三角形的全等

A 

B  C 

D  E 

F  G 

H  A 

B  C 

D 

E  F 

A 

B  C 

D 

E  F 

如果兩個圖形的大小、形狀都相同時，就稱這兩個圖形全等，當然我們會用數學的語言來 清楚表明什麼叫做大小、形狀都相同，在這一節我們將討論三角形有哪些全等性質？

三角形的全等

我們給定兩個三角形，△ABC 與△DEF:

對應頂點:疊合在一起的頂點，叫做這兩個三角形的對應頂點。

例如: A « D、B « E、C « F。

對應邊:疊合在一起的邊，叫做這兩個三角形的對應邊。

例如:  AB 和 DE 、 BC 和

EF 

、 AC 和 DF 都是對應邊。

對應角: 疊合在一起的角，叫做這兩個三角形的對應角。

例如: ∠A 和∠D、∠B 和∠E、∠C 和∠F。

如下圖，若△ABC 與△DEF 疊合後，頂點 A 與 D、頂點 B 與 E、頂點 C 與 F，可以完全 的重合，則我們稱△

ABC

與△

DEF 

全等，記成△

ABC

@ △

DEF 

。

若△ABC @ △DEF，則這兩三角形並需同時滿足如下關係:

(1)對應角相等: ∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠F (2)對應邊相等:  AB ＝ DE 、 BC ＝ EF 、 AC ＝ DF  (3)面積相等: △ABC 之面積＝△DEF 之面積

Note：若四邊形 ABCD @ 四邊形 EFGH，則這兩四邊形並需同時滿足如下關係:

(1)對應角相等: ∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H (2)對應邊相等: AB ＝ EF 、 BC ＝ FG 、 CD ＝ GH 、 AD ＝ EH  (3)面積相等: 四邊形 ABCD 之面積＝四邊形 EFGH 之面積

A 

B  C 

D 

E  F 

圖二  A 

B  C 

D 

E  F 

圖一 

A 

B  C 

D 

E  F 

圖三

三角形的全等性質

兩個三角形全等要滿足以下三種條件：

(1)對應角相等 (2)對應邊相等 (3)面積相等，

那請問是否可用較少的條件即可判定兩個三角形為全等?事實以下為五個重要全等性 質，將要告訴我們如何以較少的條件即可得三角形的全等性質。

1. SSS 全等性質（三個邊對應相等）

2. SAS 全等性質（兩邊一夾角對應相等）

3. ASA 全等性質（兩角一夾邊對應相等）

4. AAS 全等性質（兩角與一邊對應相等）

5. RHS 全等性質（兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等）

在這裡 S 表示邊、A 表示角、R 表示直角、 H 表示斜邊，接著我們一一來舉例說明。

SSS 全等性質：在△ABC 與△DEF 中，若三個邊對應相等即 AB ＝ DE 、 BC ＝ EF 、  AC ＝ DF ，則△ABC @ △DEF。

SAS 全等性質：在△ABC 與△DEF 中，若兩個三角形的兩邊和它們的夾角對應相等即  AB ＝ DE 、 BC ＝ EF ，∠B＝∠E，則△

ABC

@ △

DEF 

。

ASA 全等性質：在△ABC 與△DEF 中，若兩個三角形的兩角和它們所夾的邊對應相等即

∠B＝∠E， BC ＝ EF ，∠C＝∠F，則△ABC @ △DEF。

A 

B  C 

D 

F  E  圖六 

D 

G  F 

E 

A 

B  C 

D 

E  F 

圖四 

A 

B  C 

D 

E  F 

圖五

AAS 全等性質：在△ABC 與△DEF 中，若兩個三角形的兩個角和其中一個角的對邊對應相 等即若∠B＝∠E，BC ＝ EF（或 AC ＝ DF ），∠A＝∠D，則△ABC @ △DEF。

