幾何條的數學
何詠欣 北角官立小學
楊麗琼
嘉諾撒聖家學校（九龍塘）
緒言
坊間提供不少幾何條套裝，給教師教授多邊形之用。一般來說，一套 幾何條包含幾種不同長度的膠條，每種有若干條。師生可自由組合這些幾 何條，製作小學數學課程中所涉及的多邊形，如直角三角形、直角梯形等 等。用幾何條製作多邊形，有助教師具體及形象化地向學生展示抽象的數 學概念，故幾何條可說是一件有效的教具（李婉婷、馮振業，2009，93）。
另一方面，幾何條也是一件合適的學具，讓學生親自動手操作，藉著教師 給定的幾何條，製作指定的多邊形，從中進行自由探索，並誘發屬於個人 的想法及理解（李婉婷、馮振業，2009，93）。
但從一套幾何條中，隨意抽出若干條，一定能製作你心目中的那個多 邊形嗎？若否，又能製作一個怎樣的多邊形呢？怎樣選取合適的幾何條分 發給學生，才可確保他們能製作一個教師指定的多邊形呢？
為解答以上的疑問，我們嘗試把自己當作幾何條套裝的設計者，藉考 慮小學數學課程中所涉及的各種三角形和四邊形的邊長比例，找出製作這 些多邊形所需的幾何條之間的長度比例，繼而設計一套不論長度種類和條 數都是最少，卻能夠製作全部課程涵蓋的三角形和四邊形的幾何條。
我們的設計
表 1 顯示了小學各級課程中有關多邊形的認識及製作的課題，當中涉 及的三角形和四邊形包括：等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰 直角三角形、不等邊三角形、正方形、長方形、菱形、鷂形、平行四邊形、
梯形、等腰梯形、直角梯形。
年級 課題 課題中出現的多邊形 一 平面圖形的認識 三角形、四邊形、五邊形、六邊形 二 四邊形認識 正方形、長方形、菱形、梯形
平行四邊形 平行四邊形 三
三角形的認識 直角三角形、等邊三角形、等腰三角形、
等腰直角三角形、不等邊三角形
四 認識四邊形 正方形、長方形、菱形、梯形（包括直角 梯形和等腰梯形）、平行四邊形、（鷂形）
表 1：小學數學課程中涉及多邊形的認識及製作的課題
若只運用某一種長度的幾何條（設該幾何條的長度為 X cm），可分別 製作一個等邊三角形、正方形及菱形，它們的邊長均為 X cm。故這套幾何 條最少需要四條 X cm 長的幾何條。
Xcm Xcm
Xcm
Xcm Xcm
Xcm Xcm
Xcm Xcm
Xcm Xcm
圖 1：等邊三角形 圖2：正方形 圖3：菱形
我們的設計將會以現有的幾何條作製作基礎，然後嘗試逐漸加上另一 種長度的幾何條，使它們能製作其他的三角形或四邊形，以確保發展出一 套不論長度種類和條數都是最少的幾何條。首先，我們可運用兩條已有的 X cm 長的幾何條及新增一條 2 X cm 長的幾何條，製作一個等腰直角三角 形。
圖4：等腰直角三角形
期後，運用 X cm 及 2 X cm 這兩種長度的幾何條，還可拼出一個長方 形、平行四邊形及鷂形，它們分別各有兩條 X cm 長和 2 X cm 長的邊。現 在為止，這套幾何條最少需要四條 X cm 長及兩條 2 X cm 長的幾何條。
圖 5：長方形 圖6：平行四邊形 圖 7：鷂形
考慮到小學數學課堂中除了出現等腰直角三角形，還存在其他的直角 三角形，故需新增一條 3 X cm 長的幾何條。
圖 8：直角三角形
我們發現運用已有的 X cm、 2 X cm 及 3 X cm 這三種長度的幾何條 製作等腰三角形，存在許多不同的組合。設 a、a、b 為三條直線，其中 a、
a 為兩條相等長度的直線。（a，a，b）表示 a、a 及 b 這三條直線能組合成 一個等腰三角形。以下是一些可能組合的舉隅：（X，X， 3 X）、（ 2 X，
2 X，X）、（ 2 X， 2 X， 3 X）。
圖 9：等腰三角形
除了上述談及的各種三角形，還餘下不等邊三角形未作討論。需已知 構作三角形的充要條件：設 a、b、c 為三種長度的直線，其中 a > b > c。
若 b + c > a，這三條直線能組成一個三角形。但以現有的幾何條長度
（X cm、 2 X cm 和 3 X cm）未能拼湊出一個不等邊三角形，故構作三角 形的討論暫且到此，待下文討論梯形的構作後再繼續。
接著，我們會討論製作梯形。在討論如何製作各種梯形前，我們先以 引理 A、引理 B 及一些定理說明若組成一個四邊形的四條直線能滿足製作 梯形的兩個充要條件，這個四邊形必能透過一些移動而得出一個梯形。
引理 A
