第十三單元 矩陣
1.設 A、B、C 皆為 3 × 3 矩陣，則下列敘述那些正確的？(86 自然)
(1) AB＝BA 恆成立 (2) (AB)C＝A (BC) (3)若 AB＝O，則 A＝O 或 B＝O (4)若 det(A)≠0，且 AB＝AC，則 B＝C (5) (A＋B)2＝A2＋2AB＋B2成立 解：(1)矩陣的乘法不具交換性，∴AB≠BA
(2)矩陣的乘法具結合性，∴(AB)C＝A (BC) (3)例如 AB＝
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
＝
0 0 0
0 0 0
0 0 0
＝，但是
0 0 0
0 0 0
0 0 1
≠O，
0 0 0
1 0 0
0 0 0
≠O (4)若 det(A)≠0，則 A－1存在
⇒ A－1(AB)＝A－1 (AC)，∴B＝C
(5)∵AB≠BA，∴(A＋B)2＝A2＋AB＋BA＋B2≠A2＋2AB＋B2 答：(2)(4)
2.下列各方陣中何者之秩為 2？(88 自然)
(1)
9 6 3
6 4 2
3 2 1
(2)
0 0 0
6 4 2
3 2 1
(3)
2 0 0
2 1 0
3 2 1
(4)
5 4 3
4 3 2
3 2 1
(5)
27 8 1
9 4 1
3 2 1
解：(1)
9 6 3
6 4 2
3 2 1
→
0 0 0
0 0 0
3 2 1
，∴秩＝1
(2)
0 0 0
6 4 2
3 2 1
→
0 0 0
0 0 0
3 2 1
，∴秩＝1
(3)
2 0 0
2 1 0
3 2 1
→
1 0 0
2 1 0
3 2 1
，∴秩＝3
(4)
5 4 3
4 3 2
3 2 1
→
−
− 0 0 0
2 1 0
3 2 1
，∴秩＝2
(5)
27 8 1
9 4 1
3 2 1
→
6 0 0
6 2 0
3 2 1
，∴秩＝3
答：(4)
3.有一 4 階方陣，其中每一(i，j)元不是 0 就是 1，則其秩可能是：(89 自然) (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4
解：4 階方陣的秩可能是 0 或 1 或 2 或 3 或 4 答：(1)(2)(3)(4)(5)
4.設 M 為一 3 × 2 短陣，而且 M
0 0
0
1 ＝
0 1
0 2
0 3
，M
1 0
0
0 ＝
3 0
2 0
1 0
，則M
0 1
1
0 ＝_________。(90 自然 4)
解1：∵M 為一 3 × 2 矩陣，∴設 M =
f c
e b
d a
，又∵M
0 0
0
1 ＋M
1 0
0
0 ＝M
0 1
1 0
⇒
0 1
0 2
0 3
＋
3 0
2 0
1 0
＝
f c
e b
d a
0 1
1
0 ，⇒
3 1
2 2
1 3
＝
c f
b e
a d
，∴得知M =
f c
e b
d a
＝
1 3
2 2
3 1
解2：∵M 為一 3 × 2 矩陣，∴設 M =
f c
e b
d a
(1)∵M
0 0
0 1 =
f c
e b
d a
0 0
0
1 =
0 0 0
c b a
=
0 1
0 2
0 3
，∴a＝3，b＝2，c＝1
(2)∵M
1 0
0 0 =
f c
e b
d a
1 0
0
0 =
f e d 0 0 0
=
3 0
2 0
1 0
，∴d＝1，e＝2，f ＝3
(3)得知 M =
3 1
2 2
1 3
，∴M
0 1
1
0 =
3 1
2 2
1 3
0 1
1
0 =
1 3
2 2
3 1
答：
1 3
2 2
3 1
5.所謂「轉移矩陣」必須滿足下列兩個條件：(91 指考數甲 3)
(甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 (乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1
以2 × 2 矩陣為例，
7 . 0 8 . 0
3 . 0 2 .
0 和
4 . 0 1 . 0
6 . 0 9 .
