高三複習試題 第章數列與級數班級座號姓名◎學測篇一、單選題

高三複習試題 第 4 章 數列與級數

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.已知一等差數列共有十項﹐且知其奇數項之和為 15﹐偶數項之和為 30﹐則下列哪一選項為此數列之公 差﹖ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5﹒ (93 學測)

解答 3

解析 設公差為 d﹐

由題意知﹕ ^{1 3 5 7 9}

2 4 6 8 10

15 30

a a a a a

a a a a a





＋ ＋ ＋ ＋ ＝

＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ﹐

因為 a2  a1  a4  a3  a6  a5  a8  a7  a10  a9  d﹐

所以由  得 5d  15  d  3﹒

（ ）2.設 1 ^{2 2}

( ) 1 ( )

n 10 n

a  a ﹐n 為正整數﹐且知 an皆為正﹒令 bn  logan﹐則數列 b1﹐b2﹐b3﹐…為 (1)公差為

正的等差數列 (2)公差為負的等差數列 (3)公比為正的等比數列 (4)公比為負的等比數列 (5)既非 等差亦非等比數列﹒ (100 學測)

解答 2

解析 ∵ ₁ ² 1 ²

( ) ( )

n 10 n

a _  a ﹐

∴ ₂² 1 ₁² a  10a ₃² 1 ₂²

10

a  a

₄² 1 ₃² a  10a

 ) ² 1 ₁²

n 10 n

a  a_

1

2 1 2 2 2

1 1

1 1

( ) ( )

10 10

n n

an a a

 

    ﹐

∵an皆為正數﹐∴

1 4

1

(1) 10

n

an a



  ﹐

1 4

1 1 1 1

1 1 1 1

log log[( ) ] log log ( 1) ( ) ( 1) ( )

10 4 4 4

n

n n

b a a n a a n b n

  

               ﹐

∴公差為 1

4﹐首項為 b1﹐故選(2)﹒

（ ）3.將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體﹐如下圖所示﹐其中第 1 層（最下層）有 10 塊﹐第 2 層有 9 塊﹐…﹐依此類推﹒當堆疊完 10 層時﹐該階梯形立體的表面積（即該立體的前﹑後﹑上﹑下﹑

左﹑右各表面的面積總和）為多少﹖ (1)75 平方公分 (2)90 平方公分 (3)110 平方公分 (4)130 平方 公分 (5)150 平方公分 (101 學測)

解答 5

解析 (1 2 3   10) 2 1 10  2 10 1 10 （前後） （左）（右﹑上）（下）

 110  10  20  10  150 故選(5)

（ ）4.數列 a1  2﹐…﹐ak  2k﹐…﹐a10  20 共有十項﹐且其和為 240﹐則 a1 … ak … a10之值為 (1)31 (2)120 (3)130 (4)185 (5)218﹒ (98 學測)

解答 3

解析 (a1  2)  (a2  2  2) … (a10  2  10)  240

 (a1  a2 … a10)  2(1  2 … 10)  240

∴a1  a2 … a10  240  110  130 故選(3)﹒

（ ）5.每週同一時間點記錄某植物的成長高度，連續五週的數據為a₁1, a₂ 2, a₃6, a₄ 15, a₅31。 請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？

(1)a_t13a_t 1，t1, 2, 3, 4 (2)a_t t!，t1, 2, 3, 4, 5 (3)a_t1 a_t t²，t1, 2, 3, 4 (4)a_t  2^t 1，t1, 2, 3, 4, 5 (5)a_t1ta_t1，t1, 2, 3, 4 (104 學測)

解答 3 解析

（ ）6.第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元、依此每天所獲得的錢為前一天 的兩倍，如此進行到第 30 天，試問這 30 天所獲得的錢，總數最接近下列哪一個選項？

(1) 10,000 元 (2) 1,000,000 元 (3) 100,000,000 元 (4) 1,000,000,000 元 (5) 1,000,000,000,000 元 (104 學測)

