國立台南二中 1 0 7 學年度第二學期第二次期中考高一數學科試題

(1)

國立台南二中 1 0 7 學年度第二學期第二次期中考高一數學科試題

一、多選題：每題5 分，共 10 分【所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；

答錯2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。】

1. 選出答案為C 的選項？ ₃⁵

(1) 甲、乙、丙、丁、戊 5 人，將 2 人編入 A 班，3 人編入 B 班的方法數 (2) x  y z 5 非負整數解的組數 (3) 從一列有 7 節車廂的火車中，選出 3 節車廂提供餐飲服務，

任2 節餐飲車廂不相鄰的方法數 (4) (xy)⁵的展開式中，x y² ³項的係數 (5) 平面上5 個點，以此 5 個點為頂點，可得的三角形個數

2. 已知三事件 A、B 與 C，若 A、B 為互斥事件，且 1 ( ) 3

P A  ， 1 ( ) 4

P B  ， 1 ( ) 6 P C  ， ( ) 1

P B C 12， 1 ( )

P C A 12，請選出正確的選項？

(1) 7

( )

P A B 12 (2) 3

( )

P A B C  4 (3) 1 ( )

P A C 6 (4) 1 ( )

P B C  6 (5)P A(  B C)0

二、填充題：每格5 分，共 75 分【答案均須算出數值，若為分數則須化為最簡分數，以 n！、

nm、P 、_mⁿ C …等符號或其他的運算式等形式作為答案，該題不予計分】 _mⁿ

1. 若C₂⁹⁹C₃⁹⁹C₄¹⁰⁰ C_kⁿ，則數對( , )n k ＝_____

2. 學校舉辦班際排球賽，每個班級各組一隊參加比賽，若規定參賽的每個班級都必須和其他班級各比賽一場，賽程總計為55 場，則共有_____個班級參加班際排球賽

(2)

3. 如下圖，A A₁, ₂, ..., A 十個點將圓周均分為 10 等分，則 ₁₀ (1) 這 10 個點可決定_____個不同的三角形

(2) 這 10 個點可決定_____個不同的矩形

4. 學校的掃地工作分為「教室掃區、教室周圍掃區與外掃區」三種，老師將小明、小華和小美…等 10 位同學指派至不同掃地區域：教室掃區 3 人，教室周圍掃區 3 人，外掃區 4 人。若小明和小美一定要在同一掃區且小明和小華不能在同一掃區，則共有 _____種不同的指派方式

5. 旅行社規劃 A、B、C、D 四種不同的畢旅行程，若全班共有 30 位同學，每人一票，

採無記名投票方式，試求下列各題：

(1) 若規定每個人都一定要投票而且不可以投廢票，則各行程所得票數的分配情形共有_____種

(2) 每個人可選擇投票或不投票，但如果選擇投票就不可以投廢票，則各行程所得票數的分配情形共有_____種

(3)

6. 多項式 f x( ) (1 x²) (1 x^{2 2})  (1 x^{2 3})   (1 x^{2 10}) 展開式中x⁶項的係數為_____

7. 從 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9 這七個數字中隨機任取兩數，則 (1) 此兩數之差的絕對值為奇數的機率為_____

(2) 此兩數之積為偶數的機率為_____

8. 一隻螞蟻位於數線上的原點，每次隨機爬行 1 單位或 2 單位，每次的爬行方向（向左或向右）也是隨機，則螞蟻爬行四次後，恰回到原點的機率為_____

9. 已知 a, b 是 1 到 9 的自然數，每個自然數被選中的機會均等，若 a, b 可相同亦可不 同，則使方程式ax²10x b 0的根為有理根的機率為_____

10. 咖啡廳推出「美式咖啡、那堤、卡布奇諾、摩卡與焦糖瑪奇朵」共五種選擇。小明點了2 杯不同的咖啡，小美也點了 2 杯不同的咖啡，則兩人所選擇的咖啡中，至少有一杯相同的機率為_____

(4)

11. 「根據記載，作為數學統計基礎的機率論可追溯到公元 17 世紀。當時的法國宮廷貴族裡盛行一種擲骰子遊戲，遊戲規則是玩家一次擲4 顆骰子，如果每顆骰子都沒有出現6 點，則玩家贏；若否，則莊家（相當於現在的賭場）贏。從長期來看，按照這一遊戲規則，莊家扮演贏家的角色，而玩家大部分時間是輸家，因為莊家總是要靠此維生的，當時人們也接受了這種現象。」根據上述內容，請問：每玩一局（一次擲4 顆骰子）

