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國小二年級數學擬題教學實踐之研究

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Academic year: 2022

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

國小二年級數學擬題教學實踐之研究

研究生:陳佩琦 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國九十二年六月

(2)

國小二年級數學擬題教學實踐之研究

陳佩琦

國立中山大學教育研究所

摘 要

本研究旨在探討數學擬題教學在一個國小二年級班級實施的情 形。在十二週共二十四節的擬題教學中,研究者利用自行設計的擬 題教學學習單,讓學生進行個別擬題,並且透過教室觀察、錄音、

訪談、擬題教學回饋問卷及數學解題能力評量前後測、統計分析等 質化與量化的方法,來了解實驗組學生在口頭擬題、書面擬題、擬 題後解自己擬的題目及擬題後解別人擬的題目等四個擬題教學階段 中,(一)擬題學習的歷程;(二)擬題作品的特色與錯誤類型;(三)

算式、圖畫、文字三種擬題類型的擬題情形;(四)高低擬題能力組 在解題能力上的表現;以及(五)擬題教學對於解題能力的增進與 否。經過研究者的觀察與資料分析,發現大多數的學生對擬題教學 都有很高的學習興趣,而且擬題與解題時也相當有信心。在研究結 果方面,研究者得到以下的結論:(一)學生經由四個階段的擬題學 習歷程,其在擬題與解題的表現上,無論是速度或正確率,都有明

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顯的進步。(二)學生擬題作品呈現多樣化的型態,根據研究者的分 類,其特色可分為情境延伸、學生喜好、學校生活、日常生活等四 類,而錯誤類型可分為數學邏輯與語文概念等兩類。(三)學生在算 式、圖畫與文字三種擬題類型當中,擬圖畫題或文字題的表現均優 於擬算式題,而擬圖畫題與文字題間的表現並無差異。(四)高擬題 能力組在解題能力的表現上優於低擬題能力組,其解題的速度與正 確率,都比低擬題能力組來得好。(五)透過實驗組與對照組前後測 的比較,實驗組學生在數學解題能力評量的表現明顯地優於對照組 學生,由此可知擬題教學可以增進解題能力。

關 鍵 字 :擬題、解題、國小二年級

(4)

The study of problem-posing teaching technique in the elementary school grade two class

Pei-Chi Chen Department of Education National Sun Yat-sen University

Abstract

The main purpose of this study is to understand the possible effects of the problem-posing teaching technique in an elementary school, grade-two class. With problem-posing teaching technique of twenty-four classes within 12 weeks, the experimenter first used the problem-posing texts to ask students to formulate mathematical problems. After reviewing the problems formulated by students, the necessary interviews were done. The statistical analysis is done on pre-tests and post-tests of mathematical-solving ability. Students’ feedbacks about problem posing teaching technique are collected. There were four stages in this experiment: (1) oral presentation of problem-posing, (2) written presentation of problem-posing, (3) written presentation of problem-posing and problem-solving by the same person, (4) wiitten presentation of problem-posing by one and problem-solving by another.

The experimenter explored the following themes during these four stages: (1) the process of problem-posing learning, (2) the characteristics and erroneous types of the students’ opus, (3) the differences on the problem-posing abilities when students faced formulas, pictures and written contexts, (4) the behaviors of the high problem-posing ability group and the low problem-posing ability group, (5) the enhance of problem-solving abilities due to problem-posing teaching technique. From this study, the experimenter found that the majority of the students participated in this study interesting in this teaching technique, and students’ gained confidence in posing and solving mathematical problems. Besides, the experimenter also found that: (1) the students’ ability in posing and solving problems progressed gradually in speed and correctness, (2) the characteristics and erroneous

(5)

types of the students’ opus were diverse, which included relativeness of situations, students’ interests, school lives, and daily lives, correctness of mathematical logic, ambiguity of language, (3) students were better to pose problems from pictures and written contexts than from formulas, but there was no difference between from pictures and from written contexts, (4) the high problem-posing ability group performs better in speed and correctness to solve problem than the low problem-posing ability group, (5) Comparing the controlled and non-controlled groups, problem-posing teaching technique seems to helpe students to enhance their problem-solving ability.

Key words: problem-posing, problem-solving, elementary school grade two class

(6)

目 次

第一章 緒論... 1

第一節 研究動機... 1

第二節 研究目的... 7

第三節 待答問題... 7

第四節 名詞釋義... 8

第二章 文獻探討 ... 10

第一節 擬題的意義與內涵 ... 10

第二節 擬題活動的理論基礎 ... 26

第三節 擬題教學的相關研究 ... 35

第四節 擬題教學與評量 ... 42

第五節 擬題教學活動融入國小二年級數學課程教材之分析 . 50

第三章 研究方法 ... 54

第一節 研究對象及教材 ... 54

第二節 研究工具... 55

第三節 研究設計與實施步驟 ... 66

第四節 資料的處理與分析 ... 74

第四章 研究結果與討論 ... 78

第一節 學生的擬題學習歷程 ... 78

(7)

第二節 學生擬題作品分析 ... 98

第三節 學生在三種擬題類型表現上的差異 ... 113

第四節 高低擬題能力組在解題能力上的差異 ... 119

第五節 擬題教學對學生解題能力的增進 ... 122

第五章 結論與建議 ... 126

第一節 結論 ... 126

第二節 建議 ... 136

參考文獻 ... 142

附件一 擬題教學學習單(算式)... 151

附件二 擬題教學學習單(圖畫)... 156

附件三 擬題教學學習單(文字)... 162

附件四 數學解題能力評量(前測)... 167

附件五 數學解題能力評量(後測)... 171

附件六 擬題教學回饋問卷 ... 175

附件七 學生擬題作品九分評量表... 177

附件八 學生擬題作品舉隅 ... 178

附件九 學生擬題學習歷程作品舉隅 ... 186

(8)

表次

表 2-1 Reitman 的題目結構表(引自梁淑坤,民 83,p.155) ...12

表 2-2 梁淑坤六種擬題類型舉例 ...15

表 2-3 各種擬題類型分析對照表 ...16

表 2-4 擬題作品五分類表(梁淑坤,民 88)...48

表 2-5 學生擬題作品分類(梁淑坤,民 85)...49

表 2-6 南一版國小數學第三冊單元教學目標 ...52

表 3-1 擬題教材與各單元名稱對照表 ...59

表 3-2 學生擬題作品九分評量表 ...61

表 3-3 擬題教學四階段與擬題教材對照表 ...71

表 4-1 書面擬題算式題類型...82

表 4-2 擬題教學四個階段的主要發現 ...92

表 4-3 學生擬題教學回饋問卷人數統計表 ...94

表 4-4 學生擬題作品的特色 ...106

表 4-5 學生擬題作品的錯誤類型 ...107

表 4- 6 學生在算式、圖畫、文字三種擬題類型表現上的差異比較...115

表 4-7 學生在擬改變量未知問題與二步驟問題表現上的差異比較 ...119

表 4-8 高低擬題能力組在數學解題能力評量後測上的差異比較 ...120

表 4-9 實驗組學生與對照組學生在數學解題能力評量前測的比較 ...122

表 4-10 實驗組學生與對照組學生在數學解題能力評量後測的比較 ...123

表 4-11 實驗組學生在數學解題能力評量前後測的比較 ...123

表 4-12 對照組學生在數學解題能力評量前後測的比較 ...123

表 4-13 迴歸係數同質性考驗摘要表 ...124

表 4-14 共變數分析摘要表 ...124

表 5-1 本研究五個待答問題的結論 ...133

圖次

圖 2-1 解自己所擬的題目 ...18

圖 2-2 訊息處理論取向之解題建構歷程 ...32

圖 2-3 擬題教學流程圖 ...45

圖 2-4 擬題階段和評鑑活動 ...46

圖 3-1 擬題教學流程圖 ...73

(9)

