实数根

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

一、方程的根与函数的零点

1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函 数y＝f(x)(x∈D)的 ．

2．函数y＝f(x)的 就是方程f(x)＝0的 ， 亦 即 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的 ．

即：方程f(x)＝0有 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有

⇔函数y＝f(x)有 ． 零点

零点 实数根

横坐标 实数根

交点 零点

第二章 函数与基本初等函数 3．求函数y＝f(x)的零点

(1)(代数法)求方程f(x)＝0的 ．

(2)(几何法)结合函数y＝f(x)的图象，并利用函数的性质找 出 ．

4．零点存在性定理

函数在区间[a，b]上的图象是 的，且 ， 那 么函数f(x)在区间[a，b]上至少 ．

实数根

零点

连续

f(a)f(b)<0

第二章 函数与基本初等函数 5．一元二次方程根的分布

设x₁、x₂ 是实系数二次方程ax²＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，

则x₁、x₂的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示：

根的分布 图象 充要条件

x₁<x₂<k





Δ>0 fk>0

－ b 2a<k

k<x₁<x₂





Δ>0 fk>0

－ b 2a>k

第二章 函数与基本初等函数

根的分布 图象 充要条件

x

<k<x

f(k)<0

x

，x

∈ (k

，k

)

 

 

 

 Δ≥0 fk

>0 fk

>0 k

<－ b

2a <k

第二章 函数与基本初等函数

根的分布 图象 充要条件

x

，x

有且仅 有一个在 (k

，k

)内

f(k

)f(k

)<0 或 Δ＝0 且

－ b

2a ∈(k

，k

)或



  fk

＝0 k

<－ b

2a < k

＋k

2

或



  fk

＝0，

k

＋k

2 <－ b

2a <k

第二章 函数与基本初等函数 二、用二分法求方程的近似解

对于在区间[a，b]上连续，且满足 的 函 数 y

＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使 区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方

法叫做 ．

给定 ，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 如下：

f(a)·f(b)<0

一分为二 逐步逼近零点

二分法 精度

ξ

第二章 函数与基本初等函数

1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ξ.

2．求区间(a，b)的 x₁. 3．计算f(x₁)：

(1)若f(x₁)＝0，则x₁就是函数的零点．

(2)若 ，则令 (此时零点x₀∈(a，x₁)．

(3)若 ，则令 (此时零点x₀∈(x₁，b)．

4．判断是否达到精度ξ

即若 ，则得到零点的 ； 否 则

重复步骤2～4.

中点

f(a)·f(x)<0 b＝x

f(x

a＝x

|a－b|<ξ 零点值a(或b)

第二章 函数与基本初等函数

1．(2010·天津，4)函数f(x)＝e^x＋x－2的零点所在的一个区 间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [解析] f(0)＝e⁰＋0－2＝－1＜0，

f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，

∵y＝e^x是单调增函数，y＝x－2是增函数，

∴f(x)＝e^x＋x－2在R上是增函数，

∴在(0,1)区间上f(x)存在一个零点．故选C.

[答案] C

第二章 函数与基本初等函数

2．函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点 横坐标的是( )

[答案] B

第二章 函数与基本初等函数

3．(2010·广东六校联考)方程x²＋2x－a＝0在[－1,1]上有解，

则a的取值范围是________．

[答案] [－1,3]

[解析] 令 f(x)＝x²＋2x－a，由题意知 f(x)在[－1,1]上有 零点．由于 f(x)的对称轴为 x＝－1，∴f(x)在[－1,1]上单调递 增，且由零点定理知



f－1≤0，

f1≥0， 则



a≥－1，

a≤3，

即 a∈[－1,3]．

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

已知函数f(x)＝3^x－x².问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有 没有实数解？为什么？

[分析] 要判断f(x)在某个区间上是否有解，可先确定f(x)在 这个区间上是否有零点．

第二章 函数与基本初等函数

[解] 因为 f(－1)＝3^－1－(－1)²＝－2

3<0，

f(0)＝3⁰－(0)²＝1>0，

函数 f(x)＝3^x－x²的图象是连续曲线，所以 f(x)在区间[－

1,0]内有零点，

即 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有实数解．

[点评与警示] 函数零点的存在性常用方法，一是用零点 定理，二是解方程，三是用图象；而求函数零点就是求相应方 程的实数根；确定零点个数时，要注意重根时的表述．

第二章 函数与基本初等函数

[解析] 当x≤0时，由x²＋2x－3＝0解得x＝1或－3，则f(x) 在(－∞，0]上有1个零点；当x＞0时，由－2＋ln x＝0解得x＝e²， 则f(x)在(0，＋∞)上有1个零点，所以f(x)共有2个零点，故选B.

