一元二次方程式及其解 一元二次方程式及其解
自我評量
因式分解法解一元二次方程式
因式分解法解一元二次方程式
高伯伯有一塊長、寬分別為 x + 5 公尺與 x 公尺的長方形菜圃
,面積為 84 平方公尺,則由長方
形的面積公式可得等式 x ( x + 5 )
= 84 。我們可將等式展開為 x
2+ 5x = 84 ,再移 項整
理成 x
2+ 5x - 84 = 0( 等號一邊為 0 的形式 ) 。
只含有一種未知數 x ,且未知數的最 高次數是 2 的等式,如果可以整理成 ax
2+ bx
+ c = 0 ( a≠0 )的形式,稱為 一元二次方程 式。
例如 x ( 2x - 3 )= 14 、 2x
2- x = 3 、- x
2+ 5x - 1 = 2 都是一元二次方程式。
但在本教材中,我們只討論係數為有理數的方 程式。
5
請依下列敘述列出一元二次方程式:
(1) 已知 2x 與 x + 1 兩數的乘積為 40 ,可列 得一元二次方程式: _________________
(2) 如右圖,平行四邊形底邊的長 。 為 x + 2 ,高為 x - 1 ,若面 積為 18 ,則依平行四邊形面積 公式可列得一元二次方程式: __
__________________
2x ( x + 1 )= 40
( x + 2 )( x - 1 )= 18
我們學過,要判斷一個數是不是方程 式的解,只要將該數代入方程式,看看是否能 讓方程式的等號成立。例如,要判斷 0 、 1 、 2 、 3 是不是方程式 x
2- 3x + 2 = 0 的解,我 們可將 x = 0 、 1 、 2 、 3 逐一代入方程式 x
2- 3x + 2 = 0 中:
(1) 將 x = 0 代入得 0
2- 3 0 ‧ + 2≠0 ,所以 0 不是方程式 x
2- 3x + 2 = 0 的解。
(2) 將 x = 1 代入得 1
2- 3 1 ‧ + 2 = 0 ,所以 1 是方程式 x
2- 3x + 2 = 0 的解。
(3) 將 x = 2 代入得 2
2- 3 2 ‧ + 2 = 0 ,所以 2 是方程式 x
2- 3x + 2 = 0 的解。
(4) 將 x = 3 代入得 3
2- 3 3 ‧ + 2≠0 ,所以 3
不是方程式 x
2- 3x + 2 = 0 的解。
下列哪些敘述是正確的?
(A) 1 是 x
2- 3x + 4 = 0 的解 (B) - 2 是 x
2+ 12x + 20 = 0
的解
(C) 3 是 (x - 2) (x + 3) = 1 的解 (D) 5 是 (x - 4) (x + 3) = 0 的 解
(E) 4 是 (x - 4) (x + 3) = 0 的解 (F) - 3 是 (x - 4) (x + 3) = 0
的解
(B) (E) (F)
配合習作 P43 基礎題 1
由隨堂練習可知 4 及- 3 均為方程式( x
- 4 )( x + 3 )= 0 的解,其實我們可以運用
「如果 A . B = 0 ,則 A 、 B 兩數中至少有一數 為 0 」的性質,很快的找出這兩個解:
( x - 4 )( x + 3 )= 0 則 x - 4 = 0 或 x
+ 3 = 0
x = 4 或 x =- 3
因為任何 x≠4 且 x≠ - 3 的值均無法 使( x - 4 )( x + 3 )的值為 0 ,所以只有 4 及- 3 是一元二次方程式( x - 4 )( x + 3 )
= 0 的解。
A . B = 0 則 A = 0 或 B = 0
求下列一元二次方程式的解:
(1) ( x + 2 )( x - 3 )= 0
(2) ( 3x - 2 )( 2x + 5 )= 0
x+ 2 = 0 或 x - 3
= 0
x
=- 2 或 x = 3
3x - 2 = 0 或 2x + 5
= 0
x = 或 x =-
3 2
5 2
形如 ax
2+ bx + c = 0 的方程式,等 號左邊的二次式 ax
2+ bx + c 如果可以利用因 式分解的方法分成兩個一次式的乘積時,就可 如前面的隨堂練習一樣,求得此方程式的解。