國小二年級數學擬題教學實踐之研究 第一章 緒論

第一節 研究動機

近年來,解題不論在學校的數學教育或學術研究領域中均受到相 當的重視。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM)在 1980 年所發表的行動綱領(Agenda of Action),將數學解題當作學校數學教育發展的焦點,因此該組織在 學校數學課程與評量標準中,相當強調解題的重要性。Schoenfeld

(1985)指出:「數學教學的原始目標,應使學生成為一位有能力的 解題者」。此外,有不少教育學者(Kozmetsky, 1980; Resnick & Ford, 1981; Silver, 1985)亦主張培養學生問題解決(problem solving)

能力應是數學教育的重點。因為在快速變遷的時代中,無法預測學生 要學會的是什麼形式的數學,況且學校數學教育不可能把學生們周遭 所遇到的問題全部都教過,所以培養學生的解題能力,乃為數學教育 上極為迫切的需要(林碧珍,民 78)。在國內,我國國家科學委員會 科學發展處,亦將問題解決的數學列為數學教育的發展重點;而我國 國民小學數學課程標準多次的修訂,也可以看出問題解決在數學教育

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中的重要地位。例如民國 65 年的國民小學數學課程標準規定:「小學 數學的終極目標是要使學生運用數學的知識與方法,發展思考、創造 及解決問題的能力。」82 年公佈的國民小學數學課程標準明確揭示 國小數學教育目標在於:「培養有效運用數學方法,以解決實際問題 的態度及能力。」89 年國民中小學九年一貫課程暫行綱要的數學領 域課程目標:「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」,都可以看 出數學教育強調數學解題能力的事實。

目前國小的數學課本中,多以文字題的形式來呈現問題,希望學 生透過解決實際情境的文字題,建立數學概念及解題能力。但根據國 民小學科學環境調查報告(板橋研習會,民 76)指出,國小學生解 文字題的能力比基本計算能力差,因為學生解一個文字題的認知層次 比做一個基本計算題的認知層次高,而且要複雜的多,尤其是文字題 的解題歷程,不僅需要應用到計算能力,還牽涉到相關的數學概念、

語文理解等知識,因此常使學生感到相當困難(徐文鈺,民 81)。事 實上,研究者在教學的實務中也發現此種現象。

在傳統的數學教室中,教師經常把課本或指引的題目,拿來示範 解題給學生模仿(林文生,民 85),這樣的流程反反覆覆,學生就在

「成功的模仿下學習」,直到學會教師要傳授的「功夫」(梁淑坤,民 86)。也因此,學生在解題時多由題目的表面著手,而未能思考題目

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的深層意義(翁家英,民 77;徐文鈺,民 85;陳美芳,民 84;劉芳 妃,民 87;Riley, Greeno, & Heller, 1983)。因此,近年來有許 多學者呼籲,要改善學生的數學思考能力,應該讓學生由主動的建構 過程中去學習數學,而提供學生在課堂中擬題的機會,便是一項被推 薦的教學方式(梁淑坤,民 83; Kilpatrick, 1987; Krulik & Rudnick, 1993; Silver, 1993),因為學生在擬題的過程中,許多的 數學知識可因而產生(Borba, 1994)。雖然近年來數學教育受到建構 主義思潮影響,相當強調解題時學生的建構歷程,但仍有學者指出,

學生解題時多被要求解教師或課本所出的題目,少有機會能思考以及 公開提出自己的數學問題,這種將擬題責任完全交與教師及課本編輯 的作法,其實與強調學生被動接受知識的灌輸式教學是很接近的,而 鼓勵學生自己擬題的數學教學方式,符合自行建構數學知識的觀點

(Silver, 1993)。

而由過去擬題研究的作業,亦可推知此種觀點。如 Krutetskii

(1976)曾提供一些數學的情境,要求學說生說出隨情境自然浮現的 問題,回答時學生便需具備問題型式的原有知識,再配合所給的新情 境,建構出一個完整的數學題目來。此外,Greer(1991)在一項研 究中,給受試者一個數學算式,要求他們寫出一個符合此算式的故事 來,結果發現有些學生會用分數代表人的數量,此結果顯示學生擬題

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時未能結合日常生活所習得之自發知識。因此,由建構主義觀點來 看,擬題實為一種結合學生既有知識以及題目新訊息要求,以建構知 識的一種活動。

所謂擬題(problem posing),是依據自己的看法想出一個數學 題目來(梁淑坤,民 83)。在這個過程當中,學生必須以自己的數學 觀點去思考周遭或日常生活中的事物,然後透過個人的思考模式想出 數學問題來,再以數學知識和方法解決問題,如此,擬題是訓練一個 人的數學思考,培養分析問題、創造問題與解決問題能力的方法之一

(楊惠如,民 89)。而這種擬題活動強調學生主動參與、主動建構的 精神,與教育部(民 82)所公佈的國民小學課程標準中「養成主動 地從自己的經驗中,建構與理解數學的概念,並透過了解及評鑑別人 解題方式的過程,進而養成尊重別人觀點的態度」的數學課程精神是 一致的(梁淑坤,民 86)。

除此之外,擬題活動的精神亦符合國民中小學九年一貫課程暫行 綱要(民 89)的數學領域課程目標:「發展形成數學問題與解決數學 問題的能力」。它更符合美國數學教師協會(NCTM, 1989)的課程與 評量標準,其明確陳述:「學生應有一些經驗來察覺和形成他們自己 的問題,並以此作為數學的重心。」(p. 138)同樣的,NCTM(1991)

也建議教師應該提供機會給學生擬他們自己的問題:「學生應有機會

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從已知情境中形成問題,並藉由修正已知問題的條件中來創造新的問 題。」(p. 95)因以上所述,在數學科教學中,教師可以提供良好的 機會讓學生擬題(梁淑坤,民 83),並由其他同學解題與評鑑之,而 數學活動除了問題解決以外,問題提出(擬題)也應被看成數學活動 的一個重要成分。

國內外不少研究者的研究結果認為,學生把自己想出來的數學題 目寫出來,是有助於解題的。擬題者常常會去猜想所擬出來的題目能 否合乎擬題標準,並且會有預估答案的情形,檢驗擬出來的題目是否 合理,是否能求出答案。而且在這個階段,學生會針對自己產生的質 疑在題目上作一番修改,或者重新擬題。於是就形成擬題活動和解題 活動的交互出現。因此,學生透過擬題活動更會主動去解題,從而增 加其對數學的更深一層認識。梁淑坤(民 83)將擬題與 Polya 的解 題四階段關係作一對照,結果發現學生在擬題與解自己的題目過程 中,可以是永無休止的擬題與解題活動,周幸儀(民 91)也認為,

擬題是逆向思考數學問題,因此擬題與解題是相連性的活動(Brown &

Walter, 1983)。此外,問題若是由解題者所擬出來,解題的動機就 會很高(梁淑坤,民 83)。

而在實證研究中,Silver 和 Cai(1993)的研究指出,中學生的 擬題與解題間有強烈的關連性。Winograd(1990)也發現,透過寫數

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學故事題的方式,可以改善五年級學生的解題表現(引自楊惠如)。 Brown 和 Walter(1993)以七年級學生實施數學寫作,先要求學生寫 出算式,然後依據算式寫出相對應的數學文字題,透過這樣的實驗,

學生更樂於嘗試數學文字題的寫作,而且更能有效的正確解題。徐文 鈺(民 85)以國小五年級學生進行分數擬題教學,發現分數擬題教 學能增進學生分數解題的能力。周幸儀(民 91)以國小二年級學生 進行合作擬題教學,發現在擬題的教學過程中,學生在擬題與解題的 循環下,解題能力有漸進式的進步。