0 滿足(甲)(乙)這兩個條件，因此都是轉移矩陣。
今設A、B 是兩個 n×n 的轉移矩陣，請問下列哪些敘述是正確的？
(1) A2是轉移矩陣 (2) AB 不滿足條件(乙) (3) 2
1(A＋B)是轉移矩陣 (4) 4
1(A2＋B2)是轉移矩陣
解：設A＝
d c
b
a 與B＝
h g
f
e 皆為2× 2 的轉移矩陣，∴a＋c＝b＋d＝1，e＋g＝f＋h＝1
(1) A2＝
d c
b
a
d c
b
a ＝
+ +
+ +
2 2
d bc cd ac
bd ab bc
a 是轉移矩陣，理由如下：
第1 行：a2＋bc＋ac＋cd＝(a2＋ac)＋(bc＋cd)＝a(a＋c)＋c(b＋d)＝a×1＋c×1＝1 第2 行：ab＋bd＋bc＋d2＝(ab＋bd)＋(bc＋bc)＝b(a＋d)＋c(b＋d)＝b×1＋c×1＝1 (2) AB＝
d c
b
a
h g
f
e ＝
+ +
+ +
dh cf dg ce
bh af bg
ae 是轉移矩陣，理由如下：
第1 行：ae＋bg＋ce＋dg＝(ae＋ce)＋(bg＋dg)＝e(a＋c)＋g(b＋d)＝e×1＋g×1＝1 第2 行：af＋bh＋cf＋dh＝(af＋cf )＋(bh＋dh)＝f (a＋c)＋h(b＋d)＝f ×1＋h×1＝1 (3)2
1(A + B)＝
2
1(
d c
b
a ＋
h g
f e )＝
2
1
+ +
+ +
h d g c
f b e
a 是轉移矩陣，理由如下：
第1 行：
2
1(a＋e＋c＋g)＝
2
1[(a＋c)＋(e＋g)]＝
2
1(1＋1)＝1
第2 行：
2
1(b＋f＋d＋h)＝
2
1[(b＋d)＋(f＋h)]＝
2
1(1＋1)＝1
(4) A∵ 2＝
+ +
+ +
2 2
d bc cd ac
bd ab bc
a ，B2＝
h g
f
e
h g
f
e ＝
+ +
+ +
2 2
h gf gh eg
h f ef g f e
4
1(A2 + B2)＝
4
1
+ + + +
+ +
+ + + +
+ +
2 2
2 2
h f g d bc gh eg cd ac
h f ef bd ab g f e bc
a 不是轉移矩陣，
∵第1 行：
4
1(a2＋bc＋e2＋f g＋ac＋cd＋eg＋gh)＝
2 1≠1 答：(1)(3)
6.某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現高收入的人口一直是 低收入人口的兩倍，且知在高收入的人口中，每年有四成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變 為高收入？請選出正確的選項。(1) 6 成 (2) 7 成 (3) 8 成 (4) 9 成 (98 指考數甲 2)
解：設低收入的人口中，每年有 t (0≤ t ≤1)轉變為高收入，則轉移矩陣為 A＝
− t t 1 4 . 0
6 . 0
又設X＝
y
x ，∵x＋y＝1 且 x＝2y，∴
=
=
3 1 3 2
y x
，⇒X＝
3 13 2
⇒由 AX＝X，得
− t t 1 4 . 0
6 . 0
3 13 2
＝
3 13 2
，即5 2＋
3 1t＝
3
2，知t＝0.8
答：(3)
7.A 和 B 是兩個二階方陣，方陣中每一位置的元素都是實數。就二階方陣所對應的平面變換來說，A 在平面上的作用是對 直線L：y＋ 3 x＝0 的鏡射，且知 AB＝
−
− 1 0
0
1 。請選出正確的選項。( 說明：A 將 P 點對應到 Q 點，則 L 為線段PQ 的垂直平分線) (92 指考數甲多選 1)
(1) AB＝BA (2) A＋B＝0 (3) B 所對應的平面變換是旋轉 (4)－A 是 B 的(乘法)反方陣 解：(1)設 A＝
d c
b
a ，∴
d c
b
a
−
3
1 ＝
−
3 1 ⇒
= +
−
−
= +
−
3 3
1 3
d c
b
a …(*)
(2)如右圖，A 將點 P(－ 3，－1)對應到點 Q( 3，1)
⇒
d c