RHS 全等性質：在△ABC 與△DEF 中，若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等

即∠B＝∠E，BC ＝ EF（或 AC ＝ DF ），AC ＝ DF，則△ABC @ △DEF。

三角形的非全等性質

有 2 個性質常被誤以為全等性質，其實並沒有。這兩個性質為 SSA 與 AAA，我們由下列 範例來說明這兩個三角形的非全等性質。

SSA 非全等性質：兩三角形兩鄰邊和一鄰角相等，如圖六：

若∠B＝∠E，  AC ＝ DF ， AB ＝ DE ，則△ABC 與△DEF 不ㄧ定全等。

SSA 不全等作圖:

如下圖，(1)任意作一角∠D，並在其一邊上取一點 E。

(2)再以 E 點為圓心，適當的長 a 為半徑畫弧，交∠D 的另一邊於 F、G 兩點，

其中半徑小於 DE 、大於 E 點到∠D 的另一邊的距離。

(3)連接 EF 和 EG 。

觀察下圖可以發現:在△DEF 和△DEG 中， DE ＝ DE ，∠D＝∠D， EF ＝ EG ，但

△ DEF 和△DEG 並不全等。

L 

A  B 

A 

B  C 

D 

E  F 

圖七 

L 

A  B 

C 

L 

A  B 

C 

X Y Z  

L 

L 

A  B 

AAA 非全等性質：兩三角形三內角相等，如圖七，△ABC 與△DEF 是兩個正三角形：

即∠A＝∠D＝60 ⁰ ， ∠B＝∠E＝60 ⁰ ，∠C＝∠F＝60 ⁰ ， 則△ABC 與△DEF 不ㄧ定全等。

三角形的全等作圖：接下來我們要利用尺規作圖來驗證三角形的全等性質 SSS 全等作圖

SAS 全等作圖 ASA 全等作圖 AAS 全等作圖

【SSS 全等作圖】已知線段 X、Y、Z(如下圖)，試用尺規作圖畫出以線段 X、Y、Z 為三 邊長的三角形。

步驟一：畫直線

L

。

步驟二：設一端為

A

點，以 x 為半徑，

A

為圓心畫弧，交

L

於

B

點。

步驟三：以

y

為半徑，

A

為圓心畫弧。

步驟四：以 z 為半徑，

B

為圓心畫弧，設兩圓弧交於

C

點。

步驟五：連 AC 、 CB ，則△ABC 中 AB ＝x， AC ＝y， AC ＝z。

Note：我們發現不論任何人作出的三角形，經過旋轉、平移後都可以重疊在一起。

1 

a  b 

A  1 

A  B 

H 

M  C 

K  N 

X 

A  Y 

B  C 

X 

A  Y 

B  C 

a 

1  2 

A  B 

A  M  B 

H 

【SAS 全等作圖】已知三角形的一個夾角和兩個邊長，試用尺規作出符合條件的三角形。

步驟一：作等角 Ð 1。

步驟二：在 Ð A 的一邊上取 Y，以 a 為半徑，A 為圓心畫弧，交 AY 於 B 使 AB ＝a。

在 Ð A 的另一邊上取 X，以 b 為半徑，A 為圓心畫弧，交 AX 於 C 使 AC ＝b。

步驟三： 連接 CB ，則△ABC 中∠A＝∠1， AB ＝a， AC ＝b，則三角形即為所求。

【ASA 全等作圖】已知三角形的兩角分別等於∠1、∠2 與一線段長度為 a，試用尺規作出 符合條件的三角形。

步驟一：作等線段 AB ，使 AB ＝a。

步驟二：以 A 為頂點，作∠A＝∠1

步驟三：再以 B 為頂點，作∠B＝∠2。設 AH 與 BK 的交點為 C，連接 AC 、 BC ， 則△ABC 即為所求。

A 

B  C 

7  6 

y+3  (2x­10) ⁰  70 ⁰ 

D 

E  F 

3y­1  (x+15) ⁰ 

2  1 

3 

1  2 

a 

a  L 

B  C 

a  L 

B  C 

2  3 

A  P  Q 

a  L 

B  C 

2  3 

P  Q

【AAS 全等作圖】已知三角形的兩角分別等於∠1、∠2 與一線段長度為 a，試用尺規作出 符合條件的三角形。

步驟一：作∠3＝180˚－∠1－∠2。

步驟二: 作一直線 L，並在 L 上取 ＝ a。

步驟三: 分別以 B、C 為頂點，  BC 為一邊，在 L 的同側各作∠PBC＝∠2，

