能力發展之影響摘要研究第一部分探討合作學習教學運用於幾何單元的溝通歷程；第二部分是藉由比較數學溝通能力前後測的結果，分析合作學習教學法是否有助於培養學生的數學溝通能力。第三部對分組合作學習在教學過程中產生的困難點進行探討。一、合作學習教學運用於幾何單元的溝通歷程 (一)教師與學生間的溝通歷程:依溝通方式可分為 I(教師，口語)；II(教師，書寫)；III (學生，口語)；IV(學生，書寫)；V(教師，口語＋書寫)；VI(教師，口語＋書寫)這六類。大多發生於合作學習中的「全班授課」階段。 (二)學生間的溝通歷程:依溝通方式可分為 I(學生，口語)；II(學生，書寫)； III (學生，口語＋書寫)這三類。大多發生於合作學習中的「分組討論」階段，也有少部分出現於學生間的對話。其中(1)口語的溝通為最直接的表達方式，且能立即得到回饋。通常為單一封閉性問題，回應人數最多，亦是班級經營最主要的溝通方式。(2)口語＋書寫的溝通當中以口語配合圖形為主。為合作學習課程「教學過程」中的主要溝通方式，能有效進行開放性的問題的問答及論證及提供認知衝突。(3) 書寫的溝通則是最主要的測驗溝通方式，有其永久保存不易遺忘的重要特性，也是最需要精簡且精確表達的溝通方式。二、合作學習對學生溝通能力影響之分析進行成對樣本Ｔ檢定以及描述性統計分析和質性詮釋也顯示實施合作學習教學後對此六名學生的溝通能力是有成長的。最後再依據教學上的反思，說明其可行與實施限制，並提出改進的相關建議。三、分組合作學習在教學過程中產生的困難點以學生學習動機的維持、小組競賽公平維持、學生的團體價值三部分探討。供日後教學做為參考。關鍵字：合作學習、數學溝通能力 i.

(5) 目錄頁次. 摘要. ............................................................................................... i. 第壹章緒論 ..............................................................................................1 第一節. 研究動機與問題背景.................................................................... 1. 第二節. 研究問題........................................................................................ 3. 第三節. 名詞釋義........................................................................................ 4. 第貳章文獻探討 ......................................................................................5 第一節. 合作學習的理論基礎.................................................................... 5. 第二節. 合作學習的教學模式與實徵研究................................................ 7. 第三節. 數學溝通的意涵.......................................................................... 15. 第參章研究方法 ....................................................................................23 第一節. 研究架構圖.................................................................................. 23. 第二節. 研究場域與對象.......................................................................... 24. 第三節. 研究工具...................................................................................... 25. 第四節. 研究步驟與流程.......................................................................... 35. 第五節. 分析方法...................................................................................... 36. 第六節. 研究限制...................................................................................... 38. 第肆章分析與討論 ................................................................................39 第一節. 合作學習教學的溝通歷程.......................................................... 39. 第二節. 合作學習對學生溝通能力影響之分析...................................... 97. 第三節. 分組合作學習在教學過程中產生的困難點。........................ 146. 第伍章結論與建議 ..............................................................................149 第一節. 結論............................................................................................ 149. 第二節. 建議............................................................................................ 157. 參考文獻...... ..........................................................................................161 ii.

(6) 附錄.............. ......................................................................................163 附錄一：溝通能力測驗題目卷................................................................ 163 附錄二：課程學習單 ............................................................................... 169 附錄三：教室觀察文字稿........................................................................ 171. iii.

(7) 表目錄圖表編碼說明:各碼依次為[章-節-表的序號]。例如：[表 2-2-1]意思為此表是第貳章第二節的第 1 個附表。頁次表 2-1-1 合作、競爭、個別學習三者之比較 ............................................................ 5 表 2-2-1 合作學習教學法和傳統教學法之比較 ........................................................ 7 表 2-2-2 合作學習方法的適用範圍及特點分析 ........................................................ 8 表 3-1-1 PISA 數學解題過程與數學溝通能力架構表 ............................................. 25 表 3-1-2 數學溝通行為及對應指標 .......................................................................... 27 表 3-1-3 數學溝通能力前測試題雙向細目表 .......................................................... 28 表 3-4-1 研究步驟與流程 .......................................................................................... 35 表 3-5-1 數學溝通能力評分準則 .............................................................................. 36 表 3-5-2 各種資料編碼的意義 .................................................................................. 37 表 4-1-1 師生溝通的類型 .......................................................................................... 39 表 4-1-2 教師書寫傳達對應的溝通行為 .................................................................. 46 表 4-1-3 學生書寫傳達對應的溝通行為 .................................................................. 49 表 4-1-4 教師口語傳達對應的溝通行為 .................................................................. 55 表 4-1-5 學生口語傳達對應的溝通行為 .................................................................. 61 表 4-1-6 教師口語＋書寫傳達對應的溝通行為 ...................................................... 71 表 4-1-7 學生口語＋書寫傳達對應的溝通行為 ...................................................... 75 表 4-1-8 課堂師生溝通方式統計表 .......................................................................... 77 表 4-1-9 師生間 21 類溝通行為統計表 .................................................................... 78 表 4-1-10 學生間溝通的傳達方式 ............................................................................ 80 表 4-1-11 學生間口語傳達對應的溝通行為 ............................................................ 84 表 4-1-12 學生間書寫傳達對應的溝通行為 ............................................................ 87 表 4-1-13 學生間口語＋書寫傳達對應的溝通行為 ................................................ 92 表 4-2-1 溝通能力得分率 .......................................................................................... 97 i.

(8) 表 4-2-2 溝通行為 Wilcoxon 符號等級檢定結果摘要表 ........................................ 98 表 4-2-3 溝通行為分項得分率 .................................................................................. 99 表 4-2-4 分項溝通行為 Wilcoxon 符號等級檢定結果摘要表 .............................. 100 表 4-2-5 學生各溝通細目的答題狀況 ..................................................................... 101 表 4-2-6 學生 S3「擷取與解碼」前、後測得分率 ............................................... 102 表 4-2-7 學生 S3「解決與說明」前、後測得分率 ............................................... 104 表 4-2-8 學生 S3「詮釋與辯證」前、後測得分率 ................................................. 106 表 4-2-9 學生 S3 三項溝通行為的前、後測得分率與得分率差距....................... 108 表 4-2-10 學生 S3 測驗前、後測的分析與行為..................................................... 108 表 4-2-11 學生 S35「擷取與解碼」前、後測得分 ................................................ 109 表 4-2-12 學生 S35「解決與說明」前、後測得分率.............................................. 110 表 4-2-13 學生 S35「詮釋與辯證」前、後測得分率.............................................. 113 表 4-2-14 學生 S35 三項溝通行為的前、後測得分率與差距 ............................... 115 表 4-2-15 學生 S35 測驗前、後測分析與行為 ....................................................... 115 表 4-2-16 學生 S10「擷取與解碼」前、後測得分 ................................................ 116 表 4-2-17 學生 S10「解決與說明」前、後測得分 ................................................ 117 表 4-2-18 學生 S10「詮釋與辯證」前、後測得分率.............................................. 117 表 4-2-19. 學生 S10 三項溝通行為的前、後測得分率與差距 ............................. 121. 表 4-2-20 學生 S10 測驗前、後測分析與行為 ....................................................... 121 表 4-2-21 學生 S31「擷取與解碼」前、後測得分率 ............................................ 122 表 4-2-22 學生 S31「解決與說明」前、後測得分率 ............................................ 123 表 4-2-23 學生 S31「詮釋與辯證」前、後測得分比例.......................................... 125 表 4-2-24. 學生 S31 三項溝通行為的前、後測得分率與差距 ............................. 127. 表 4-2-25 學生 S35 測驗前、後測分析與行為 ....................................................... 127 表 4-2-26 學生 S1「擷取與解碼」前、後測得分率 ............................................. 128 表 4-2-27 學生 S1「解決與說明」前、後測得分率 ............................................. 130 表 4-2-28 學生 S1「詮釋與辯證」前、後測得分率 ............................................... 133 表 4-2-29 學生 S1 三項溝通行為的前、後測得分率與差距................................. 135 ii.

