因式分解法解一元二次方程式

一元二次方程式及其解 一元二次方程式及其解

自我評量

因式分解法解一元二次方程式

因式分解法解一元二次方程式

高伯伯有一塊長、寬分別為 x ＋ 5 公尺與 x 公尺的長方形菜圃

，面積為 84 平方公尺，則由長方

形的面積公式可得等式 x （ x ＋ 5 ）

＝ 84 。我們可將等式展開為 x

＋ 5x ＝ 84 ，再移 項整

理成 x

＋ 5x － 84 ＝ 0( 等號一邊為 0 的形式 ) 。

只含有一種未知數 x ，且未知數的最 高次數是 2 的等式，如果可以整理成 ax

＋ bx

＋ c ＝ 0 （ a≠0 ）的形式，稱為 一元二次方程 式。

例如 x （ 2x － 3 ）＝ 14 、 2x

－ x ＝ 3 、－ x

＋ 5x － 1 ＝ 2 都是一元二次方程式。

但在本教材中，我們只討論係數為有理數的方 程式。

5

請依下列敘述列出一元二次方程式：

(1) 已知 2x 與 x ＋ 1 兩數的乘積為 40 ，可列 得一元二次方程式： _________________

(2) 如右圖，平行四邊形底邊的長 。 為 x ＋ 2 ，高為 x － 1 ，若面 積為 18 ，則依平行四邊形面積 公式可列得一元二次方程式： __

__________________

2x （ x ＋ 1 ）＝ 40

（ x ＋ 2 ）（ x － 1 ）＝ 18

我們學過，要判斷一個數是不是方程 式的解，只要將該數代入方程式，看看是否能 讓方程式的等號成立。例如，要判斷 0 、 1 、 2 、 3 是不是方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 的解，我 們可將 x ＝ 0 、 1 、 2 、 3 逐一代入方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 中：

(1) 將 x ＝ 0 代入得 0

－ 3 0 ‧ ＋ 2≠0 ，所以 0 不是方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 的解。

(2) 將 x ＝ 1 代入得 1

－ 3 1 ‧ ＋ 2 ＝ 0 ，所以 1 是方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 的解。

(3) 將 x ＝ 2 代入得 2

－ 3 2 ‧ ＋ 2 ＝ 0 ，所以 2 是方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 的解。

(4) 將 x ＝ 3 代入得 3

－ 3 3 ‧ ＋ 2≠0 ，所以 3

不是方程式 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0 的解。

下列哪些敘述是正確的？

(A) 1 是 x

－ 3x ＋ 4 ＝ 0 的解 (B) － 2 是 x

＋ 12x ＋ 20 ＝ 0

的解

(C) 3 是 (x － 2) (x ＋ 3) ＝ 1 的解 (D) 5 是 (x － 4) (x ＋ 3) ＝ 0 的 解

(E) 4 是 (x － 4) (x ＋ 3) ＝ 0 的解 (F) － 3 是 (x － 4) (x ＋ 3) ＝ 0

的解

(B) (E) (F)

配合習作 P43 基礎題 1

由隨堂練習可知 4 及－ 3 均為方程式（ x

－ 4 ）（ x ＋ 3 ）＝ 0 的解，其實我們可以運用

「如果 A ． B ＝ 0 ，則 A 、 B 兩數中至少有一數 為 0 」的性質，很快的找出這兩個解：

（ x － 4 ）（ x ＋ 3 ）＝ 0 則 x － 4 ＝ 0 或 x

＋ 3 ＝ 0

x ＝ 4 或 x ＝－ 3

因為任何 x≠4 且 x≠ － 3 的值均無法 使（ x － 4 ）（ x ＋ 3 ）的值為 0 ，所以只有 4 及－ 3 是一元二次方程式（ x － 4 ）（ x ＋ 3 ）

＝ 0 的解。

A ． B ＝ 0 則 A ＝ 0 或 B ＝ 0

求下列一元二次方程式的解：

(1) （ x ＋ 2 ）（ x － 3 ）＝ 0

(2) （ 3x － 2 ）（ 2x ＋ 5 ）＝ 0

＋ 2 ＝ 0 或 x － 3

＝ 0

x

＝－ 2 或 x ＝ 3

3x － 2 ＝ 0 或 2x ＋ 5

＝ 0

x ＝ 或 x ＝－

3 2

5 2

形如 ax

＋ bx ＋ c ＝ 0 的方程式，等 號左邊的二次式 ax

＋ bx ＋ c 如果可以利用因 式分解的方法分成兩個一次式的乘積時，就可 如前面的隨堂練習一樣，求得此方程式的解。

以下我們就來介紹一些利用因式分解來解一元

二次方程式的例子。

1

提單項公因式

解下列一元二次方程式：

(1)2x

－ 5x ＝ 0 (2) x

＝ 3x

配合習作 P43 基礎題 2(1)