[答案] B

(2010·福建，7)函数 f(x)＝



x²＋2x－3， x≤0

－2＋ln x， x＞0 ，的零 点个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

第二章 函数与基本初等函数

若关于x的方程x²－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，

分别满足下列条件，求a的取值范围．

(1)方程的两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1.

第二章 函数与基本初等函数 [解] 设 f(x)＝x²－2ax＋2＋a

(1)两根大于 1，即 f(x)在(1，＋∞)上有两个不相同的零 点，

∴



 

 

－－2a

2 ＝a>1 f1＝3－a>0

解得 2<a<3

(2)方程一根大于 1，另一根小于 1，即要求 f(x)＝x²－2ax

＋2＋a 两零点在 x＝1 两旁，

∴只需 f(1)<0 ∴a>3.

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示] 二次方程根的分布问题，常借助二次函数 的图示进行等价转化，先作出二次函数的大致图象，然后列出 相应满足条件的不等式组，使问题得到解决．

第二章 函数与基本初等函数

已知一元二次方程2x²－(m＋1)x＋m＝0有且仅有一实根在 (0,1)内，求m的范围．

[解] 设f(x)＝2x²－(m＋1)x＋m 由f(0)·f(1)<0⇒m<0.

第二章 函数与基本初等函数

(北师大版高中数学必修1改编)

求函数f(x)＝x³－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点，(精确到 0.01)．

[解] ∵f(1)<0 f(1.5)>0

∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点 用二分法逐次计算列表如下：

第二章 函数与基本初等函数

端(中点)坐标 中点函数值 取区间 a_n－b_n

[1,1.5] 0.5

1.25 f(1.25)<0 [1.25,1.5] 0.25

1.375 f(1.375)>0 [1.25,1.375] 0.125 1.3125 f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625 1.34375 f(1.34375)>0 [1.3125,1.34375] 0.03125 1.328125 f(1.325125)>0 [1.3125,1.328125] 0.015625 1.3203125 f(1.3203125)>0 [1.3203125,1.328125] 0.005

第二章 函数与基本初等函数

∵|1.3203125－1.328125|＝0.005<0.01

至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间 [1.3203125,1.328125]内，因为该区间的所有值精确到此为0.01 都是1.32，因此1.32是函数f(x)＝x³－x－1精确到0.01的一个近似 零点．

[点评与警示] 用二分法求函数零点近似值的步骤，借助 于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格和数轴，清楚 地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在 区间长度小于精确度ε的时候．

第二章 函数与基本初等函数

求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似解(结果精确到0.1)

[解] 令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点，

用二分法逐步计算，列表如下：

由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1，

所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．

区间 中点 中点函数值

[2,3] 2.5 0.416 4

[2,2.5] 2.25 0.060 9

[2,2.25] 2.125 －0.121 2

[2.125,2.25] 2.187 5 －0.029 7 [2.187 5,2.25]

第二章 函数与基本初等函数

设x₀是方程lnx＋x＝4的解，则属于区间( ) A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

第二章 函数与基本初等函数

[解析] 转化为函数的零点去考虑，令f(x)＝lnx＋x－4，在 A中，当x→0时，f(x)＝lnx＋x－4<0，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0，

故不能确定是否有根；在B中，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0，f(2)＝

ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，故不能确定是否有根；在C中，f(2)＝

ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋ln3>0，f(x)＝

0有根，故x₀属于区间(2,3)；在D中，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋

ln3>0，f(4)＝ln4＋4－4＝ln4>0，故不能确定是否有根．故选C.

[答案] C

第二章 函数与基本初等函数

设函数f(x)＝x＋ln x－3的零点为m，则m所在的区间为 ( ) A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4,5) [解析] 由f(3)＞0，f(2)＜0.故选B.

[答案] B

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝

f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以：f(x)＝0有实根⇔y＝f(x) 与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点．

2．二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布、存在问题，

既可以用判别式、求根公式、韦达定理等代数方法，也可以借 助方程对应的二次函数的图象特征列出等价条件组，解题时应 选择计算量小的方法．

第二章 函数与基本初等函数

3．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，

也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

4．二分法求方程近似解的过程中，蕴涵了算法思想，体 现了程序化这一现代数学方法，是信息技术与数学内容有机的 整合，注意掌握用程序框图来描述二分法的求解过程以及二分 法的思想内涵．

第二章 函数与基本初等函数