(9) 表 4-2-30 學生 S1 測驗前、後測分析與行為......................................................... 135 表 4-2-31 學生 S26「擷取與解碼」前、後測得分比例 ........................................ 136 表 4-2-32 學生 S26「解決與說明」前、後測得分率 ............................................ 138 表 4-2-33 學生 S26「詮釋與辯證」前、後測得分率.............................................. 142 表 4-2-34 學生 S26 三項溝通行為的前、後測得分率與差距 ............................... 144 表 4-2-35 學生 S26 測驗前、後測分析與行為 ....................................................... 144. iii.

(10) 圖目錄頁次. 圖 2-3-1 Shannon 的一般溝通系統原理圖 ................................................................ 15 圖 2-3-2 Schramm 溝通模型...................................................................................... 16 圖 2-3-3 Schramm 雙向溝通模型.............................................................................. 17 圖 2-3-4 溝通傳達與回饋的過程 .............................................................................. 17 圖 3-1-1 數學溝通模式 ............................................................................................... 26 圖 4-1-1 合作學習教學步驟流程圖 .......................................................................... 76 圖 4-1-2 完整的測驗的溝通迴圈 .............................................................................. 94 圖 4-2-1 數學溝通能力得分率折線圖 ...................................................................... 98 圖 4-2-2 三個向度的溝通行為前、後測得分率折線圖 .......................................... 99 圖 4-2-3 學生 S3 三個溝通向度的前、後測得分率............................................... 102 圖 4-2-4 學生 S35 三個溝通向度的前、後測答對率 ............................................. 109 圖 4-2-5 學生 S10 三個溝通向度的前、後測得分率 .............................................. 116 圖 4-2-6 學生 S31 三個溝通向度的前、後測得分率 ............................................. 122 圖 4-2-7 學生 S1 三個溝通向度的前、後測得分率............................................... 128 圖 4-2-8 學生 S26 三個溝通向度的前、後測得分率 ............................................. 136. iv.

(11) 第壹章緒論. 第壹章緒論第一節研究動機與問題背景在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，特別提到了數學溝通是需要長期及多面向關照的智能發展(教育部, 2010)。美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM）在 Principles And Standards for School Mathematics 中，更明定數學溝通為各階段學生皆須具備的過程標準(Process Standards)指標之一。經由數學溝通，想法能有效成為反思，細化，討論和修改的物件。學生用口語或書寫去解釋自己的想法時，同時學會了如何清晰並有說服力的使用他們的數學語言；聽別人的解釋則使學生有機會去發展自己的理解，而多角度的對話更能有效的幫助學生提高他們的理解程度並去連結不同想法，數學溝通和數學教育緊緊相扣，在學習過程中是相當重要的一環(NCTM, 2000)。隨著 103 年教育會考的實施，數學非選擇題的加入，教育現場深深感受學生對於數學非選擇題的慌恐，也更加凸顯出學生溝通能力的不足。不但成績不佳的學生看到數學非選題的題目敘述，便不自覺感到害怕。更有許多數學表現不錯的學生，對於如何寫出適當的解題過程感到無所適從。於是教學現場上我們常發現在數學教育中我們的學生擁有引以為傲的解題能力，可惜在缺乏討論的學習環境下，表達自己想法的能力及勇氣被疏忽，似乎也慢慢退化了。PISA(2012)的測驗分析亦指出，我國學生遇到開放性問題，的解題能力及意願不高。且回答問題無法切中要領。現代學生的思考相對靈活，想像力活躍，可惜的是基礎能力的養成常被忽略，然而沒有基礎的想像力常常淪為空想。扎實的基礎，在數學這門學科上尤為重要。畢竟一個概念不理解便易影響後續概念的形成。何謂真正的理解(陳澤民, 1985); Skemp (1987)也提到：「在做數學溝通時，必須透過符號(寫或說)，但這是表面結構；要真正理解，必須補捉到深層結構。否則永遠只捕捉到表面結構，那不是真正的理解。」因此我們需培養學生的溝通能力讓學生能有效接收別人想法及表達自己的想法，才算是達到真正的理解。在此教育環境下，我們需要深入思考要如何培養學生的溝通能力，而教師的上課方式及評量內容也勢必要有所改變。 Lave and Wenger (1998) 認為學習是在社會中能與他人協商的過程，在協商過程結合參與和物化我們因此能在其中獲得有意義的經驗。學習並不只靠課本中知識的 1.

(12) 第壹章緒論. 獲取，同時包含和他人協商互動中所產生的新的體悟。王千倖(1996)傳統的講述式教學，學生缺乏個人的思考空間，學生無法真正學習聆聽，也不能滿足學生自我表達的需要。藉由合作學習的教學，將學習主體交還給學生，並在「教學相長」過程中，使學生能更加精熟已有的知能及舊經驗並習得新知能。進行合作學習教學能讓學生有更多機會在課堂中進行與教師及同學進行討論，討論對於培養溝通能力來說是極為重要一部分。如同 Skemp(1987)提到：討論以語言幫助思考，能把自己的概念和別人的概念聯繫起來，過程中雙方可能需要修正自己的概念，以適應對方的概念或解釋自己的概念。這需要彈性而開放的心靈，以及了解自己和對方心靈影像的差異，而我們亦能藉由討論去正確接收他人想法並清楚傳達自己的想法，進而達成有效的溝通。學記曾說：「獨學而無友，則孤陋而寡聞」。在數學學習過程中交流切磋尤為重要，本研究想了解學生在合作學習教學過程中，小組成員間互相討論的過程，並進一步對學生的數學溝通行為進行分析，建立出學生間的溝通模式。深入去探討合作學習的教學方式是否有助於培養學生的數學溝通能力。並藉著發現並改善分組合作學習在教學過程中的困難點，以提升教學品質。. 2.

(13) 第壹章緒論. 第二節. 研究問題. 本研究的目的想要探討合作學習是否能提升學生的數學溝通能力。為了達成此研究目的，我們分成以下三個問題來深入探討：一、將分組合作學習教學運用於幾何單元的溝通歷程為何？二、應用分組合作學習教學法是否有助於培養學生的數學溝通能力？三、分組合作學習在教學過程中產生的困難點為何？. 3.

(14) 第壹章緒論. 第三節. 名詞釋義. 一、合作學習合作學習(Cooperative Learning) 採小組型態學習方式，是指學生一起工作達成共同的目標，此一目標不但有利於己，也有利於其他人。學生將一起學習進而擴大自己和他人的學習(黄政杰 and 林佩璇 1996)。. 二、小組討論小組討論係指一群人，聚集在同一時空下，彼此使用語言、非語言及傾聽交互溝通的歷程，達成教學目標的活動。(Gall & Gall,1976)，在本研究中，小組討論是合作學習分組活動中重要的歷程之一。. 三、溝通能力溝通能力包括接收訊息與回應訊息兩種能力，指能正確解碼別人以書寫或口語中所傳遞的數學資訊；並能以書寫或口語的形式，運用精確的數學語言表達回應自己的意思。本研究中以口語的形式來進行溝通的能力稱為口語溝通能力、以書寫來進行溝通的的能力稱為書寫溝通能力。於本研究中，將接收器官為耳朵的（聽覺）皆歸於口語溝通，包含說話、語助詞。而接收器官為眼睛的(視覺)皆歸於書寫溝通，包含肢體、文字書寫、符號書寫。. 4.

(15) 第貳章文獻探討. 第貳章文獻探討本章共分為兩節論述：第一節在討論合作學習的理論基礎，內容包含(一) 合作學習的理論；第二節為合作學習的教學模式與實徵研究；第三節在討論數學溝通的意涵。內容包含(一) 溝通的定義與特徵，(二) 溝通的模型，(三)教室內的溝通技巧。. 第一節合作學習的理論基礎一、合作學習的理論現代合作學習主張，主要奠基於社會學與心理學基礎上，以下針對社會互賴論、認知發展論及行為學習論，茲分別論述如下。 (一) 社會互賴理論的觀點社會互賴理論源於 1900 年代初期完形心理學派創始人卡夫考(Kurt Kafka)，他提出團體是一個動態整體的理論，認為團體之中互賴有其差異性。1920 年代和 1930 年代，勒溫(Kurt Lewin)主張團體的本質是其成員基於共同目標而形成的互賴，此一互賴促使團體成為一個整體，若團體中任何成員或次團體的狀態改變，將會影響其他成員或其他團體產生改變。1940 年代晚期，Deutsch 從目標結構建立合作和競爭的理論。他定了三種目標結構(Slavin, 1990)： 2. 合作的目標結構：個人目標努力可協助他人獲得目標。 3. 競爭的目標結構：個人目標努力會妨礙協助他人獲得目標。 4. 個別的目標結構：個人目標努力與他人獲得目標無關。 Johnson&Johnson(1994)將這三類的目標結構進一步做了比較，如表 2-1-1(林佩璇 & 黃政傑, 1996) 表 2-1-1 合作、競爭、個別學習三者之比較. 1. 學習目標. 2. 教學活動. 合作 ·目標是重要的。. 競爭 ·目標對目標對學生而言並非最要的，他們關心的是輸贏。. 個別 ·目標目標和個人是一樣重要的，每個人，每個人期望最後能達到自己的目標 ·適用於任何適用於任 ·著重於技巧的練 ·簡單的技巧簡單的何教學工作，越愈複習、知識的練習和技巧或知識的獲雜愈抽象的工作愈需記憶。得。 5.

