高三複習試題 第 8 章 三角函數
班級: 座號: 姓名:
◎學測篇 一、單選題
( )1.令 a cos
2﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a 1 (2) 1 1 a 2 (3) 1 2 a 0
(4) 1 0 a 2
(5)1
2 a 1﹒(98 學測) 解答 2
解析 a cos
2 cos9.86﹐
2 3.14 3.14 9.86 為第三象限角﹐且 10 3 9.86
3
﹐∴ 1
1 a 2
﹐故選(2)﹒
( )2.廣場上插了一支紅旗與一支白旗﹐小明站在兩支旗子之間﹒利用手邊的儀器﹐小明測出他與正東方紅 旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍﹔小明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次﹐發現他與紅 旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍﹒試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項﹖ (1)60 公尺 (2)65 公尺 (3)70 公尺 (4)75 公尺 (5)80 公尺﹒(97 學測)
解答 1
解析 如圖﹐設AW x﹐則AR6x﹐
2 2 2 2
(6 ) 10 36 100
BR x x ﹔BW2x2102x2100﹐
∵BR4BW﹐∴BR216BW2
36x2 100 16(x2 100) x2 75 x 5 3﹐ 紅白兩旗之間的距離為7x35 360.6公尺﹐故選(1)﹒
( )3.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8﹒問﹕直角三角形 OAB 的高 AB 為何﹖ (1)1 (2) 6 2 (3) 7 1 (4) 3 (5)2﹒(95 學測)
解答 4 x A
W 6x
10 B
R
A O
D
30 15 15 8
B C
o o
o
解析 △OCD 中﹐OC4 3﹐
△OBC 中﹐OBOCcos15 4 3cos15﹐
△OAB 中﹐ABOBsin15 (4 3 cos15 ) sin15 2 3(2sin15 cos15 ) 2 3 sin30 1
2 3 3
2 ﹐ 故選(4)﹒
( )4.假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通過甲﹑乙兩 鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45﹐則丙﹑丁兩鎮間的距離約為 (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里﹒(98 學測)
解答 1
解析 △ACD 中1 120﹐2 45﹐AC20﹐
由正弦定理知 20 20 3
10 6 24.5 sin 45 sin120 2
CD CD
﹐故選(1)﹒
( )5.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4﹐2﹒如 圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則此交點 P 與中 心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 ﹒(學測)
解答 2
解析 OP斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t 0﹐
又 P 在
2 2
4 1 1 x y
上﹐故
2 2
4 1 1 t t
﹐t 0﹐解得 4 t 5 ﹐
則 4 8
2 1.6
5 5
OP ﹐故選(2)﹒
( )6.莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10:00 熱氣球的仰角為 30﹐到上午 10:10 仰角變成 34﹒請利用下表判斷到上午 10:30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? (1)39 (2)40 (3)41
D(丁)
B(乙) C(丙)
A(甲)
20 12
x y
O 45o
P
(4)42 (5)43﹒(102 學測)
30 34 39 40 41 42 43sin
0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos
0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan
