2-1

2-1 點、直線、圓之間的關係

圓形是日常生活中常見的對稱圖形，像是光碟片、飛盤、車輪、錢幣等都設計成圓形。我們在 第四冊已經對圓形做過基本介紹，現在我們將對圓的性質做進一步的探討，例如：如果只知 道圓的一部分圓弧，有沒有什麼方法可以找出這個圓的圓心？

1.圓的定義：

2.點與圓的關係

由圓心O 到 P 點的距離 與半徑 r 的大小關係來判斷

1. 點在圓內

O r P

2. 點在圓上

O r P

3. 點在圓外

O r P

當＜r 時，

P 點在圓 O 的內部。

當＝r 時，

P 點在圓 O 上。

當＞r 時，

P 點在圓 O 的外部。

例題1. --- 如右圖，在坐標平面上有A ( 3 , 4 )、B ( 2 ,－3 )、C (－4 , 4 ) 三點。若有一個圓的圓心在原 點O，且半徑為 5，則 A、B、C 三點與圓 O 的位置關係

---

隨堂練習--- 在坐標平面上有A ( 4 , 5 )、B ( 3 , 6 ) 兩點。若有一個圓的圓心在原點 O，且 A 點在圓 O 上，

則：(1) 圓 O 的半徑為何？ (2) B 點與圓 O 的位置關係為

何？--- ---

y

O 1 x 1

A

B C

直線與圓的關係 1. 交於兩點

O

L A

B

2. 恰交於一點

O P

L

3. 沒有交點

O

L 當直線L 與圓 O 交於兩點

時，我們稱直線L 為_______

_，為________。直線與圓的 關係為________。

當直線L 與圓 O 恰交於一 點，我們稱直線L 與圓 O______

，直線L 為圓 O 的_______

_，交點 P 為________。

當直線L 與圓 O 沒有交點 時，我們稱直線L 與圓 O 不 相交

或________。

討論：用圓心到直線的距離來討論直線與圓的位置關係 設圓O 的半徑為 r，且為 O 點到直線 L 的距離：則 1.圓心到直線的距離小於半徑時，直線與圓交於兩點。

2.圓心到直線的距離等於半徑時，直線與圓相切。

3.圓心到直線的距離大於半徑時，直線與圓不相交。

例題2. --- 如右圖，已知坐標平面上有一圓O，其圓心為 ( 0 , 0 ) 且半徑為 3。若有四條直線分別為 L1：x＝1、L2：x＝2、L3：x＝3 與 L4：x＝4，試判斷這四條直線與圓 O 的位置關係。