(16) 第貳章文獻探討. 3. 師生互動. 4. 學生互動. 5. 學生和教材間的關係 6. 學習的空間安排 7. 評鑑. 要合作。 ·師生互動是雙向的。 ·教師是教師是協教師督導，參與學習小助、增強、回饋、組以教導合作技巧。和支持的主要來源。學生處於被動地位。 ·鼓勵學生互動、幫 ·依同質性組成小助、與分享，是一種積組公平競爭，是一極的互賴關係。種消極的互賴。 ·依課程目標安排教 ·為小組或個人為材。小組或個人安排教材。 ·小團體 ·學生在組內學習 ·標準參照，以既定標準比較. ·常模參照，相互比較。. ·教師是教師是協助、增強、回饋、和支持的主要來源。學生處於被動地位。 ·學生間沒有互動。. ·教學的安排及教材純粹為為個人而做。 ·有自己的作業空間。 ·標準參照。標準參照。. (二) 認知理論的觀點：認知理論則不管團體是否設法去獲得一團體的目標，轉而強調工作本身產生的效果。可分成以下兩大理論來探討： 1. 發展理論(Development Theories)： (1)皮亞傑派的理論假定，當個人在環境中進行合作時，產生了社會認知上的衝突，進而導出認知不平衡現象，此一現象倒過來激發個人認知上的發展。 (2)維高斯基派的理論認為知識具有社會性，經由合作的學習、理解和解決問題而建構起來。 2. 認知精緻化理論(Cognitive Elaboration Theories)：指出若要保留與記憶中相關的資料，則學習者必須就材料作某種認知的建構及精熟。而最有效的方法，乃是解釋教材給別人聽，在表達與傾聽的過程中，不僅利於被指導者，更有利於指導者。 (三) 行為學習論的觀點此理論著眼於團體增強物和報酬對學習的影響，假定學習行動受到外在報酬和增強便會反覆出現。所以提供合適的刺激環境、增強、回饋、及酬賞是建立學習行為的重要因素。(黄政杰 and 林佩璇 1996). 6.

(17) 第貳章文獻探討. 第二節合作學習的教學模式與實徵研究（Artzt, Newman,1997）指出合作學習中，團隊工作是最重要的事，但所謂的合作學習不只是把學生分成小組去解決問題，不是只讓學生團體坐在一起，卻各自解著題目、或讓一個人做所有的工作。真正的合作學習需要老師作為引導，幫助學生了解團體的動態，並培養他們合作學習需要的技能，以及藉由團體工作去學習數學．合作學習充分利用了學生間同儕的存在，鼓勵學生與學生的互動，並建立團隊成員之間的相依共棲(symbiotic)關係。也就是在合作學習中，每個小組成員必須對其學習任務有明確的認知，對共同目標有認同感，各組成員才能真正投入。合作學習的教學方式與傳統單向傳授的演講是教學法有很大的差異，以下簡要比較涼者的差別，如表 2-2-1 表 2-2-1 合作學習教學法和傳統教學法之比較合作學習教學法傳統教學法 1. 相需相成互動較多 1. 沒有相需相成的關係 2. 強調各別的績效 2. 不講求個別的績效 3. 異質性的小組組成 3. 同質性小組組成 4. 分擔式領導 4. 指派式領導 5. 分擔責任 5. 自行負責 6. 強調工作及關係的維護 6. 強調工作 7. 直接教學生社會技巧 7. 假定社會技巧與生具有而不予重視 8. 教師觀察和介入 8. 教師忽略團體操作 9. 小組檢討績效 9. 沒有小組檢討資料來源：(Johnson＆Johnson，1987 ; 張酒雄, et al.2003) 一、合作學習的教學模式針對數學科適用的合作學習的教學模式主要有小組成就區分法(STAD)，小組輔助個別化學習法(TAI)，小組遊戲競賽法(TGT)，共同學習法(LT) 各種方法均有其適用的範圍及特點，如表 2-1-2，以下為各種模式進一步的介紹。. 7.

(18) 第貳章文獻探討. 表 2-2-2 合作學習方法的適用範圍及特點分析方法小組成就區分 (STAD). 適用範圍年級學科國小~高中成任何有單一正確人答案的學科. 小組輔助個別化學習法(TAI). 國小 3~6 年級. 數學科. 小組遊戲競賽法 (TGT). 國小~國中. 任何有單一正確答案的學科. 共同學習法(LT). 國小高年級~ 高中. 數學、科學. 特點 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4.. 經常性的小考提供師生立即性的回饋以進步分數鼓勵學習適用於大部分學科滿足學生的個別差異教材完整提供練習技巧有效增進數學技巧學生享受競賽的樂趣提供公平競爭的機會適用於大部分學科強調建構合作學習環境重視互動、團體歷程教導合作技巧以團體作業方式進行，共同完成並呈現團體學習成果. 資料來源：林佩璇,民 81;Slavin,1995 (一) 小組成就區分(STAD) 小組成就區分法(Student’s Team Achievement Division；簡稱 STAD)，1978 年由 Slavin 所發展，STAD 是課堂上最容易實施的一種，適合於初次嘗試使用合作學習者，因為它所使用的內容、標準和評鑑均和傳統方法沒有太大的差異，尤其適用於教材涉及學生不熟悉的內容，需要老師清楚講述的單元。其教學流程說明如下：(張酒雄, 張新仁, & 邱上真, 2003) 1. 全班授課：教師以講述法直接進行教學或引導課堂討論。亦可利用視聽媒體紹教材內容。 2. 分組學習：教師依學生的能力水準、性別或其他社會背景、心理等特質，將學生分成四至五人的異質小組，以同儕指導的形式一起學習，通常教師會提供作業單或其他教材，讓小組同學共同討論問題、完成作業單、比較作業答案，並互相訂正錯誤，以建立正確觀念。小組成員必須一起學習以精熟單元教材，共同完成學習目標。 3. 實施測驗：教師進行教學及小組練習後，每位學生必須進行個別小考，以評鑑其學習成果。在小考中成員不得互相幫助，每位學生都必須為自己過去所學的負責，此外，亦可以小組表演、報告等其他方式作為評鑑方式。 4. 個人進步分數：進步分數是每位學生的「小考分數」減去各自的「基本分數」 8.

(19) 第貳章文獻探討. 而得。通常以每位學生過去的成績紀錄作為「基本分數」，將每次合作學習的「小考分數」與「基本分數」之間的差距分數換算成「積分」。同一組每位成員的進步積分平均數即代表小組分數。 5. 小組表揚：對於優秀小組和表現優異的個人，教師可利用獎狀、獎賞、班級公佈欄獲班刊等方式，以表彰表現優異的個人和高積分的小組，同時也可以考慮將小組分數作為學生學習成績的一部分。 (二) 小組輔助個別化教學法(TAI) 小組輔助個別化教學法(TAI)結合了合作學習與個別化教學，是 Slavin 於 1985 年為三~六年級數學而設計。試圖以合作學習小組的團體獎勵結構，來解決個別化教學諸如班級管理或學習動機等方面的問題，以使教師有更多時間來教導學生，並處理學生學習差異的難題，而不必浪費太多時間於班級管理上，其實施步驟如下(Slavin,1995)： 1. 分組：建立四人至五人的異質性小組。 2. 安置測驗：在學習前先進行安置性測驗，以配合各別化方案，了解學生的起點行為，來決定每位學生學習個別化的編序單元教材。 3. 學習教材內容：學生在自己的小組內，依數學教學單元學習手冊，進行自我教學。 4. 小組學習：每次上課中，教師會召集各小組相同程度學生組成教學小組．利用十至十五分鐘時間進行同質組教學，介紹一些主要概念並幫助學生解決問題。在小組研究時間，小組成員使用答案單檢查彼此的習作與練習測驗，共同討論問題，並幫助其他成員精熟學習內容，每一位學生必須通過形成行測驗後，才能進行單元測驗。若未能通過，教師則再進行測驗、訓練與補救教學。 5. 小組評分和表揚：在每週的單元學習後，以合作學習每位學生最後的單元測驗分數平均作為小組分數，以決定優勝小組，給予獎勵和表揚。 6. 全班性的單元教學：每三週進行一次，教師停止個別化教學，進行為期一週的全班教學，以綜合整理學習單元。 (三) 小組遊戲競賽法(TGT) 小組遊戲競賽法(TGT)是由 DeVires 和 Slavin(1978)所發展的，其實施方式與 STAD 相似，除了以學業遊戲競賽代替 STAD 中的個別小考，以能力系統取代進步分數外，其餘有關小組的組成、教材的學習以及獎勵的方式等教學流程，皆與 9.