0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 解答 3解析 如圖﹐設底邊為 1﹐10:00 時熱氣球高 a﹐10:10 升高 x﹐
則 10:30 再升高 2x﹒因為 tan30 0.577 tan34 0.675 a
a x
﹐
所以 x 0.675 0.577 0.098﹒因此﹐
a 3x 0.577 3 0.098 0.871 tan41﹒
故選(3)﹒
( )7.某君在一廣場上從某一點出發,先往東北方前進 50 公尺後轉往正西方向前進,一段時間後測得原出發 點在他的南偏東 60方向;則此時他距原出發點大約(1)35 公尺 (2)43 公尺 (3)50 公尺 (4)71 公尺 (5)87 公尺(92 學測補)
解答 4 解析
二、多選題
( )1.下列哪些方程式有實數解﹖ (1)x3 x 1 0 (2)2x 2 x 0 (3)log2x logx2 1 (4)sinx cos2x 3
(5) 9
4sin 3cos
x x2﹒(99 學測) 解答 15
解析 (1)○﹕三次實係數方程式至少有一實根 (2)╳﹕2x 2 x 2﹐∴2x 2 x 0 無解
(3)╳﹕令 t log2x﹐原式 1 2
1 1 0
t t t
t ﹐又 D 0﹐∴無實根 (4)╳﹕sinx 1﹐cos2x 1﹐∴sinx cos2x 2﹐∴sinx cos2x 3 無解
30°34°
2x x a 1
(5)○﹕ 5 4sinx 3cosx 5﹐∴ 9 4sin 3cos
x x2必有實數解 故選(1)(5)﹒
( )2.已知 2
sin
3且 cos
0﹐請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)tan
0 (2) 2 4tan
9 (3)sin2
cos2
(4)sin2
0 (5)標準位置角
與 2
的終邊位在不同的象限﹒(100 學測)解答 12
解析 2
sin
3﹐且 cos
0﹐∴
在第四象限 (1)○﹕∵
在第四象限﹐∴tan
0(2)○﹕ 2
tan
5 ﹐ 2 4 4 tan
5 9(3)╳﹕ 2 4
sin
9﹐ 2 2 5 cos 1 sin
9﹐∴sin2
cos2
(4)╳﹕ 2
sin
3﹐ 5cos
3 ﹐ 2 5 4 5sin 2 2sin cos 2( )( ) 0
3 3 9
(5)╳﹕ 2 5 1
cos 2 2cos 1 2( ) 1 0
9 9
﹐∵sin2
0﹐cos2
0﹐∴2
在第四象限﹐又
也在第四象限﹐∴
與 2
的終邊位於相同的象限 故選(1)(2)﹒( )3.若 0
4
﹐試問以下哪些選項恆成立﹖ (1)sin
cos
(2)tan
sin
(3)cos
tan
(4)sin2
cos2
(5) 1 tan tan2 2
﹒(94 學測)解答 15
解析 (1)○﹕cos
sin
(2)╳﹕ sin sintan cos 1
(3)╳﹕不一定
(4)╳﹕∵0 2 2
﹐∴不一定
(5)○﹕
2
2 tan tan tan(2 ) 2
2 1 tan 2
﹐去分母 tan tan tan2 2 tan
2 2
1 1 2 1 2 1 tan tan tan tan tan (1 tan ) tan
2 2 2 2 2 2 2
(∵0 tan 1
2
﹐∴tan2 1 2
)
故選(1)(5)﹒
( )4.試問下列哪些選項中的數是有理數﹖ (1)3.1416 (2) 3 (3)log10 5log10 2 (4)sin15 cos15 cos15 sin15
(5)方程式 x3 2x2 x 1 0 的唯一實根﹒(98 學測) 解答 134
解析 (1)○﹕ 31416 3.1416
10000
(2)╳﹕ 3為無理數
(3)○﹕ 10 10 10 1 10 1
log 5 log 2 log 10 log 10
2 2
(4)○﹕
2 2
sin15 cos15 sin 15 cos 15 2 2 cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15 sin 30 4
(5)╳﹕由牛頓定理知 x3 2x2 x 1 0 的有理根僅有 ± 1﹐將 x ± 1 代入均不合 故唯一實根必為無理數
故選(1)(3)(4)﹒
( )5.設
1﹐
2﹐
3﹐
4分別為第一﹑第二﹑第三﹑第四象限角﹐且都介於 0 與 2
之間﹒已知|cos
1| |cos
2| |cos
3| |cos
4| 13﹐請問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1 4
(2)
1
2
(3) 3 1 cos
3 (4)4
sin 2 2
3 (5) 4 3 2
﹒(99 學測)解答 23
解析 1 2 3 4 1
| cos | | cos | | cos | | cos |
31
cos 1
3 ﹐ 2 1
cos
3﹐ 3 1cos
