A2 一元二次方程式的根與係數的關係
在4-1 節的想想看中，我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程 式的係數之間的關係。現在，我們來對這些關係做說明。
設、 為方程式ax2bx c 的兩個根，因此0 ax2bx c 可化0 成 (a x)(x) 0 。我們知道
ax2bx c a x ( )(x)
( 2 b c) ( )( )
a x x a x x
a a
2 b c ( )( )
x x x x
a a
2 b c
x x
a a
x2 ( )x
經由比較係數，得到兩根的和+ b
及兩根的積a c
。因此，一a 元二次方程式的根與係數間有以下的關係：
若ax2 bx c 0的兩根為、，則+ b
及a c
。a 事實上，由公式解也可以得到：
2 4 2 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 2
b a
b
a 和
2 4 2 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 2 2
2
( ) ( 4 ) 4
b b ac
a
125
2
4 4
ac c
a a
【範例1】設、 為x2 3x 8 0的兩根，求下列各式的值：
(1) 22 (2) 1 1
(3)
【解】 ∵、 為x23x 8 0的兩根
∴ 3
1 3
、 8 1 8
(1) 2 2 2 2 22
( )2 2
( 3)2 2( 8)
25
(2) 1 1
3 3 8 8
(3) ( )2= 2 2 2
= ( )2 4
= ( 3) 2 = 414( 8)
所以 41。
若知道某一元二次方程式的兩根，我們能不能反推而求得這個一元二 次方程式呢？
設 、為所求方程式ax2 bx c 的兩根。0 等號兩邊同除以a，得 2 b c 0
x x
a a
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由根與係數的關係得知： b
a、 c
a 因此，方程式可以改寫成x2( )x 。0
【範例2】設 、為x210x50 0 的兩根。求以1
、 1
為兩根的方程式。
【解】 以1
及 1
為兩根的方程式可寫為：
2 1 1 1
( ) 0
x x
(1)
∵ 、為x210x50 0 的兩根
∴ 、10 50
1 1 10 1
50 5
(2)
1 1 1 1 1 50 50
(3) 將(2)、(3)的結果代入(1)中得到
2 1 1
5 50 0
x x 。
因此，該方程式可表為 2 1 1 5 50 0
x x 。
【類題練習】1. 設 、 為x24x 9 0的兩根，求下列各式的值：
(1) (2) (3) 22 (4)
2. 設 、為x2 4x 2= 0 的兩根，求以2、2為兩根的方 程式。
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【範例3】 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式。甲因為看錯一次項係數，
而解得兩根為2 與 7；乙因為看錯常數項，而解得兩根為 1 與
；除此以外無其它錯誤。試求正確的兩根為何？10
【解】 我們可設此一元二次方程式為x2bx c 。0 以2 與 7 為兩根的一元二次方程式為
x2 (2 7)x 2×7 =0 x2 9x 14 0。
因為甲看錯一次項係數，所以常數項c 14 是正確的。
以1 與 10 為兩根的一元二次方程式為
x2 ( 10 1)x ( 10)×1 0 x2 9x 10 0。
因為乙看錯常數項，所以一次項係數b 9 是正確的。
綜合以上的討論得知，原方程式可表為x2 9x 14 0，也就是 (x2)(x7) 0 ，所以正確的兩根為 2 或 7。
【家庭作業】
1. 設、為x22x 7 0的兩根，求下列各式的值：
2 2
( 1)( 1) 2 2
2. 甲、乙兩生同解一元二次方程式。甲看錯常數項而得到兩根 1 和 3，
而乙看錯一次項係數得到兩根4 和 3，求正確的兩根。
3. 已知方程式的兩根為
4 2 15
，求此方程式。
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