3-2三角形的外心、內心與重心三角形的外心

3-2 三角形的外心、內心與重心

三角形的外心 O

定義：三角形三邊的中垂線交於同一點，此點為三角形的外心。

說明：外心到三個頂點的距離相等。以 O 點為圓心，為半徑畫一圓，此圓會 通過三個頂點 A、B、C，我們稱此圓為△ABC 的外接圓

(△ABC 稱為此圓的圓內接三角形)，點 O 就是外接圓的圓心，為△ABC 的外心。

三角形的外心性質：外心到三頂點等距離

銳角三角形的外心在 鈍角三角形的外心在 直角三角形的外心在 三角形的__________ 三角形的__________ 三角形的__________

例題1--- 已知：△ABC 中，L1、L2、L3分別是、、的中垂線。

求證：中垂線

L

--- 設△ABC 兩邊、的中垂線 L1、L2

交於 O 點，並連接、、。

∵ O 點在的中垂線 L1上　∴ ＝

∵ O 點在的中垂線 L2上　∴ ＝ 因此＝。

由中垂線判別性質可知：

O 點也在的中垂線 L3上，

故中垂線 L1、L2、L3交於同一點。

A

C B

O L1

L2

L3

B C

A

O

隨堂練習--- 如右圖，已知為直徑，O 點為圓心，　則 O 點為下列哪些三角形的外心？

　試在□內打ˇ。

　□ △PCD 　□ △APD 　□ △ACD 　□ △BCP 　□ △BCD

--- □ △ACD □ △BCD

直角三角形的外心性質

由「矩形的兩對角線互相平分且等長」性質，在下圖中可得＝＝，O 點是直角△ABC 斜邊的 中點，也是直角△ABC 的外心

A

B C

D

O 　　　　　　

A

B C

O

1. 直角三角形的外心在斜邊的中點上，即＝＝。

2. 直角三角形的外接圓半徑＝ × ( 斜邊長 )。

隨堂練習--- 直角△ABC 中，斜邊＝10，求直角△ABC 的外接圓半徑。

---

例題2---

△ABC 中，已知三邊長分別為 8、15、17，求△ABC 的外接圓半徑。

---

隨堂練習---

△ABC 中，已知三邊長分別為 5、12、13，求△ABC 的外接圓半徑。

--- P D

B

C A O

等腰三角形的外接圓半徑

例題3--- 已知

O 點為鈍角△ABC 的外心，＝＝10，＝16，求△ABC 的外接圓半徑。

---

隨堂練習---

如右圖，已知

O 點為銳角△ABC 的外心，＝＝10，＝12，且AO交於 D 點，求△ABC 的外接

圓半徑。

---

B C

O A

M

A

B D C

O

三角形外心性質的角度應用

例題4--- 銳角△ABC 中，O 點為△ABC 的外心。若∠BAC＝55，求∠BOC 的度數。

---

隨堂練習---

O 點是△ABC 的外心，∠ABC＝60，　∠ACB＝50，求：

(1) ∠AOB 的度數 (2) ∠AOC 的度數 (3) ∠BOC 的度數

--- 100 120 140

例題5--- 鈍角△ABC 中，∠A＝110，且 O 點為△ABC 的外心，求∠BOC 的度數。

---

隨堂練習--- 鈍角△ABC 中，∠A＝120，∠B＝20，且 O 點為△ABC 的外心，求：

(1) ∠AOC 的度數 (2) ∠BOC 的度數 (3) ∠AOB 的度數

---

A

B C

O

B C

D A

O

三角形的內心 I

定義：三角形的三內角平分線交於同一點，此點為三角形的內心。