假設有四種長度 a、b、c、d 的幾何條各一，其中 a ≥ b ≥ c ≥ d > 0。
一般而言，
a + c ≥ b + d， （1）
且等式成立當且僅當 a = b = c = d。
證明：從略。
引理 B
假設有四種長度 a、b、c、d 的幾何條各一，其中 a ≥ b ≥ c ≥ d > 0。
能以這四種長度的幾何條製作一個四邊形的充要條件為
b + c + d > a。 （2）
證明：以三角形不等式推廣至四邊形而得，此處從略。
定理
假設有四種長度 a、b、c、d 的幾何條各一，其中 a ≥ b ≥ c ≥ d > 0。
能以這四種長度的幾何條製作一個梯形的充要條件為：
（i） 四種長度並非完全相同；及
（ii） b + c + d > a。
證明：
要製作梯形，四種長度不可以完全相同，即充要條件（i），再根據引 理B，即充要條件（ii），由此可知（i）及（ii）乃製作梯形必要條件。
反過來，依（i）和引理 A 可知
a + c > b + d。 （3）
若 a、b、c、d 符合充要條件（i）及（ii），即可作得像下圖的梯形。
圖 10：梯形
先作長度為 a 的線段 AB，再在 AB 上作 P 點使 AP = d。由 d > 0 及四 種長度並非完全相同可知 P 不與 A 或 B 重疊。
以 B 為圓心，c 為半徑作圓 π，與 AB 相交於 Q（c ≤ a），AB 延長相交 於 Q'。
情況一：Q 在線段 PB 上
由（3）及（ii） 知 a − d + c > b > a − d − c，表示以 P 為圓心，b 為 半徑作圓，必與π 有 Q 和 Q' 以外的交點。
情況二：Q 在線段 AP 上
由（3）知 a − d + c > b，注意 PQ = c + d − a < c ≤ b，即知以 P 為圓心，
b 為半徑作圓，必與 π 有 Q 和 Q' 以外的交點。
無論如何，以 P 為圓心，b 為半徑作圓，必與 π 有線段 AB 以外的交點 C，作平行四邊形 APCD，即有所需梯形 ABCD。
由此可見，只要符合製作梯形的充要條件（i）及（ii），任何四條直線 能組成一個四邊形，必能透過一些移動而得出一個梯形。
接著，我們將逐步討論不同種類的梯形的製作方法。我們會以現有的 幾何條（當中包含了四條 X cm、兩條 2 X cm 及一條 3 X cm 長的幾何條）
作製作梯形的基礎。等腰梯形的特性是兩腰相等，設 a、b、b、c 為四條直 線，其中 b、b 為兩條相等長度的直線。（a，b，b，c）表示 a、b、b 及 c 這四條直線能組合成一個等腰梯形。以下是一些組成等腰梯形的舉隅：
（ 2 X，X，X，X）、（ 3 X，X，X，X）、（ 3 X，X，X， 2 X）、（ 3 X，
2 X， 2 X，X）。
下一個問題我們需考慮的是：以現有的三種幾何條長度是否足以製作 一個直角梯形？
圖11：直角梯形
從圖11 可見直角梯形必符合以下條件：（AB – CD）2 + AD2 = CB2。 可是現有的幾何條長度只有 X cm、 2 X cm 及 3 X cm，不論怎樣配搭，
也未能從這三種長度的幾何條中找出四條幾何條能符合以上的條件，可見
條。考慮到以現有的幾何條作製作基礎，我們會藉著將圖 2（正方形）或 圖 5（長方形）與圖 4 或圖 8 的直角三角形拼砌起來，得出一些直角梯形 的組合。而在拼砌的過程中，會衍生另一種長度的幾何條作為直角梯形的 一個底，包括：2X cm 或（ 2 +1）X cm 或 2 2 X cm 長的幾何條。以下是 一些直角梯形組合的舉隅：
圖2 及圖 4 的組合：（2X，X， 2 X，X）
圖11a：直角梯形 圖5 及圖 8 的組合：（2X， 2 X， 2 X，X）
圖11b：直角梯形
圖5 及圖 4 的組合：（（ 2 +1）X，X， 2 X， 2 X）
圖11c：直角梯形
圖2 及圖 8 的組合：（（ 2 +1）X，X， 3 X，X）
圖11d：直角梯形
圖5 及圖 8 的組合：（2 2 X，X， 3 X， 2 X）
圖11e：直角梯形
除了等腰梯形和直角梯形外，還存在一些梯形既沒有直角也沒有一對 等邊，而這類梯形也有必要在課堂上展示給學生認識。最簡便的做法是選 取四種不同長度的幾何條製作這類梯形，而我們剛好擁有四種長度的幾何 條，分別為 X cm、 2 X cm、 3 X cm 及 2X cm 或（ 2 +1）X cm 或 2 2 X cm。上文提到任何四條直線能組成一個四邊形，必能透過一些移動 而得出一個梯形，而且這四種長度的幾何條也分別符合製作梯形的充要條 件（i）及（ii），故這四種長度的幾何條能分別組成一個既沒有直角也沒有 一對等邊的梯形，這些組合分別為：（2X， 3 X， 2 X，X）或（2 2 X，