3﹐ 4 1 cos
3﹐(1)╳﹕ 2 1 1
cos cos
4 2 3
﹐∴ 1 4
(2)○﹕
2
1
1
2
(3)○﹕ 3 1
cos
3(4)╳﹕ 4 1 4 2 2
cos sin
3 3
(5)╳﹕
3
1﹐
4 2
1﹐∴ 4 3 2
故選(2)(3)﹒
( )6.在坐標平面上﹐廣義角
的頂點為原點 O﹐始邊為 x 軸的正向﹐且滿足 2tan
3﹒若
的終邊上有一點 P﹐其 y 坐標為 4﹐則下列哪些選項一定正確﹖ (1)P 的 x 坐標是 6 (2)OP2 13 (3) 3 cos
13(4)sin2
0 (5) cos 0 2
(101 學測)解答 24
解析 ∵ 2
tan
3﹐又
終邊的 P 點﹐y 坐標為 4∴
在第三象限(1)╳﹐ 2 4
tan 3 y x x
x 6∴ P 的 x 坐標為 6 (2)○﹐OP 4262 522 13
(3)╳﹐ 6 3
cos 2 13 13
x
OP (4)○﹐ 4 6
sin 2 2sin cos 2( )( ) 0 2 13 2 13
(5)╳﹐180 360k
270 360k﹐k90 180 135 180
k
2 k ﹐k
當 k 0 時﹐
2
在第二象限﹐cos 0 2
當 k 1 時﹐
2
在第四象限﹐cos 0 2
故選(2)(4)
( )7.在 ABC 中,下列哪些選項的條件有可能成立﹖
(1) 3
sin sin sin
A B C 2 (2) sin ,sin ,sinA B C 均小於1
2 (3) sin ,sin ,sinA B C 均大於 3
2
(4) 1
sin sin sin
A B C2 (5) 1 3 sin sin ,sin
2 2
A B C (學測)
1 2
x y
O
解答 125 解析
三、填充題
1.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐OC 交圓 O 於 A 點﹐CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下圖﹐則 AB ____________﹒(化為最簡分數)(103 學測)
解答 120 13
解析 由題意 24 12 cosCOD2613
5 120 sin 24( )
13 13 AB OA AOB
﹒
2.在△ABC 中﹐若 D 點在 BC 邊上﹐且AB7﹐AC13﹐BD7﹐CD8﹐則 AD____________﹒(95 學測) 解答 7
解析 △ABC 中
2 2 2
7 15 13 cosB 2 7 15
﹐△ABD 中
2 2 2
7 7 cos 2 7 7
B x
2 2
49 225 169 49 49 105 98 2
49 7
2 7 15 2 7 7 15 7
x x
x x
(負不合)﹒
3.如下圖所示﹐在△ABC 中﹐BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D﹔已知BD3﹐DC6﹐且 AB AD ﹐則 cosBAD 之值為____________﹒(化成最簡分數)(94 學測)
A
O B
C D
A
C D B
x
13 7
7 8
A
B D C
o o
解答 3 4
解析 設ABa﹐則ABADa﹐AC2a﹐BAD DAC
﹐△ABD 中﹐
2 2 2
cos 3
2 a a
a a
△ACD 中﹐
2 2 2
(2 ) 6
cos 2 2
a a
a a
由得2 2 29 5 2 236 2
2 4 18
a a
a a a
﹐
故
2 2
2 9 2 18 9 27 3
cos 2 2 18 36 4
a
a ﹒
4.設 cos
3sin
2﹐且 0
90﹐求 cos
sin
____________﹒(學測)解答 4 6 5
解析 cos
3sin
2 3sin
2 cos
(3sin
)2 (2 cos
)2 9sin2
4 4cos
cos2
9(1 cos2
) 4 4cos
cos2
10cos2
4cos
5 0 4 16 200 4 216 4 6 6 2 3 6
cos
20 20 20 10 (取正)2 3 6 18 3 6 3sin 2 cos 2
10 10
∴ 6 6
sin
10 ﹐故 4 6 sin cos
5 ﹒5.坐標平面上﹐以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0)﹐B﹐C﹐且 AB BC ﹒已知銳角三角形 OAB 的面積為 3 10﹐ 則△OAC 的面積為____________﹒(化為最簡分數)(97 學測)
解答 12 25
解析 令 B(cos
,sin
)﹐0
90﹐C(cos2
,sin2
)﹐△OAB 面積 1 3
1 1 sin
2
10 ﹐∴ 3 4
sin cos
5 5
﹐ AB D C
a 2a a