說明：△ABC 的三內角平分線交於同一點 I，且 I 點到△ABC 的三邊等距離。

以 I 點為圓心，I 點到的距離為半徑畫一圓，△ABC 的三邊都會與此圓相切，

稱此圓為△ABC 的內切圓，點 I 就是內切圓的圓心，簡稱為△ABC 的內心。

角平分線判別性質：一角兩邊等距離的點，必在此角的角平分線上。

三角形內心皆在三角形的__________

三角形內心的性質：內心到三邊的距離相等。

例題6--- 已知：△ABC 中，L1、L2、L3分別是∠A、∠B、∠C 的角平分線。

求證：三內角平分線

L

--- 設△ABC 兩角∠A、∠B 的

角平分線L1、L2交於I 點，

且 I 點到、與的

垂足分別為D、E、F 三點。

∵ I 點在∠A 的角平分線 L1上　∴ ＝ ∵ I 點在∠B 的角平分線 L2上　∴ ＝ 因此＝。

由角平分線判別性質可知：I 點也在∠C 的角平分線 L3上，

故三內角平分線交於同一點I。

A B

C

D F E L2

L1

I L3

C B

A

D I F

E

隨堂練習--- 如下圖，在△ABC 中，若要作一圓的圓心 O，使得 O 點在上，且畫出的圓 O 能與、皆相切，

則下列作法中，哪一種是正確的？(B)。

　(A) 作的中點 O

　(B) 作∠A 的角平分線交於 O 點 　(C) 作的中垂線交於 O 點

　(D) 過 A 點作的垂直線交於 O 點

---

例題7--- 已知△PQR 的邊長分別為 a、b、c，內切圓半徑為 r，

試證明△PQR 的面積＝ × ( a＋b＋c ) × r = r × s

---

隨堂練習--- 如右圖，在直角△ABC 中，＝4，＝3，＝5，且∠ABC＝90，I 點為內心，求△ABC 的內切 圓半徑。

--- 1

O C B

A

B C

A

I

三角形內心在面積上的應用

I 點為△ABC 的內心，且⊥於 D 點，⊥於 E 點，⊥ 於 F 點。

設＝＝＝內切圓半徑

r，

則△AIB 面積：△BIC 面積：△AIC 面積 　＝ × × r： × × r： × × r

　＝：：

例題8--- 已知△ABC 為等腰三角形，＝＝7，且＝5。若 I 點為△ABC 的內心，

求△AIC 面積：△ABC 面積。

--- 7：19

隨堂練習--- 在直角△ABC 中，＝8，＝6，＝10。若 I 點為內心，

求△AIB 面積：△BIC 面積：△AIC 面積。

--- 4：3：5

等腰三角形的內切圓半徑

例題9--- 已知△ABC 為等腰三角形，＝＝13，且＝10。若 I 點為內心，求內切圓半徑。

---

隨堂練習--- 已知△ABC＝＝5，且＝6。若 I 點為內心，求△ABC 的內切圓半徑。

---

直角三角形的內心

直角三角形的內切圓半徑＝ × ( 兩股和－斜邊長 )。

說明如下：

C B

A

I

D F

E

I A

B C

D

1. 假設 I 點為直角△ABC 的內心，且內切圓與、、分別切於 D、E、F 三點，

內切圓半徑為 r，三邊長分別為＝a，＝b，＝c。

2. ∵∠C＝∠IDC＝∠IEC＝90，

∴∠DIE＝＝90，又＝＝r，

故四邊形 IDCE 是正方形，即＝＝r。

3. ∵ 過圓外一點的兩條切線段等長

∴ ＝＝a－r，＝＝b－r

∵ ＝c　∴ ＋＝c，即 a－r＋b－r＝c 故2r＝a＋b－c，r＝( a＋b－c )。

