一類最小值問題的通法通解
張小川
胡不歸問題是一個古老的問題, 近年各地頻繁出現以胡不歸問題為原型的中考題, 學生普 遍感到問題陌生, 無從下手。 筆者查閱了部分文獻和資料, 也有提及這類中考題的文獻, 多數是 在討論問題的答案, 沒有說明這類問題的通法通解, 本文以 2017 廣州中考數學 24 題為例, 通 過分析解題思路, 歸納總結出這類問題的通法通解, 整理成短文, 供參考。
為使讀者清楚問題的背景, 先簡要說明古老的胡不歸問題。
圖1 如圖 1, A 是出發點, B 是目的地, MN
是一條驛路, 在目的地 B 一側全是砂土地帶。
在驛路 MN 上的速度為 v1, 在砂土地上的速 度為 v2。 AP 在確定的直線 MN 上, BP 是 位置不確定的線段。 為使得從 A 經過 P 到 B 的時間最少, P 點選在什麼位置?
一、 問題
(2017 廣州 24 題) 如圖 2, 矩形 ABCD 的對角線 AC、 BD 交於點 O, COD 關於 CD 的對稱圖形為 CED。
圖2 (1) 求證: 四邊形 OCED 為菱形。
(2) 連接 AE, 若 AB = 6cm, BC =√ 5cm。 1. 求 sin ∠EAD 的值。
2. 若點 P 為線段 AE 上一動點 (不與點 A 重 合), 連接 OP , 一動點 Q 從 O 出發, 以 1cm/s的速度沿線段 OP 勻速運動到點 P , 再以 1.5cm/s 的速度沿線段 P A 勻速運動 到點 A, 到達點 A 後停止運動。 當點 Q 沿上 述路線運動到點 A 所需要的時間最短時, 求 AP 的長和點 Q 走完全程所需的時間。
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思路分析
(1) 略.
(2) 1. sin∠EAD = 2
3, 過程略。
2. 如圖 2, 由題目給出的條件可以知道點 Q 走過的路線為 OP + P A, 又知道點 Q 在 OP 和 P A 上的速度, 可以計算出點 Q 走完全程所需的時間 t = OP
1 + P A 1/5, 化簡 得 t = OP +2
3P A。 現在問題轉化為求 OP + 2
3P A 的最小值問題。
兩條線段的倍數都為 1 的 a + b 類型的最小值問題, 是大家熟悉的問題, 考慮將 2 3P A 經 過變換, 變換成另外一條倍數是1線段, 就轉化成了 a + b 類型的最小值問題。
有如下思考: (1) 代替 2
3P A 的線段與線段 OP 有公共端點 P , 以便運用 「兩點之間線 段最短」 來解決; (2) 過點 A 作一個銳角, 且其正弦值是 2
3,再過點 P 作垂線。
由 1, sin ∠EAD = 2
3,∠EAD 恰好就是要作的銳角。
過點 P 作 P M⊥AD, 此時 P A 是直角三角形 P AM 的斜邊。
因為 sin ∠P AM = P M P A = 2
3, 得到 P M = 2 3P A。 此時有 t = OP + 2
3P A = OP + P M。
求 t 的最小值也就是求 OP +P M 的最小值, 當 O、 P 、 M 在同一條直線上時, OP +P M 取最小值。
如圖 2, 過點 O 作 ON⊥AD, 交 AE 於點 P , 交 AD 於點 N, 圖 2 中的 OP + P M 的最小值就是圖 2 中 ON 的長。 在直角三角形 DAB 中, ON 是直角三角形 DAB 的 中位線, 所以 ON = 1
2AB = 3。
說明: 上述問題中, OP 是位置不確定的動線段, P A 在定線段 AE 上, 線段 P A 上有一個動點 P 和一個定點 A。 以定線段 AE 上的 P A 為斜邊作直角三角形, 根據 1 中的 sin ∠EAD = 2
3, 將 2
3P A 轉化為 P M。
當原題中沒有 sin ∠EAD = 2
3 這個條件時, 也應作一個以 A 為頂點、 正弦值等於 2 3 銳 角, 再過點 P 作垂線。
圖3
二、 通法通解
如圖 3, P 是線段 BC上一個動點, 求 AP + k· P C (0 < k < 1) 的最小值。
此問題中, 動點 P 在直線上運動, AP 是 位置不確定的動線段, 倍數不為 1 的線段 P C 在定線段 BC 上, 線段 P C 上有一個動點 P 和一個定點 C。
通常思路: 動點 P 在直線上運動時, 倍數不為 1 線段 P C 上的定點 C 作一個角 ∠BCG, 使 得 sin ∠BCG = k, ∠BCG 與動線段 AP 分別在確定線段 BC 的兩側; 再過倍數不為 1 的 線段 P C 上的動點 P 作 P E⊥CG。
在直角三角形 P CE 中, sin ∠BCG = P E