以下我們就來介紹一些利用因式分解來解一元
二次方程式的例子。
1
提單項公因式
解下列一元二次方程式:
(1)2x
2- 5x = 0 (2) x
2= 3x
配合習作 P43 基礎題 2(1)
解 解 (1) 因為 2x
2- 5x 可提出公因式 x ,因式分 解為 x(2x - 5) ,
所以 2x
2- 5x = 0
即 x ( 2x - 5 )= 0
得 x = 0 或 2x - 5 = 0 x = 0 或 x =
方程式 2x
2- 5x = 0 的解為 0 與 5 2
2 5
提出公因式 x
解 解 (2) x
2= 3x
x
2- 3x = 0
x ( x - 3 )= 0
x = 0 或 x - 3 = 0 x = 0 或 x = 3
方程式 x
2= 3x 的解為 0 與 3 。
移項
提出公因式 x
利用因式分解求解
時,要先使等號的
一邊為 0 。
解下列一元二次方程式:
(1) 6x
2+ 2x = 0 (2) x
2=- 2x
x2+ 2x = 0
x
( x + 2 )=
0
x
= 0 或 x =-
2 2x ( 3x + 1 )=
0
x
= 0 或 x =- 1 3
由例題 1 及隨堂練習可以知道,
如果一元二次方程式缺常數項(即常
數項為 0 ),我們可以利用提出公因式的方法
來求解。因為必可提出公因式 x ,所以此類方
程式必有一個解為 0 。
2
提多項公因式 解 解
解一元二次方程式 5x ( 3x + 1 )= 2 ( 3x + 1 )。
5x ( 3x + 1 )= 2 ( 3x + 1 )
5x
( 3x + 1 )- 2 ( 3x + 1 )= 0( 3x + 1 )( 5x - 2 )= 0
3x + 1 = 0 或 5x - 2 = 0 x =- 或 x =
方程式 5x ( 3x + 1 )= 2 ( 3x + 1 ) 的解為- 與
1 3
5 2 5 2 3 1
移項
提出公因式 3x + 1
配合習作 P43 基礎題 2(2)
如果解例題 2 時,一開始就將等號兩邊同除以 3 x + 1 ,最後求得的解會與上面的答案相同嗎?
為什麼?
5x ( 3x + 1 )= 2 ( 3x + 1 )兩邊同除以 3x + 1 得 5x = 2 , x =
少了一個解( x =- )。
5 2
1 3
解下列一元二次方程式:
(1) x ( x + 3 )- 4 ( x + 3 )
= 0
(2) ( x - 4 )( 5x - 2 )=- 2 ( 5x - 2 )
( x + 3 )( x - 4 )
= 0
x
=- 3 或 x = 4
( x - 4 )( 5x - 2 )+ 2 ( 5x - 2 )= 0
( 5x - 2 )〔( x - 4 )+ 2 〕= 0
( 5x - 2 )( x - 2 )= 0
x = 或 x = 25 2
3
平方差公式
解下列一元二次方程式:
(1) x
2- 16 = 0 (2) ( 2x + 1 )
2= 19
2解 解 (1) x
2- 16 = 0 即 x
2- 4
2= 0
( x + 4 )( x - 4 )= 0 x + 4 = 0 或 x - 4 = 0
x =- 4 或 x = 4 (簡記成 x = ± 4 )
方程式 x
2- 16 = 0 的解為 ±4
。
平方差公式
配合習作 P43 基礎題 2(3)
解 解 (2) ( 2x + 1 )
2= 19
2( 2x + 1 )
2- 19
2= 0
〔 (2x + 1) + 19 〕〔 (2x + 1) - 19 〕
= 0
( 2x + 20 )( 2x - 18 )= 0 2x + 20 = 0 或 2x - 18 = 0
x =- 10 或 x = 9
方程式( 2x + 1 )
2= 19
2的解為- 1 0 與 9 。
移項
平方差公式
解下列一元二次方程式:
(1) x
2- 1 = 0
(x + 1) (x - 1) = 0
x =- 1 或 x = 1
17
2- (3 - 2x)
2= 0