隨堂練習--- 直角△ABC 中，∠C＝90，∠A＝30，＝20，求△ABC 的內切圓半徑。

--- 5－5

隨堂練習--- 已知等腰直角△ABC 的兩股長皆為 6，求△ABC 的內切圓半徑。

--- 6－3

三角形內心性質的角度應用

例題10--- 設

I 點是△ABC 的內心。若∠A＝100，求∠BIC 的度數。

---

重心

每一個物體都有重心，可以想像成是這個物體質量 ( 重量 ) 集中的中心。

將平面圖形想像成一張薄薄的均勻紙片，要測量這個圖形的重心，可以將此圖形用過頂點 的線懸掛起來，等平衡不搖晃之後，用筆沿著懸掛線畫出過此點的鉛直線。由於鉛直線兩

邊彼此平衡，因此重心就在這條鉛直線上。如下圖的四邊形

ABCD，重心會落在過 A 點的鉛

B

C A

D

F

E r I

r r a

c

b

A

B C

I

直線

L 上。

A

B

C

D

L

探索活動---

剪下附件質地均勻的 ABC，在靠近頂點 A 的位置戳一個小洞，拿一條線穿過後，將三角形△

提起，當它自然的平衡後，延長懸掛線可得直線 L，試問：

(1) 直線 L △是 ABC 中過 A 點的哪一種線？

(A) 中垂線　 　 (B) 高　 　 (C) 中線　 　 (D) 內角平分線

(2) 若利用相同的方式，依序懸掛其他兩個頂點，則所得到的這三條線會不會交於一點？

A

B

L C

A B

C

M

A

B C

L

M

---

△ABC 中，由於△ABD 與△ADC 面積相等，且 與上的高相等，因此＝，故鉛直線AD恰好是 的中線。三角形的三條中線會交於一點。

三角形的重心 G

定義：三角形的三中線的交點，此點為三角形的 重心 或 幾何中心。

中線：三角形的一頂點和其對邊中點的連線段。

中線性質：三角形的每一條中線可以將此三角形分成兩個面積相等的三角形。

重心的性質：三中線交於同一點

例題11--- 試證：△ABC 中的三條中線為交於一點 G

--- 首先認識CE和BD是的中線，並且相交於G點。延長AG並取AG=GF和BC相交於H點。我就要證明H 點是BC的中點，如此證明出它就是過G點的中線，完成了三中線交於一點的證明。

因為E和G分別是AB和AF的中點，所以EG//BF，當然GC//BF囉，同理CF//BG，所以BFCG是平行 四邊形，對角線FH和BC互相平分，即H點是BC中點，因此AH是中線。也就說明了的三邊中線僅 交於一點。

三角形重心性質：

1. 重心到一頂點的距離等於它到對邊中點距離的 2 倍。

2. 重心到一頂點的距離等於中線長的倍 例題12

--- 在△ABC 中，E、F 兩點分別為、的中點，和的中線、交於 G 點。

求證：：＝：＝2：1。

---

隨堂練習--- 在△ABC 中，兩中線、交於 G 點。

(1) 若＝9，則＝　 6 　 ，＝　 3 　 。 (2) 若＝2.5，則＝　 5 　 ，＝　 7.5 　 。

--- A

B C

E F G

A

B C

E F G

隨堂練習---

△ABC 中，∠ACB＝90，G 點為△ABC 的重心，且CG交於 M 點。若＝8，＝6，求、、的長度。

--- 、

三角形重心與面積的關係

1. 重心與三頂點的連線將三角形面積三等分。

2. 三角形的三中線將三角形面積六等分。

例題13--- 設

G 點是△ABC 的重心，試證△GAB＝△GBC＝△GCA＝△ABC ( 面積相等 )