∠QCB＝∠3。

步驟四: 設  BP  和 

CQ 

交於 A，則△ABC 即為所求。

全等三角形的應用

【範例】

若△ABC@△DEF，∠C＝70 ⁰ ，∠B＝(2x－10) ⁰ ，∠D＝(x＋15) ⁰ ， AB ＝7， AC ＝6， 

BC ＝y＋3， EF ＝3y－1，試求：(1)x 之值＝？(2)△DEF 周長＝？

【解】(1)∵∠A＝∠D＝(x＋15) ⁰ 

∴(x＋15)＋(2x－10)＋70＝180 ⁰ Þ 3x＝105 ，∴x＝35 (2)∵ BC ＝ EF ˉ

∴y＋3＝3y－1，y＝2

∴ BC ＝2＋3＝5

Þ △DEF 周長＝△ABC 周長＝7＋6＋5＝18

A 

B  C 

5x  2x+y+3 

2y+2  D 

E  F 

4y 

3x 

A 

B  F 

E  G 

C  1  D 

2  3  A 

B 

D 

C 

E 

F  G 

1  2  3 

【範例】

若△ABC@△DEF，  AB ＝5x， AC ＝2x＋y＋3， BC ＝2y＋2， DE ＝4y， EF ＝3x，

試求：(1)x、y 之值＝？(2) DF ＝？

【解】∵△ABC@△DEF ∴ AB ＝ DE  即 5x＝4y ……○ ¹ 又 BC ＝ EF  ∴2y＋2＝3x ……○ ²

由○ ² ：2y＝3x－2 代入○ ¹ Þ 5x＝2（3x－2）

Þ x＝4 ； y＝5

∴ DF ＝ AC ＝2x＋y＋3＝16

【範例】如右圖，ABCD 與 CEFG 均為正方形，則:

(1)在△BCG 與△DCE 中，∵ABCD 與 CEFG 都是正方形

∴ BC ＝_______ 、 CG ＝_______，

∠1＝_______＝90 ⁰ 

(2)∵∠BCG＝∠1＋∠2＝_______＋∠2

∴∠BCG＝_______

(3)由(1)、(2)知，△BCG @ △DCE 是根據_______全等性質。

(4)∴∠CBG＝∠_______

【解】(1)  BC ＝ DC 、 CG ＝ CE ，∠1＝∠3＝90 ⁰  (2) ∠BCG＝∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝∠DCE (3) 由 BC ＝ DC 、 CG ＝ CE ，∠BCG＝∠DCE

知△BCG @ △DCE(SAS) (4)則∠CBG＝∠CDE

【範例】如右圖，將長方形 ABCD 沿 EF 對摺，使 C 點與 A 點重合，則:

(1)  CD ＝_______，∠C＝_______。

(2)  AB ＝ CD ＝_______，∠B＝∠C＝_______。

(3) ∵∠1＋∠2＝_______＋∠2＝90 ⁰ 

∴∠1＝_______。

(4) △ABF @ △AGE 是根據_______全等性質。

(5)  AF ＝_______＝_______。

A 

B  D  C 

A 

D  C 

A 

D  C 

A 

D  C 

D ' 

E  E

圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) 

A 

D  C 

D  '  E 

X 

X 

5 

5  12  13 

【解】(1)∵C ® A，則 D ® G

∴ CD ＝ AG ，∠C＝∠FAG

(2)  AB ＝ CD ＝ AG ，∠B＝∠C＝∠G (3) ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠2

∴∠1＝∠3

(4) 由(1)、(2)、(3)知△ABF @ △AGE(ASA) (5)  AF ＝ AE ＝ CF 

【範例】如圖(一)，

D

ABC 為等腰三角形， AB ＝ AC ＝13， BC ＝10:

(1)將 AB 向 AC 方向摺過去，使得 AB 與 AC 重合，出現摺線 AD ，如圖(二) (2)將 CD 向 AC 方向摺過去，如圖(三)，使得 CD 完全疊合在 AC 上，出現摺線 

CE ，如圖(四)，則

D

AEC 的面積為何?

