考纲要求 考纲研读 1. 结合具体函数，了解
函数奇偶性的含义．
2 ．会运用函数图象理解 和研究函数的性质 .
1. 以函数的奇偶性与周期性为载体求函 数值、比较函数值的大小、解函数不等式 及求参数的取值范围是本节考查的重点．
2 ．研究函数性质时可以将抽象的函数具 体化、直观化 ( 利用图象 ).
第 3 讲 函数的奇偶性与周期性
1 ．函数的奇偶性的定义
(1) 对于函数
f
(x
) 的定义域内任意一个x
，都有 ____________[ 或 _____________] ，则称f
(x
) 为奇函数．奇函数的图象关于 ____ 对称．(2) 对于函数
f
(x
) 的定义域内任意一个x
，都有 ____________[ 或 ____________] ，则称f
(x
) 为偶函数．偶函数的图象关于 ___ 轴对称．(3) 通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函 数，其定义域关于原点对称 ( 也就是说，函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称 ) ．
原点
f
( －x
) ＝－f
(x
)f
( －x
) ＋f
(x
) ＝ 0f
( －x
) －f
(x
) ＝ 0y
f
( －x
) ＝f
(x
)2 ．函数的周期性的定义
对于函数
f
(x
) ，如果存在一个 __________T
，使得定义域内的 每一个x
值，都满足 _____________ ，那么函数f
(x
) 就叫做周期函 数，非零常数T
叫做这个函数的 ______ ．非零常数
f
(x
＋T
) ＝f
(x
)周期
D A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数
) C 2 ．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是 (
C
A ．
y
轴对称C ．坐标原点对称
B ．直线
y
＝－x
对称 D ．直线y
＝x
对称4 ． (2012 年广东广州一模 ) 若函数 f(x) ＝ ln(x2 ＋ ax ＋ 1) 是偶函数，则实数 a 的值为 ________ ． 0
5 ．设
f
(x
) 是 ( －∞，＋∞ ) 上的奇函数，f
(x
＋ 2) ＝－f
(x
) ，当 0≤x
≤1 时，f
(x
) ＝x
，则f
(7.5) ＝ _______.－ 0.5解析：由 f(x ＋ 2) ＝－ f(x) 得 f(x ＋ 4) ＝ f(x) ，故 f(x) 是 以 4 为周期的函数．故 f(7.5) ＝ f( － 0.5 ＋ 8) ＝ f( － 0.5) ．又 f(x) 是 ( －∞，＋∞ ) 上的奇函数，且当 0≤x≤1 时， f(x) ＝ x ， 所以 f(7.5) ＝ f( － 0.5) ＝－ f(0.5) ＝－ 0.5.
考点 1 判断函数的奇偶性 例 1 ：判断下列函数的奇偶性：
解： (1) 函数的定义域为
x
∈( －∞，＋∞ ) ，关于原点对称．∵
f
( －x
) ＝ | －x
＋ 1| － | －x
－ 1| ＝ |x
－ 1| － |x
＋ 1|＝－ (|
x
＋ 1| － |x
－ 1|) ＝－f
(x
) ，∴
f
(x
) ＝ |x
＋ 1| － |x
－ 1| 是奇函数．(2) 此函数的定义域为 {
x
|x
>0 } ． 由于定义域关于原点不对称，故
f
(x
) 既不是奇函数也不是偶函数．(3) 去掉绝对值符号，根据定义判断．
故
f
(x
) 的定义域为 [ － 1,0)∪(0,1] ，关于原点对称，且有x
＋ 2＞ 0.
故
f
(x
) 为奇函数．(4)∵ 函数
f
(x
) 的定义域是 ( －∞， 0)∪(0 ，＋∞ ) ． 当x
＞ 0 时，－x
＜ 0 ，∴
f
( －x
) ＝ ( －x
)[1 － ( －x
)] ＝－x
(1 ＋x
) ＝－f
(x
)(x
＞ 0) ．当
x
＜ 0 时，－x
＞ 0 ，∴f
( －x
) ＝－x
(1 －x
) ＝－f
(x
)(x
＜ 0) ． 故函数f
(x
) 为奇函数．(5) 此函数的定义域为 { － 1,1} ，且
f
(x
) ＝ 0.可知图象既关于原点对称、又关于
y
轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．
∴
f
(x
) 是奇函数．(1) 函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义 域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为
D
，则x
∈D
时都 有－x
∈D
) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函 数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．(2) 分段函数的奇偶性一般要分段证明．
(3) 用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域 ( 关于原点对
称 )→ 验证
f
( －x
) ＝ ±f
(x
)→ 下结论，还可以利用图象法或定义的等【互动探究】
域均为 R ，则 ( )B
A ．
f
(x
) 与g
(x
) 均为偶函数C ．
f
(x
) 与g
(x
) 均为奇函数B ．
f
(x
) 为偶函数，g
(x
) 为奇函数D ．
f
(x
) 为奇函数，g
(x
) 为偶函数1 ． (2010 年广东 ) 若函数 f(x) ＝ 3x ＋ 3 － x 与 g(x) ＝ 3x － 3 － x 的定义
D
考点 2 利用函数的奇偶性求函数解析式
【互动探究】
3 ． (2011 年广东广州综合测试 ) 已知函数
f
(x
) 是定义在 R 上的 偶函数，当x
≤0 时，f
(x
) ＝x
3 －x
2 ，则当x
>0 时，f
(x
) 的解析式为_______________.