研究者在教學實務中,發現低年級學生由於對文字題的題意不了 解,在解題時特別感到困難。因此,研究者想藉著擬題教學的活動,

讓學生嘗試自己出題目,透過自己出題目的過程,明瞭題目與算式間 的關係,增進其解題能力。再者,研究者有感於數學溝通能力亦是目 前九年一貫數學課程所強調的一部份,因為在國民中小學九年一貫課 程暫行綱要(民 89)數學課程目標第四條指出:「發展以數學作為明 確表達、理性溝通工具的能力。」在研究者去年(民 90)教學所使 用的南一版第一冊數學課本中曾出現「看算式,說故事」的練習,想 讓學生根據課本中的算式說出題目,來增加學生溝通的能力,只是當 時並沒有要求學生將故事寫出來,所以學生沒有寫出題目的經驗,因 此在本研究裡,研究者想藉由擬題教學中利用寫題目的方式來增進其

(15)

數學溝通的能力。此外,由於許多的擬題教學研究均偏重在合作擬題 的方式,研究者想明瞭假如讓學生進行個別擬題時情況又有何不同,

也為了使全部參與活動的學生均有自己擬題的經驗,因 此本研究透過 讓學生個別擬題的方式來進行擬題教學,希望學生能有一些機會,嘗 試覺察生活情境並形成他們自己的問題,藉由修正已知問題的條件中 來創造新的問題。再者研究者也希望透過教學的實務,了解擬題活動 在實際教室中教學的狀況,期能獲得教學上的成長。

第二節 研究目的

綜合上述的研究動機,本研究的研究目的如下:

1、探討學生的擬題學習歷程。

2、分析學生擬題作品的特色與錯誤類型。

3、探討學生在算式、圖畫、文字三種擬題類型的擬題情形。

4、探討高低擬題能力組在解題能力上的表現。

5、探討擬題教學是否對學生的解題能力有增進。

第三節 待答問題

根據研究動機與目的,本研究的待答問題如下:

(16)

1、學生的擬題學習歷程為何?

2、學生擬題作品的特色與錯誤類型為何?

3、學生在算式、圖畫、文字三種擬題類型的表現上是否有差異?

4、高擬題能力組和低擬題能力組在解題能力上是否有差異?

5、擬題教學是否可以增進學生的解題能力?

第四節 名詞釋義

為釐清本研究中重要名詞之意義,茲將本研究中有關的重要名 詞界定如下:

一 、 擬 題

擬題是用自己的看法想出一個數學題目(梁淑坤,民 83)。本研 究的擬題是指學生根據教師所給的條件,依自己的想法,想出符合條 件的數學問題來。因限於研究的對象是低年級學生,擬題只包括算 式、圖畫、文字三種類型。

二 、 擬 題 教 學

本研究中的擬題教學,是指在擬題教學活動中,學生依據教師所

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給的條件獨自思考,自己擬出符合條件的數學題目。擬題的方式分為 口頭擬題及書面擬題兩種。在擬題時,學生並未有互相討論的機會,

等學生全部完成擬題後,由學生自行解題或交換解題。最後再由學生 個別發表,師生共同欣賞、評鑑、討論、修正錯誤。

三 、 學 生 擬 題 學 習 歷 程

本研究中的學生擬題學習歷程可分為四個階段:第一階段為口頭 擬題;第二階段為書面擬題;第三階段為擬題後解自己擬的題目;第 四階段為擬題後解別人擬的題目。

四 、 擬 題 能 力

指能經由算式、圖畫、文字三種擬題條件擬出有關數學問題的能 力。本研究將學生所擬的題目依據研究者自編的「學生擬題作品九分 評量表」進行評分,總分在全班前 27%的學生稱為高擬題能力組,總 分在全班後 27%的學生稱為低擬題能力組。

(18)

第二章 文獻探討

第一節 擬題的意義與內涵

本節將分成四部份來討論擬題的意義與內涵。首先探討擬題的定 義與特徵;其次為擬題的類型;再者為擬題與解題的關係;最後為擬 題在數學教育上的重要性。

壹 、 擬 題 的 定 義 與 特 徵

近年來,美國數學教育界開始重視擬題,有許多學者也視它為數 學的重心(Moses, Bjork, & Goldenberg, 1993; NCTM, 1989; Silver,

& Mamona, 1990)。而擬題的定義究竟是什麼?Dillon(1982)認為,

擬題是解題之後,尋找題目的過程;Silver(1994)指出,擬題包括 產生新的問題、給一個情境產生問題和在解題的過程中再形成問題;

Stovanova 和 Ellerton(1996)將擬題定義為:「依據數學經驗的基 礎,學生建構以及創造有意義的數學題目,是一個屬於個人化的過 程」;梁淑坤(民 83)對擬題(problem posing)也下了一個定義:

「自己想出一個數學題目來」。

在擬題的過程中,擬題者必須從「數學的觀點考慮周遭的事物」,

(19)

用自己的數學知識和生活經驗將情境、人物、事件、數字、圖形等建 立關係並組織起來,擬出一個數學題目。所以擬題行為可能包含下列 的特徵(梁淑坤,民 83,p. 153):

1. 組織的方法是屬於個人的(idiosyncratic)。

2. 當中包括猜想及可信推理(plausible reasoning)。

3. 可以發生在解題前、解題中、以及解題後(before, during, and after problem solving)。

4. 擬題者把想出的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙的」

(primitive)。這些題目可能是非完整性的(Incomplete);

非可行性的(Implausible);亦可能是缺少足夠解題資料的

(Insufficient)。

根據以上的特徵,可知這裡所指的擬題,多在學習者身上發生,

而非教師設計某個數學問題讓學生去解答。而擬題可能發生在解題 前、解題中或是解題後。在日常生活中,因情境而產生問題,再加以 解決,是發生在解題前的擬題活動;而在處理一個較複雜的問題時,

將其分為幾個簡單的子目標,再進行解題,便是發生在解題中的擬題 活動;至於解題後再提出相關的新問題以檢驗答案,則是發生在解題 後的擬題活動。由於題目組織是屬於擬題者個人猜想或推理出來的,

因此所擬出的題目不像教師佈題那樣的縝密,也不像教科書上的題

(20)

目,須經多位學者審核過的詳細、清楚和可解,有可能顯得較粗糙或 不完整,或欠缺足夠資料以解題。當學生擬好題目後,進一步思考題 意或自行為自己所擬的題目解題的同時,可以培養數學的思考能力。

而在解題的過程中,學生會組織、思考題意的完整性,也能提昇學生 創造題目的能力。

貳 、 擬 題 的 類 型

擬題的類型有很多種,以下就各學者的分類方式作探討:

一 、 Reitman 的 題 目 結 構 分 類 方 式

梁淑坤(民 83)根據 Reitman (1965)提及的題目結構將擬題 活動作分類,而 Reitman (1965)提及題目的結構有下列四種情況:

表 2-1 Reitman 的題目結構表(引自梁淑坤,民 83,p.155)

已知(Given) 目標(Goal)

1 ˇ ˇ 「ˇ」為已定義清楚

2 ˇ ×

3 × × 「×」為未定義清楚

4 × ˇ

Reitman 把題目分為結構題(well-structured)和非結構題

(ill-structured)。已知清楚,目標亦清楚的題目稱為結構題,上 述第一類即為結構題,是目前一般教室裡課本和習作常出現的題目形

(21)

式,在題目中有已知的資料和清楚的目標,學生可以根據已知的資料 用解題方法將目標找出來。而其他三類稱為非結構題,指的是已知或 目標中有一項未知的題目。若我們將非結構題提供給學生上課或課後 作活動,讓學生用自己的組織方式及數學知識將非結構問題寫成結構 問題,就是我們所稱的擬題了。

二 、 Tsubota( 坪 田 耕 三 ) 的 擬 題 類 型

日本教師坪田耕三(1987)在其「生動的算術」一書中提出七種 擬題的方法(梁淑坤,民 83,p.165):

1. 模仿法或類題法:學習某個問題之後,擬出和此問題同種類的 題目。

2. 算式法:提出一個公式,再擬出適用此公式的題目。

3. 原理法:給予四則運算或通分等原理,擬出符合此運算或原理 的題目。

4. 訂正法:出一個題目,故意漏掉必要的條件,或是給予其他不 必要的條件,或做出矛盾而要學童訂正的方法。

5. 實驗法:實驗或以具體東西加以操作,再以此事象為根基來擬 出題目。

6. 自由法:以自由的題材,擬出自由形式的題目。

(22)