玩家贏的機率為_____

12. 台灣彩券所推出的大福彩於 108 年 4 月 27 日（六）晚上 8 時起停止銷售，最後一期的大福彩造成熱銷；而威力彩是台灣彩券現行的遊戲之一。大福彩與威力彩兩個遊戲的基本玩法如下：

【大福彩】大福彩是一種樂透型遊戲。您必須從01~40 中任選七個號碼進行投注。開獎時，開獎單位將從01~40 的號碼中隨機開出七個號碼加一個特別號，這組號碼就是該期大福彩的中獎號碼，也稱為「獎號」。您的七個選號中，與當期七個獎號完全相同者，即中「頭獎」

【威力彩】其選號分為兩區，必須從第 1 個選號區中的 01~38 的號碼中任選 6 個號碼，並從第 2 個選號區中的 01~08 的號碼中任選 1 個號碼進行投注，這六個加一個號碼即為您的投注號碼。開獎時，開獎單位將從第 1 區 01~38 的號碼中隨機開出六個號碼，再從第 2 區 01~08 的號碼中隨機開出一個號碼，這一組六個加一個號碼，就是該期威力彩的中獎號碼，也稱為「獎號」。您的投注號碼中，第 1 區六個獎號全中，且第 2 區亦對中獎號，即中「頭獎」

若大福彩中頭獎的機率為p₁，威力彩中頭獎的機率為p ，求₂ ¹

2

p

p ＝_____

三、計算題：15 分，題目請見答案卷，並於答案卷上作答

(5)

國立台南二中 1 0 7 學年度第二學期第二次期中考高一數學科答案卷

班級：一年________班座號：________ 姓名：__________________

1. 2.

(1)(3) (1)(4)(5)

二、填充題：每格5 分，共 75 分【答案均須算出數值，若為分數則須化為最簡分數】

1. 2. 3. (1) 3. (2)

( 101 , 4 )或

( 101 , 97 ) 11 120 10

4. 5. (1) 5. (2) 6.

910 5456 46376 －330

7. (1) 7. (2) 8. 9.

10 21

20 21

9 64

13 81

10. 11. 12.

7 10

625 1296

77 65

三、計算題：共15 分【請寫出演算過程，否則不予計分】

1. 已知樣本空間S 1, 2, 3, , 2a1，â^^N  ⁰ ^，若事件Â^^S^{，且 ( )}^{n A} ^{ }â ¹^，滿足

上述條件的事件A 有 1024 種，求 a＝？【5％】

解：C_a²_â₁^¹ C_a²_â₂^¹ C_a²_â₃^¹  C₂²_aâ^¹ C₂²_aâ_^₁¹

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 0

2 2

2

a

a a a a a a

a a a

C C C C C

     

 

       

2²^a 1024  a 5

(6)

2. 台灣廟宇眾多，遇到困惑問題的信眾也常到廟宇「擲筊」，祈求神明指點迷津。擲筊使用兩個大小相同、呈立體新月形狀的「杯筊」，杯筊分有正、反面，凸起部份稱為「陰面」，平面的部份則稱為「陽面」。擲筊的結果分為以下三種：

【聖筊】：呈現一凸、一平，表示「同意」

【陰筊】：呈現凸、凸，表示「否定」

【笑筊】：呈現平、平，表示「陳述不清楚無法裁示，可再次向神明請示，重新擲筊」

(1) 若擲筊一次，試求擲出聖筊的機率為何？【3％】

解：^S ^



⁽^{凸凸}^, ^{), (}^{凸平}^, ^{), (}^{平凸}^, ^{), (}^{平平}^, ⁾



聖筊的事件為



⁽^{凸平}^, ^{), (}^{平凸}^, ⁾



2 1 4 2

  P

(2) 擲出「陰筊」時表示否定，不再繼續擲筊；擲出「笑筊」時，可重新陳述心中的困惑，再次擲筊，直到獲得「聖筊」為止。試求小明在擲筊過程中，第六次才擲出聖筊的機率為何？【3％】

解： 1 1 1 1 1 2 1

4 4 4 4 4 4 2048 P     

 

    

(3) 全台廟宇關於求籤的方式略有不同，大部分的程序為「信眾須向神明稟報基本資料與請示的問題，稟報完成後等待幾分鐘，請示神明准予抽籤，得到1 聖筊後，則表示可以抽籤。抽出聖籤後，必須確定此聖籤為《神佛欽定》，確定方式即為擲筊---確認方式為連續擲出3 個聖筊，若其中有 1 個陰筊或笑筊，則須重新換籤。」若小明依此程序祈求聖籤，試求第一支籤即為《神佛欽定》的聖籤的機率何？【4％】

解： 2 2 2 2 1

4 4 4 4 16 P     

  

(7)