f
(x
) ＝－x
3 －x
24 ． (2011 年安徽 ) 设
f
(x
) 是定义在 R 上的奇函数，当x
≤0 时，f
(x
) ＝ 2x
2 －x
，则f
(1) ＝ ( )AA ．－ 3 B ．－ 1 C ． 1 D ． 3
解析：
f
(1) ＝－f
( － 1) ＝－ [2×( － 1)2 － ( － 1)] ＝－ 3. 故选 A.考点 3 函数奇偶性与周期性的综合应用
A
值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数
5 2 [0,1] 上进行求值．
【互动探究】
5 ． (2011 年山东 ) 已知
f
(x
) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤
x
<2 时，f
(x
) ＝x
3 －x
，则函数y
＝f
(x
) 的图象在区间 [0,6] 上 与x
轴的交点的个数为 ( )BA ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9
解析：因为当 0≤
x
<2 时，f
(x
) ＝x
3 －x
，又因为f
(x
) 是 R 上最 小正周期为 2 的周期函数，且f
(0) ＝ 0 ，所以f
(6) ＝f
(4) ＝f
(2) ＝f
(0)＝ 0 ，又因为
f
(1) ＝ 0 ，所以f
(3) ＝ 0 ，f
(5) ＝ 0. 故函数y
＝f
(x
) 的图象 在区间 [0,6] 上与x
轴的交点的个数为 7 个，故选 B.D A ．
a
<b
<c
C ．
c
<b
<a
B ．
b
<a
<c
D ．c
<a
<b
易错、易混、易漏 5 ．判断函数奇偶性时没有考虑定义域
正解：①②的定义域相同，均为 ( － 2,2) ，且均有
f
( －x
) ＝－f
(x
) ， 所以都是奇函数；③的定义域为 ( －∞，－ 2)∪(2 ，＋∞ ) ，且有f
( －x
) ＝f
(x
) ，所以为偶函数；而④的定义域为 (2 ，＋∞ ) 不对称，因此为非奇非偶函数．
①② ③
【失误与防范】在判断一个函数的奇偶性时，必须注意其 定义域．一个函数具有奇偶性的前提是此函数的定义域关于原 点对称．
对于函数
f
(x
) 定义域中的任意x
，总存在一个常数T
(T
≠0) ， 使得f
(x
＋T
) ＝f
(x
) 恒成立，则T
是函数y
＝f
(x
) 的一个周期．(1) 若函数
y
＝f
(x
) 满足f
(x
＋a
) ＝f
(x
－a
)(a
≠0) ，则T
＝ 2a
是它 的一个周期．(2) 若函数
y
＝f
(x
) 满足f
(x
＋a
) ＝－f
(x
)(a
≠0) ，则T
＝ 2a
是它的 一个周期．(3) 若函数
y
＝f
(x
) 满足f
(x
＋a
) ＝－1f
x
(a
≠0) ，则T
＝ 2a
是它的 一个周期．(4) 若函数
y
＝f
(x
) 满足f
(x
＋a
) ＝1f
x
(a
≠0) ，则T
＝ 2a
是它的一 个周期．1 －
f
x
1 ＋
f
x
(a
≠0) ，则T
＝ 2a
是它 (5) 若函数y
＝f
(x
) 满足f
(x
＋a
) ＝的一个周期．
(6) 若函数
y
＝f
(x
)(x
∈R) 的图象关于直线x
＝a
与x
＝b
对称，则
T
＝ 2|b
－a
| 是它的一个周期．(7) 若函数
y
＝f
(x
)(x
∈R) 的图象关于点 (a,
0) 与x
＝b
对称，则T
＝ 4|
b
－a
| 是它的一个周期．对于函数
f
(x
) 的定义域内任意一个x
，都有f
( －x
) ＝－f
(x
)[ 或f
( －x
) ＝f
(x
)] ，则称f
(x
) 为奇 ( 偶 ) 函数．因此在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不 对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于 原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性．