7. 題材法:給予題材來擬出題目。

三 、 Silver 的 擬 題 類 型

Silver(1994)將擬題類型分成兩種:

1. 從已給的題目中再產生新題目。

2. 從情境或經驗中再創造出新類型的題目。

四 、 Stovanova 和 Ellerton 的 擬 題 類 型

Stovanova 和 Ellerton(1996)將擬題分成下列三種情境:

1. 結構(structured)的情境:擬題者可以利用現有的題目加以 改變。

2. 半結構(semi-structured)的情境:學生利用先前的數學知 識、技巧、概念以及關係連結,完成一個完整結構的問題。

3. 自由(free)的情境:讓學生在一個給定的自然情境之下自由 發揮。

五 、 梁 淑 坤 的 擬 題 類 型

梁淑坤(民 86)依據國小數學課程標準(教育部,民 82)所訂 定的內容,設計了一套擬題的評量工具,其中包括了一到六年級共有

(23)

五十二道擬題的教材。其在擬題教材中將擬題類型分為算式、文字、

圖表、解法、答案和題目等六大類,如下表 2-2:

表 2-2 梁淑坤六種擬題類型舉例

擬題類型 描述 舉 例

算式類 給一個算式,讓學生依據這 個算式擬出題目來

請以右邊的算式”56+37=”為題目之橫式,

擬一個與容量有關的問題,單位是”公升”。

文字類

呈現一段文字的敘述,讓學 生依據此段文字敘述所給的 條件,再擬出題目來

一隻豬有 4 條腿;一隻雞有 2 條腿。

圖表類 給一個圖表,讓學生依據這 個圖表擬出題目來

解法類

規定一種擬題的運算方法如

「加法」,讓學生依據此規定 擬出題目來

請想出一個「因數與倍數」的題目。

答案類 給 一 個 答 案 或 一 組 計 算 過

程,讓學生擬出題目來 答案:25.6 公尺

題目類

給一個題目,要求學生解出 此題目,然後再根據此題目 擬出另一個題目來

數一數,這裡有幾顆星星?

(以上例子引自梁淑坤,民 86)

研究者根據上述加以綜合分析,特別將 Reitman(1965;引自梁 淑坤,民 83)、坪田耕三(1987;引自梁淑坤,民 83)、Silver(1994)、 Stovanova 和 Ellerton(1996)、梁淑坤(民 86)等人的擬題類型做 對比分析,發現坪田耕三的「模仿法或類題法」、Silver 的「從已給 的題目中再產生新題目」、Stovanova 和 Ellerton 的「結構的情境」,

(24)

以及梁淑坤的「題目類」,這和 Reitman 所提出的第一種類型的問題 結構是相同的,都是「已知」和「目標」已定義清楚的問題結構。而 坪田耕三的「算式法」、「原理法」、「訂正法」、「實驗法」、「題材法」,

Silver 所指的「從情境或經驗中再創造出新類型的題目」、Stovanova 和 Ellerton 所說的「半結構的情境」,以及梁淑坤的「算式類」、「文 字類」、「圖表類」、「解法類」都與 Reitman 的第二種類型的問題結構 相同,也就是「已知」已定義清楚,「目標」未定義清楚的問題結構。

至於梁淑坤所指的「答案類」則與 Reitman 的第三種「已知」未定義 清楚,而「目標」已定義清楚的問題結構相同。而坪田耕三的「自由 法」、Stovanova 和 Ellerton 所指的「自由的情境」,「已知」和「目 標」都未定義清楚,則與 Reitman 的第四種問題結構相同,下表 2-3 呈現研究者綜合分析的結果。

表 2-3 各種擬題類型分析對照表 Reitman

(1965;引自梁 淑坤,民 83)

坪田耕三

(1987;引自梁 淑坤,民 83)

Silver(1994) Stovanova 和 Ellerton

(1996)

梁淑坤(民 86)

1.已知、目標均 已定義清楚

1.模仿法或類 題法

1.從已給的題 目中再產生新 題目

1.結構的情境 6.題目類

2.已知已定義 清楚,目標未定 義清楚

2.算式法 3.原理法 4.訂正法 5.實驗法 7.題材法

2.從情境或經 驗中再創造出 新類型的題目

2.半結構的情

1.算式類 2.文字類 3.圖表類 4.解法類

(25)

3.已知未定義 清楚,目標已定 義清楚

5.答案類

4.已知、目標均 未定義清楚

6.自由法

3.自由的情境

透過以上的分析,研究者發現 Reitman 的分類方式較為完整,而 梁淑坤除了以六種擬題作業型態分類之外,也依據國民小學數學課程 標準的內容將擬題教材加以分類(數與計算、量與實測、圖形與空間、

統計圖表),與研究者想研究的重點較符合,再加上研究者認為在國 小低年級的數學課本和評量形式中,大多以算式、文字及圖畫這三種 類型來呈現題目,是學生較為熟悉的類型,故採用梁淑坤分類方式中 的算式類、圖表類、文字類作為研究者擬題教學活動中的擬題類型。

參 、 擬 題 與 解 題 的 關 係

Polya(1945)在「怎樣解題」(How to solve it)一書中曾提 到解題的過程共有四個階段:理解(Understand)、計畫(Plan)、執 行(Carry out)和回顧(Look back)。開始的時候,解題者必須要 理解題目,包括一些解碼或翻譯表徵,確認已知條件和未知條件是什 麼等等。經過理解階段,解題者要作計畫,包括將要解的題目與以前 解過的題目做連結,或是把該題目分割成為小題。計畫階段之後,接 下來是執行階段。在執行計畫的階段,解題者要小心的按步驟執行。

(26)

最後一個階段是回顧,解題者除了檢查自己的執行是否配合計畫之 外,還要思考是否有更好的的解題策略或反省該解題策略是否可以運 用在解決其他題目。

而梁淑坤(民 83)根據 Polya 的模式,將擬題取代理解,成為 擬題的四步驟,如圖 2-1:

圖 2-1 解自己所擬的題目(引自梁淑坤,民 83,p. 159)

上圖所示,擬題取代了「理解」的階段,因為當擬題者嘗試去解 自己所擬的題目時,自然了解問題的意思,因此不必再理解題目,可 以直接擬定計畫再執行解題。解題之後的「回顧」階段,可將解題後 所得結果加以整理再擬出其他新的題目來,若有動機去解再次擬出的 題目,則要再次計畫及執行了(梁淑坤,民 83)。如此一來,學生不 會因為發現問題和解題過程的分離,而降低其認知行為(Dillon, 1982)。而當解題無法進行時,擬題者會回顧自己所擬的題目是否可 解或恰當,若發現所擬題目有誤,則重新進行擬題。當擬好題目,擬

擬題

(Pose)

計畫

(Plan)

執行

(Carry out)

回顧

(Look back)

(27)

定計畫去執行運算後,若發現結果與當初所擬問題的題意不合,擬題 者便會回頭檢視所擬定的計畫是否正確。最後,在回顧階段時又可再 擬出新的問題來。如此一來,就可以永無止境的進行擬題和解題活 動,而透過這個解題、擬題的循環過程,就可以達到創造數學了

(making mathematics)(Polya, 1945)。由於擬題是逆向思考數學 問題,可以從擬題中了解擬題者的數學概念(周幸儀,民 91),因此 擬題在解題的歷程中扮演一個統整性的角色,也是解題中核心的部 分,而且擬題與解題是可以連續不斷、相互循環的,也就是說擬題

(problem posing)與解題(problem solving)是相連性的活動(Brown

& Walter, 1983)。

Schoenfeld(1985)則認為影響解題成敗的因素有四:(1)認知 資源:即個人擁有與解題相關的數學知識;(2)捷思:即一般解題技 能與策略;(3)控制:如何選擇、執行策略,如何分配資源,如何決 定計畫、監控、評估等;(4)信念系統:即個人的數學世界觀。但 Schoenfeld 認為上述方式分析解題行為容易忽略解題時對選擇解題 策略的控制行為和內隱行為,因此提出從控制的角度來檢視解題行 為,將解題歷程分為( 1)讀題;(2)分析;(3)探索;(4)計畫;(5)