【解】Q

D

EDC @

D

ED ^' C (SAS)

\設 DE ＝ x ,則 D ^' E ＝ x ， CD ＝5， AD ＝8， AE ＝12－ x '  在

D

AD ^' E 中，

Q Ð AD ^' E＝90 ⁰

\ AE ² ＝ AD ^{'  2} ＋  E D ^{'  2} 

（12－ x ） ² ＝8 ² ＋ x ²

Þ 144－24 x ＋ x ² ＝64＋ x ² Þ 24 x ＝80 \ x ＝ 

24  80 

＝ 

3  10

\

D

AEC 面積＝ 

2  1 

× 

3 

10 

×13＝ 

3 

65

E  B 

A 

D 

C 

A 

B  D  C 

E  O 

A 

B 

C  D 

A 

B 

C  F  D 

O  36  H 

【範例】如下圖，

D

ABC 中， AB ＝ AC ，以 DE 為軸對摺。使 A 和 C 重合。若 AB ＝18， 

BE ＝3，則:

(1)

D

AEC 周長為?

(2)

D

ACE 面積為?

【解】(1) Q

D

AED @

D

CED(SAS)

\ AE ＝ CE ＝18－3＝15 Þ 周長＝18＋2×15＝48 (2) Q  DE ＝  ²  ) ² 

2  ( 18 

15 - ＝12

\面積＝ 

2 

1 

×18×12＝108

【範例】如下圖，

D

ABC 是正三角形;已知 BD ＝ CE ，根據哪一個性質可以知道

D

ABD @

D

BCE?

【解】Q

D

ABC 是正三角形

\可知 AB ＝ BC , Ð ABD＝ Ð BCE 又因題目已知 BD ＝ CE

\我們可以根據 SAS 知道

D

ABD @

D

BCE

【範例】如下圖，邊長 60 公分的正方形，協靠在垂直的牆上，且 B 點距牆角 36 公分，

則 D 點離地面之高度為幾公分?

【解】Q

D

AOB @

D

DFA(AAS)

\ DF ＝ AO 

＝ 

60 -

² 

36 

² ＝48  AF ＝ BO ＝36

\ DH ＝ OF ＝48＋36＝84(公分)

A 

B  P 

Q 

C 

A 

B  P 

Q 

H 

C  H ' 

A 

R  D 

Q  E

C  B  P 

70 o 

A 

R  D 

E  Q  C  B  P 

70 o  70 o 

110 o 

【範例】如下圖，

D

ABC 與

D

BPQ 均為正三角形，若 Ð APB＝98 ⁰ ，則 Ð PQC 為幾度?

【解】Q  BC ＝ AB ， BP ＝

BQ

， Ð ABP＝ Ð QBP

\

D

ABP @

D

CBQ(SAS)

\ Ð BQC＝ Ð APB＝98 ⁰

\ Ð PQC＝98 ⁰ －60 ⁰ ＝38 ⁰ 

【範例】承上題，若 AC ＝6 公分，

BQ

＝2 公分，則

D

PQC 面積 :

D

APC 面積 :

D

BPQ 面 積＝?

【解】

D

PQC 面積:

D

APC 面積

＝ 

QH 

^' : AH 

＝ 2  3 ×2 : 

2  3 ×6

＝2:6＝1:3

D

PQC 面積:

D

BPQ 面積

＝ PC : BP (同高)

＝(6－2) : 2＝2 : 1

\

D

PQC 面積 :

D

APC 面積 :