解答 4 解析

（ ）7.利用公式 ^{3 3 3 3} ( 1) ²

1 2 3 [ ]

2 n n n

     ，可計算出(11)³(12 )³ ( 20 )³之值為 (1)41075

(2)41095 (3)41115 (4)41135 (5)41155。(94 學測) 解答 1

解析 ( 1 1 )³ ( 1 2 )³  ( 2 0 )^{3 2 0 3 1 03}

1 1

k k

k k

 







（ ）8.若a₁,a₂,…,a_k,…,a₁₀中每一項皆為 1 或 1 ,則a₁a₂ ... a_k ...a₁₀之值有多少種可能?(1)10 (2)11 (3)P₂¹⁰ (4)C (5)¹⁰₂ 2¹⁰ (94 學測)

解答 2 解析

二、多選題

（ ）1.一機器狗每秒鐘前進或者後退一步﹐程式設計師讓機器狗以前進 3 步﹐然後再後退 2 步的規律移動﹒如 果將此機器狗放在數線的原點﹐面向正的方向﹐以 1 步的距離為 1 單位長﹒令 P (n)表示第 n 秒時機器 狗所在位置的坐標﹐且 P (0)  0﹐那麼下列選項何者為真﹖ (1) P (3)  3 (2) P (5)  1 (3) P (10)  2 (4) P (101)  21 (5) P (103)  P (104)﹒ (91 學測)

解答 1234

解析 機器狗的行進方式如圖﹐表示每 5 秒鐘前進一步﹒

(1) P (3)  3 (2) P (5)  1 (3) P (10)  2

(4) P (101)  [101

5 ]  1  21

(5) P (103)  [103

5 ]  3  23﹐P (104)  23  1  22﹐∴P (103)＞P (104) 故選(1)(2)(3)(4)﹒

（ ）2.已知 a1﹐a2﹐a3為一等差數列﹐而 b1﹐b2﹐b3為一等比數列﹐且此六數皆為實數﹒試問下列哪些選項是 正確的﹖ (1) a1  a2與 a2  a3可能同時成立 (2) b1  b2與 b2  b3可能同時成立 (3)若 a1  a2  0﹐則 a2  a3  0 (4)若 b1b2  0﹐則 b2b3  0 (5)若 b1﹐b2﹐b3皆為正整數且 b1  b2﹐則 b1整除 b2﹒(97 學測) 解答 24

解析 (1)╳﹕不可能﹐公差大於 0 a1  a2  a3 公差小於 0 a1  a2  a3﹒ (2)○﹕取 b1   2﹐b2  4﹐b3   8﹒

(3)╳﹕取 a1   10﹐a2  5﹐a3  20﹒

(4)○﹕取 b1  a﹐b2  ar﹐b3  ar² b1  b2  a²r  0  r  0

∴b2  b3  a²r³  0﹒

(5)╳﹕取 b1  4﹐b2  6﹐b3  9

∴公比 3

r2﹐但4 | 6 ﹒

（ ）3.假設實數 a1﹐a2﹐a3﹐a4是一個等差數列﹐且滿足 0  a1  2 及 a3  4﹒若定義 bn 2^an﹐則以下哪些選項 是對的﹖ (1) b1﹐b2﹐b3﹐b4是一個等比數列 (2) b1  b2 (3) b2  4 (4) b4  32 (5) b2  b4  256.

(95 學測) 解答 12345

解析 ∵b_n 2^an﹐∴b₁2 ,^a1 b₂ 2 ,^a2 b₃2 ,^a3 b₄2^a4. (1)○﹕

2

2 1

1

2 1

2 2 2 , 2

a

a a d

a

b b

    ^{3 3 2}

2

3 2

2 2 2 , 2

a

a a d

a

b b

   

∴<bn>為等比數列.