執行;(6)驗証等六階段。周幸儀(民 91)將擬題融入 Schoenfeld 的解題歷程六階段中,發現學生在擬題時即會進行讀題,讀題之後便

(28)

進行解題,看看題目是否為可解的數學題,在這當中學生會經過分 析、探索、計畫和執行的階段。若題目不可解時,學生會重新驗証或 讀題,因此形成了擬題、分析、探索、計畫、執行和驗証的階段。再 者當學生進行解題活動時,無論是解他人或自己所擬的題目,發現解 題錯誤或題目不可解時,會更改策略或要求擬題者重出,因此可知擬 題與解題確實有密切的關係。

另外,在實證的研究中,Winograd(1990)發現藉者寫故事題確 實可以讓五年級學生改善他們的解題表現;Silver 和 Cai(1993)

以中學生為受試者,以檢驗擬題與解題的關係,發現擬題與解題兩者 有高度的正相關;English(1997)以五年級和七年級的學生為對象,

研究學生在課程中的擬題表現,從學生的問卷調查中得知,幾乎全數 的學生均贊同擬題活動有助於解題,而且擬題活動可以提昇學生對題 目的理解力。

經由上述,我們可以知道,擬題與解題之間的確有密切的關聯 性,因此本研究擬探討擬題教學對學生解題能力的增進效果。

肆 、 擬 題 在 數 學 教 育 上 的 重 要 性

有許多研究指出擬題是數學教育的重心(Schloemer, 1994)。究 竟擬題在數學教育中的重要性為何?研究者根據一些文獻整理出下

(29)

列幾項:

一 、 擬 題 教 學 可 以 提 高 學 生 數 學 解 題 的 動 機 與 興 趣 :

Silverman、Winograd 和 Strohauer(1992)的研究中指出,學 生較不喜歡課本中的題目或教師的佈題,他們會期待而且注意由自己 來擬題。梁淑坤(民 83)亦認為問題若是由解題者所擬出來,解題 的動機就會很高。Schloemer(1994)則指出擬題可以提供學生在數 學學習中表達他們興趣和關心焦點的機會,也可以讓低成就的學生提 高學習的意向。English(1997)認為,鼓勵學生擬題是十分重要的,

如此可以提昇學生的解題興趣。因為學生平常所做的數學題目,大部 份都是老師給的或課本已設計好的,學生很少有機會自己試著來出題 目,所以如果讓學生來出題目,學生會用自己較熟悉的題材來出題。

而且在解題時,因為比較理解題目的意思,所以解題也比較容易答 對,無形中增加學生對解題的動機與興趣。

二 、 擬 題 教 學 可 以 培 養 學 生 獨 立 思 考 與 發 展 問 題 的 能 力 : Schloemer(1994)認為擬題可以促進學生更成熟的思考。因為 在擬題的過程中,學習者必須透過本身的經驗,試著將所學過的知 識、技能、想法等加以彙整而形成問題,在這樣的過程中,可以訓練

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個人獨立思考的能力,也可以培養分析問題、提出問題的能力。坪田 耕三(1987)也認為擬題可以自然形成數學化的思考方式,透過這樣 的思考方式,擬題者能夠藉由擬題活動,去分析問題和發展問題,將 自己的數學知識重新組織,並且發現教材的系統性、關連性。

三 、 擬 題 教 學 可 以 發 展 學 生 數 學 理 解 的 能 力 :

劉祥通(民 85)指出,在課堂中要求學生擬題,可以加深學生 對問題結構的了解。Writz 和 Kahn(1982)認為擬題可以幫助學生 將具體情境與數學抽象連結,使數學意義化。Silverman 等人(1992)

則指出,學生利用數學知識和技能去建構題目是具有意義的。因為以 往由教師佈題或命題的解題過程,學生在被動的情境下解題,對於數 學抽象不容易了解,但是透過擬題活動,可以讓數學抽象具體化,使 學習變得有意義。而由擬題者自己所想出來的題目,在文字敘述上更 接近學生口語化的描述,因此學生更容易理解。而且學生在擬題時,

必須先理解問題的結構,才能塑造和轉換別人所給定的資料,擬出一 個數學問題。林德宗(民 88)亦認為,學生透過擬題活動可以增進 其對數學概念的理解,並將知識連結到日常生活的經驗中。

四 、 擬 題 教 學 可 以 激 發 學 生 的 觀 察 力 :

(31)

Silverman 等人(1992)指出,擬題可以幫助學生將數學與日常 生活連結,並且透過文字的敘述,反應生活經驗。劉芳妃(民 87)

在合作擬題教學的研究中亦發現,以學生周遭相關的人、事、物作為 擬題的材料,學生的反應最為熱烈。因為學生會將現實生活的經驗與 對周遭生活的觀察融入擬題當中,所以教師可以透過擬題活動培養學 生的觀察力,並可從學生對數學題目的敘述,了解學生的生活經驗及 想法。

五 、 擬 題 教 學 可 以 培 養 學 生 欣 賞 與 批 判 的 能 力 :

Borba(1994)認為,學生在擬題活動中擬出一個新的數學題目 後,又能夠自己完成解題,透過這樣的過程,可以修正題目中不適當 的敘述。而在觀摩別人的擬題後,可以欣賞到別人優良的作品,作為 自己擬題改進的參考,對於有錯誤的題目,也可以提出自己的看法,

增加學生數學溝通的機會,因此擬題教學可以培養學生批判的能力。

劉芳妃(民 87)認為,在擬題活動中,學生觀摩別人的擬題並提出 自己的意見,可以培養學生欣賞批判的能力,並促進其社會化的發 展。林德宗(民 88)則指出,學生透過擬題活動中的討論過程可以 修正題目,學習接納同學的意見,培養欣賞批判的態度。

(32)

六 、 擬 題 教 學 可 以 提 昇 學 生 的 創 造 力 :

坪田耕三(1987)認為擬題可以培養學生的創造力,適應現代激 烈變化的社會。因為如果老是讓學生解一成不變的題目,做既定的事 情,學生就會漸漸失去創造力。Dillon(1988)認為發現問題的本身 可以視為創造力的過程。English(1997)認為學生擬出的題目具有 複雜性,可見學生具有豐富的創造思考能力。陳美芳(民 84)及徐 文鈺(民 85)也認為數學擬題能力有別於一般創造思考能力,是數 學創造力的一種指標。梁淑坤(民 86)的研究中指出擬題具有流暢 性以及靈活性等創造力,擬題本身就是一個創造問題的過程。劉芳妃

(民 87)亦認為擬題也是一種創造力的表現。因為在擬題的過程中,

學生能夠以個人的數學知識和能力,經過思考與組織來產生新的問 題,創造力也須依賴個人豐富的知識並受文化和情境的影響,再經個 人的思考方式來產生新事物、理念和價值。而周筱亭(民 84)指出,

由於在傳統數學教育中,學生記得了各種文字題的解題公式,卻無法 推理思考,學生習得的是僵化的格式化數學,所以在現行的數學教育 中,我們更需要藉由擬題來提昇兒童的創造力。

此外,在目前實施的九年一貫課程總目標,不僅強調知識的傳 授,更特別強調能力的開拓,要為國民的終身學習奠下基礎,以因應

(33)