b
a
−
− 1
3 ＝
1
3 ⇒
=
−
−
=
−
−
1 3
3 3
d c
b
a …(**)
由(*)與(**)，解得 a＝－
2
1，b＝－
2
3 ，c＝－
2
3 ，d＝
2
1，∴A＝
−
−
−
2 1 2
3 2
3 2
1
(3)∵AB＝
−
− 1 0
0
1 ，∴B＝A-1
−
− 1 0
0
1 ＝－
−2 1 2
3 2 3 2 1
−
− 1 0
0
1 ＝
−2 1 2
3 2 3 2 1
⇒ BA＝
−2 1 2
3 2 3 2 1
−
−
−
2 1 2
3 2
3 2
1
＝
−
− 1 0
0
1 ＝AB
(4) A＋B＝
−
−
−
2 1 2
3 2
3 2
1
＋
−2 1 2
3 2 3 2 1
＝O
(5) B＝
−2 1 2
3 2 3 2 1
＝
− 0
0
0 0
60 cos 60
sin
60 sin 60
cos 不是旋轉矩陣
(6)(－A) B＝(－1)
−
−
−
2 1 2
3 2
3 2
1
−2 1 2
3 2 3 2 1
＝
1 0
0
1 ，∴(－A)是 B 的反矩陣
答：(1)(2)(4)
8.彩票公司每天開獎一次，從 1、2、3 三個號碼中隨機開出一個。開獎時，如果開出的號碼和前一天相同，就要重開，直 到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是3，則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是_____(以最簡 分數表示）(92 指考數甲填 2)
L：y= 3x
( 3,1)
(－ 3,－1) (－1, 3)
x y
P
Q
解：1.根據題意，其轉移矩陣為 P＝
2 0 1 2
1 2
0 1 2
1 2
1 2 0 1
設An為第 n 天開出號碼的機率矩陣，又第一天開出的號碼是 3，∴A1＝
1 0 0
2. A2＝PA1＝
2 0 1 2
1 2
0 1 2
1 2
1 2 0 1
1 0 0
＝
0 2 12 1
，A3＝PA2＝
2 0 1 2
1 2
0 1 2
1 2
1 2 0 1
0 2 12 1
＝
2 14 14 1
，同理A4＝PA3＝
4 18 38 3
，A5＝PA4＝
8 163 165 5
∴第5 天開出號碼同樣是 3 的機率為3 8 答：3
8
9.(題組)使用圓球和球袋作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：把雙白球稱為狀態 1，
一白球一黑球稱為狀態2，雙黑球稱為狀態 3。對這袋球做如下操作：自袋中隨機移走一球後，再隨機移入一顆白球或 黑球(移入白球或黑球的機率相等)。每次操作可能會改變袋中球的狀態。(93 指考甲 6，7，8)
A.如果現在袋子內的球是一白一黑(即狀態 2)，請問經過一次操作後，袋中會變成兩顆黑球(狀態 3)的機率是多少？(單選) (1) 4
1 (2)
3
1 (3) 2
1 (4) 3 2
B.把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為P (例如上題的機率就是ij P )，由此構成一 3×3 矩陣 P。針對矩陣 P，32 下列選項有哪些是正確的？(多選題)
(1)矩陣 P 滿足P ＝ij P ji (2) P 是轉移矩陣(即每行之和皆為 1) (3) P 的行列式值為正 (4)P ＝11 P 33
C.把矩陣 P 連續自乘 k 次後的矩陣記為P 。已知矩陣k P 中(i，j)位置的值，等於從狀態 j 經過 k 次操作後，變成狀態 i 的k 機率。針對多次操作，下列選項有哪些是正確的？(多選題)
(1)從一白一黑(狀態 2)開始，經過 k 次操作後，變成雙白(狀態 1)的機率與變成雙黑(狀態 3)的機率相等。
(2)從雙白(狀態 1)開始，經過 k 次操作後，回到雙白(狀態 1)的機率，比變成雙黑(狀態 3)的機率大。
(3)從雙白(狀態 1)開始，經過 k 次操作後，回到雙白(狀態 1)的機率，會隨著次數 k 的增加而遞減。