解 解 (1) 因為 2x

－ 5x 可提出公因式 x ，因式分 解為 x(2x － 5) ，

所以 2x

－ 5x ＝ 0

即 x （ 2x － 5 ）＝ 0

得 x ＝ 0 或 2x － 5 ＝ 0 x ＝ 0 或 x ＝

方程式 2x

－ 5x ＝ 0 的解為 0 與 5 2

2 5

提出公因式 x

解 解 (2) x

＝ 3x

x

－ 3x ＝ 0

x （ x － 3 ）＝ 0

x ＝ 0 或 x － 3 ＝ 0 x ＝ 0 或 x ＝ 3

方程式 x

＝ 3x 的解為 0 與 3 。

移項

提出公因式 x

利用因式分解求解

時，要先使等號的

一邊為 0 。

解下列一元二次方程式：

(1) 6x

＋ 2x ＝ 0 (2) x

＝－ 2x

＋ 2x ＝ 0

x

（ x ＋ 2 ）＝

0

x

＝ 0 或 x ＝－

2 2x （ 3x ＋ 1 ）＝

0

x

＝ 0 或 x ＝－ 1 3

由例題 1 及隨堂練習可以知道，

如果一元二次方程式缺常數項（即常

數項為 0 ），我們可以利用提出公因式的方法

來求解。因為必可提出公因式 x ，所以此類方

程式必有一個解為 0 。

2

提多項公因式 解 解

解一元二次方程式 5x （ 3x ＋ 1 ）＝ 2 （ 3x ＋ 1 ）。

5x （ 3x ＋ 1 ）＝ 2 （ 3x ＋ 1 ）

5x

（ 3x ＋ 1 ）（ 5x － 2 ）＝ 0

3x ＋ 1 ＝ 0 或 5x － 2 ＝ 0 x ＝－ 或 x ＝

方程式 5x （ 3x ＋ 1 ）＝ 2 （ 3x ＋ 1 ） 的解為－ 與

1 3

5 2 5 2 3 1

移項

提出公因式 3x ＋ 1

配合習作 P43 基礎題 2(2)

如果解例題 2 時，一開始就將等號兩邊同除以 3 x ＋ 1 ，最後求得的解會與上面的答案相同嗎？

為什麼？

5x （ 3x ＋ 1 ）＝ 2 （ 3x ＋ 1 ）兩邊同除以 3x ＋ 1 得 5x ＝ 2 ， x ＝

少了一個解（ x ＝－ ）。

5 2

1 3

解下列一元二次方程式：

(1) x （ x ＋ 3 ）－ 4 （ x ＋ 3 ）

＝ 0

(2) （ x － 4 ）（ 5x － 2 ）＝－ 2 （ 5x － 2 ）

（ x ＋ 3 ）（ x － 4 ）

＝ 0

x

＝－ 3 或 x ＝ 4

（ x － 4 ）（ 5x － 2 ）＋ 2 （ 5x － 2 ）＝ 0

（ 5x － 2 ）〔（ x － 4 ）＋ 2 〕＝ 0

（ 5x － 2 ）（ x － 2 ）＝ 0

5 2

3

平方差公式

解下列一元二次方程式：

(1) x

－ 16 ＝ 0 (2) （ 2x ＋ 1 ）

＝ 19

解 解 (1) x

－ 16 ＝ 0 即 x

－ 4

＝ 0

（ x ＋ 4 ）（ x － 4 ）＝ 0 x ＋ 4 ＝ 0 或 x － 4 ＝ 0

x ＝－ 4 或 x ＝ 4 （簡記成 x ＝ ± 4 ）

方程式 x

－ 16 ＝ 0 的解為 ±4

。

平方差公式

配合習作 P43 基礎題 2(3)

解 解 (2) （ 2x ＋ 1 ）

＝ 19

（ 2x ＋ 1 ）

－ 19

＝ 0

〔 (2x ＋ 1) ＋ 19 〕〔 (2x ＋ 1) － 19 〕

＝ 0

（ 2x ＋ 20 ）（ 2x － 18 ）＝ 0 2x ＋ 20 ＝ 0 或 2x － 18 ＝ 0

x ＝－ 10 或 x ＝ 9

方程式（ 2x ＋ 1 ）

＝ 19

的解為－ 1 0 與 9 。

移項

平方差公式

解下列一元二次方程式：

(1) x

－ 1 ＝ 0

(x ＋ 1) (x － 1) ＝ 0

x ＝－ 1 或 x ＝ 1

17

－ (3 － 2x)