(20) 第貳章文獻探討. STAD 類似(Slavin,1990,1995)。在教學活動進行前，教師須事先準備教材、進行分組和分配競賽桌，以利教學實施，其教學步驟如下： 1. 全班授課：教師以講述法直接進行教學或引導課堂討論。 2. 分組學習：教師依學生的能力水準、性別或其他社會背景、心理等特質，將學生分成四至五人的異質小組，以同儕指導的形式一起學習。 3. 學業遊戲競賽：學業遊戲競賽是以該學習單元教材為內容，以測驗學生的學習成就。每位學生依其程度與程度相當的小組同學競賽，採跳桌方式進行。 (bumping)。 4. 個人進步分數：將個人所得分數轉換成團體分數，以決定優勝小組予以獎勵。 5. 小組表揚：對於優秀小組和表現優異的個人，教師可利用獎狀、獎賞、班級公佈欄獲班刊等方式，以表彰表現優異的個人和高積分的小組，同時也可以考慮將小組分數作為學生學習成績的一部分。 (四) 共同學習法(LT) 共同學習法(LT)是由 Johnson 兄弟於 1975 所發展出來的合作學習策略，是最簡單的合作學習法，應用上相當普遍。學生依據教師分派的工作單一起學習，而後每小組繳交一份代表成員努力成果的工作單，以此作為小組獎勵的依據。特別強調共同學習前的小組建立(team-building)，以及小組運作中的團體歷程。1984 年 Johnson 兄弟修改上述方法，並將之稱為「學習圈」(circles of learning)，小組成員彼此分享資源和互相幫助，考試成績採個別計算，當小組整體表現或成員個人表現達到預設標準，即可獲得獎勵，小組間的關係可以是競爭也可以是合作。有 18 項教學策略，供教師依教學的情境與需要，調整、選擇合宜的步驟與策略 (Johnson&Johnson,1994) 1. 說明教學目標：在上課之前，教師應向學生說明學業目標和合作技巧目標，幫助學生了解學習所應達成的目標。並依學生的程度水準，選擇適當的教學主題和作業內容。 2. 決定小組人數：依時間、學生的合作技巧、教材及其他因素來決定。一般而言小組人數以不超過六個人為宜，小組人數多可分享更多的資源，互動也更複雜，也就更需要團體歷程技巧。小組人數少則每位學生能參與到的討論時間會更多。 10.

(21) 第貳章文獻探討. 3. 進行分組：為增進學生的思考、專注學習行為，以異質性分組為佳，並維持較長期的分組方式。 4. 安排教室空間：小組座位安排方式以便於討論和取得資源、不相互干擾討論，且便於教師到各組參與為原則。 5. 規劃教材以增進相互依賴：教師須妥善規劃教材，通常可藉由教材互相依賴、資源互相依賴以及組間競爭的互相依賴等三種方式促進互賴關係。 6. 分派角色以增進相互依賴：為有效達成小組目標，可分派每一成員一角色(例如報告者、協調者、觀察者、紀錄者等)，以協助組間成員產生積極的互相依賴。 7. 全班授課：教師以講述法直接進行教學或引導課堂討論協助外，應經常評量每位學生的表現水準。 8. 建構組間合作:藉由每一小組的合作方式，推展至組間的合作和全班性的合作。當有小組完成任務時，教師應鼓勵該小組去幫助其他小組完成任務。班上所有小組都達到預定的目標時，教師應給予全班鼓勵。 9. 界定成功的標準:課程開始，教師即應提出評量學習成果的標準，並解釋清楚，而評量必須是客觀、標準參照，且是合理可接受範圍。 10. 界定理想的行為:教師必須具體的界定學生在學習小組中，適當而理想的合作行為，並指導學生表現出理想行為。 11. 督導學生的行為:合作學習開始進行時，教師必須透過各種方式，如觀察，來督導學生合作地完成指定的工作。 12. 提供作業上的協助:各小組的學習有困難時，教師宜用較具體的說明，澄清教學，答覆問題，鼓勵討論以增強其學習效果。 13. 介入教導合作的技巧:除開始進行合作學習的合作技巧教導外，在實際運作時，若學生仍欠缺合作的技巧，教師可以適時介入，提供有效的社會技巧，協助學生有能力解決困難，但避免直接替學生解決問題。 14. 提供課程單元的總結:課程結束，可由師生共同整理所學的教材;或由教師整理教材重點，並由學生回憶或舉例說明等方式來統整教材重點。 15. 從質量兩方面評量學生的學習:合作學習特別重視合作技巧的學習與運用，因此學習成效的評量除學習成就的評量外，亦應評量其合作技巧。評量方式，除傳統的紙筆測驗外，應特別注意質的評量，以了解學生真正的學習效果。 11.

(22) 第貳章文獻探討. 16. 評估團體運作的績效:任何合作學習小組都有兩個主要目標，其一為成功地完成工作，其二要建立與維持良好的工作關係。因此教師可就此兩項來評量學生的團體運作情形，並給予適當的指導。二、不同的教學方法對於數學學習成效的影響大部份研究指出，不同合作教學方法對數學學習成效都各有正面的影響，張慧淳 and 林曉芳 (2013)，以 STAD 教學法進行準實驗教學研究。探討其對於五年級「數與量」單元，學生數學學習成就之影響，結果顯示實施 STAD 對學習成就有助益。張景媛 (1996)以統整式合作學習進行教學研究，研究學生生手、學生專家與教師專家面對幾何題時的概念基模，結果發現統整式小組合作學習的方式有助於學生生手澄清一些錯誤概念，並能共同構想不同的解決問題的方法，增加學生解決問題的信心。而小組間的競賽可增進小組內成員共同努力以達成目標的精神，有助於學習的成效。三、合作學習的共同特徵 Artzt and Newman (1997)曾提到，合作學習不是只把學生分成小組去解決問題。學生團體在小組中，各自解著題目或讓一個人做所有的工作皆不算合作學習。而合作學習有許多不同的技巧，然而他們都有一些共同的元素，讓學生實際於團體能夠合作的工作：(1)團體成員必須有著共同的目標，(2)小組成員需了解，他們需要解決的問題，成功與失敗都為所有的小組成員所共享，(3)為了完成團體的目標，所有學生必須談話並共同討論所有的問題，(4)必須清楚每個成員個人的工作對團體的成功有著直接的影響。合作學習充分利用了學生間同儕的存在，鼓勵學生與學生的互動，並建立團隊成員之間的相依共棲(symbiotic)關係。王千倖 (1997)也整理出的五個特徵，分別為(1) 正向的相互依賴(Positive interdependence) 、(2)個人學習績效(inditidual accuntability)、(3) 合作技巧（cooperative skills）、(4)面對面的互動(face-to-face promotive interaction) 、(5) 學生的反思(student reflection)。張慧淳、林曉芳(2013)於研究中也顯示，進行合作學習教學一開始並非立竿見影，待實驗教學一段時日後，其成效才顯現，如簡妙娟（2000）所指，合作學習法是需待學生建立互賴與互動，培養有效合作技巧後，才能真正發揮合作學習的成效。三、成員的參與成員是如何參與其中，使得學習有所成效，也是許多研究中十分關注的議題，如同，林佩璇 and 黃政傑 (1996)明確指出，在合作學習中，每一位學生都有兩個責任，一 12.