(4)不論從哪種狀態開始，經過 k 次操作後，變成任何一種狀態的機率，會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於 3 1
解A：(一白一黑) → 兩黑：即取出一顆白球，移入一顆黑球，∵機率＝
2 1×
2 1 ＝
4 1 答：(1)
解B：操作前後的狀態與機率如下表：
前
後 2 白 1 白 1 黑 2 黑
2 白
取出白，移入白 P11＝
2 2×
2 1＝
2 1
取出黑，移入白 P12＝
2 1×
2 1＝
4
1 不可能
P13＝0
1 白 1 黑
取出白，移入黑 P21＝
2 2×
2 1＝
2 1
取出黑，移入白 2 1×
2 1＝
4 1
取出白，移入黑 2 1×
2 1＝
4 1
P22＝ 4 1＋
4 1＝
2 1
取出黑，移入白 P23＝
2 1×
2 1＝
4 1
2 黑 不可能 P31＝0
取出白，移入黑 P32＝
2 1×
2 1＝
4 1
取出黑，移入黑 P33＝
2 2×
2 1＝
2 1
合計 1 1 1
∴矩陣 P＝
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
(1)Pij與Pji未完全相等，如P12≠P21
(2)det(P)＝
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
＝0
(3)P11＝P33＝ 2 1 答：(2)(4)
解C：(1)
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 1 0
＝
4 12 14 1
＝
黑 白 黑
白
2 1 1
2
，∴P(2 白)＝
4
1＝P(2 黑)
⇒
2
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 1 0
＝
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
4 12 14 1
＝
4 12 14 1
，∴P(2 白)＝
4
1＝P(2 黑)
⇒ … ⇒
k
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 1 0
＝
4 12 14 1
，∴P(2 白)＝
4
1＝P(2 黑)
(2)
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 0 1
＝
0 2 12 1
＝
黑 白 黑
白
2 1 1
2
，∴P(2 白)＝
2
1，P(2 黑)＝0
⇒
2
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 0 1
＝
2 1 4 0 1
4 1 2 1 2 1
4 0 1 2 1
0 2 12 1
＝
8 12 18 3
，∴P(2 白)＝
8
3，P(2 黑)＝
8 1
⇒ … ⇒ P(2 白)＞P(2 黑) (3)由(2)得知 P(2 白)：
2 1＞
8
3＞……
(4)由(1)得知，若由 1 白 1 黑開始，則經 k→∞時，P(2 白)＝
4
1＝P(2 黑) 答：(1)(2)(3)
10.A 是 2 × 2 方陣，設 A2＝A．A，A3＝A．A．A，以此類推。已知 A．
−1
1 ＝
1
1 ，A．
1
1 ＝
−
1
1 ，若有 a，b 使得
A4．
ba =
2
3 ，下列敘述何者正確？(94 指考甲 8)
(1) a＝－3 (2) b＝2 (3) A2．
−1
1 ＝
−
1
1 (4) A 是一旋轉方陣
解：(1)由 A．
−1
1 ＝
1
1 與A．
1
1 ＝
−
1
1 ，得A．
−1 1 1
1 ＝
− 1 1
1 1
⇒ A＝
− 1 1
1
1 1
1 1
1 1 −
− ＝
2
1
− 1 1
1
1 ＝
− 0 1
1
0 ＝
°
°
°
−
°
90 cos 90
sin
90 sin 90
cos ，為一旋轉方陣
