反比例函数全章复习与巩固（基础）知识讲解

反比例函数全章复习与巩固（基础）

【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解 析式

y

k



k

0



x





，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数

y

k



k

0



x





的性质，能利用这些性质 分析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如

y

k

x



₍

k

为常数，

k



0

)的函数称为反比例函数，其中

x

是自变量，

y

_{是函数，自变量}

_x

_{的取值范围是不等于 0 的一切实数.} 要点诠释：在

y

k

x



_{中，自变量}

x

的取值范围是 ，

k

y

x



₍ )可以写成 ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数

y

k

x



中，只有一个待定 系数

k

，因此只需要知道一对

x y

、

的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出

k

的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数

y

k



k

0



x





的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与

x

轴、

y

轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：

观察反比例函数 的图象可得：

x

和

y

的值都不 能为 0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐 标原点． ①  (k 0) x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为y 和x yx两条直线； ②  (k 0) x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③ x k y x k y 和  (k≠0)在同一坐标系中的图象关于

x

轴对称，也关于

y

轴对称. 注：正比例函数y  k1x与反比例函数

x

k

y

_

2 _， 当k₁ k₂ 0时，两图象没有交点；当k₁ k₂ 0时，两图象必有两个交点，且这 两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当

k



0

时，

x y

、

同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，

y

随

x

的增大而减 小；当

k



0

时，

x y

、

异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，

y

随

x

的增大而增 大. （2）若点(

_{a b}

_，

)在反比例函数

y



k

_x

的图象上，则点（

_{ }

_{a b}

_，

）也在此图象上，故反比 例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数

解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置

0

k



，一、三象限；

0

k



，二、四象限

0

k



，一、三象限

0

k



，二、四象限 增减性

0

k



_，

y

_随

_x

_{的增大而增大}

0

k



_，

y

_随

_x

_{的增大而减小}

0

k



_{，在每个象限，}

y

_随

_x

_{的增大而减小}

0

k



_{，在每个象限，}

y

_随

_x

_{的增大而增大} （4）反比例函数 y＝ 中

_k

的意义 ①过双曲线yk_{x (}

k

≠0) 上任意一点作

x

轴、

y

轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线y _xk ₍

k

≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的 面积为 2 k . 要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要 注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】 类型一、确定反比例函数的解析式 1、已知函数



2



k 3

y



k



x

 是反比例函数，则

k

的值为　　　　. 【答案】

k



2

【解析】根据反比例函数概念，

k



3

＝



1

且

k

 

2 0

，可确定

k

的值. 【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量 的系数不等于 0. 举一反三： 【变式】反比例函数

y

n

5

x





图象经过点（2，3），则

n

的值是（ ）. A.



2

B.



1

C. 0 D. 1 【答案】D；



反比例函数

y

n

5

x





过点（2，3）．

3

5

,

1

2

n

n







∴∴

． 类型二、反比例函数的图象及性质 2、已知，反比例函数

y

4 2m

x





的图象在每个分支中

y

随

x

的增大而减小，试求

2

m



1

的取值范围． 【思路点拨】由反比例函数性质知，当

k

＞0 时，在每个象限内

y

随

x

的增大而减小，由 此可求出

m

的取值范围，进一步可求出

2

m



1

的取值范围． 【答案与解析】 解：由题意得：

4 2



m



0

，解得

m



2

， 所以

2

m



4

，则

2

m



1

＜3． 【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 举一反三： 【变式】已知反比例函数

y

k

2

x





，其图象位于第一、第三象限内，则

k

的值可为______ __（写出满足条件的一个

k

的值即可）． 【答案】3（满足

k

＞2 即可）. 3、在函数

y

| |

k

x





（

k



0

，

k

为常数）的图象上有三点(－3，

y

1)、(－2，

y

2 )、(4，

y

3)，则函数值的大小关系是（ ） A．

y

1



y

2



y

3 B．

y

3



y

2



y

1 C．

y

2



y

3



y

1 D．

y

3



y

1



y

2 【答案】D； 【解析】 ∵ |

k

|＞0，∴ －|

k

|＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，

y

随

x

增大而增大，(－3，

y

1)、(－2，

y

2)在第二象限，(4，

y

3)在第四象限，∴ 它们的大 小关系是：

y

3



y

1



y

2．

【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限， 不能一概而论，本题的点(－3，

y

1)、(－2，

y

2)在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜ －2，所以

y

1



y

2，点(4，

y

3)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值． 举一反三： 【变式 1】在同一坐标系中，函数 y= 和 y=kx+3（k≠0）的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 【答案】C； 提示：分两种情况讨论： ① 当 k＞0 时，y=kx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y= 的图象在第一、三 象限； ② 当 k＜0 时，y=kx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y= 的图象在第二、四 象限．故选 C． 【变式 2】已知a＞b,且a0,b0,ab0,_则函数yaxb_与 x b a y  在同一坐 标系中的图象不可能是( ) . 【答案】B ； 提示：因为从 B 的图像上分析，对于直线来说是

a

<0,

b



0

，则

a b

 