D

BPQ 面積＝2 : 6 : 1

【範例】 如圖，四邊形 ABCD、APQR 為兩個全等的正方形，CD 與

PQ

相交於 E 點。若 Ð PEC

＝70 ⁰ ，求 Ð PAD 與 Ð BAP 的度數。

【解】 Q ÐPED = 180 ^o - 70 ^o = 110 ^o 且  РP = Ð D = 90 ^o 

\ ÐPAD =360^o-90^o-90^o-110^o = 70 ^o 

\ ÐBAP =90^o-70^o = 20 ^o 

Note: Ð PAD＝ Ð CEP

D

E F

7cm

4cm 4cm

3cm

6cm A

B 60

^O

C

T S

U 3cm 6cm 60

^O

W

X V

4cm 4cm

7cm G

H I

5cm

70

^O

30

^o

M

N O

5cm 80

^O

30

^O

A

B C

3cm 4cm

5cm

O N

M

3cm

4cm 5cm

D

E F

4cm

5cm 60

^O

60

^O

S

U

5cm T 4cm G

H I

5cm 60

^O

40

^O

J

K

L 60

^O

80

^O

5cm

【範例一】

下面圖形中，將全等的三角形分別寫出來，並說明是根據哪一種條件？

○ ¹  ○ ²  ○ ³ 

○ ⁴  ○ ⁵  ○ ⁶ 

【練習一】

下面圖形中，將全等的三角形分別寫出來，並說明是根據哪一種條件？

○ ¹  ○ ²  ○ ³ 

○ ⁴  ○ ⁵  ○ ⁶

A 

B  C 

D 

E  F 

7 

8 

9 

A 

B  C 

D 

E  F 

10 

13  70 ⁰ 

60 ⁰ 

A 

B  C 

D 

E  F 

5 

75 ⁰ 

40 ⁰ 

A 

B  C 

D 

E  F 

5 

85 ⁰ 

45 ⁰ 

8 

A 

B  C 

D 

E  F 

9 

Z­5 

2x+1  4y 

6 

8 

A 

B  C 

D 

E  F 

2X+4 ⁰ 

3X­20 ⁰  X+22 ⁰  50 ⁰ 

【範例二】 【練習二】

（1）若△ABC@△DEF，  AB ＝7， BC ＝8，DF ＝ 9， 則：(1)  DE (2)△DEF 之周長

（2）若△ABC 與△DEF 中， 若 AB ＝ EF ，  FD 

BC = ， CA = DE ，且∠A＝70 ⁰ ，∠B＝60 ⁰ ，  AB ＝10， BC ＝13，則：○ ¹ △ABC@ _______，

根據 ______ 性質○ ² ∠F＝___ ○ ³  EF ＝ _____

（1）若△ABC@△DEF， ∠E＝40 ⁰ ，∠D＝75 ⁰ ，  EF ＝5，則：(1)  BC ＝_____(2) ∠B＝_____

（2）若△ABC 與△DEF 中， 若∠A＝∠D，∠B

＝∠F， AB = DF ，且∠D＝85 ⁰ ，∠E＝45 ⁰ ，  DE ＝5， EF ＝8，則：○ ¹ △ABC@ _______，

根據 _____ 性質○ ² ∠B＝___ ○ ³  AC ＝____

【範例三】 【練習三】

若△ABC@△DEF，  AB ＝2x＋1， AC ＝4y，BC ＝ 6， DE ＝9， EF ＝z－5， DF ＝8；試求：

(1)x、y、z 之值。(2) △ABC 之周長。

若△ABC@△DEF，∠A＝（2x＋4） ⁰ ，∠B＝（3x

－14） ⁰ ，∠C＝（x＋22） ⁰ ，∠F＝50 ⁰ ，則

∠A＝_______

A  B 

C  D  E 

F  26 

24 

【範例四】 【練習四】

若△ABC 與△DEF，∠A＝∠D＝90 ⁰ ， AB ＝ DE ，  AC ＝ DF，BC ＝26 公分，若△ABC 的面積為 120 平方公分，而 DF ＝24 公分，試求：(1)  AB (2)

△DEF 之周長。

△ABC 為直角三角形，其邊長為 7、24、25，若

△ABC@△DEF，求：(1) △DEF 之周長 (2) △DEF 之面積。

【範例五】 【練習五】

如附圖，△CDE中， BC =

BD

，

AE

= AC ，若

∠BCA = 20˚，且∠D：∠E = 5：3，求∠1 =？

如附圖，沿著長方形ABCD的對角線 AC 摺疊，

D點落在E點上，若∠ACD = 66˚，求：

(1) ∠ECP =？

(2) 當

AB

= 3， BC = 9 時， 

AP

=？ 

A  B 

C  25 

7  24