(2)故 A2＝
°
°
°
−
°
180 cos 180
sin
180 sin 180
cos ＝
−
− 1 0
0
1 ；A4＝
°
°
°
−
°
360 cos 360
sin
360 sin 360
cos ＝
1 0
0 1
⇒∵A4．
b
a ＝
2
3 ＝
1 0
0
1 ．
b a =
2
3 ，得知
b
a ＝
2 3 答：(2)(3)(4)
11.一 實 驗室培養兩種菌，令<a >和<n b >分別代表兩種培養菌在時間點 n 的數量，彼此有如下的關係： n
+1
an ＝2(a ＋n b )，n bn+1＝2b ，n＝0，1，2，…，若二階方陣 A＝n
d c
b
a 滿足
+ + 3 3 n n
b
a ＝A
n n
b
a ，n＝0，1，2，…，
則 a＝____，b＝____，c＝____，d＝____。(94 指考乙 E) 解1：∵an+1＝2(an＋bn)，bn+1＝2bn，∴
+ + 1 1 n n
b
a ＝
2 0
2
2
n n
b a
⇒
+ + 2 2 n n
b
a ＝
2 0
2
2
+ + 1 1 n n
b
a ＝
2 0
2
2
2 0
2
2
n n
b a
⇒
+ + 3 3 n n
b
a ＝
2 0
2
2
+ + 2 2 n n
b
a ＝
2 0
2
2
2 0
2
2
2 0
2
2
n n
b
a ＝
8 0
24
8
n n
b a
得知A＝
8 0
24
8 ，∴a＝8，b＝24，c＝0，d＝8
解2：∵an+1＝2(an＋bn)，bn+1＝2bn，
⇒an+2＝2(an+1＋bn+1)＝2[2(an＋bn)＋2bn]＝4an＋8bn，bn+2＝2bn+1＝4bn
⇒an+3＝2(an+2＋bn+2)＝2(4an＋8bn＋4bn)＝4an＋24bn，bn+3＝2bn+2＝8bn
∴
+ + 3 3 n n
b
a ＝
8 0
24
8
n n
b a
答：(a，b，c，d)＝(8，24，0，8)
12.設實係數二階方陣A滿足A
3
7 ＝
1
2 ，A
4
9 ＝
5
1 。若A＝
5 1
1
2
d b
c
a ，則a＝____，b＝____，c＝____，d＝____。
解：由A
3
7 ＝
1
2 ，A
4
9 ＝
5
1 ，得知A
4 3
9
7 ＝
5 1
1
2 ，⇒
5 1
1
2
d b
c
a
4 3
9
7 ＝
5 1
1 2
⇒
d b
c
a ＝
1
5 1
1 2 −
5 1
1
2 1
4 3
9 7 −
＝
1 0
0
1 1
4 3
9 7 −
＝
−
− 7 3
9 4
(∵det 5 1
1
2 ＝9≠0，∴為一可逆矩陣，
1
5 1
1 2 −
5 1
1
2 ＝
1 0
0 1 )
答：a＝4，b＝－3，c＝－9，d＝7。(95 指考甲 C)
13.下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成
1 1 0 0
2 1 1 0
7 3 2 1
？ (96 學測 8)
(1)
5 3 2 0
2 1 1 0
7 3 2 1
(2)
−
−
−
−
0 7 1 3
0 1 1 1
0 1 3 1
(3)
−
5 2 1 1
2 1 1 1
5 2 1 1
(4)
−
−
1 2 2 2
0 1 1 1
6 3 1 2
(5)
1 0 1 0
2 1 1 0
7 2 3 1
解1：根據題意，
1 1 0 0
2 1 1 0
7 3 2 1
對應的方程組為
=
= +
= + +
1 2 7 3 2
z z y
z y x
，解得
=
=
=
1 1 2
z y x
(1)
5 3 2 0
2 1 1 0
7 3 2 1
對應的方程組為
= +
= +
= + +
5 3 2
2 7 3 2
z y
z y
z y x
，將
=
=
=
1 1 2
z y x
代入，∴正確
(2)
−
−
−
−
0 7 1 3
0 1 1 1
0 1 3 1
對應的方程組為
=
− +
= + +
−
=
− +
−
0 7 3