社會的變遷。因此數學課程除了顧及技術層面之外,更重視與其他領 域的連結,強調解決問題,以及與他人溝通講理等各種能力的培養,

而這些能力就是幫助學生發展如何學與樂於學的基礎。因此,九年一 貫數學領域課程目標中指出,數學學習活動應讓所有學生都能積極參 與討論,激盪各種想法,激發創造力,明確表達想法,強化合理判斷 的思維與理想溝通的能力,期在社會互動中建立數學知識,希望學生 達成「發展形成數學問題與解決數學問題的能力;發展以數學作為明 確表達、理性溝通工具的能力;培養數學的批判分析能力;培養欣賞 數學的能力」,而擬題教學活動因為可以提高學生數學解題的動機與 興趣、培養學生獨立思考與發展問題的能力、發展學生數學理解的能 力、激發學生的觀察力、培養學生欣賞與批判的能力與提昇學生的創 造力,相當符合九年一貫課程綱要的要求,因此可以明瞭擬題教學的 重要性。

綜合上述,我們可以清楚的知道,擬題在數學教育上的重要性。

因為擬題除了可以提高學生數學解題的動機與興趣、培養學生獨立思 考與發展問題的能力、發展學生數學理解的能力、激發學生的觀察 力、培養學生欣賞與批判的能力、提昇學生的創造力之外,擬題還可 以讓學生有積極參與討論、激盪各種想法、明確表達意見的機會,並 且對於強化學生合理判斷的思維與理想溝通的能力均有正面的影響。

(34)

第二節 擬題活動的理論基礎

擬題具有學生主動建構數學知識的成分,在學生建構數學知識的 同時,若能透過教師或同儕的協助,便能激發其潛能,進而提昇其認 知層次,而訊息處理論可說明擬題與解題的建構歷程。因此本研究以 建構主義、維果茨基的認知發展論和訊息處理論來作為擬題活動的理 論基礎。

壹 、 建 構 主 義

建構主義對於學習者本身知識發展的歷程主要可分為「認知的歷 程」與「社會的歷程」兩種看法:Von GlaserFeld(1995)所主張的

「根本建構理論」(radical constructivism)即從個別的與認知的 觀點來詮釋學習者知識的學習歷程,認為個人經由主體經驗即能建構 外在世界的知識;另一方面 Gergen(1985)和 Simon(1995)所建立 的「社會建構理論」則強調社會及人我互動時建構知識的歷程或情境 當中社會人群因素的重要性。因此我們可以明白學習者的知識建構,

包含了個別的和集體的兩種歷程;也就是說學習者可能經歷了認知的 和社會的歷程(Simon, 1995)。以下就此兩觀點加以論述之:

(35)

一 、 根 本 建 構 理 論 ----個 體 理 論

瑞士心理學家皮亞傑(Jean Piaget, 1896~1980)認為「認知」

是一種建構作用(Cognition as a construction),個體為了適應、

生存,憑藉先前的認知基模,透過「同化」(assimilation)、「調適」

(accommodation)作用適應環境,並藉此產生知識。但由於認知個 體的成熟程度、發展階段、成長環境、經驗背景的差異、認知基模的 不同等因素,個體所建構的知識並不相同。而主張根本建構主義的 Von Glaserfeld(1995)則強調認知者自發性建構知識的歷程,對於 知識的看法有兩項基本主張:

1. 知識並非被動地接受,而是透過感官或溝通的方法,由具有認 知能力的個體所主動建造構築而成的。

2. 知識獲得的方式是調融的,認知的功能是用來組織外在的經驗 世界,而非用來發現已客觀存在的本體事實( ontological reality)。

二 、 社 會 建 構 理 論 ----整 體 理 論

Gergen(1985)強調人類認知與知識形成的社會性基礎。根據 Gergen 的主張,知識是社會建構的,學習是一種社會的歷程,學生 知識上的成長是在其所處的社群當中,透過不斷對話( dialogue)的

(36)

歷程而來的。亦即知識是透過人際間的互動,在協商的對話歷程中持 續不斷地在社會交流中產生的。在對話之中語言能夠使得彼此的經驗 客觀化,讓那些在同一社群中的個體得以分享,並且成為知識建構的 基礎。

綜合根本建構理論與社會建構理論來說,建構主義認為知識是一 種創造也是一種發明,知識或實體並非是預先存在的,因此知識不能 像貨物一般直接傳輸給學生,必須藉由學生自己主動的建構,並且在 自己的經驗範圍內方為有效,亦即知識是基於個體先前經驗去創造或 發明出來的(曾志華,民 84)。所以建構主義非常重視學習者先前知 識的原始想法與經驗,並注意學習者內心對外在世界的看法,同時建 構主義也強調知識是經由人與社會、環境互動之後的結果。

研究者根據以上建構主義的主張,探討其對擬題活動的啟示。近 來數學教育受到建構主義思潮的影響,相當強調學生主動建構數學知 識的能力,所謂數學知識是指學生解題時所運用的認知過程,而不是 解題的結果,亦即題目的答案(黃敏晃,民 85)。但仍有學者指出

(Winograd, 1990)學生在解題時多被要求解教師或課本所出的題 目,卻少有機會能思考和公開提出自己的數學問題,這種把擬題責任 交予教師及課本編輯的作法與強調學生被動接受知識的傳統式教學 是很接近的。而數學教育改革不僅重視解題,也注意到擬題,提出擬

(37)

題是解題的一個主要部分,並且強調解題與擬題的重要性(Leung, 1997)。NCTM(1989)在課程標準裡建議「讓學生在問題情節中探索 和形成問題」;在教師專業發展標準裡(1991)建議「製造機會讓學 生自行形成問題並按照問題之條件修正為新的題目」,在評量標準裡

(1995)也建議「從學生自行擬題中了解學生的能力」。因為在擬題 的活動中,我們可以提供學生主動建構數學知識的機會,讓學生養成 主動從自己的經驗中,建構與理解數學概念的習慣,並能運用數學的 知識與方法解決問題,因此鼓勵學生自己擬題的數學教學方式,是符 合了建構主義的觀點(Silver & Cai, 1993)。

貳 、 維 果 茨 基 的 認 知 發 展 論

維果茨基(L.S. Vygotsky, 1896~1934)是蘇聯心理學家,其理 論常與皮亞傑的認知發展論相提並論,不同的是,皮亞傑傾向於把認 知發展視為兒童本身自然的成長,不太重視社會與教育因素功能,而 維果茨基則是特別強調文化社會的影響,因此力倡教育具有促進兒童 認知發展的積極作用(張春興,民 85)。近側發展區(zone of proximal development)為維果茨基的理論中最受重視的一個理念。他認為兒 童能透過旁人的協助,從個體近側發展區中激發其潛在的功能,並提 昇其認知層次。

(38)

維果茨基的認知發展理論有三大要點(張春興,民 85):

一、 社 會 文 化 是 影 響 認 知 發 展 的 要 素 :

社會中的一切,諸如風俗習慣、宗教信仰、生活中的食衣住行、

前輩留下的歷史文化、社會制度、行為規範等,構成人類生活中的文 化世界。此一文化世界既影響成人的行為,也影響正在成長的兒童。

兒童的認知發展無異是在社會學習的歷程中進行的。

二、認 知 思 維 與 語 言 發 展 有 密 切 關 係 :

維果茨基強調兒童自我中心語言(egocentric speech)的重要 性,他將兒童的自我中心語言,視為調和其思維與行動,從而助益其 認知發展的重要因素。當兒童面對類似的困難情境時,他的自我中心 語言就會加倍的增多,這現象顯示兒童藉自我中心語言以幫助其思 維。因此維果茨基指出,自我中心語言有促進兒童心理發展的功能,

不僅可藉此紓解其情緒,更重要的是能助益其心智發展。

三 、 從 實 際 發 展 水 平 延 至 近 側 發 展 區 :

近側發展區是介於兒童自己實力所能達到的水平(如學業成 就),與經別人給予協助後所能達到的水平,兩種水平之間的一段差

(39)

距。而在此種情形之下別人所給予兒童的協助,即稱為鷹架作用

(scaffolding),意指協助對發展具有促進作用。因此,在了解兒童 的實際發展水平後,進而根據其可能的發展水平,找出其近側發展 區,就可經由成人協助,使兒童的認知能力臻於最充分發展的地步。