3 6
故△OAC 面積 1 1 3 4 12 1 1 sin 2 (2sin cos )
2
2
5 5 25 ﹒
6.在△ABC 中﹐M 為 BC 邊之中點﹐若AB3﹐AC5﹐且BAC 120﹐則 tanBAM ____________﹒(化成最 簡根式)(96 學測)
解答 5 3
解析 △ABC 中﹐BC2 3252 2 3 5 cos120 49﹐∴BC7﹐
利用中線定理﹐ 2 2 2 2 2 49 19
2( ) 9 25 2( )
4 2
AB AC AM BM AM AM ﹐
△ABM 中﹐
2 19 2 7 2
3 ( 2 ) ( )2 1
cos 19 2 19
2 3 2
﹐∴ 5 3
tan 5 3
1 ﹒7.如圖﹐正△ABC 的邊長為 1﹐並且1 2 3 15﹒已知 6 2 sin15
4
﹐則正△DEF 的邊長為____________﹒
(化為最簡根式)(103 學測)
解答 6 2 2 2
解析 在△ABE 中﹐ABE 60 15 45﹐AEB 180 15 45 120﹐
利用正弦定理﹐得 1
sin15 sin 45 sin120 BE AE
﹐
A(1,0) B(cos ,sin ) C(cos2 ,sin2 )
x y
O
A
B M C
3 5 7 2
A A
B C
D
E F
1
2
3
即
6 2
sin15 4 6 2
sin120 3 2 3
2 BE
﹐
2 sin 45 2 2 sin120 3 3
2 AE
﹒
又因為△ABE 與△CAD 全等﹐所以ADBE﹒ 故正△DEF 的邊長為DEAEADAEBE 2 6 2
3 2 3
3 2 6
2 3
3 6 3 2 6
6 2
2 2
﹒
8.如下圖﹐直角三角形 ABD 中﹐A 為直角﹐C 為 AD 邊上的點﹒已知BC6﹐AB5﹐ABD 2ABC﹐則 BD ____________﹒(化成最簡分數)(99 學測)
解答 90 7
解析 △ABC 中﹐ 5
cos
6﹐則 2 5 2 7cos 2 2cos 1 2( ) 1
6 18
﹐△ABD 中﹐ 5
cos 2
BD ﹐∴ 5 5 90cos2 7 7 18
BD
﹒9.四邊形 ABCD 中﹐AB1﹐BC5﹐CD5﹐DA7﹐且DAB BCD 90﹐則對角線 AC 長為____________﹒
(100 學測)
解答 32
解析 ∵四邊形 ABCD 中﹐DAB BCD 90﹐
∴ABC ADC 180﹐即ABC 180 ADC﹐
利用 cosABC cos(180 ADC) cosABC cosADC﹐
C A D
B
C A D
B 6 5
則
2 2
25 1 25 49
2 5 1 2 5 7 32
AC AC
AC
﹒
10.在△ABC 中﹐AB10﹐AC9﹐ 3
cosBAC8﹒設點 P﹐Q 分別在邊 AB ﹐ AC 上使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半﹐則 PQ 之最小可能值為____________﹒(化成最簡分數)(98 學測)
解答 15 2
解析 設APx﹐AQy﹐BAC
﹐ 1 sin2 1 45
110 9sin 2 2
APQ xy ABC xy
△
△ ﹐
△APQ 中﹐ 2 2 2 2 2 3
2 cos 2
PQ x y xy
x y xy8 3 5 5 2252 45
4 4 4 4
xy xy xy
﹐
則 15
PQ 2 ﹐故PQ的最小值為15 2 ﹒
11.在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P﹑Q﹑R﹐使得 APQR 形成一平行四邊形﹐如下圖所示﹕
若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ﹐則線段 PR 的長度為____________﹒(101 學測) 解答 7
解析 ∵ APQR 為平行四邊形﹐∴ PAR BPQ QRC 60
△PBQ﹑△RQC 為正三角形 1A
B
C
D 5
5 7
A
B C
P
Q
x y
A
B C
P
Q R
令APx﹐BPAR13x 1
APR 2
平行四邊形 APQR 面積
1 1
( )(13 ) sin 60 (20 3) 2 x x 2
x2 13x 40 0 (x 8)(x 5) 0 x 8 或 5
∴ PR 8252 2 8 5 cos 60 497
12.已知△ABC 中﹐AB2﹐BC3且A 2C﹐則 AC____________﹒(化成最簡分數)(99 學測) 解答 5
2
解析 由正弦定理知 2 3 3
sin
sin 2
2sin
cos
﹐∵sin
0﹐∴ 3 cos
4﹐由餘弦定理知
9 2 4 3
cos 2 3 4
x
x
2x2 9x 10 0 (2x 5)(x 2) 0 5 x 2
或 x 2(不合)﹒