---

隨堂練習---

如右圖，在一頁印有等距平行格線的筆記簿上，以O 為圓心畫圓。若格線相距 0.5 公分，

且圓O 半徑為 1 公分，則：

(1) 哪些直線與圓 O 交於兩點？

(2) 哪些直線與圓 O 相切？

(3) 哪些直線與圓 O 不相交？

---

x y

O 1

1

L1

O

L2

L3

L4

L5

L6

弦心距

若為圓 O 的一弦，垂直於 P 點，

則我們稱為弦的弦心距，即 圓心O 到弦的距離。

例題3. --- 如右圖，在半徑為3 的圓 O 中，為圓 O 的一弦，為弦的弦心距。知弦＝4，求的長

度。--- ----

隨堂練習--- 如右圖，為圓O 的一弦，其弦心距為。　已知＝12，＝8，求圓 O 的半

徑。--- -

弦長與弦心距的關係

1.在同一圓中，當兩弦等長，所對應的弦心距也等長；當兩弦心距等長，所對應的弦也等 長。

2.在同一圓中，當弦愈長，所對應的弦心距愈短；當弦心距愈長，所對應的弦愈短。

例題4. ---

A B

O

P

A B

O

P

A B

O M

r O

r M

C

D

B A

N

A B P

C

D

E Q

R F

O

如右圖，已知、、為、

、的弦心距，且＜＝。

試判斷、與的大小關係。

---

隨堂練習--- 如上圖，已知、、分別為、、的弦心距，且＝＞。試判斷、與的大小關

係。--- -

一弦的中垂線通過圓心。

隨堂練習--- 右圖為某一個圓的部分圓弧，試問如何利用一弦的中垂線通過圓心這個性質找

出此圓的圓心？並請畫出此

圓。--- -

做法：

(1)先在圓弧上任取兩弦與。 (2)分別做與的中垂線 L 與 M，

L 與 M 的交點 O 即為圓心。 (3)以 O 點為圓心，為半徑畫圓，

故此圓即為所求。

圓的切線性質

1. 直線與圓相切時，圓心到切線的距離等於圓的半徑。

2. 直線與圓相切時，圓心與切點的連線垂直於此切線。

3. 過圓 O 上任意一點 A，

且與 垂直的直線就是圓 O 的切線。

例題5. --- 為圓O 的直徑，直線 L 與圓 O 相切於 B 點，

C 點在直線 L 上。已知圓 O 的半徑為 12，

＝10，求的長度。

---

隨堂練習--- 如右圖，直線L 與圓 O 相切於 P 點，

A 點在直線 L 上。已知＝18，

＝20，求圓 O 的半徑。

---

O Q

P

L

A O B

C L

L

O

P A

例題6. --- 如右圖，直線L 與圓 O 相切於 P 點，

A 點在直線 L 上，與圓 O 相交 於 B 點。已知＝12，＝6，求 圓O 的半

徑。--- ----

隨堂練習--- 如右圖，直線L 與圓 O 相切於 P 點，

A 點在直線 L 上，OA與圓 O 相交 於B、C 兩點。已知＝6，＝4，求的長

度。--- -

圓外一點至圓的切線性質

1. 圓外一點 P 到圓的兩切線段等長。

2. 圓外一點 P 到圓心 O 的連線，會平分過此點兩切線的夾角。

例題7. --- 如右圖，P 點在圓 O 的外部，PA、PB分別與圓 O 相切

於 A、B 兩點，則＝成立嗎？∠APO＝∠BPO 成立嗎？

--- L

O

P A

B

A

B L

C

P O

O P

A

B

O P

圓外切四邊形

若四邊形ABCD 的四邊均與圓 O 相切，

則我們稱四邊形ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形，

且稱圓O 為四邊形 ABCD 的內切圓。

圓外切四邊形性質

若一個四邊形有內切圓，則此四邊形兩組對邊長的和會相等。

即＋＝＋

隨堂練習--- 如右圖，四邊形ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形。已知＝12，＝11，求四邊形 ABCD 的周長。

---

例題8. --- 如右圖，四邊形ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形。已知＝3，＝4，＝5，

且＝＋1，求：

(1) 的長度。

(2) 的長度。

---

隨堂練習--- 若四邊形ABCD 為等腰梯形，圓 O 為此梯形的內切圓。已知等腰梯形的周長為 20，求等腰梯 形的腰

長。--- -

A B

O

C D

O D A

B C

E A

H

G F

C D B

O

兩圓的位置關係

已知平面上圓O1與圓O2的半徑分別為r1與r2，且r1＞r2， 則過兩圓圓心的直線稱為連心線，而稱為連心線段。

由兩圓的位置關係用連心線段長與兩圓半徑來判斷，其結果如下：

O1 O2

r1 r2

L 一圓完全在另一圓的外部，我們稱這兩圓

外離，此時＞r1＋r2。

O1 O2

r1 r2

P L 當兩圓圓心沿著連心線 L 接近，使得兩圓交於一點

P，且 P 點在連心線段 上，我們稱這兩圓外切，且 P 為切點，此時＝r1＋r2。

O1 O2

r1 r2

L A

B

當兩圓交於A、B 兩點時，由△AO1O2的邊長關係可 知：

兩邊和大於第三邊，即 r1＋r2＞；

兩邊差小於第三邊，即 r1－r2＜，

也就是說 r1－r2＜＜r1＋r2。

O1O2

r1

r2 P L

當兩圓圓心繼續沿著連心線L 接近，使得兩圓交於

一點 P，且 P 點在連心線段 外，我們稱這兩圓內 切，且P 為切點，此時＝r1－r2。

O1O2

r1

r2 L 一圓完全在另一圓的內部，我們稱這兩圓

內離，此時 r1＞＋r2，也就是說＜r1－r2。

當兩圓的圓心為同一點時，我們稱這兩個圓為同心圓，

而同心圓也是內離的一種，此時 ＝0。

當兩圓半徑相等時，同樣有外離、外切及交於

兩點的情形，且當圓心為同一點時，則稱這兩圓重合。

.