3 X， 2 X，X）或（（ 2 + 1）X， 3 X， 2 X，X）。
現在，我們可以回到不等邊三角形的討論了。以現有的幾何條能構作 出一些不等邊三角形，如：（X， 2 X，2X）或（X， 2 X， 2 + 1）X）
或（X， 2 X，2 2 X）。
由以上篇幅的論述可見，這套幾何條最少包含四條 X cm 長、兩條 2 X cm 長、一條 3 X cm 長及一條 2X cm 長或（ 2 + 1）X cm 長或 2 2 X cm 長的幾何條，以能夠製作全部課程涵蓋的三角形和四邊形的幾何 條。
結語
總括而言，教師在教授「四邊形認識」及「認識四邊形」這兩個課題 時，需預備四條 X cm 長、兩條 2 X cm 長、一條 3 X cm 長及一條 2X cm 長或（ 2 +1）X cm 長或 2 2 X cm 長的幾何條；在教授「平行四邊形」一 課題時，需預備兩條 X cm 長、兩條 2 X cm 長的幾何條；在教授「三角形 的認識」一課題時，需預備三條 X cm 長、一條 2 X cm 長、一條 3 X cm 長及一條2X cm 長或（ 2 + 1）X cm 長或 2 2 X cm 長的幾何條，以向學
生展示課題中所涉及的三角形或四邊形。
另外，教師可參閱附件中的表 2，分發所需的幾何條予學生，讓他們 動手製作教師指定的多邊形。值得一提的是在分發幾何條時，教師可考慮 只向學生提供製作某多邊形所需的幾何條，或多發額外的幾何條予學生，
以增加製作活動的難度，考驗學生能否選取合適的幾何條製作指定的多邊 形，但製作活動所需的時間會較長，這要視乎教師的教學需要，而作出選 取。
參考資料
李婉婷、馮振業（2009）。數學化教學的教具和學具應用。載黃家樂、李玉潔、潘維凱、
鄧國俊（編）。《香港數學教育會議2009 論文集》（頁 93-104）。香港：香港數學教 育學會。
*謹在此感謝馮振業老師為本文提供許多寶貴的意見。謝謝！
作者電郵： [email protected]
附件
表2 歸納了製作三角形及四邊形所需的幾何條的長度比例，當中 X 為 單位幾何條的長度，作讀者一個參考。
圖形 性質 所需的幾何條（舉隅）
四邊形 由四條線段圍成的 凸多邊形
正方形
Xcm Xcm
Xcm Xcm
兩組對邊分別平行 有一組鄰邊相等 有一個角是直角
（X，X，X，X）
菱形
Xcm Xcm
Xcm Xcm
兩組對邊分別平行 有一組鄰邊相等
（X，X，X，X）
長方形
Xcm Xcm
兩組對邊分別平行 有一個角是直角
（X， 2 X，X， 2 X）
平行四邊形
（四個角皆不是直角）
Xcm
Xcm
兩組對邊分別平行 （X， 2 X，X， 2 X）
鷂形
Xcm Xcm
有兩組鄰邊相等 （X， 2 X，X， 2 X）
梯形 只有一組對邊平行 線的四邊形
直角梯形 有一腰垂直於底 （a，b，c，d）
（2X，X， 2 X，X）或
（2X， 2 X， 3 X，X）
（（ 2 + 1）X，X， 2 X，
2 X）或
（（ 2 + 1）X，X， 3 X，X）
或（2 2 X，X， 3 X， 2 X）
等腰梯形 兩腰相等 （a，b，b，d）
（ 2 X，X，X，X）
（ 3 X，X，X，X）
（ 3 X，X，X， 2 X）
（ 3 X， 2 X， 2 X，X）
不等邊梯形 四條邊的長度皆 不相等
（a，b，c，d）
（2X， 3 X， 2 X，X）或
（2 2 X， 3 X， 2 X，X）
或
（（ 2 + 1）X， 3 X， 2 X，
X）
三角形 由三條線段圍成的 封閉圖形
等邊三角形
Xcm Xcm
Xcm
三條邊都相等 （X，X，X）
等腰直角三角形
Xcm Xcm
三邊中有兩邊相等 有一個角是直角
（X，X， 2 X）
直角三角形
Xcm
有一個角是直角 （ 2 X， 3 X，X）
等腰三角形 三邊中有兩邊相等 （a，a，b）
（X，X， 3 X）
（ 2 X， 2 X，X）
（ 2 X， 2 X， 3 X）
不等邊三角形
c a b
三邊兩兩不等 （a，b，c）
（X， 2 X，2X）
或（X， 2 X，（ 2+ 1）X）
或（X， 2 X，2 2 X）
表 2