〔 17 + (3 - 2x) 〕〔 17 - (3 - 2x) 〕=
0
(20 - 2x) (14 + 2x) = 0
x = 10 或 x =- 7(2)17
2=( 3 - 2x )
24
十字交乘法
解下列一元二次方程式:
(1) x
2- 6x + 9 = 0 (2) 3x
2+ 11x + 6 解 = 0
解
x - 3 x - 3
- 3x - 3x =-
6x (1) x
2- 6x + 9 = 0
( x - 3 )( x - 3 )= 0 x - 3 = 0 或 x - 3 = 0
x = 3 或 x = 3
方程式 x
2- 6x + 9 = 0 的解為 3 (重根)。
十字交乘法
重根指兩根相同
配合習作 P43 、 44 基礎題 2(4)(5)
解 解 (2) 3x
2+ 11x + 6 = 0
( 3x + 2 )( x + 3 )= 0 3x + 2 = 0 或 x + 3 = 0
x =- 或 x =- 3
方程式 3x
2+ 11x + 6 = 0 的解是-
與- 3 。 3 2
3 2 3x + 2
x + 3 9x + 2x = 11x
十字交乘法
解下列一元二次方程式:
(1) x
2+ 4x + 4 = 0
( x + 2 )( x + 2 )= 0
x
=- 2 或 x =- 2
x + 2 x + 2
2x + 2x = 4x
(2) 5x
2+ 3x - 14 = 0
( x + 2 )( 5x - 7 )= 0
x
=- 2 或 x = 5 7
x + 2
5x - 7 - 7x + 10x
= 3x
5
移項展開
解下列一元二次方程式:
(1) 2x
2+ 7x =- 6 (2) ( x + 2 )( x - 4 )= 7
解 解 (1) 2x
2+ 7x =- 6
2x
2+ 7x + 6 = 0
( 2x + 3 )( x + 2 )= 0 2x + 3 = 0 或 x + 2 = 0
x =- 或 x =- 2
方程式 2x
2+ 7x =- 6 的解是-
與- 2 。 2 3
2 3
2x + 3 x + 2 4x + 3x = 7 x
配合習作 44 基礎題 2(6)
解 解 (2) ( x + 2 )( x - 4 )= 7 x
2- 4x + 2x - 8 = 7
x
2- 2x - 15 = 0
( x - 5 )( x + 3 )= 0 x - 5 = 0 或 x + 3 = 0
x = 5 或 x =- 3
方程式( x + 2 )( x - 4 )= 7 的解 為 5 與- 3
x - 5 x + 3 3x - 5x =- 2 x
展開
移項合併
解下列一元二次方程式:
(1) 3x
2- 5 = 2x
3x
2- 2x - 5 = 0
( x + 1 )( 3x - 5 )= 0
x =- 1 或 x =
3 5
x + 1
3x - 5
- 5x + 3x =- 2x
(2) ( x + 2 )( x - 1 )= 10
x2- x + 2x - 2 - 10 = 0
x2
+ x - 12 = 0
( x - 3 )( x + 4 )=
0
x
= 3 或 x =- 4
x - 3 x + 4
4x - 3x = x
6
係數化簡
解下列一元二次方程式:
(1) x
2+ x - = 0 (2) 8x
2- 24x
+ 16 = 0 解 解
2 3
1 4
4 5
(1) 將等式的左右兩邊同乘以 4 得 6x
2+ x - 5 = 0
( 6x - 5 )( x + 1 )= 0 6x - 5 = 0 或 x + 1 = 0
x = 或 x =- 1
方程式 x
2+ x - = 0 的 解為 與- 1 。
6 5
6x - 5 x + 1 6x - 5x = x
2 3
4 1
5 4 6 5
配合習作 P44 基礎題 2(7)(8)
解 解 (2) 將等式的左右兩邊同除以 8 得 x
2- 3x + 2 = 0
( x - 1 )( x - 2 )= 0 x - 1 = 0 或 x - 2 = 0
x = 1 或 x = 2