例題9. --- O1

O2

r1

r2 L

係。

(1) ＝10。　　　 (2) ＝8。　　　　(3) ＝4。

(4) ＝2。　　　　(5) ＝1。　　　　(6) ＝0。

---

隨堂練習--- 已知圓O1與圓O2的連心線段長為10。若圓 O1與圓O2的半徑分別如下，試問兩圓的位置關係 各為何？

圓O1的半徑 3 3 6 6 8

圓O2的半徑 4 7 7 18 18

兩圓位置關係 外離 外切 交於兩點 內離 內切

---

兩圓的公切線

公切線：在平面上，直線L 同時是圓 O1與圓O2的切線，稱此直線L 是這兩圓的公切線。

公切線段：一條公切線上的兩個切點所連接而成的線段，我們稱為公切線段。

O1 O2

D

C B A

L4

L3

L2

L1

外公切線：當圓O1和圓O2在公切線L 的同一側時。

內公切線：當圓O1和圓O2在公切線L 的不同側時。

O1 O2 L

_O

1 O2

L

兩圓的公切線整理

兩圓的位置關係 公切線的情形 外公切線數量 內公切線數量

外離

內公切線

外公切線

外切

內公切線

外公切線

交於兩點 ^外公切線

內切

外公切線

內離

外公切線段長與內公切線段

1. 兩圓外離、外切或相交於兩點時，外公切線段等長。

2. 兩圓外離時，內公切線段等長。

設 AB與 CD為兩圓的外公切線，A、B、C、D 四點為切點，

且AB與CD交於 P 點。試證＝

∵ 圓外一點 P 到圓的兩切線段等長

∴ ＝且＝

因此＝－＝－＝。

A

B

C

D

O1 O2

P

如右圖，有一台古董腳踏車模型，前輪O1的半徑為16 公分，後輪 O2的半徑為6 公分，且 兩輪與桌面的切點分別為A 點與 B 點。若＝26 公分，求的長度。

---

隨堂練習--- 如右圖，圓O1與圓O2外切，直線L 為圓 O1與圓O2的外公切線，A、B 為切點。已知圓 O1與 圓O2的半徑分別為7 與 4，求外公切線段的長度。

---

例題11. --- 如圖，直線 L 為圓 O1與圓 O2的內公切線，A、B 為切點。已知圓 O1與圓 O2的半徑分別為 4 與 2，且＝10，求內公切線段的長度。

--- O1

O2

A B

O1

O2

A L

B C 4

7

L A

B

O1 O2

隨堂練習--- 如圖，直線L 為圓 O1與圓O2的內公切線，A、B 為切點。已知圓 O1與圓O2的半徑分別為2 與 4，且內公切線段＝8，求連心線段的長

度。--- -

2-1 自我評量

如右圖，已知矩形 ABCD 中，＝3，＝4，

以 A 點為圓心，r 為半徑畫圓。若 B、C、D 三點 中有一點在圓外，兩點在圓內，則半徑 r 的範圍 為何？

＝3，＝4  ＝＝5

故當 4＜r＜5，B、D 兩點在圓內，C 點在圓外。

2

L1 L2 L3

圓心 O 到直線的距離 6公分 5公分 4公分

圓心 O 與直線的交點個數 0 1 2

3

∵ △OPA為直角三角形

∴ ²＝²－²

　 　 　 　 ＝6²－5²＝36－25＝11 故圓 O 的半徑＝＝。

O2

A

L B

C 2

8 4

O1

A D

C B

A(6,0)x P

y

O

4

(1) 弦的弦心距長度為何？

∵ 為弦的弦心距，且圓 C 與 x 軸相切

∴ ∠CMO ∠＝ MOP ∠＝ OPC＝90

因此四邊形 OPCM 為矩形，故＝＝| 3－0 |＝3。

(2) 弦的長度為何？

∵ ⊥y軸且為弦的弦心距

∴ ∠PNA ∠＝ NAO ∠＝ AOP＝90

因此四邊形 OPNA 為矩形，＝＝3，

故＝2＝2 × 3＝6。

5

且＝2x＋1，＝x＋8，＝4x－1，

＝3x＋2，求 x 的值與四邊形 ABCD 的周長。

∵ 圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓

∴ ＋＝＋

即 ( 2x＋1 )＋( 4x－1 )＝( x＋8 )＋( 3x＋2 )，得 x＝5，

故四邊形 ABCD 周長＝( 2x＋1 )＋( x＋8 )＋( 4x－1 )＋( 3x＋2 ) 　 　 　 　 ＝10x＋10＝10 × 5＋10＝60

6

圓 O³的直徑＝20－( 9＋5 )＝6，

故圓 O³的半徑為 3。

7

且連心線段＝7，求：

(1) 外公切線段的長度。

外公切線段長＝連心線段＝7 (2) 內公切線段的長度。

∵ ²＝7²－( 2＋2 )²＝49－16＝33

∴ 內公切線段＝＝

P(3,0) M C

N B

A D

y

O x

A

C D B

O

O1 O2

9 5

20

O1 7 O2