0 0 3
z y x
z y x
z y x
，將
=
=
=
1 1 2
z y x
代入，∴不正確
(3)
−
5 2 1 1
2 1 1 1
5 2 1 1
對應的方程組為
= + +
= +
−
= + +
5 2
2 5 2
z y x
z y x
z y x
，將
=
=
=
1 1 2
z y x
代入，∴不正確
(4)
−
−
1 2 2 2
0 1 1 1
6 3 1 2
對應的方程組為
= + +
−
= + +
−
= + +
1 2 2 2
0 6 3 2
z y x
z y x
z y x
，將
=
=
=
1 1 2
z y x
代入，∴不正確
(5)
1 0 1 0
2 1 1 0
7 2 3 1
對應的方程組為
=
= +
= + +
1 2
7 2 3
y z y
z y x
，將
=
=
=
1 1 2
z y x
代入，∴正確
解2：根據題意，
1 1 0 0
2 1 1 0
7 3 2 1
對應的方程組為
=
= +
= + +
1 2 7 3 2
z z y
z y x
，解得
=
=
=
1 1 2
z y x
(1 解)
(1)
5 3 2 0
2 1 1 0
7 3 2 1
⇒
1 1 0 0
2 1 1 0
7 3 2 1
，∴正確
(2)
−
−
−
−
0 7 1 3
0 1 1 1
0 1 3 1
對應的方程組為
=
− +
= + +
−
=
− +
−
0 7 3
0 0 3
z y x
z y x
z y x
，必有
=
=
=
0 0 0
z y x
解，∴不正確
(3)
−
5 2 1 1
2 1 1 1
5 2 1 1
對應的方程組為
= + +
= +
−
= + +
5 2
2 5 2
z y x
z y x
z y x
，1，3 列成比例，為無限多解，∴不正確
(4)
−
−
1 2 2 2
0 1 1 1
6 3 1 2
對應的方程組為
= + +
−
= + +
−
= + +
1 2 2 2
0 6 3 2
z y x
z y x
z y x
，1，3 列不成比例，∴無解，∴不正確
(5)
1 0 1 0
2 1 1 0
7 2 3 1
對應的方程組為
=
= +
= + +
1 2
7 2 3
y z y
z y x
，解得
=
=
=
1 1 2
z y x
，∴正確
解3：利用矩陣列運算比較之。
答：(1)(5)
×(-2)
14.有關矩陣 A＝
−1 0
0
1 與矩陣B＝
−
2 1 2
3 2
3 2
1
，試問下列哪些選項是正確的？(96 指考數甲 7)
(1)AB＝BA (2)A2B＝BA2 (3)A11B3＝B6A5 (4)AB12＝A7 (5)(ABA)15＝AB15A
解：(1)AB＝
−1 0
0 1
−
2 1 2
3 2
3 2
1
＝
−
−
−
2 1 2
3 2
3 2
1
，而BA＝
−
2 1 2
3 2
3 2
1
−1 0
0
1 ＝
−2 1 2
3 2 3 2 1
，⇒ AB ≠ BA
(2)A2＝
−1 0
0
1
−1 0
0
1 ＝
1 0
0
1 ＝I，⇒ A2 B＝B，而 BA2＝BI＝B，⇒ A2B＝BA2
(3)∵B＝
−
2 1 2
3 2
3 2
1
＝
−
0 0
0 0
60 cos 60
sin
60 sin 60
cos ，⇒ B3＝
−
0 0
0 0
180 cos 180
sin
180 sin 180
cos ＝
−
− 1 0
0
1 ＝－I，且 B6＝
1 0
0 1 ＝I
⇒ A11B3＝(A2)5A B3＝A(－I)＝－A，而 B6A5＝I(A2)2A＝A，⇒ A11B3＝－A ≠ B6A5＝A (4)AB12＝A(B2)6＝AI＝A，而 A7＝(A2)3A＝A，⇒ AB12＝A7＝A
(5)(ABA)15＝
4 4
4 3
4 4
4 2
1 L
15個
) ( ) )(
(ABA ABA ABA ＝ABA2 BA2…A2 BA＝ABB…BA＝AB15A 答：(2)(4)(5)
15.下面每一個選項都是以行列式表達坐標平面上的方式，請問哪些選項代表橢圓？(96 指考乙 5)