方程式 8x
2- 24x + 16 = 0 的解為 1 與 2 。
x - 1 x - 2
- 2x - x =- 3x
解下列一元二次方程式:
(1) x
2+ x - 4 = 0 3 5 3x
2+ 5x - 12 = 0
( x + 3 )( 3x - 4 )
= 0
x =- 3 或 x =
3 4
x + 3
3x - 4
- 4x + 9x = 5x
(2) 7x
2- 7x - 42 = 0
x2- x - 6 = 0
( x + 2 )( x - 3 )
= 0
x
+ 2 = 0 或 x - 3 = 0
x
=- 2 或 x = 3
x + 2 x - 3
- 3x + 2x =-
x
7
綜合比較
解下列一元二次方程式: (x - 2)
2+ 3(x - 2)
= 0 解一 解一
( x - 2 )
2+ 3 ( x - 2 )= 0
( x - 2 )〔( x - 2 )+ 3 〕= 0
( x - 2 )( x + 1 )= 0 x - 2 = 0 或 x + 1 = 0 x = 2 或 x =- 1
方程式( x - 2 )
2+ 3 ( x - 2 )= 0 的解為 2 與- 1
提出公因式 x - 2
解二 解二
( x - 2 )
2+ 3 ( x - 2 )= 0 x
2- 4x + 4 + 3x - 6 = 0
x
2- x - 2 = 0
( x - 2 )( x + 1 )= 0 x - 2 = 0 或 x + 1 = 0 x = 2 或 x =- 1
方程式( x - 2 )
2+ 3 ( x - 2 )= 0 的解為 2 與- 1 。
x - 2
x + 1
x - 2x =- x
展開
解下列一元二次方程式:( x + 5 )
2-( x
+ 5 )= 0
( x + 5 )〔( x + 5 )- 1 〕
= 0
( x + 5 )( x + 4 )= 0
x=- 5 或 x =- 4
8
綜合比較
解下列一元二次方程式 (2x + 3)
2= (x - 2)
2( 2x + 3 )
2=( x - 2 )
2( 2x + 3 )
2-( x - 2 )
2= 0
〔 (2x + 3) + (x - 2) 〕〔 (2x + 3) - (x - 2) 〕
= 0
( 3x + 1 )( x + 5 )= 0 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 x =- 或 x =- 5
方程式 (2x + 3)
2= (x - 2)
2的解為- 與-
5 。
1 3
1 3
平方差公式
解一 解一
解二解二
( 2x + 3 )
2=( x - 2 )
24x
2+ 12x + 9 = x
2- 4x + 4 3x
2+ 16x + 5 = 0
( 3x + 1 )( x + 5 )= 0 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 x =- 或 x =- 5
方程式 (2x + 3)
2= (x - 2)
2的解為- 與
- 5 。 1 3
1 3
3x + 1
x + 5
15x + x = 16x
( 3x - 2 )
2-( x - 2 )
2= 0
〔 (3x - 2) + (x - 2) 〕〔 (3x - 2) - (x - 2) 〕= 0
( 4x - 4 )‧ 2x = 0
x = 1 或 x = 0解一元二次方程式( 3x - 2 )
2=( x -
2 )
21. 一元二次方程式:可以整理成 ax
2+ bx + c
= 0 ( a≠0 )的形式,只含有一種未知數 x , 且未知數最高次數是 2 的等式,稱為一元二 次方程式。
2. 因式分解法解一元二次方程式:形如 ax
2+ b x + c = 0 的方程式,若等號左邊的二次式 ax
2
+ bx + c 可以因式分解成兩個一次式的乘積
,則可以運用「如果 A‧B = 0 ,則 A 、 B
兩數中至少有一數為 0 」的性質來求解。
4-1 自我評量
1. 下列哪些敘述是正確的?