(23) 第貳章文獻探討. 為學習分配的材料，其二為確保所有小組成員學會。王岱伊 and 孫春在 (2001)觀察學生小組合作採用的策略分成四種類型，分別為(1)領導型(leader)、(2)平行進行型 (parallel)、(3)放任型(laisser,arbitrary)、(4)競爭型(competivitive,competing)。研究發現其中「平行進行」型。而真正的合作學習需要老師作為引導，幫助學生了解團體的動態，並培養他們合作學習需要的技能，以及藉由團體工作去學習數學。合作學習的過程一再強調學習中參與的重要，學習不止有能力的方面，也包含了有意義的經驗。四、學習動機對於學習成效的影響張景媛 (1996)認為在動機訓練上，提升學生對數學學習的動機與價值觀是相當困難的事，因此不能立即要求學生立即達到此目標，應從讓學生能嘗試學習數學，進而從學習中發現數學學習的樂趣。當學生真正感受到數學學習的樂趣時，學生便具備持續努力、克服困難的能力。五、合作學習對學生互動行為及社會技巧的影響石兆蓮 (2001)的實驗結果發現合作學習能增進兒童的溝通能力，研究者認為合作學習提供面對面互動的機會，而合作學習採異質分組的方式，成員可以互相學習。而合作學習課程中需要積極互賴，為了達到小組任務小組任務，增加成員彼此有效溝通的練習機會，也因此提升兒童的溝通表達能力 Ryan and Pintrich (1997)研究指出能力和學業成績與他們在數學課堂尋求協助的態度關係，對認知與人際較沒有自信的學生當尋求同儕同儕協助時比較容易感覺到容易改覺到威脅，也更容易避免尋求協助。但如同許多人(Karabenick & Knapp, 1991; Nelson Le-Gall, 1985; Newman, 1990, 1994).指出在學習長期的環境下，不尋求幫助所付出的成本可能很高(不論是學習過程或學習過程或成績表現)，，學生在乎當他們尋求協助時其他同儕的看法。故教師需試圖培養、鼓勵學生積極提問。 Larson(1999)使用紮根理論，訪談六名高中社會科教師，得到課堂討論通常有兩個目的，(1)期望學生藉由討論進入教材與同儕一起討論學習，(2)習得溝通的能力。這些教師也相信討論是讓學生學會使用(use)、應用(apply)以及評價(evaluate)訊息的方式之一。然而必須建立學生對與題材的知識，因為學生必須有關於主題的知識，才能談論他。也因此為了能夠建立知識，學生必需要理智的討論。也就是說，主題必須是能引起學生興趣的，同時討論也能引起學生動機，因為學生覺得他的聲音是被聽見的。本研究亦針對其所關注的兩這個主題:(1)建立題材知識與(2)提高學生討 13.

(24) 第貳章文獻探討. 論的技能和能力進行教學中的觀察。. 14.

(25) 第貳章文獻探討. 第三節數學溝通的意涵這一節的文獻探討分成三個部分：(一) 溝通的定義與特徵，藉此了解溝通的特質;(二) 溝通的模型，藉此了解溝通所需要包含的部分為何，藉此提出有效溝通的建議;(三)討論數學教室內的溝通技巧;(四)溝通能力相關的實徵研究 (一) 溝通的定義與特徵數學看作一種語言。數學溝通旨在幫助學童建構從非正式、直覺的概念到抽象語言和數學記號的關聯。表徵、談、聽、寫、讀是主要的數學溝通技巧且應當看成數學課程的一部分。探索問題鼓勵思考，用口語或書寫解釋他們的思考，幫助他們更清楚了解他們要表達的觀念(張靜嚳,2000)。芝加哥大學教授 Lasswell (1948)指出溝通行為包含了(1)誰(Who)、(2)說了什麼 (Says What)、(3)透過什麼管道(In Which Channel)、(4)向誰(To Whom )、(5)產生什麼效果 (With What Effect)。整個溝通行為中傳達者需清楚所要傳達的訊息，並考量誰為接收者以及傳達過程中所使用的管道，並於最後觀察溝通所產生效果。 (二) 溝通的模型 1、 Shannon 的溝通模型 Shannon's 1948 則進一步給予溝通過程一個簡單的模型，如圖 2-3-1。成為最早也最有名的溝通過程模型，並與 Weaver 於 1949 年數學溝通理論一書中擴大此溝通模式的觀點，奠定了溝通的基本要素。資訊來源. 訊息. 發送器. 接收. 訊號. 圖 2-3-1 Shannon 的一般溝通系統原理圖. 訊號. 接收器. 訊息. 目標. 干擾. 資料來源：“A Mathematical Theory of Communication ,” by C. E. Shannon, 2001, Reprinted with corrections from The Bell System Technical Journal,P.2. 將溝通的過程分解成「資訊來源（傳達者）、「發送器（傳達方式）」、「管道」、接收器（「接收方式」、「目標（接收者）」五個部分，依據這個模式，溝通是從最邊到最右邊結束的一個簡單過程，由資訊來源（指傳達者）選定了一些想傳達的訊息。把訊 15.

(26) 第貳章文獻探討. 息透過發送器，以面對面而言可以為嘴巴(傳達聲音)、肢體(傳達手勢) 等方式，使訊息傳達出去，變成訊號，訊息的傳播方式可能並行、且有者多樣的傳達方式。而中間最小為標記框處為傳播的管道，常用的管道有空氣、光、電、紙，和郵政系統等。接收者則以耳朵(聲音)與眼睛(手勢)等接收方式、將信號轉化成訊息傳達至目的（接收者），而在傳達的過程中，可能會遇到的一些問題或誤解，稱為干擾。(Shannon, 2001) Shannon 和 Weaver 的溝通模式雖然是以數學模式來說明數據資訊的傳播，但廣泛被使用發展於其他傳播模式和理論上，對溝通有著相當深遠的影響。 2、 Schramm 和 Weaver 的溝通模型此 Schramm (1954) 依據 Shannon 和 Weaver 的概念，指出溝通除了應包含傳達者的傳達三大基本的元素：來源、訊息與目標，並畫下了一個溝通簡單的形式，指出溝通迴圈中，共同經驗領域的必要性，如圖 2-3-2。. 圖 2-3-2 Schramm 溝通模型資料來源：The process and effects of mass communication(p.6), by Schramm, Wilbur, 1954, University of Illinois. Schramm 的溝通模型中包含了經驗領域，以兩個體嘗試溝通為例，溝通時首先來源被編碼經由目的地而解碼，編碼與解碼的過程中均需要有共同的經驗領域（例：若我們沒有學過俄羅斯語，我們是無法使用這種語言進行編碼或解碼的，而經驗領域的交集部分越多，則溝通將會更容易，但若傳達者與於接收者沒有共同的經驗領域，溝通便不可能發生。 Shannon 與 Lasswell 的溝通皆為單向直線的傳達過程，忽略了「回饋」的問題，然而 Schramm 認為溝通 communication 源自於拉丁文 communis，意思是建立彼此的共同性，溝通的本質應為當我們試圖分享訊息、想法及情感的過程中傳達者與接收者對於訊息所產生的共識，因此在整個過程中，不該只是單向的傳達，還需要包含訊息的回饋。因此 Schramm 進一步增加了回饋這個元素，他參考了 Osgood 的圖示， 16.

(27) 第貳章文獻探討. 提出了雙向的溝通模型，如圖 2-3-3。. 圖 2-3-3. Schramm 雙向溝通模型. 資料來源：The process and effects of mass communication(p.8), by Schramm, Wilbur, 1954, University of Illinois. 在溝通模型中包括了「回饋」的現象，回饋為溝通進行中對方回覆的反方向的溝通過程行為，它可以是當我們試圖說服對方時，聽到對方的口語回應：「是的，你說得對」;可以是對方點頭表示讚同的動作甚至可以是對方困惑的表情，藉由回饋我們可以得知傳達的訊息如何被解釋，而一個經驗豐富的傳達者會時刻注意對方的回饋，並依回饋的狀態時刻修正所傳達的訊息，整個溝通過程中，回饋擔當了很重要的角色。而在溝通過程中，除了接收者給予傳達者的回饋外，傳達者亦由自己所傳達的訊息得到回饋，Schramm and Roberts (1971)進一步描繪出此過程，如圖 2-3-4。回饋. Ａ. 干擾. M. B. 回饋圖 2-3-4 溝通傳達與回饋的過程資料來源：The process and effects of mass communication(p.27), by Schramm, Wilbur, 1971, University of Illinois 17.