(1)
x y x 1 2 1 3 1 1
＝0 (2)
x2 2y2 x 1 2 1 3 1 1
＝0 (3)
x2 y2 2x 1 2 1 3 1 1
＝0
(4)
x2＋y2 y x2 1 2 1 3 1 1
＝0 (5)
x2－y2 y x 1 2 1 3 1 1
＝0
解：上述選項的行列式之一般式為
a b c 1 2 1 3 1 1
＝0，展開得 a＋2b－5c＝0 (1) x＋2y－5x＝0，⇒ 2x－y＝0 表示一直線方程式
(2) x2＋4y2－5x＝0 表示一橢圓方程式 (3) x2＋2y2－10x＝0 表示一橢圓方程式
(4) (x2＋y2)＋2y－5x2＝0 ⇒ －4x2＋y2＋2y＝0 表示一雙曲線方程式 (5) x2－y2＋2y－5x＝0 表示一雙曲線方程式
答：(2)(3)
16.解下列聯立方程式時，
−
=
−
= +
1 5 4
3 2
y x
y
x 將相關的係數與常數以矩陣A 表達如下﹕
−
−5 1 4
3 2
1 ，對矩陣A 進行高斯消去
法的一個步驟：第一列不改變，並將第二列減去第一列的四倍成為新的第二列。試問下列哪一個選項中的矩陣乘積代 表對A 進行上述步驟？(97 指考乙 3)
(1)
−
0 0
0
4
−
−5 1 4
3 2
1 (2)
−4 0 0
0
−
−5 1 4
3 2
1 (3)
−4 0 0
1
−
−5 1 4
3 2 1
(4)
−4 1 0
0
−
−5 1 4
3 2
1 (5)
−4 1 0
1
−
−5 1 4
3 2 1
解1：
×
−
−
×
−
−
×
−1 4 5 2 4 1 3 4 4
3 2
1 ＝
−
× +
×
−
× +
×
−
× +
×
−4 1 1 4 4 2 1 5 4 3 1 ( 1) 3 2
1 ＝
−4 1 0
1
−
−5 1 4
3 2
1 ＝(5)
解2：
−
−5 1 4
3 2
1 ＝
−
−13 13 0
3 2
1 ＝
−4 1 0
1
−
−5 1 4
3 2
1 ＝(5)
答：(5)
17.從集合{
c b a
0 | a，b，c 為 0，1，2 或 3}中隨機抽取一個矩陣，其行列式為 0 的機率等於_____。(化為最簡分數) 解：(1)樣本空間 n(S)＝n(0，1，2，3 任取一數為 a，b，c)＝4×4×4＝64
(2)令 A＝
c b a
0 ，det (A)＝
c b a
0 ＝ac＝0，⇒ a＝0 或 c＝0
∴事件為「a＝0 或 c＝0，b 為(0，1，2，3)任一數」
(i) a＝0 時，a，b，c 排列數有 1×4×3＝12 (ii) c＝0 時，a，b，c 排列數有 3×4×1＝12
(iii) a＝c＝0 時，a，b，c 排列數有 1×4×1＝4，則 n(事件)＝12＋12＋4＝28 由(1)(2)得知所求的機率＝
64 28＝
16 7
答：16
7 (97 指考數乙 B)
18.設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組
= + +
−
= + +
= + +
c z y x
z b y x
z a y x
7 10 2
1 4
3
1 2
的敘述哪些是正確的？(98 學測 10)
(1)若此線性方程組有解，則必定恰有一組解 (2)若此線性方程組有解，則 11a－3b≠7 (3)若此線性方程組有解，則 c＝14
(4)若此線性方程組無解，則 11a－3b＝7 (5)若此線性方程組無解，則 c≠14
解1：(1)∵方程組的方程式均為空間中的平面，∴令 E1：x＋2y＋az＝1，E2：3x＋4y＋bz＝－1，E3：2x＋10y＋7z＝c
⇒若方程組有解，可能有一組解、無限多組解、無解
(2)∵∆＝
7 10 2
4 3
2 1
b a
＝22a－6b－14，則
(i)若方程組有一組解時，∆＝22a－6b－14≠0，∴11a－3b≠7
(ii)若方程組有無限多組解、無解時，∆＝22a－6b－14＝0，∴11a－3b＝7 (3) (i)若方程組有一組解，∆＝22a－6b－14≠0，∴11a－3b≠7