(A) 1 是 3x
2- 5x - 4 = 0 的解 (B) - 2 是 x
2- 3x - 10 = 0 的解 (C) 3 是 (x - 3)(x + 2) = 1 的解
(D) - 是( x + 1 )( 3x + 2 )= 0 的解 3 2
(B) (D)2. 解下列一元二次方程式:
(1) x
2+ 7x = 0
(2) 4x ( 5x - 2 )= 3 ( 5x - 2 )
x ( x + 7 )= 0
x = 0 或 x =
- 74x ( 5x - 2 )- 3 ( 5x - 2 )= 0
( 5x - 2 )( 4x - 3 )= 0 x = 或 x =
5 2
4 3
(3) ( x + 2 )
2= 4x
2( x + 2 ) 2 - 4x2 = 0
( x + 2 ) 2 -( 2x ) 2 = 0
〔( x + 2 )+ 2x 〕〔( x + 2 )- 2 x 〕= 0
( 3x + 2 )(- x + 2 )= 0 x =- 或 x = 2
3 2
(4) x
2- 8x + 16 = 0
x2 - 2‧x 4‧ + 42
= 0
( x - 4 ) 2 = 0 x = 4 (重根)
(5) 2x
2- x - 6 = 0
x - 2 2x + 3 3x - 4x =- x
( x - 2 )( 2x + 3 )= 0
x = 2 或 x =-
2 3
(6) 12x
2- 76x + 112 = 0
同除以 4 得 3x2 - 19x + 28 = 0
x - 4
3x - 7
- 7x - 12x =- 19x
( x - 4 )( 3x - 7 )= 0
x = 4 或 x =
3 7
(7) ( x + 1 )( x - 5 )= 7
x + 2
x - 6- 6x + 2x =- 4
xx2 - 5x + x - 5 - 7
= 0
x2 - 4x - 12 = 0
( x + 2 )( x - 6 )=
0
x =- 2 或 x = 6
(8) x
2+ x - = 0 12 5
1 4
同乘以 12 得 12x2 + 5x - 3 = 0
3x - 1
4x + 3 9x - 4x = 5x
( 3x - 1 )( 4x + 3 )
= 0
x = 或 x =-
3 1
4 3
(9) 6x
2+ 13x - 8 = 0
2x - 1 3x + 8 16x - 3x = 13x
( 2x - 1 )( 3x + 8 )=
0
x = 或 x =-
2 1
3 8
(10) 1.5x
2- 0.5x = 2
同乘以 2 得 3x2 - x - 4 = 0
x + 1
3x - 4
- 4x + 3x =- x
( x + 1 )( 3x - 4 )=
0
x =- 1 或 x =
3 4
(11) ( 2x + 3 )( x - 1 )=( x - 1 )
2( 2x + 3 )( x - 1 )-( x - 1 ) 2
= 0
( x - 1 )〔( 2x + 3 )-( x - 1 )〕= 0
( x - 1 )( x + 4 )= 0
x = 1 或 x =- 4
(12) ( 2x + 3 )( 2x - 3 )= 35x
( 2x ) 2 - 32 - 35x = 0
4x2 - 35x - 9 = 0
x - 9 4x + 1
x - 36x =- 35 x( x - 9 )( 4x + 1 )= 0
x = 9 或 x =-