同時,近側發展區的概念也為合作情境下社會互動的支持轉化為個體 的心理活動提供可能的依據(劉錫麒,民 82)。

經由上述可以用來探討擬題的本質。維果茨基的理論暗示著個人 的後設認知事實上是從社會互動內化而來,因為擬題活動可以提供學 生數學概念的溝通機會,學生藉著與他人的互動與討論,可以加強社 會化的發展。而擬題的歷程必須以個人的數學知識與認知,加以思 考、組織來產生新的問題,所以和學生認知思考、組織與表達有密切 關係。此外,擬題具有學生主動建構數學知識的成份,在學生主動建 構數學知識的同時,若能透過他人的協助,從個體近側發展區中激發 其潛在的功能,可以提昇其認知層次。Winograd(1990)認為,在擬 題活動的過程中,藉由同儕討論擬題作品提供的鷹架作用可以提昇學 生的數學認知能力與解題能力,而學生若能自己擬題,為自己提供鷹 架作用,也可以達到近側發展區。

(40)

參 、 訊 息 處 理 論

訊息處理論是解釋人類在環境中,如何經由感官察覺、注意、辨 識、轉換、記憶等內在心理活動,以吸收並運用知識的過程(張春興,

民 85)。訊息處理論將人的心智運作比擬為電腦的處理模式,認為人 的知識結構可分為感官緩衝器(sensory buffer)、短期記憶(short term memory)及長期記憶(long term memory)三種,如圖 2-2:

圖 2- 2 訊息處理論取向之解題建構歷程(引自徐文鈺,民 85;Silver,1987)

在解題時,問題作業情境藉視覺、聽覺或觸覺等通過感官緩衝 器,之後可能有部分訊息流失,而其他訊息則順利進入短期記憶中,

長期記憶 問題

作業

情境

感官緩衝器 刺激 -視覺 -聽覺 -觸覺

短期記憶

後設認知 -計畫 -監控 -評估 -心智表徵

*數學知識

*後設認知知

- 自 我 及 數 學的信念

*真實世界知

選擇 整合

輸出

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外來訊息與長期記憶知識之互動主要在此進行,例如計畫、監控、評 估等後設認知活動以及解題時的心理表徵(mental representation)

活動都在此運作。短期記憶的內容是有限的,訊息可停留的時間也較 短,因此如能運用後設認知策略克服此一限制,便較容易解題成功。

長期記憶中則儲存了許多有關事實、算則、捷思法、問題類型等的數 學知識與有關自我及數學方面的信念,以及真實世界、問題情境之相 關知識等。長期記憶的容量是無限的,當問題情境在短期記憶中運作 時,如有需要,可從長期記憶中提取相關資訊,當問題於短期記憶中 解決完畢後,除了輸出為文字、影像或聲音等之外,也可以將有關事 實、算則、問題類型等的數學知識與先前有關的數學概念及數學信 念,以及真實世界、問題情境之相關知識等新舊知識,整合送入長期 記憶中儲存(Silver, 1987)。

經由認知分析方式,訊息處理論學者通常將解題歷程分為問題表 徵與問題解決兩大部分(Riley, Greeno, & Heller, 1983; Gagne, 1985; Kintsch & Greeno, 1985; Mayer, 1987),其中問題表徵為解 題的關鍵,而問題表徵是否成功,則與解題者的基模知識(也就是數 學題型或數學結構知識)息息相關。而數學基模知識也就是屬於數學 題型或數學結構的知識,其主要功能為:

1. 幫助訊息的編碼(encoding),將新訊息納入適當的基模中。

(42)

2. 有助訊息的檢索(retrieval),高出現頻率的題型回憶佳即 為一例(Mayer, 1982)。

3. 幫助推論不完整的訊息(Hinsley, Hayes, & Simon, 1977)。

4. 去除無關訊息或改正錯誤訊息,例如 Mayer(1982)研究發現 學生對代數題中重要訊息的回憶比無關細節的回憶佳。

以上的基模知識,同時也在擬題歷程中具有同等重要的角色。當 擬題者進行擬題時,必須提取其舊有的數學基模知識與新經驗結合,

之後輸出文字而擬出問題,而個人的數學知識儲存於訊息處理論之長 期記憶中,因此從訊息處理論可以了解擬題的歷程。Krutetskii

(1976)請學生依未完成的數學情境說出自然浮現的數學問題;Mayer

(1982)曾以學生擬數學題的結果作為判斷其基模知識的指標,因此 由訊息處理論的觀點來看,擬題過程須賴基模知識發揮其功能。此 外,在擬題活動中,我們強調的,就是能夠讓學生用數學題目去詮釋 他所接受到的數學知識,並且儲存在長期記憶中,讓學習意義化,減 少遺忘的機會。

綜合上述建構主義、維果茨基的認知發展論,以及訊息處理論的 主張,我們可以發現在擬題教學的活動中,擬題可以提供學生主動建 構數學知識的機會,讓學生養成主動從自己的經驗中,建構與理解數

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學概念的習慣,並能運用數學的知識與方法解決問題。又因為擬題教 學活動可以提供學生數學概念的溝通機會,學生藉著與他人的互動與 討論,可以加強社會化的發展。此外,擬題的歷程必須以個人的認知 與數學知識去思考、組織來產生新的問題,所以擬題與學生的認知思 考、組織與表達有密切關係。再者,擬題具有學生主動建構數學知識 的成份,在學生主動建構數學知識的同時,若能透過他人的協助,從 個體近側發展區中激發其潛在的功能,可以提昇其認知層次。最後,

由於擬題者在進行擬題時,必須於個人的長期記憶中提取其舊有的數 學基模知識與新經驗結合,擬出數學問題來,因此,透過擬題教學活 動,學生可以有能力來處理與詮釋他所接受的訊息,使其意義化並加 深印象,讓知識停留在長期記憶中而不至於遺忘。

第三節 擬題教學的相關研究

擬題在教學中的角色近年來日受重視,無論在國內或國外均有許 多關於擬題的研究報告,以下就針對國內外研究報告作簡述說明:

一 、 國 外 的 研 究

美國數學教師協會(NCTM,1989)在學校數學課程與評量標準中

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提出應該讓學生在數學課中經驗、察覺和形成他們的問題(即擬題), 並以此作為數學教育的重心,透過這樣的擬題活動來增加學生的解題 樂趣。

Keil(1965)以 800 多名六年級學生為對象,請科任教師擔任教 學,以每週一節課,共 16 週的時間,提供和數學課本相類似的情境,

讓學生從事擬題活動。研究結果發現,經歷過自行擬題及解自己所擬 題目的實驗組學生,在數學解題能力的表現上比只解課本題目的控制 組學生好,擬題教學對解題能力有正面效果。

Stover(1982)教導六年級學生將已知的故事題以圖形或增加其 它訊息、編排訊息來改寫。在此研究中,寫作變成數學課程的一部份,

最後發現學生經過這樣的訓練,在解題上有明顯的進步。

Brown & Walter(1983)在高等教育中研究擬題,他們曾著書(The art of problem posing)說明如何在教學中加入擬題活動,使學生 更主動思考與學習。他們提出「如不是,則如何」(What-if-not)的 擬題策略,鼓勵學生在獲得答案後,第一步先接受答案,第二步再挑 戰各種假設,想想情況不是這樣的話,那麼答案又是如何,如此便形 成一個新的問題。這種策略即屬於 Silver(1993)所述之解題後的 擬題。

近來在日本提倡「開放取向教學」(open approach teaching)

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的幾位學者,也主張擬題能幫助學生更完整地分析問題,有助其問題 解決能力(Nohda, 1984; Hashimoto, 1987)。坪田耕三(1987)是 一位國小教師,其對國小一、二、三、四、五、六年級的學生進行開 放性問題教學。他以學生剛解過的問題為基礎,鼓勵學生從原有問題 中再擬出問題來,如此學生不會認為找出一個答案後,問題就結束 了,而能藉由教師指導的方式更改題目條件或數值,主動地發現問題 和分析問題。在擬題過程中,學生必須先對原有問題的結構或抽象組 形有所了解,才能將之遷移到新的情境中,擬出新的問題來。