13.設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8﹒已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2﹐而到 BC 的距離為 7﹐則 AC ____________﹒(化成最簡根式)(102 學測)
解答 4 15
解析 依題意﹐得下圖﹒利用和角公式﹐得
2 15 2 15 7 15 sin sin( ) sin cos cos sin
8 8 8 8 4
B
﹒再利用正弦定理 2
sin
AC R
B ﹐得 15
2 sin 16 4 15 AC R B 4 ﹒
14.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若DBC 30﹐ABD 45﹐CD6﹐則線段 AD____________﹒
(95 學測)
A
B C
2 x
3 2
A B
C
O 7
2 8 15 2 15
解答 72
解析 △BCD 中 6
2 2 12
sin 30 1
2 CD R R
﹐
△ABD 中 2
sin 45 AD R
﹐∴ 2
2 sin 45 12 6 2 72 AD R 2 ﹒
15.某人隔河測一山高﹐在 A 點觀測山時﹐山的方位為東偏北 60﹐山頂的仰角為 45﹐某人自 A 點向東行 600 公尺 到達 B 點﹐山的方位變成在西偏北 60﹐則山有____________公尺﹒(學測)
解答 600
解析 如圖﹐設山高為PQ﹐M 為AB中點﹐
依題意﹐AM BM 300﹐
在△AMQ 中﹐AM 300﹐AQ600﹐ 在△APQ 中﹐AQPQ600﹐
故山高 600 公尺﹒
16.工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花臺﹐此花臺在窗口的中央往外伸出 72 公分﹐窗的口寬度是 168 公分﹐則此 圓弧的圓半徑為____________公分﹒(學測)
解答 85
解析 設圓半徑為 r﹐則 r2 842 (r 72)2
r2 842 r2 144r 822 144r 7056 5184 12240 r 85﹒
A
B
C D
A B
P
Q
45 45
60 60
o o o o
600公尺M
72公分 168公分
17.小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里﹐並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里﹒今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A﹑B 等距﹐則此超級市場與 A 的距離須為____________公里﹒(化為最簡根式)(103 學測)
解答 4 3
解析 設超級市場蓋在 P 點﹐且PAPB x﹐如下圖所示﹒
利用畢氏定理﹐得HB 12262 6 3﹐則HP6 3x﹒ 再利用畢氏定理﹐得
2 62 (6 3 )2 2 36 108 12 3 2
x x x xx ﹐
解得 144 12
12 3 3 4 3
x ﹐即超市與 A 的距離為4 3公里﹒
18.設 ABC 為一等腰直角三角形,BAC90,若 ,P Q 為斜邊 BC 的三等分點,則 tan PAQ __________。
(93 學測) 解答 3
4 解析
19.如圖,老王在平地點
A
測得遠方山頂點P
的仰角為13 。老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點B
,再測得山 頂點P
的仰角為15 。則山高約為 __________公丈。(四捨五入至個位數,tan13 0.231
,tan15 0.268
)(104 學測) 解答 62 解析
72 84
r
r 72
B 12
A A
H P
6 x
x 6 3- x
20.下 圖 為 汽 車 迴 轉 示 意 圖 。 汽 車 迴 轉 時 , 將 方 向 盤 轉 動 到 極 限 , 以 低 速 讓 汽 車 進 行 轉 向 圓 周 運 動 , 汽 車 轉 向 時 所 形 成 的 圓 周 的 半 徑 就 是 迴 轉 半 徑 , 如 圖 中 的
BC
即 是 。 已 知 在 低 速 前 進 時 , 圖 中 A 處 的 輪 胎 行 進 方 向 與AC
垂 直 , B 處 的 輪 胎 行 進 方 向 與BC
垂 直 。 在 圖 中 , 已 知 軸 距 AB 為 2 . 8 5 公 尺,方 向 盤 轉 到 極 限 時,輪 子 方 向 偏 了 2 8 度,試 問 此 車 的 迴 轉 半 徑BC
為 ________公 尺 。( 小 數 點 後 第 一 位 以 下 四 捨 五 入 , sin 28 0.4695, cos 28 0.8829)(104 學測) 解答 6.1
解析