＝ 0

〔 17 ＋ (3 － 2x) 〕〔 17 － (3 － 2x) 〕＝

0

(20 － 2x) (14 ＋ 2x) ＝ 0

(2)17

＝（ 3 － 2x ）

4

十字交乘法

解下列一元二次方程式：

(1) x

－ 6x ＋ 9 ＝ 0 (2) 3x

＋ 11x ＋ 6 解 ＝ 0

解

x － 3 x － 3

－ 3x － 3x ＝－

6x (1) x

－ 6x ＋ 9 ＝ 0

（ x － 3 ）（ x － 3 ）＝ 0 x － 3 ＝ 0 或 x － 3 ＝ 0

x ＝ 3 或 x ＝ 3

方程式 x

－ 6x ＋ 9 ＝ 0 的解為 3 （重根）。

十字交乘法

重根指兩根相同

配合習作 P43 、 44 基礎題 2(4)(5)

解 解 (2) 3x

＋ 11x ＋ 6 ＝ 0

（ 3x ＋ 2 ）（ x ＋ 3 ）＝ 0 3x ＋ 2 ＝ 0 或 x ＋ 3 ＝ 0

x ＝－ 或 x ＝－ 3

方程式 3x

＋ 11x ＋ 6 ＝ 0 的解是－

與－ 3 。 3 2

3 2 3x ＋ 2

x ＋ 3 9x ＋ 2x ＝ 11x

十字交乘法

解下列一元二次方程式：

(1) x

＋ 4x ＋ 4 ＝ 0

（ x ＋ 2 ）（ x ＋ 2 ）＝ 0

x

＝－ 2 或 x ＝－ 2

x ＋ 2 x ＋ 2

2x ＋ 2x ＝ 4x

(2) 5x

＋ 3x － 14 ＝ 0

（ x ＋ 2 ）（ 5x － 7 ）＝ 0

x

＝－ 2 或 x ＝ 5 7

x ＋ 2

5x － 7 － 7x ＋ 10x

＝ 3x

5

移項展開

解下列一元二次方程式：

(1) 2x

＋ 7x ＝－ 6 (2) （ x ＋ 2 ）（ x － 4 ）＝ 7

解 解 (1) 2x

＋ 7x ＝－ 6

2x

＋ 7x ＋ 6 ＝ 0

（ 2x ＋ 3 ）（ x ＋ 2 ）＝ 0 2x ＋ 3 ＝ 0 或 x ＋ 2 ＝ 0

x ＝－ 或 x ＝－ 2

方程式 2x

＋ 7x ＝－ 6 的解是－

與－ 2 。 2 3

2 3

2x ＋ 3 x ＋ 2 4x ＋ 3x ＝ 7 x

配合習作 44 基礎題 2(6)

解 解 (2) （ x ＋ 2 ）（ x － 4 ）＝ 7 x

－ 4x ＋ 2x － 8 ＝ 7

x

－ 2x － 15 ＝ 0

（ x － 5 ）（ x ＋ 3 ）＝ 0 x － 5 ＝ 0 或 x ＋ 3 ＝ 0

x ＝ 5 或 x ＝－ 3

方程式（ x ＋ 2 ）（ x － 4 ）＝ 7 的解 為 5 與－ 3

x － 5 x ＋ 3 3x － 5x ＝－ 2 x

展開

移項合併

解下列一元二次方程式：

(1) 3x

－ 5 ＝ 2x

3x

－ 2x － 5 ＝ 0

（ x ＋ 1 ）（ 3x － 5 ）＝ 0

x ＝－ 1 或 x ＝

3 5

x ＋ 1

3x － 5

－ 5x ＋ 3x ＝－ 2x

(2) （ x ＋ 2 ）（ x － 1 ）＝ 10

－ x ＋ 2x － 2 － 10 ＝ 0

x²

＋ x － 12 ＝ 0

（ x － 3 ）（ x ＋ 4 ）＝

0

x

＝ 3 或 x ＝－ 4

x － 3 x ＋ 4

4x － 3x ＝ x

6

係數化簡

解下列一元二次方程式：

(1) x

＋ x － ＝ 0 (2) 8x

－ 24x

＋ 16 ＝ 0 解 解

2 3

1 4

4 5

(1) 將等式的左右兩邊同乘以 4 得 6x

＋ x － 5 ＝ 0

（ 6x － 5 ）（ x ＋ 1 ）＝ 0 6x － 5 ＝ 0 或 x ＋ 1 ＝ 0

x ＝ 或 x ＝－ 1

方程式 x

＋ x － ＝ 0 的 解為 與－ 1 。

6 5

6x － 5 x ＋ 1 6x － 5x ＝ x

2 3

4 1

5 4 6 5

配合習作 P44 基礎題 2(7)(8)