(ii)若方程組有無限多組解，則∆z＝ 10 c 2
1 4 3
1 2 1
− ＝28－2c＝0，∴c＝14
(4)由(2)知方程組有無解時，∆＝
7 10 2
4 3
2 1
b a
＝22a－6b－14＝0，∴11a－3b＝7
(5)若方程組有無限多組解時，∆z＝ 10 c 2
1 4 3
1 2 1
− ＝28－2c＝0，∴c＝14
(- 4)
解2：利用增廣矩陣列運算
− c b a 7 10 2
1 4
3
1 2
1
−
−
−
−
−
2 2
7 6 0
4 3
2 0
1 2
1
c a a b
a
− +
−
−
−
−
14 3
11 7 0 0
4 3
2 0
1 2
1
c b a
a b
a
(1)若方程組有解，可能有一組解、無限多組解、無解 (2)若方程組有解，則
(i)有一組解時，則 7－11a＋3b≠0，∴11a－3b≠7
(ii)無限多組解時，則 7－11a＋3b＝0，且 c－14＝0，∴11a－3b＝7 且 c＝14 (3)若方程組無解，則 7－11a＋3b＝0，且 c－14≠0，∴11a－3b＝7 且 c≠14 答：(4)(5)
19.對矩陣
b a 7 3
9
4 作列運算若干次後得到
1 1 0
1 0
1 ，則(a，b)＝_____ (98 指考數甲 B)
解1：增廣矩陣
b a 7 3
9
4 所代表的方程組
= +
= +
b y x
a y x
7 3
9
4 ，而列運算得解之增廣矩陣
1 1 0
1 0
1 代表的解為
=
= 1 1 y x
⇒代入方程組得
=
= 10 13 b a
解2：利用增廣矩陣的列運算
b a 7 3
9
4 →
b
a
7 3 1 49 4
→
−34
4 1
4 4 9
0 1
a a
b →
− a b
a
3 4 1 0
1 49 4
→
− +
− a b
a b
3 4 1 0
7 9 1 1
⇒
= +
−
=
−
1 4 3
1 9 7
b a
b
a ，得
=
= 10 13 b a
答：(13，10)
20.設有 A、B 兩支大瓶子，開始時，A 瓶裝有 a 公升的純酒精，B 瓶裝有 b 公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A 瓶的 溶液倒出一半到B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶，(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。設 n 輪操作後，
A 瓶有a 公升的溶液，B 瓶有n b 公升的溶液。已知二階方陣n
22 21
12 11
a a
a
a 滿足
n n
b
a ＝
n
a a
a
a
22 21
12
11
b
a 。(98 指考數乙二)
(1)求二階方陣
22 21
12 11
a a
a a
(2)當 a＝
3 2，b＝
3
1時，求a100及b100
(3)當 a＝
3 2，b＝
3
1時，在第二輪操作後，A 瓶溶液中有百分之多少的酒精？
解：(1)設原來 a＝a1，b＝b1 第1 輪：a2＝
2 1a＋
2 1( b＋
2 1a)＝
4 3a＋
2
1b b2＝ 2 1( b＋
2 1a)＝
4 1a＋
2 1b
⇒
2 2
b
a ＝
2 1 4 1 2
1 4 3
b
a ，∴得知
22 21
12 11
a a
a
a ＝
2 1 4 1 2
1 4 3
(2)當 a＝
3 2，b＝
3
1時，a2＝ 4 3a＋
2 1b＝
4 3×
3 2＋
2 1×
3 1＝
3 2
b2＝ 4 1a＋
2 1b＝
4 1×
3 2＋
2 1×
3 1＝
3
1，得知a100＝ 3
2；b100＝ 3 1
(3)∵第二輪
3 3
b
a ＝
2
2 1 4 1 2
1 4 3
3 13 2
＝
8 3 16
5 8
5 16 11
3 13 2
＝
3 13 2
×41
×(－3) ×4
×(−49)
-3
-2 3