(28) 第貳章文獻探討. 總結上述溝通模型，研究者將其歸納出： (1) 溝通所需考量的五大的基本元素為傳達者、所需傳達的訊息、傳達的管道、接收者、接收到的訊息。 (2) 溝通的本質為溝通過程中傳達者與接收者對於訊息所產生的共識。 (3) 溝通過程中，為了能夠正確的對訊息進行編碼與解碼，傳達者與接收者間共同的經驗領域越大越有利溝通的進行。 (4) 在傳達與回饋中，接收者與傳達者彼此修正想法，溝通為一個動態的過程。 (5) 傳達者除了由接收者得到回饋外，亦可從自己傳達的訊息中得到回饋。 2.. 數學溝通所謂數學溝通，即將數學看作一種語言。數學溝通旨在幫助學童建構從非正式、. 直覺的概念到抽象語言和數學記號的關聯。表徵、談、聽、寫、讀是主要的數學溝通技巧且應當看成數學課程的一部分。探索問題鼓勵思考，用口語或書寫解釋他們的思考，幫助他們更清楚了解他們要表達的觀念(張靜嚳,2000)。 PISA 在評量架構中亦將溝通視為數學涵養的一部分，透過閱讀、解碼和解釋語句、問題、任務或目標使個體澄清(Clarifying)、形式化(Formulating)以形成心理模型。溝通能幫助建構從非正式、直覺的概念到抽象語言和數學記號的關聯，是理解重要的一個過程。Mogens Niss & Tomas Højgaard(2011) 於 Competencies and mathematical learning 則明列數學溝通能力為能夠研究和解釋他人的書面，口頭或視覺數學表達或文本，並且能夠以不同的方式及水平對不同類型的觀眾精確表達自己的數學理論問題和技術。溝通能力著重在一般是如何在數學情境中溝通、以數學作為工具溝通以及使用數學溝通數學。（communicating in, with and about mathematics）。與數學表達能力、符號化與形式化能力三種能力都是獨特的，但能力之間卻彼此交集緊密相關。數學表達能力，強調數學本質或現象實際的表示，被視為以語意為主的活動。符號化與形式化能力，凸顯了符號語言與形式化系統(公理理論)，被視為以語法為主的活動。除了表達和符號化與形式化能力外，接收者和傳達者之間的相互影響為數學 NCTM (2000)則將數學溝通明定為針對從幼稚園到九年級所擬定的課程標準指標之一，認為溝通為數學及數學教育中不可或缺的部分，學習應該提供學生提身溝通能力的機會，提出了以下的溝通能力指標，希望在教室內能達成： (1) 能藉由溝通能組織並鞏固學生的數學想法。 18.

(29) 第貳章文獻探討. (2) 能溝通使數學想法更清楚且連貫的表達給同儕、教師及他人。 (3) 能分析並探討數學想法及策略。 (4) 能使用數學語言精確的表達其數學想法 3. 溝通的方式 NCTM：教師在數學教學和學生學習上須強調溝通-說和寫-指出，許多學生數學思維是藉由聽取同儕的想法而建立的。而把想法變成文字能夠幫助幫助學生澄清他們的想法。教師從學生的討論中能共容易發現學生的誤解(而非保持不說話)。一個互相尊重、且投入的對話中，學生可以從與他人對話中，澄清自己的想法以及學習。而溝通能力是指一方面能理解、並解釋他人由書面(written)、口語(oral)或視覺(visual) 的數學表徵或“文本”給予的訊息，一方面能藉由書面、口語或視覺不同的方式精確表達不同層次的理論或技術。書寫、口語以及視覺(肢體)的使用使得溝通在數學上有著多樣的表現形式，也因此溝通能力和其他能力緊密相連。溝通常使用數學符號和術語，因此與符號及形式化的能力有著緊密的鏈結。然而溝通發生在接收者與傳達者之中以及他們的情況、環境跟先決條件都必須與目的(purpose)、訊息(message)和媒介(media) 一同被考慮，而數學溝通不一定包括特定的表現形式。由發送者和接收者發出訊號、接收訊號，以及之間的溝通發生其的情況下，的背景和前提條件需要被考慮為在相同的方式，目的，消息和媒體通信。也有理由需要注意數學溝通不一定需要包括代表特定的數學形式。數學活動中書面或口頭的陳述可以作為的溝通能力表達，例如，能夠說明一個數學中的考量，例如，能夠解決當中的問題，在數學之中解碼、闡釋。例如，在一本教科書或在講座中，作為它是什麼的例子是在連通的接收端競爭力。進入到與其他人討論數學的能主題還需要連通能力。一個可以，例如，教科書或演講中接收到的、例如‧．與他人討論數學主題也需要溝通能力。面對面的溝通也有很多形式，有一對一的會面，也有小組的會面，面對面的一大優點體現在速度上，傳遞訊息時，訊息的發送者和傳遞者不存在任何停滯。訊息的發送者更易控制訊息的傳遞，發送者可以可以時刻留意到接收者的訊息接收情況。第三個優點是發送者可以立即得到接收者的反饋。書面溝通除了具有永久性的優點，相比較口語表達，他更易於被理解‧．如果傳遞的書面訊息比較複雜，那麼訊息的接收者可以通過多次的閱讀加以理解，他更易於被理解‧．一遍不行，那就休息一會以後再重新研究，直到完全理解，而者在一次性的口 19.

(30) 第貳章文獻探討. 頭傳遞中是無法做到的。書面溝通不易犯錯，口頭溝通即使事先排多遍‧．可能還是不如預期的小果理想，此外，口頭溝通的自發性也是造成錯誤的原因之一。如果你是通過文字記錄你想表達的意思，就不會發生這樣的情況，因為你可以有足夠的時間反覆思考你這樣的表達是否正確。(施宗靖, 羅納德,2006). 4.. 數學教室內的溝通技巧我們將數學教室內的溝通技巧進一步分成教師與學生間的溝通技巧與學生間的. 溝通技巧兩部分作為探討。 (1) 教師與學生間的溝通技巧. Niss and Højgaard (2011)指出師生溝通時，教師必須能夠理解和解釋學生從書面和口頭不同的表達方式，包含語言的運用、理論水平以及精確度。第二，教師必須視教學情況，能適時表達自己的的數學事件，並變化書寫、口語或視覺方式，以適合學生的方式、不同的情境以及教學事件，這個變化可能包含專業的術語、精確的程度、文本、語言、視覺插圖的組合或轉變，以及其他形式的表達。此外老師能藉由不同的溝通方式和教學形式幫助學生發展及增進學生的溝通能力是很重要的。 (Larson, 2000) ，探討教師如何使用討論的技巧引導學生學習知識的技巧引導學生學習知識並學得討論的技能。使用課堂討論，學生的推理變得更複雜、更精密也更可辨別數學。學生們能夠替他們的問題解決方案做出更明確的解釋。語言變得更加精確，溝通能力也顯著提高‧．提出和回答反應數學的興趣不斷增長以及以及越來越多的能力去思考數學問題。提出了幾點原因幫助學生的數學思考與學習： (a) 談論數學的概念以及程序的以及程序的同時，教師可藉由學生表面所犯的錯誤去確認學生的理解與不理解。 (b) 談話的形式，例如擴展出的小組討論，幫助學生增加邏輯思維能力，當一個學生提出一個主張，教師會教師會要求證據去支持這個說法。提供實例或反例支持你的理由。經過四年的研究，產生了明顯的影響。 (c) 讓學生去說他們的想法以及解決問題的方法，給予他們機會去觀察和傾聽，以及更多機會參與到數學思維。迫使他們提升不完整、薄弱以及被動的知識，在溝通中使他們意識到彼此思維的差異。 (d) 課堂的討論課堂的討論了學生動力，同儕的主張及立場讓學生更有動力及興趣及 20.