P C = k,即 P E = k·P C。 至此, AP +k·P C 的最小值轉化為 AP + P E 的最小值, 當 A、 P 、 E 在同一直線上時, AP + P E 的值最小。
過點 A 作 AF ⊥CG, 線段 AF 的長就是 AP +P E 的最小值, 也就是所求的 AP +k·P C 最小值。
上述通法可以簡述為: 動點在直線上運動時, 過倍數不為 1 的線段上定點作銳角, 使銳角 的正弦值等於 k, 再過倍數不為 1 的線段上動點作垂線。
圖4
三、 通法應用
例1: (2016 重慶 B 卷壓軸題改編) 如圖 4, 二 次函數 y = 1
2x2 − 2x + 1 的圖像與一次函數 y = x+1的圖像交於 A、 B 兩點, 點 P 在 AB 線段上。 其橫坐標是 5
2, 過點 P 作 P G//x 軸, 交拋物線於點 G, 線段 AB 上找一點 H (不與 A、 B 重合), 使 GH +
√2
2 BH 的值最小, 求 GH +
√2
2 BH 的最小值。
思路分析
BH 在定線段 AB 上, H 是動點, B是定點。
過定點 B 作 ∠ABD = 45◦,∠ABD 在直線 y = x+ 1 上方, 過動點 H 作 HC⊥BD。
在直角三角形 HBC 中, sin ∠ABD = CH BH =
√2
2 ,所以 CH =
√2 2 BH。 GH +
√2
2 BH 的最小值轉化為 GH + CH 的最小值。
當 G、 H、 C 在同一直線上的時候, GH + CH 最小。
過點 G 作 GE⊥BD, 線段 GE 的長度就是 GH + CH 的最小值。
下面求線段 GE 的長。
由一次函數的解析式為 y = x+1 可以計算出 ∠AF O = 45◦, 又 ∠ABD = 45◦, 所以 BD//x軸, 所以 BD⊥y軸。 只需用點 E 的縱坐標減去點 G 的縱坐標就可以計算出線段 GE 的長。
P 在 AB 上, 可以計算出 P5 2,7
2
。 因為 P G//x 軸, 所以 G 的縱坐標為 7
2. 由拋物 線和直線的解析式列方程組, 求出點 B 的縱坐標為 7, 所以, GE 的長為 7
2。 即 GH +
√2
2 BH 的最小值為 7 2。
圖5 例2: (2016 徐州壓軸題) 如圖 5, 在平面直角
坐標系中, 二次函數 y = ax2+ bx + c 的圖像 經過點 A(−1, 0), B(0, −√
3)、 C(2, 0), 其中 對稱軸與 x 軸交於點 D。
(1) 求二次函數的運算式及其頂點座標;
(2) 若 P 為 y 軸上的一個動點, 連接 P D, 求 P D + 1
2P B 的最小值。
思路分析
(1) y =
√3 2
x− 1
2 2
−9 8
√3,過程略。
(2) P B 在定線段 OB 上, P 是動點, B 是定點。
過定點 B 在 y 軸左側作一個銳角, 使得正弦值等於 1
2。 分析題目的條件發現, A(−1, 0), B(0,−√
3), 有 sin ∠P BA = 1
2;再過點 P 作 P E⊥AB, 在直角三角形 P BE 中, P E = 1
2P B。
所以, P D +1
2P B 的最小值轉化為 P D + P E 的最小值, 當 D、 P 、 E 三個點在同一
直線上時, P D + P E 最短。
過點 D 作 DF ⊥AB, 線段 DF 的長是 P D + P E 的最小值, 也就是 P D +1
2P B 的 最小值。
在直角三角形 DAF 中, 由 AD = 3
2, ∠DAB = 60◦, 可以計算出 DF = 3√ 3 4 。 即 P D + 1
2P B 的最小值為 3√ 3 4 。
四、 思考
圖 3 中, 求 AP + k · P C (0 < k < 1) 的最小值, 問題中有顯著特徵: 0 < k < 1、 倍數 不為 1 的線段 PC 在固定線段上、 動點 P 在直線上運動。
1. k ≥ 1 時, 會有什麼情況?
當 k ≥ 1 時 AP + k · P C ≥ AP + P C ≥ AC, 此時 AP + k · P C 的最小值是 AC。
2. 倍數不為 1 的線段是位置不確定的 AP 時, 會有什麼情況?
倍數不為 1 的線段是位置不確定的 AP 時, 求 k·AP +P C 的最小值。 可以將 k·AP +P C 變形為 k · AP + P C = k
AP +1 kP C
,經過這樣的變形, 位置不確定的線段 AP 的倍 數變成 1, 問題得到解決。
3. 動點 P 在圓周上運動時, 不屬於此類問題, 在應用通法通解時, 需區分清楚動點的運動軌 跡是直線還是圓周。
參考文獻
1. 曹軍。 「通性通法」 應為解題首選方法[J]。 數學通報, 2012,7。
—本文作者任教中國山東高青縣實驗中學—