--- 延長交於 M 點，

則是中線，＝。

∵等底同高的兩個三角形的面積相等

∴ △ABM＝△ACM ………

　 △GBM＝△GCM ………

－得到△GAB＝△GCA。

同理可證　△GAB＝△GBC，

故△GAB＝△GBC＝△GCA＝△ABC。

隨堂練習---

△ABC 中，三中線、、交於 G 點。若△GBD 面積為 4，求下列三角形的面積 △GCD、△GEC、△AGB、△ABC

---

例題14--- A

B

C M G N

A

B C

G

A

B C

D

F G E

在

ABCD 中，兩對角線、交於 O 點，M 點是的中點，與 BD 交於 P 點。

(1) 若＝4，求的長度。

(2) 若△ABP 的面積為 8，求 ABCD 的面積。

--- (1) 在△ABC 中，

P 點是兩中線與的交點，

即P 點是△ABC 的重心，

故＝2＝2 × ( )＝3＝3 × 4＝12。

(2) △ABC 的面積＝3 × △ABP 的面積＝3 × 8＝24，

ABCD 的面積＝2 × △ABC 的面積＝2 × 24＝48。

隨堂練習--- 在菱形

ABCD 中，兩對角線交於 O 點，E 點是的中點，與交於 F 點。若＝2，＝4，求：(1) 的

---

特殊三角形的外心、內心與重心 1.直角三角形：外心正好是斜邊的中點

2.等腰三角形：頂角的角平分線＝底邊的垂直平分線 外心、內心、重心都在頂角的角平分線上 3.正三角形：外心、內心、重心都是同一點

隨堂練習--- 1.若正△ABC 的外接圓面積為 12π，求正△ABC 的邊長長度。

--- 6

A

O

B D C

F E

隨堂練習---

B C

D A

M P

O

A F E

C O D B

2. 如右圖，等腰△ABC 中，＝＝41，＝18，I 點為內心，G 點為重心，且兩點都在同一直線 上，求的長度。

---

判斷多邊形的外心

1.若一個四邊形 ABCD 的對角互補，則此四邊形的四個頂點共圓。圓心為四邊形的外心。

2.若四邊形的各中垂線交於一點，則多邊形的外心存在，且外心到各頂點等距離。

＝＝＝＝圓 O 的半徑

隨堂練習--- 圓 O 為四邊形 ABCD 的外接圓，其中 O 點為四邊形 ABCD 的外心，則：

(1) 、、 與 是否等長？

(2) O點是否在 的中垂線上？

(3) O點是否為四邊形 ABCD 各邊中垂線的交點？

---

判斷多邊形的內心

若多邊形各內角平分線交於一點，則多邊形的內心存在，且內心到各邊等距。

隨堂練習--- 如右圖，圓 I 為四邊形 ABCD 的內切圓，其中 I 點為四邊形 ABCD 的內心，且 I 點到、、與 的垂足分別為 E、F、G、H 四點，則：

(1) 、、 與是否等長？

(2) I點是否在 BAD 的角平分線上？∠

(3) I點是否為四邊形 ABCD 各內角平分線的交點？為什麼？

--- (1)＝＝＝＝圓 I 的半徑，故相等。

(2)∵ 　＝

∴ I點在 BAD 的角平分線上 ( 角平分線判別性質 )∠ (3)∵ I 點在∠BAD 的角平分線上，又＝＝＝

∴ I 點也在∠ABC、∠BCD、∠CDA 的角平分線上 故 I 點為四邊形 ABCD 各內角平分線的交點。

正多邊形的外心與內心

正多邊形有外接圓與內切圓，且它們為同心圓。

正五邊形為線對稱圖形，各邊的中垂線為其對稱軸。

I A

B C

D

O D

C B

A

A E

H

G

F

D

B C

I

A E

D

C

B O

F

正六邊形為線對稱圖形，各邊的中垂線及各角的角平分線為其對稱軸。

隨堂練習---

如右圖，圓

O 的半徑為 1。若將圓 O 六等分，並連接各等分點，可得正六邊形 ABCDEF，則：

(1) 求內切圓半徑的長度。

(2) O 點是否為正六邊形 ABCDEF 的內心？

---

＝1 × ＝

是。O 點為各內角平分線的交點。

3-2自我評量

如下圖，O點為 ABC△ 的外心， BOC＝140∠ ，分別求下圖中 A 的度數。∠

(1) (2)

∠A＝　　 　70　 　　　 　度。 　 　 　 ∠A＝　　 　110　 　　　 　度。

2

則 AIB△ 的面積： BIC△ 的面積： AIC 的面積＝　　 　3△ 　　：　 　2　　：　 　3　　　　 　。

3

不存在。任意作兩條中垂線，可發現其交點到 各頂點距離並不皆相等。

4

△ABC的面積＝ × 60 × 3＝90。

5

A

F

D E C

B

O G

A

O

B ^140° C

A

O

B C

140°

I A

B C

A B

C

(2) △ABC的內切圓半徑。

內切圓半徑＝× ( 24＋7－25 )＝3

6

(1) 若＝18，求與的長度。

＝18  ＝ × 18＝9，

＝ × 9＝6，＝ × 9＝3。

(2) 若 ABCD 面積為 54，求 APB 的面積。△

△ABC的面積＝^□ABCD的面積＝ × 54＝27，

△APB的面積＝ ABC 的面積＝ × 27＝9。△

4

正△ABC 的高＝12 × ＝6，外接圓半徑＝ × 6＝4，內切圓半徑＝ × 6＝2。

B C

D A

M P

O