(31) 第貳章文獻探討. 興趣參與討論。 Chapin, O'Connor, O'Connor, and Anderson (2009)在 Classroom discussions: Using math talk to help students learn, grades K-6 書中，介紹了五個重要個重要談話的舉動，而這些舉動能夠對於數學思考及學習提供協助： (a) 複誦(revoicing)：所以你說的是...? 有時學生談論數學時，同儕間會很難理解對方在說什麼，作為老師必須先理解學生想表達的意思，然後藉由複誦和學生繼續互動繼續互動以澄清彼此的推理，其他學生才能在混亂中持續跟隨，在複誦舉動中老師試圖重複學生的說法，然後要求學生回應老師的複誦是否正確。(p.12) (b)要求學生重述別人的理由(Asking students to restate someone else’s reasoning)：老師可以擴展遷移到學生，請另一個學生重複或重新表述，當教師明白一個學生所說的但卻不確定課堂上其他學生是否理解。重述讓一個學生的想法有辦法傳給另一個人，給予其他學生再次聽到他。重述提供學生更多的思考空間並幫助學生追綜整個數學化的過程‧．其他學生也得到更多時間去處理第一位同學的說法。而當學生知道自己的思維是被重視的，人們認真聆聽他的說法，他將會對此做出更多努力。(p.13) 你能把他剛剛說的在說一次嗎？ (c) 要求學生使用自己的理由去說明對去說明對他人理由的對他人理由的看法 (asking students to apply their own reasoning to someone else’s reasoning.) (你同意他的說法嗎？為什麼？) 當學生提出他的說法後，教師確認其他學生教師確認其他學生知道且有時間處理它後，教師便可以繼續引導學生對這個說法提出推理。除了詢問學生是否同意外，隨即要求隨即要求解釋其理由。要求學生解釋他的理由是這個活動中重要的組成成分，也是支持學生數學學習一個重要的關鍵。學生必須明確推理出自己的思考的理由對他人的貢獻提出看法。(p.14) (d)促使學生進一步參與(有沒有人要補充的？) 教師可以要求學生繼續參與，促使他們表達同意、不同意或者添加其他意見 (e)善用等待(Using wait time) (使用你的時間。我們會等你。) 當老師問了一個問題後須等待至少 10 秒鐘，讓學生有思考的時間。同樣的當一個 21.

(32) 第貳章文獻探討. 學生回答完問題後，也應該給予學生足夠的時間去組織給予學生足夠的時間去組織他們的想法。學生需要時間去停頓且思考，這對老師來說也許不容易，但如果我們不能等待大家一致，有的學生可能會放棄或者無法參與討論。(p15-16) 2. 學生間的溝通技巧同學互動有助於建構知識，學習別種方式思考概念，和澄清自己的思考。寫數學，如描述問題如何解，也幫助學生澄清他們的思考和發展理解力。馬蘭(2004)指出在教師主導的课堂教學組織形式下，交往方式只是師生之間的 “繼時互動“，教師講、學生聽；教師問，學生答。師生之間、生生之間缺乏”同時互動”。通過合作學習，能教會學生掌握合作技能。在過程中學生需“注意傾聽”， “接受別人的見解“，並在過程中有實際實踐的機會。所謂“接受別人的見解”並不是對別人的所有觀點照單全收、忽略分歧，而是尊重同伴，與同伴共享發言權利、在同伴發表看法時眼睛看著對方並做到不隨意插，通過合作學習小組，學生能夠學會恰當地表達目己的觀點，學會維持、辮護自己的觀點，也要學會能夠善解人意，甚至適當的妥協。 . 22.

(33) 第參章研究方法. 第參章研究方法本研究的目的是要了解學生在實施分組合作後的溝通能力表現，並探討國中學生於幾何單元的數學溝通歷程以及在教學過程中所遭遇的困難。採質與量並重的研究方法，進行幾何單元溝通能力的模式及成效的分析。本章共分為六節，第一節提出研究架構圖、第二節描述研究對象、第三節介紹研究工具、第四節為研究步驟與過程、第五節提出資料分析的方法，最後一節提出本研究的研究限制。. 第一節研究架構圖本研究的架構，如圖 3-1-1 所示。在課程實施前後，分別對研究對象進行幾何問題溝通能力測驗前、後測，同時對前、後測的歷程進行分析。首先藉由分析溝通能力前、後測之間的差異了解合作學習是否有助於培養學生數學溝通能力，分析學習單及相關錄影資料，來探討國中學生於幾何單元的數學溝通歷程，利用課後訪談與學生課中的反應及相關回饋，找出分組合作學習在教學過程中產生的困難點。 *確認研究對象及教學單元 *文獻探討 *設計溝通能力架構. 確定研究對象. 溝通能力前測. 解題歷程前測分析(六名學生). *學習單製作及修正 *課程記錄並反思 *觀察並分析學生互動溝通模式 (全班觀察). 課程實施. 溝通能力後測. 解題歷程後測分析(六名學生). 撰寫研究結果. 論文撰寫圖 3-1-1 研究架構圖. 23.

(34) 第參章研究方法. 第二節研究場域與對象本研究的樣本來自於研究者任教學校的九年級學生，全校共 60 個班級，九年級共有 21 個班，其中有一班為舞蹈班，其餘班級按照入學前所施測的學力測驗(包含國文、英文、數學三科)成績高低取Ｓ型常態編班。研究者選取的研究對象有 29 為學生，有兩位資源班學生沒有參加本研究，研究學生男生有 14 人，女生有 13 人。以前有分組合作教學的學習經驗，學習狀況良好，多能勇於表達。實驗過程中，全班學生依照學生八下幾何課程三次定考成績的平均，以Ｓ型異質分組，分成五組，每組有 5～6 位學生，實施為期約 3 個月的研究。為了方便起見，本研究在描述學生時，學生的代號都以 Si 來表示，其中 i 表示座號。。並於研究班級選取自願參與研究且表達能力佳的六名學生做溝通能力前、後測分析，此六名學生中三名女生依八下數學幾何單元學習成就成績，分別以 S3、S10、S1 來表示高、中、低，三名男生則依高、中、低，以 S35、S31、S26 來表示。其中 S1 位於第一組、S10、S3、S26 位於第三組、S35、S31 位於第四組。以下是針對這六個研究對象的特質作描述： (1) S3 為班上高數學成就的學生，段考成績平均為 92 分，該生平時在班上表現活潑課堂上勇於分享自己的意見，語文方面表現優秀，喜歡挑戰不同解法。 (2) S10 為班上中數學成就的學生，段考成績平均為 76 分，該生平時在班上較為安靜，但針對自己不懂的問題會認真去尋求答案，遇到會的題目樂於指導同學。 (3) S1 為班上低數學成就的學生，段考成績平均為 63 分，該生平時在班上人緣良好，與同學相處融洽，數學成績一直沒有起色，對自己較沒有信心。 (4) S35 為班上高數學成就的學生，段考成績平均為 86 分，平日喜愛閱讀，在學習上若有遇到不懂的問題會針對自己的問題向老師或同學提問，或自行於課本中尋找相關例題作為推導。 (5) S31 為班上中數學成就的學生，段考成績平均為 72 分，該生十分活潑，數學學習成績時好時壞，對於無法理解的數學問題，願意嘗試用自己的方式解決。 (6) S26 為班上低數學成就的學生，段考成績平均為 53 分，該生國語言成績良好，但數學學習隨著課程難度增加，常有跟不上的情形發生，在之前的分組教，教學中若沒有課後的小測驗，常常就放棄學習。. 24.

(35) 第參章研究方法. 第三節研究工具本研究所使用的研究工具有兩種︰溝通能力評量測驗前、後測試卷，錄影錄音器材。在實驗教學之前進行溝通能力評量測驗前測以了解六名學生在幾何單元的溝通能力;實驗教學結束後進行溝通能力評量測驗後測分析此六名學生在幾何單元學習後的溝通能力是否有所成長。並於實驗教學中以錄音錄影器材的方式進行課堂觀察的紀錄，以了解學生在分組合作學習中的溝通模式。接下來說明溝通能力評量測驗的編製過程：一、溝通能力評量測驗卷的編製過程 (一)數學溝通能力架構的擬訂為了解數學溝通能力所包含的細目，研究者參考 PISA 溝通架構、NCTM 溝通能力指標及數學科九年一貫課程十大基本能力指標，作為擬定數學溝通行為架構的依據。 1. PISA 數學溝通能力 PISA(2012)指出可將試題歸納成三個數學解題過程分別為：形成數學化情境、使用數學概念、事實、步驟和推理以及詮釋、應用及評鑑數學結果。其中溝通(communication)為過程中所需蘊含的七大基本數學能力之一。下表 3-3-1 為針對數學解題過程與數學溝通能力的對應架構表：表 3-1-1 PISA 數學解題過程與數學溝通能力架構表數學能力. 形成數學化情境. 使用數學概念、事實、詮釋、應用及評鑑數學步驟和推理. 結果. 溝通. 讀取，解碼，能理解敘清楚表達解決方案，解在問題中能構建並溝. (com. 述的問題、任務、物. 決並(或)總結形成中間. munic 件、圖像或動畫(在有電的數學行為。 ation) 腦的基礎上)，以形成相. 通、解釋及爭論整體問題的脈絡。. 關情境的心理模型。. 綜合相關文獻，將數學溝通以 PISA(2012)溝通架構表行分成三步驟來討論：(1) 形成數學化情境à擷取與解碼、(2)使用數學概念、事實、步驟和推理à表達與解決、 (3)詮釋、應用及評鑑數學結果à辯證與詮釋，擬定了以下數學溝通行為及行為說明 25.