0

，对于反比例函

数来说，

a b

 

0

，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形. 4、（2016•齐齐哈尔）如图，已知点 P（6，3），过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，反比例函数 y= 的图象交 PM 于点 A，交 PN 于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 12，则 k=　 　 ． 【思路点拨】根据点 P（6，3），可得点 A 的横坐标为 6，点 B 的纵坐标为 3，代入函数解 析式分别求出点 A 的纵坐标和点 B 的横坐标，然后根据四边形 OAPB 的面积为 12，列出方程求出 k 的值． 【答案】6． 【解析】 解：∵点 P（6，3）， ∴点 A 的横坐标为 6，点 B 的纵坐标为 3， 代入反比例函数 y= 得， 点 A 的纵坐标为 ，点 B 的横坐标为 ， 即 AM= ，NB= ， ∵S四边形 OAPB=12，

即 S矩形 OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12， 6×3﹣ ×6× ﹣ ×3× =12， 解得：k=6． 故答案为：6． 【总结升华】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，解答本题的关键是根据点 A、B 的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解． 举一反三： 【变式】如图，过反比例函数 (x 0) x 2 y  的图象上任意两点 A、B，分别作

x

轴的垂线， 垂足为 _A'_、B'_{，连接 OA，OB，} '

AA

与 OB 的交点为 P，记△AOP 与梯形

PA

'

B

'

B

_的面 积分别为S1、S2，试比较S1与S2 的大小.

【答案】 解：∵

S

AOP



S

AOA



S

A OP ，

S

梯形A PBB 



S

BOB



S

A OP 且 AOA

1

1

2 1

2

A A

2

S

 



x y

  

， OB

1

1

2 1

2

2

B B B

S

 



x y

  

∴S₁  S₂. 类型三、反比例函数与一次函数综合 5、已知反比例函数

y

k

x



和一次函数

y mx n





的图象的一个交点坐标是 (－ 3，4)，且一次函数的图象与

x

轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反比例函数和一次函 数的表达式． 【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数

y

k

x



与一次函数

y mx n





的图象的一个交 点 ， 所 以 把 ( － 3 ， 4) 代 入

y

k

x



中 即 可 求 出 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ． 欲 求 一 次 函 数

y mx n





_{的表达式，有两个待定未知数}

m n

，

，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一 次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与

x

轴的交点到原点的距离是 5，则这个交 点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式． 【答案与解析】 解：因为函数

y

k

x



的图象经过点(－3，4)， 所以

4

3

k





，所以

k

＝－12． 所以反比例函数的表达式是

y

12

x

 

． 由题意可知，一次函数

y mx n





的图象与

x

轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分 两种情况讨论： 当直线

y mx n





经过点(－3，4)和(5，0)时， 有

4

3

,

0 5

,

m n

m n

 





  



解得

1

,

2

5

.

2

m

n

  





 



所以

1

5

2

2

y

 

x



． 当直线

y mx n





经过点(－3，4)和(－5，0)时， 有

4

3

,

0

5

,

m n

m n

 





   



解得

2,

10.

m

n





 



所以

y



2

x



10

． 所 以 所 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为

y

12

x

 

， 一 次 函 数 的 表 达 式 为

1

5

2

2

y

 

x



或

2

10

y



x



． 【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不 能漏解． 举一反三： 【变式】如图所示，A、B 两点在函数

y

m

(

x

0)

x





的图象上． （1）求

m

的值及直线 AB 的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图 中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 【答案】 解：（1）由图象可知，函数

y

m

(

x

0)

x





的图象经过点 A(1，6)，可得

m

＝6． 设直线 AB 的解析式为

y kx b





． ∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数

y kx b





的图象上， ∴

6,

6

1,

k b

k b

 



  



解得

1,

7.

k

b

 



 



∴ 直线 AB 的解析式为

y

  

x

7

． （2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3． 类型四、反比例函数应用 6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与 所用时间 t（小时）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120． （1）直接写出 v 与 t 的函数关系式； （2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶 20 千米，3 小 时后两车相遇．

① 求两车的平均速度； ② 甲、乙两地间有两个加油站 A、B，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车恰 好进入 A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与 B 加油站的距离． 【答案与解析】 解：（1）设函数关系式为 v= ， t=5 ∵ ，v=120， k=120×5=600 ∴ ， v ∴ 与 t 的函数关系式为 v= （5≤t≤10）； （2）①依题意，得 3（v+v 20﹣ ）=600， 解得 v=110， 经检验，v=110 符合题意． 当 v=110 时，v 20=90﹣ ． 答：客车和货车的平均速度分别为 110 千米/小时和 90 千米/小时； ② 当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时， 110t﹣（600 90t﹣ ）=200， 解得 t=4，此时 110t=110×4=440； 当 B 加油站在甲地和 A 加油站之间时， 110t+200+90t=600， 解得 t=2，此时 110t=110×2=220． 答：甲地与 B 加油站的距离为 220 或 440 千米． 【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相 关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.