(2)○﹕∵0  a1  2﹐a3  4﹐表示公差 d  0﹐

即 a1  a2  a3  a4 2^a12^a2 2^a3 2^a4 b1  b2  b3  b4. (3)○﹕∵0  a1  2﹐a3  4﹐

∴4  a1  a3  6 2 ^{1 3} 3 2 a a

 

 2  a2  3（a2為 a1﹐a3之等差中項）

 2² 2^a2 2³ 4  b2  8.

(4)○﹕2  a3  a1  4 2  2d  4 1  d  2﹐

a4  a3  d  4  d  5﹐

2^a4 2⁵  b4  32.

(5)○﹕b₂ b₄ 2^a22^a4 2^a2a4 2^2a32⁸256.

（ ）4.設 a1﹐a2﹐…﹐an﹐… 為一實數數列﹐且對所有的正整數 n 滿足 an  1  ( 1) 2 n n

 an﹒請問下列哪些選

項是正確的﹖ (1)如果 a1  1﹐則 a2  1 (2)如果 a1是整數﹐則此數列的每一項都是整數 (3)如果 a1

是無理數﹐則此數列的每一項都是無理數 (4)a2  a4 … a2n …（n 為正整數） (5)如果 ak是奇數﹐

則 ak  2﹐ak  4﹐…﹐ak  2n﹐…都是奇數（n 為正整數）﹒ (99 學測)

解答 234

解析 (1)╳﹕a2 1 2 2

 a1  1  1  0﹒

(2)○﹕an  1  ( 1) 2

n n an  an  1  (1  2 … n)  an

∴a1是整數﹐則每一項均為整數﹒

(3)○﹕由(2)﹐a1是無理數﹐則每一項均為無理數﹒

(4)○﹕∵an  1  (1  2 … n)  an

∴an  1  an  1  2  3 … n

a2n  1  a2n  1  2  3 … 2n……

a2n  2  a2n  1  1  2 … 2n  2n  1……

  ﹕a2n  2  a2n  2n  1  0﹐∴a2n  2  a2n

故 a2  a4 … a2n﹒ (5)╳﹕若 a2  3

a3  a2  1  2  a3  0

a4  a3  1  2  3  a4  6 不為奇數﹒

（ ）5.某甲自 89 年 7 月起﹐每月 1 日均存入銀行 1000 元﹐言明以月利率 0.5%按月複利計息﹐到 90 年 7 月 1 日提出﹒某乙則於 89 年 7 月起﹐每單月（一月﹑三月﹑五月﹑…）1 日均存入銀行 2000 元﹐亦以月利 率 0.5%按月複利計息﹐到 90 年 7 月 1 日提出﹒一整年中﹐兩人都存入本金 12000 元﹒提出時﹐甲得

本利和 A 元﹐乙得本利和 B 元﹒問下列選項何者為真﹖ (1) B＞A (2) A  1000 ¹²

1

[ (1005) ] 1000

k k



(3) B 

2000

6

2

1

[ (1005) ] 1000

k k



(4) A  12000 1005 ¹² ( )

1000 (5) B  12000 1005 ¹² ( )

1000 ﹒ (91 學測) 解答 12345

解析 因每期期初存入 P 元﹐每期利率為 r﹐則 n 期後本利和為 P (1  r)ⁿ  P (1  r)^{n  1}  …  P (1  r) 

1

(1 )

n

k k

P



＝

＋ ﹒

故

A  1000 ¹²

1

(1005) 1000

k k



﹐B  2000 ^{6 2}

1

(1005) 1000

k k



﹒

B  1000[2(1005

1000)²  2(1005

1000)⁴  …  2(1005 1000)¹²]