(36) 第參章研究方法. 架構，如圖 3-1-1. 圖 3-1-1 數學溝通模式依據 PISA(2012)對溝通所下的定義，指出溝通為個體能察覺到挑戰的存在接受刺激去識別和理解問題情境首先(1)「能在理解、澄清、形成問題上藉由閱讀、解碼、解釋各種語句、問題、任務及物件」，本研究將其對應到「擷取與解碼」(2)「能幫助個體形成情境的心理模型表達與解決」，本研究將其對應到「表達與解決」。(3)而「在解決方案的過程中，中間的結果可能需要做總結並展示。一旦發現答案，問題解決者也可能需要呈現解決方案或對他人進行解釋或證明澄清」，本研究將其對應到「辯證與詮釋」。 2. 數學科九年一貫課程溝通能力指標：數學溝通能力：溝通包括理解與表達兩種能力，所以，數學溝通一方面要能瞭解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊；另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。溝通能力指標分別為以下八點，如表 3-1-2： C-C-01 能理解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 C-C-02 能理解數學語言與一般語言的異同。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。. 26.

(37) 第參章研究方法. 表 3-1-2 數學溝通行為及對應指標溝通行為. 對應指標能從文字(含符號、圖表)、語音或肢體動作中擷取訊息並理解其內涵. 擷取與解碼. 能理解數學語言與一般語言的異同。能用一般語言與數學語言說明情境與問題。能用數學語言呈現解題的過程。. 溝通能力. 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。說明與解決. 能尊重他人解決數學問題的多元想法。能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。可以善用數學語言和各種適當的表徵來表達解釋自己的數學性概念並辯證問題的脈絡。. 辯證與詮釋. 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。. 總合上述文獻，以下為針對此項目為以上三項溝通行為訂立的子細目: 1.. 擷取與解碼： (1) 「擷取」指在測驗學生是否能直接從提供訊息中找到相對應的資訊。(從文字擷取訊息) (2)「解碼」指在測驗學生是否能將從訊息中的敘述做數學情境的轉換。(理解數學內涵，理解並能分辨一般語言與數學語言). 2.. 說明與解決： (1)「解決」指推測出解答屬性、使用數學語言解題。(能用數學語言呈現解題的過程、能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。) (2)「說明」旨在測驗學生是否能清楚說明想法及步驟。(能用數學語言或一般語言呈現說明解題過程並能尊重他人解決數學問題的多元想法。). 3、尊重他人多元解題想法轉化與詮釋： (1)「辯證」旨在測驗學生是否能分析並解釋或反駁答案或過程的合理性。 (2)「詮釋」旨在測驗學生是否能用等適當表徵清楚說明自己解題結果。 27.

(38) 第參章研究方法. 評量內容實驗過程中課程單元皆以幾何為主，故研究者參考八年級下學期各版本數學課本內容，選定平面圖形及線對稱單元，作為評量內容。以溝通行為評量架構，作為命題依據。前、後側的雙向細目表如 3-1-3，並於表後附上各題內容指標及評分準則。表 3-1-3 數學溝通能力前測試題雙向細目表溝通行為. 平面圖形. 線對稱. 合計. 1-1-(1) 3-1. 1-1-(2) 擷取與解碼. 7 2-12-2 2-3 4-1 1-1-(2) 3-2-(1)、. 說明與解決. 2-4. 5 5-1-(1). 4-2-(1) 4-2-(2). 3-2-(2). 詮釋與辯證. 3 5-1-(2). 其中平面圖形的題目有三題，再依溝通行為細分成 10 小題；線對稱單元的題目有兩題，再依溝通行為細分成 5 小題。. 28.

(39) 第參章研究方法. 試題 1 溝通行為. 試題內容 1-(1)請你在下圖六邊形的同一個頂點上任意畫出兩條對角線。. 擷取/解碼. 1-(2)承上題，你所畫的兩條對角線將此六邊形分成的三個區塊形狀分別為何？. 表達/解決. 2. 若呆呆在 n 邊形的同一個頂點上任意畫出兩條對角線，恰將此 n 邊形分隔一個三角形、一個四邊形、一個五邊形，試判斷 n 應該是多少？. 1. 內容指標本示例針對數學學習領域中，「幾何」主題的「平面圖形」次主題設計。題 1-(1)旨在評量學生是否能正確將數學中對角線概念表徵於圖形上。題 1-(2)旨在評量學生是否能正確將圖象表徵解碼成對應的圖形名稱。題 2 旨在評量學生是否能有條理的說明自己的解題過程。 2. 評分準則分數. 題號. 1-(1). 1-(2). 2. 0. 空白或過程與題空白或過程與題空白或過程與題目無關目無關目無關. 1. 能擷取對角線的概念並在六邊形的同一個頂點上畫出兩條對角線。. 能由題目轉化出三個對應的圖形為兩個三角形及一個四邊形。. 能在過程中畫出圖形，或寫出部分解題策略，但無法求出正確答案為八邊形。. 正確用圖示或推演法表達出解題想法及過程，找出正確答案。. 2. 29.

(40) 第參章研究方法. 試題 2 溝通指標. 前測試題. 後測試題. [圓周長實驗文章（原文如附錄 1）] 1. 此實驗步驟二中，緊緊繞住圓柱體後，剪下了繩子。請問此時繩子擷取/解碼. 的長度代表什麼？ 2. 此實驗中如何找出圓的直徑？ 3. 文章最後繩子的長度一共可量出幾段直徑呢？. 表達/解決. 4.請摘要出本實驗流程。. 1. 內容指標本示例針對數學學習領域中，「幾何」主題的「平面圖形」次主題設計。題 1 旨在評量學生是否能正確解碼文章中繞圓罐一周的繩子長度為圓周長。題 2 旨在評量學生是否能擷取文章內容以回答直徑的找法。題 3 旨在評量學生是否能擷取文章內容以回答量出的直徑次數。題 4 旨在評量學生是否能將題目轉化成自己的語言並完整摘要出要點。 2. 評分準則題號. 1. 2. 3. 4. 0. 空白或過程與題目無關. 空白或過程與題目無關. 空白或過程與題目無關. 空白或摘要與題目無關. 1. 能正確解碼出繩長為圓周長. 能由題目擷取答案為將圓對摺. 能由題目直接擷取答案為量三次. 能直接簡短擷取文章內的文字. 分數. 能將文章轉化成自己的語句作為表達. 2. 30.

(41) 第參章研究方法. 試題 3 溝通指標. 前測試題. 後測試題. 1. 下圖中的等腰三角形是否為線對稱圖形？如果是，請在圖上畫出其對稱軸。擷取/解碼. 表達/解決. 2-(1) 若 A(5,-3)、Ｂ(11,-3)是某一個線對稱圖形上的兩個點，且知這兩點在此圖形上互為對稱點。若Ｃ(2,9)也在此對稱圖形上，求其對稱點Ｄ的坐標為何？. 轉化/詮釋. 2-(2) 承上題，小花不確定你所求 D 點坐標是否正確，請你試著對小花說明Ｄ點即為Ｃ的對稱點。. 1. 內容指標本示例針對數學學習領域中，「幾何」主題的「平面圖形」次主題設計。題 1 旨在評量學生是否能正確將對稱軸表徵於圖形上。(解碼) 題 2-(1)旨在評量學生是否能用適當表徵清楚表達解題想法或策略。題 2-(2)旨在評量學生是否能用口語、書寫等適當表徵清楚說明解題結果。 2. 評分準則分數. 題號. 0. 1. 2. 1. 2-(1). 2-(2). 空白或過程與題目無關. 空白或過程與題目無關. 空白或過程與題目無關. 能在圖上畫出對稱軸. 能用圖示或算式正確解決問題. 能找出正確答案但無法說明其解題策略或列出正確算式。. 正確完整的過程. 能寫出部分解題策略，或列出部分正確算式，但無法求出正確答案。. 3. 正確完整的過程. 31.