解 解 (2) 將等式的左右兩邊同除以 8 得 x

－ 3x ＋ 2 ＝ 0

（ x － 1 ）（ x － 2 ）＝ 0 x － 1 ＝ 0 或 x － 2 ＝ 0

x ＝ 1 或 x ＝ 2

方程式 8x

－ 24x ＋ 16 ＝ 0 的解為 1 與 2 。

x － 1 x － 2

－ 2x － x ＝－ 3x

解下列一元二次方程式：

(1) x

＋ x － 4 ＝ 0 3 5 3x

＋ 5x － 12 ＝ 0

（ x ＋ 3 ）（ 3x － 4 ）

＝ 0

x ＝－ 3 或 x ＝

3 4

x ＋ 3

3x － 4

－ 4x ＋ 9x ＝ 5x

(2) 7x

－ 7x － 42 ＝ 0

－ x － 6 ＝ 0

（ x ＋ 2 ）（ x － 3 ）

＝ 0

x

＋ 2 ＝ 0 或 x － 3 ＝ 0

x

＝－ 2 或 x ＝ 3

x ＋ 2 x － 3

－ 3x ＋ 2x ＝－

x

7

綜合比較

解下列一元二次方程式： (x － 2)

＋ 3(x － 2)

＝ 0 解一 解一

（ x － 2 ）

＋ 3 （ x － 2 ）＝ 0

（ x － 2 ）〔（ x － 2 ）＋ 3 〕＝ 0

（ x － 2 ）（ x ＋ 1 ）＝ 0 x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1 ＝ 0 x ＝ 2 或 x ＝－ 1

方程式（ x － 2 ）

＋ 3 （ x － 2 ）＝ 0 的解為 2 與－ 1

提出公因式 x － 2

解二 解二

（ x － 2 ）

＋ 3 （ x － 2 ）＝ 0 x

－ 4x ＋ 4 ＋ 3x － 6 ＝ 0

x

－ x － 2 ＝ 0

（ x － 2 ）（ x ＋ 1 ）＝ 0 x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1 ＝ 0 x ＝ 2 或 x ＝－ 1

方程式（ x － 2 ）

＋ 3 （ x － 2 ）＝ 0 的解為 2 與－ 1 。

x － 2

x ＋ 1

x － 2x ＝－ x

展開

解下列一元二次方程式：（ x ＋ 5 ）

－（ x

＋ 5 ）＝ 0

（ x ＋ 5 ）〔（ x ＋ 5 ）－ 1 〕

＝ 0

（ x ＋ 5 ）（ x ＋ 4 ）＝ 0

＝－ 5 或 x ＝－ 4

8

綜合比較

解下列一元二次方程式 (2x ＋ 3)

＝ (x － 2)

（ 2x ＋ 3 ）

＝（ x － 2 ）

（ 2x ＋ 3 ）

－（ x － 2 ）

＝ 0

〔 (2x ＋ 3) ＋ (x － 2) 〕〔 (2x ＋ 3) － (x － 2) 〕

＝ 0

（ 3x ＋ 1 ）（ x ＋ 5 ）＝ 0 3x ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ 5 ＝ 0 x ＝－ 或 x ＝－ 5

方程式 (2x ＋ 3)

＝ (x － 2)

的解為－ 與－

5 。

1 3

1 3

平方差公式

解一 解一

解二解二

（ 2x ＋ 3 ）

＝（ x － 2 ）

4x

＋ 12x ＋ 9 ＝ x

－ 4x ＋ 4 3x

＋ 16x ＋ 5 ＝ 0

（ 3x ＋ 1 ）（ x ＋ 5 ）＝ 0 3x ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ 5 ＝ 0 x ＝－ 或 x ＝－ 5

方程式 (2x ＋ 3)

＝ (x － 2)