 1000[(1005

1000)¹  (1005

1000)²  (1005

1000)³  (1005

1000)⁴  …  (1005

1000)¹¹  (1005

1000)¹²]  A﹒

A  1000[(1005

1000)¹  (1005

1000)²  …  (1005

1000)¹²]  1000[12(1005

1000)¹²]  12000(1005 1000)¹²﹒

B  2000[(1005

1000)²  (1005

1000)⁴  …  (1005

1000)¹²]  2000[6(1005

1000)¹²]  12000(1005 1000)¹²﹒

（ ）6.設實數組成的數列an 是公比為 0.8 的等比數列﹐實數組成的數列bn是首項為 10 的等差數列﹒已知 a9  b9且 a10  b10﹒請選出正確的選項﹒ (1)a9  a10  0 (2)b10  0 (3)b9  b10 (4)a9  a10 (5)a8  b8﹒ (102 學測)

解答 13

解析 因為等比數列an 的公比為  0.8﹐所以an是正負相間﹐且愈來愈接近 0﹒

因為bn 是首項為 10 的等差數列﹐所以bn是從 10 開始遞增或遞減的數列﹒

又知 a9  b9且 a10  b10﹐所以 b9與 b10有一個比負數還小﹐

因此﹐bn 為遞減數列﹐且公差為負﹒

(1)因為an正負相間﹐所以 a9  a10  0﹒

(2)(3)因為bn為遞減數列﹐所以 b10  b9﹒

又因為 a9與 a10一正一負﹐且 a9  b9且 a10  b10﹐所以 b10  0﹒

(4)(5)下圖的數列an與bn滿足題意﹒

a₈

a₉ a₁₀

b₉ b₈

b₁₀

8 9 10 0

但 a9  a10﹐a8  b8﹒ 故選(1)(3)﹒

（ ）7.設a₁1且a a a₁, ₂, ₃, 為等差數列。請選出正確的選項。

(1) 若a₁₀₀ 0，則a₁₀₀₀ 0 (2) 若a₁₀₀ 0，則a₁₀₀₀0 (3) 若a₁₀₀₀ 0，則a₁₀₀ 0 (4) 若a₁₀₀₀0， 則a₁₀₀ 0 (5) a₁₀₀₀a₁₀10(a₁₀₀a₁) (103 學測)

解答 235 解析

三、填充題

1.用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕

第1個 第2個 第3個

拼第 95 個圖需用到____________塊白色地磚﹒(95 學測) 解答 478

解析 令 an表第 n 個圖形所需之白磚數﹐則 a1  8﹐a2  13﹐a3  18﹐…表一等差﹐

a2  a1  a3  a2  5  d﹐

∴a95  a1  94d  8  94  5  478﹒

2.在一個圓的圓周上﹐平均分布了 60 個洞﹐兩洞間稱為一間隔﹒在 A 洞打上一支木樁並綁上線﹐然後依逆時針方向 前進﹐每隔 9 個間隔就再打一支木樁﹐並綁上線﹐依此繼續操作﹐如圖所示﹒試問輪回到 A 洞需再打樁前﹐總共已 經打了____________支木樁﹒(91 學測)

A

解答 20

解析 [60 , 9]  180

180

9  20﹐共打了 20 支木樁﹒

3.某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一排（即第 13 排），發現 此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有__________個座位。(96 學測)

解答 1600

解析 設第k_排有ak_個座位 a₁₃ a₁ ( 13 1 ) 2  64 a₁ 40

_所求

[ 2 40 ( 25 1 ) 2 ] 25 2 1600

    

 

4. 設a ，₁ a ，…，₂ a 是從₅₀ 1、0、1 這三個整數中取值的數列。若a₁a₂ a₅₀9且

2 2 2

1 2 50

(a 1) (a 1)  (a 1) 107，則a₁，a₂，…，a₅₀當中有__________項是 0。(92 學測) 解答 11

解析 由

2 2 2

1 2 50

(

1)

(

1)

(

1)

107

50 50 50

2

1 1 1

2 1 107

k k

k k k

a a

  









1

2 9 50 107

k k

a







1 k 39

k

a







{ 1 , 0 , 1}

ak   a_k² { 0 , 1}

故a^k_中有

50 39 11

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