澳大利亞教育學會(Australian Education Council)認為鼓勵 學生擬題是非常重要的,他們應該學習如何擬題,並且試著去解出自 己所擬的題目(Stovanova & Ellerton, 1996)。澳大利亞的一位教 師(Skinner, 1990),將其任教幼稚園至二年級的教學經驗寫成一本 書(What’s your problem),藉以分享她擬題教學的樂趣。她強調上 課用的問題必須是自己擬出來的,而且擬出的題目要動腦筋才能解 題,否則太容易的題目就達不到擬題教學的效果了。在課堂中,她會 技巧性地引導學生擬出問題來,並讓小朋友有修改題目的機會。小朋 友在解答別人的擬題後有時會反問擬題者,而擬題者從他人的疑問中 發現漏洞或不當之處再加以修改,對澄清自己的觀念很有幫助。由此 可見在教學過程中,擬題與解題活動的互動情形,同時也證明,幼稚

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園與低年級學生也可以學會自行擬題。

Winograd(1990)研究五年級的學生在小組中分享擬題和解題活 動。透過這樣的方式了解學生擬題的表現和困難、小組共同解題的行 為,以及擬題課程中學生的數學信念。其中觀察 8 位學生的擬題行 為、觀察 17 位學生的合作擬題學習、訪談 25 位學生的數學信念。研 究結果發現,學生在擬題過程中表現出多樣化的型態,學生在小組合 作學習中多以任務導向完成擬題的學習活動,並在擬題過程中表現出 數學信念,研究結果並且建議學生擬題的題目可以成為教師佈題和教 材的來源。

Borba(1994)研究 200 位八年級的學生,在九星期的課程中,

每一小組必須選定一個主題,並且擬出一個題目,小組成員通力合作 來解決他們所擬出來的題目。研究者透過觀察、訪談,以及學生的數 學日記來分析結果。研究結果發現,許多學生覺得透過擬題活動,讓 他們感受到對於學習的自主權,可以選擇自己有興趣的題材,而電腦 在解題過程中提供相當大的幫助。研究者並且發現,在小組擬題的過 程中,教師必須適時給予指導,才能讓學生分工合作完成任務。

Schloemer(1994)將擬題教學策略”what-if-not”以認知師徒制 的方式來教導大學生學習高等代數。他將學生分為控制組與實驗組,

結果控制組與實驗組在數學成就中並無顯著差異;在擬題能力方面,

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實驗組比控制組佳;在數學態度的表現上,前後測實驗組與控制組兩 者均下降。根據研究者的結論,實驗組已習慣原來 UCSMP 教材的學 生,用擬題的教學方式在數學態度上會產生負面的影響。

Silver、Mamona-downs、Leung 和 Kenney(1996)研究 53 位中 學老師和 28 位職前教師,以個別擬題或是合作擬題的方式,研究其 IP(Initial Posing)、PS(Problem Posing)、AP(Additional Posing)

階段。研究結果發現受試者具有數學擬題的能力,受試者在解題前擬 的題目比在解題後擬的題目多,而這個擬題的能力可以影響將來教學 時教師的佈題。Leung 和 Silver(1997)嘗試建立擬題作品系統化分 類的工具,以 TAPP(Test Arithmetic Problem Posing)來測驗 63 位職前教師,研究結果發現許多受試者都可以擬出「可行的」題目。

English(1997)以五年級和七年級的學生為對象建立發展實驗 的數學擬題課程專案,特別研究不同能力組在課程中對於擬題的表 現。其研究結果有以下兩點:一為擬題能力強的學生,他們平常的數 字計算能力並不強,但是強在特殊題目的解題。二為學生擬出的題目 具有複雜性,可見學生具有豐富的創造思考能力。English 認為鼓勵 學生擬題是十分重要的,他認為學生應該學習擬題並嘗試去解自己所 擬的題目,如此可提昇學童的解題能力和興趣。此外,English(1998)

亦研究 54 位三年級學生的擬題能力。研究中發現學生在數概念以及

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解題能力方面,表現出不同的類型;在許多非例行性的情境中,可以 擬出多樣化的題目,但在加法和除法的類型中,學生所擬出來的題型 傾向一致,這可能是受到教材裡例行性題目的影響,造成學生思考模 式固化。

Cai(1998)進行了跨文化的比較,以 181 位六年級的美國學生 和 223 位六年級的中國學生為對象,探究其擬題和解題的認知分析。

研究結果發現,雖然中國學生在計算方面優於美國學生,但是擬題方 面卻有許多相似處。而先前研究中關於美國學生在擬題與解題之間的 關係,同樣的可以用在中國學生的身上。

二 、 國 內 的 研 究

梁淑坤(民 84)以 65 位職前教師和 127 位在職教師為對象,研 究他們的擬題行為以及三種擬題實驗形式(包含數值、文字敘述、包 含符號)對擬題之影響。研究結果發現,職前教師與在職教師在擬題 的數量上並無差異。在三種形式中,有數值的形式較其他兩種為教師 們所接納。在文字敘述方面,教師們則自行提供資料或擬出資料不足 甚至不可行的題目。在包含符號的形式,教師們依然傾向寫出非題 目、非數學或不可行的題目。

徐文鈺(民 85)以 104 名國小五年級學生為對象,將學生分為

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合作擬題組、個別擬題組及控制組三組,三組學生各接受為期 60 週,

每週兩次,每次約 40 分鐘之分數課程教學。研究結果發現,合作擬 題組在複雜的「部份/整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力、

分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性效果均優於其他兩組,但在 分數概念的增進效果上三者並無顯著差異;而合作擬題組擬題能力的 變通性效果優於控制組,與個別擬題組並沒有差異。

孫秀芳(民 86)研究國小二年級學生的加法擬題能力,以及學 生對擬題的認知程度。研究結果發現大多數的學生都具有擬題能力,

學生所擬出來的題目多是熟悉的情境,並且確定擬題與解題的活動是 相連的。

劉芳妃(民 87)以國中一年級數學課堂中的擬題作業表現與活 動來探討學生學習合作擬題時的情意層面以及擬題能力。其研究中指 出,小組合作擬題活動可提供學生數學概念的溝通機會,加強社會化 發展。在擬題的活動中,透過觀摩別人的擬題後提出自己的看法,從 中可以培養學生的批判能力。

林德宗(民 88)在國小五年級數學教室中,探討擬題活動的應 用。研究結果發現,學生透過擬題活動,可以增進其對數學概念的理 解,並且協助學生將知識連結到日常生活的經驗中。學生透過討論的 過程能修正題目,學習接納同學的意見。

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楊惠如(民 89)則以行動研究探討擬題活動在數學教室中教學 的情況、困難和解決的方法。研究結果發現,此研究教學經由「初試 啼聲」階段的摸索,到「漸入佳境」階段的轉型,最後進入「步入軌 道」階段,一共歷經三個階段。雖然這三個階段的教學中,老師遭遇 到許多教學上的困難,其中包括教學準備、學生擬題、全班討論、共 同評鑑等方面,但是透過研究者不斷的反省與思考,尋求解決的方 法,以實際的行動解決了教學上的困難。

周幸儀(民 91)透過合作擬題教學活動來探討國小二年級學生 的擬題學習歷程以及擬題教學對學生數學概念、擬題能力、解題能力 的增進效果。研究結果發現,透過擬題教學活動的實施,學生在數學 概念、擬題能力及解題能力的表現上,均有明顯的進步。

由以上相關的研究結果可看出,不管是國外或國內,擬題教學已 經愈來愈受重視,因此教師可利用先前提及的擬題類型,設計擬題教 材融入自己的教學活動中,並以學生擬題的題目作為教師佈題和教材 的來源。

第四節 擬題教學與評量

教學與評量是相輔相成的,透過評量,可以診斷學生學習的困

參考文獻

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