的解為－ 與

－ 5 。 1 3

1 3

3x ＋ 1

x ＋ 5

15x ＋ x ＝ 16x

（ 3x － 2 ）

－（ x － 2 ）

＝ 0

〔 (3x － 2) ＋ (x － 2) 〕〔 (3x － 2) － (x － 2) 〕＝ 0

（ 4x － 4 ）‧ 2x ＝ 0

解一元二次方程式（ 3x － 2 ）

＝（ x －

2 ）

1. 一元二次方程式：可以整理成 ax

＋ bx ＋ c

＝ 0 （ a≠0 ）的形式，只含有一種未知數 x ， 且未知數最高次數是 2 的等式，稱為一元二 次方程式。

2. 因式分解法解一元二次方程式：形如 ax

＋ b x ＋ c ＝ 0 的方程式，若等號左邊的二次式 ax

2

＋ bx ＋ c 可以因式分解成兩個一次式的乘積

，則可以運用「如果 A‧B ＝ 0 ，則 A 、 B

兩數中至少有一數為 0 」的性質來求解。

4-1 自我評量

1. 下列哪些敘述是正確的？

(A) 1 是 3x

－ 5x － 4 ＝ 0 的解 (B) － 2 是 x

－ 3x － 10 ＝ 0 的解 (C) 3 是 (x － 3)(x ＋ 2) ＝ 1 的解

(D) － 是（ x ＋ 1 ）（ 3x ＋ 2 ）＝ 0 的解 3 2

2. 解下列一元二次方程式：

(1) x

＋ 7x ＝ 0

(2) 4x （ 5x － 2 ）＝ 3 （ 5x － 2 ）

＝ 0

x ＝ 0 或 x ＝

－ 74x （ 5x － 2 ）－ 3 （ 5x － 2 ）＝ 0

（ 5x － 2 ）（ 4x － 3 ）＝ 0 x ＝ 或 x ＝

5 2

4 3

(3) （ x ＋ 2 ）

＝ 4x

（ x ＋ 2 ） ² － 4x² ＝ 0

（ x ＋ 2 ） ² －（ 2x ） ² ＝ 0

〔（ x ＋ 2 ）＋ 2x 〕〔（ x ＋ 2 ）－ 2 x 〕＝ 0

（ 3x ＋ 2 ）（－ x ＋ 2 ）＝ 0 x ＝－ 或 x ＝ 2

3 2

(4) x

－ 8x ＋ 16 ＝ 0

x² － 2‧x 4‧ ＋ 4²

＝ 0

（ x － 4 ） ² ＝ 0 x ＝ 4 （重根）

(5) 2x

－ x － 6 ＝ 0

x － 2 2x ＋ 3 3x － 4x ＝－ x

（ x － 2 ）（ 2x ＋ 3 ）＝ 0

x ＝ 2 或 x ＝－

2 3

(6) 12x

－ 76x ＋ 112 ＝ 0

同除以 4 得 3x² － 19x ＋ 28 ＝ 0

x － 4

3x － 7

－ 7x － 12x ＝－ 19x

（ x － 4 ）（ 3x － 7 ）＝ 0

x ＝ 4 或 x ＝

3 7

(7) （ x ＋ 1 ）（ x － 5 ）＝ 7

x ＋ 2

－ 6x ＋ 2x ＝－ 4

x² － 5x ＋ x － 5 － 7

＝ 0

x² － 4x － 12 ＝ 0

（ x ＋ 2 ）（ x － 6 ）＝

0

x ＝－ 2 或 x ＝ 6

(8) x

＋ x － ＝ 0 12 5

1 4

同乘以 12 得 12x² ＋ 5x － 3 ＝ 0

3x － 1

4x ＋ 3 9x － 4x ＝ 5x

（ 3x － 1 ）（ 4x ＋ 3 ）

＝ 0

x ＝ 或 x ＝－

3 1

4 3

(9) 6x

＋ 13x － 8 ＝ 0

2x － 1 3x ＋ 8 16x － 3x ＝ 13x

（ 2x － 1 ）（ 3x ＋ 8 ）＝

0

x ＝ 或 x ＝－

2 1

3 8

(10) 1.5x

－ 0.5x ＝ 2

同乘以 2 得 3x² － x － 4 ＝ 0

x ＋ 1

3x － 4

－ 4x ＋ 3x ＝－ x

（ x ＋ 1 ）（ 3x － 4 ）＝

0

x ＝－ 1 或 x ＝

3 4

(11) （ 2x ＋ 3 ）（ x － 1 ）＝（ x － 1 ）

（ 2x ＋ 3 ）（ x － 1 ）－（ x － 1 ） ²

＝ 0

（ x － 1 ）〔（ 2x ＋ 3 ）－（ x － 1 ）〕＝ 0

（ x － 1 ）（ x ＋ 4 ）＝ 0

x ＝ 1 或 x ＝－ 4

(12) （ 2x ＋ 3 ）（ 2x － 3 ）＝ 35x

（ 2x ） ² － 3² － 35x ＝ 0

4x² － 35x － 9 ＝ 0

x － 9 4x ＋ 1

（ x － 9 ）（ 4x ＋ 1 ）＝ 0

x ＝ 9 或 x ＝－

4 1