第一讲 数值积分及其应用

1

第一讲

数值积分及其应用

——

误差分析

定理：设 I 是定积分精确值， T_n 是由梯形法计算出来的近 似值，若 f(x)C²[a, b] ，则存在  (a, b) ，使得

定理：设 I 是定积分精确值， S_n 是由抛物线法计算出来的 近似值，若 f(x)C⁴[a, b] ，则存在  (a, b) ，使得

注：抛物线法事实上使用了 2n+1 个节点

( )

"( )

n

12

b a h

I T     f 

4

( )

180 2 ( )

n

b a h

I S           f 

h b a n

 

h b a n

 

3

自适应数值积分

 取等分点的缺点

当被积函数在部分区域变化较剧烈，而其他部分变化较平缓 时，采用等分点会增加工作量，效率低下。

 自适应数值积分

变化剧烈的地方取较小步长，在变化平缓的地方取较大步长，

使得在满足计算精度的前提下工作量尽可能小。

作业：试给出梯形法的递推计算公式： T_k

（ n=2¹, 2², 2³, 2⁴, ..., 2^k, ... ，即对积分区间不断对分）

自适应梯形法

(1) 取当前积分区间 (x₀ , x₁)=(a, b) ；

(2) 用梯形公式计算函数在当前积分区间上的积分近似值；

(3) 判断近似值的误差，若满足要求，则该值即为该区间上的 计算结果，该区间的计算过程结束。

(4) 否则，将区间二等分：令 x_c =(x₀ + x₁)/2 ，分别将子区间 (x₀ , x_c) 和 (x_c , x₁) 设为当前积分区间，重复步骤 (2)-(4) ，直 到它们的计算误差满足要求，然后将子区间 (x₀ , x_c) 和 (x_c , x₁) 上的计算结果之和作为区间 (x₀ , x₁) 上的计算结果；

算法：基于梯形法的自适应数值积分

梯形公式：

递归算法

 

( ) ( ) ( )

2

b a

f x dx  b a f a  f b



5

自适应梯形法

问题：如何判断近似值的误差是否满足要求？

设给定的误差限为 

 设当前计算区间为 (x₀ , x₁) ，梯形公式的计算误差：

当区间长度较小时， 可用中点 x_c 代替

用二阶差商近似二阶导数值（ Taylor 展开，板书），可得

“ 误差等分布原则”：小区间上的误差满足：

0 1 0 1

3

1 0

[ , ] [ , ]

( )

"( )

x x x x 12

x x

I T    f 

0 1

2

1 0

( ) 2 ( ) ( )

"( ) "( ) 4

( )

c c

f x f x f x

f f x

x x

 

  



i hi

  b a 



自适应梯形法

 进一步改进 由于需要计算中点的函数值，因此我们可以 利用该函数值来给出更好的积分近似值

近似值满足要求的判断准则

误差：

新近似值的误差判断准则

 

0 1 0 1

1 0

[ , ] [ , ] [ , ]

( ) 2 ( )

( )

4

c c

x x x x x x c

x x

T   T  T   f x  f x  f x

0 1

( ) 2 ( )_c ( ) 3

f x f x f x

b a

   



 

0 1 0 1 0 1 0 1

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

1

x x x x

4

I  T   I  T

0 1

( ) 2 ( )_c ( ) 12

f x f x f x

b a

   



0 1 0 1

1 0

[ , ] [ , ]

3( )

x x x x

x x

T T

b a

 

 

 

7

自适应梯形法

function trap_adap(a,fa,b,fb,tol,F) if (a=b) return 0

xc=(a+b)/2; h=b-a; T0=h*(fa+fb)/2;

if (xc=a or xc=b) return T0

fc=F(xc); T1=(T0+fc*h)/2; err=|T1-T0|

if err>h*tol then

return trap_adap(a,fa,xc,fc,tol,F) +

+ trap_adap(xc,fc,b,fb,tol,F) else

return T1 end if

end function

算法：基于梯形法的自适应数值积分

tol 3

b a

 



自适应梯形法举例

例：用自适应梯形法计算下面积分的近似值

ex_trap_adap.m

1 0.2 2

1 d

I x





9

自适应抛物线法

(1) 取当前积分区间 (x₀ , x₁)=(a, b) ；

(2) 用抛物线公式计算函数在当前积分区间上的积分近似值；

(3) 判断近似值的误差，若满足要求，则该值即为该区间上的 计算结果，该区间的计算过程结束。

(4) 否则，将区间二等分：令 x_c =(x₀ + x₁)/2 ，分别将子区间 (x₀ , x_c) 和 (x_c , x₁) 设为当前积分区间，重复步骤 (2)-(4) ，直 到它们的计算误差满足要求，然后将子区间 (x₀ , x_c) 和 (x_c , x₁) 上的计算结果之和作为区间 (x₀ , x₁) 上的计算结果；

抛物线公式：

算法：基于抛物线法的自适应数值积分 递归算法

( ) ( ) 4 ( )

6 2

b a

b a a b

f x dx    f a  f     f b 



自适应抛物线法

问题：如何判断近似值的误差是否满足要求？

设给定的误差限为 

 设当前计算区间为 (x₀ , x₁) ，抛物线公式的计算误差：

将区间二等分后，在每个小区间上使用抛物线法，可得 新的近似值

0 1 0 1

5 1 0 (4)

[ , ] [ , ] 5

( )

90 2 ( )

x x x x

x x

I  S    f 



0 1 0 1

[x x, ] [x x, _c] [x x_c, ]

S  S  S

 

0 1 0 1

5

(4) (4)

1 0

[ , ] [ , ] 5 5 1 2

( )

( ) ( )

90 2 2

x x x x

x x

I  S    f   f 

  

0 1 0 1

5 1 0 (4)

[ , ] [ , ] 9

( )

90 2 ( )

x x x x

x x

I  S    f 

 



11

自适应抛物线法

当区间长度较小时，可假定

根据“误差等分布原则”， 是否满足精度要求的判别准则是

为保险起见，实际计算中可使用

(4)( ) (4)( ) f   f 

0 1 0 1

5 (4)

1 0

[ , ] [ , ] 5

( )

15 ( )

16 90 2

x x x x

x x

S S  f

   

 

0 1 0 1 0 1 0 1

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

1

x x x x 15 x x x x

I  S  S  S

0 1 0 1

1 0

[ , ] [ , ]

1

15 ^{x x x x}

x x

S S

b a

   

 

0 1

[x x, ]

S

0 1 0 1

1 0

[ , ] [ , ]

1

10 ^{x x x x}

x x

S S

b a

   

 

自适应抛物线法

留作作业

算法：基于抛物线法的自适应数值积分