2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 重點一 多項式函數的圖形

2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 重點一 多項式函數的圖形

例題 1

設 y＝f（x）為四次函數，且 y＝f（x）的函數圖形如下，則：

(1) 方程式 f（x）＝0 的解為 。（3 分）

(2) 不等式 f（x）＞0 的解為 。（3 分）

(3) 不等式 f（x） 0 的解為 。（3 分）

(4) 不等式 f（x）＜0 的解為 。（3 分）

(5) 不等式 f（x） 0 的解為 。（3 分）

解 (1)x＝－3，－1，1，3 (2)－3＜x＜－1 或 1＜x＜3 (3)－3  x －1 或 1  x  3 (4)x＜－3 或－1＜x＜1 或 x＞3 (5)x －3 或－1  x  1 或 x  3

重點二 一次不等式 例題 2

試解下列各不等式，並在數線上圖示其解。

(1) 3 4

x－ － 6 2

x－  2x。（5 分） (2) 3

4x－2 1 6

x－ ＞3 7 2

x＋ －5

2。（5 分）

解 (1) 3 4

x－ － 6 2

x－  2x

兩邊同時乘以 4 得（x－3）－2（x－6） 8x

 x－3－2x＋12  8x  8x＋x  9  x  1

(2)3

4x－2 1 6

x－ ＞3 7 2

x＋ －5 2

兩邊同時乘以 12 得 9x－2（2x－1）＞6（3x＋7）－30

 9x－4x＋2＞18x＋42－30  18x－9x＋4x＜2－42＋30

 13x＜－10  x＜－10 13

例題 3

試解下列各一元二次不等式，並在數線上圖示其解。（D＞0）

(1) 6x²－5x－6＞0。（5 分） (2) x²＋5x－3  0。（5 分）

解 (1)6x²－5x－6＞0

（2x－3）（3x＋2）＞0

 x＞3

2或 x＜－2 3

(2)令 x²＋5x－3＝0

 x＝ 5 25 12 2



－ ＋

＝ 5 37 2



－

∴x²＋5x－3  0 之解為 5 37 2

－ －  x  5 37 2

－ ＋

例題 4

試解下列各一元二次不等式：（D＝0）

(1) x²＋6x＋9  0。（3 分） (2) x²－10x＋25＞0。（3 分）

(3) 4x²＋20x＋25  0。（3 分） (4) x²＋18x＋81＜0。（3 分）

解 (1)x²＋6x＋9  0 （x＋3）²  0  x 為所有實數 (2)x²－10x＋25＞0 （x－5）²＞0

 x 為所有實數，但 x≠5

(3)4x²＋20x＋25  0 （2x＋5）²  0  x＝－5 2 (4)x²＋18x＋81＜0 （x＋9）²＜0  x 無解

例題 5

試解下列各一元二次不等式：（D＜0）

(1) x²－2x＋4  0。（3 分） (2) －4x²＋3x－2＞0。（3 分）

解 (1)x²－2x＋4  0 （x－1）²＋3  0

 x 為所有實數

(2)－4x²＋3x－2＞0  4x²－3x＋2＜0

 4 3 2

x 8

 

 

 －  ＋23 16＜0

 x 無解

例題 6

設 a，b 為實數，若一元二次不等式 ax²＋bx＋3  0 之解為－1

3 x 3

2，則數對

（a﹐b）＝ 。（4 分）

解 －1

3 x 3

2  1 x 3

 

 

 ＋  3 x 2

 

 

 －  0

 x²－7 6x－1

2 0  6x²－7x－3  0

－6x²＋7x＋3  0 與 ax²＋bx＋3  0 有相同解

 a＝－6，b＝7，故數對（a﹐b）＝（－6﹐7）

例題 7

設二次函數 f（x）＝ax²＋3x＋a＞0 恆成立，則實數 a 之範圍為 。（4 分）

解 ∵ax²＋3x＋a＞0 恆成立 ∴a＞0………

且 D＝3²－4×a×a＜0  9－4a²＜0

 4a²＞9  a＞3

2或 a＜－3

2………

由、得 a＞3 2

重點四 高次不等式 例題 8

試解下列各不等式：

(1) （x－1）（x＋2）（x＋3）＞0。（4 分）

(2) x（x－2）²（x－3）（x²＋2x＋7）＜0。（4 分）

(3) （x＋1）¹⁰¹（x－2）¹⁰²（x－5）¹⁰³  0。（4 分）

解 (1)（x－1）（x＋2）（x＋3）＞0 其解為－3＜x＜－2 或 x＞1

(2)∵x²＋2x＋7＝（x＋1）²＋6＞0 恆成立

∴x（x－2）²（x－3）（x²＋2x＋7）＜0 之解與 x（x－2）²（x－3）＜0 之解相同

故其解為 0＜x＜2 或 2＜x＜3

(3)（x＋1）¹⁰¹（x－2）¹⁰²（x－5）¹⁰³  0 之解與

（x＋1）（x－2）²（x－5） 0 之解相同 故其解為 x －1 或 x＝2 或 x  5

不等式（10－2x）（8－2x）x  48 之解為 。（4 分）

解 （10－2x）（8－2x）x  48

（5－x）（4－x）x  12

（x2－9x＋20）x  12

 x3－9x2＋20x－12  0

（x－1）（x2－8x＋12） 0

（x－1）（x－2）（x－6） 0

 1  x  2 或 x  6

例題 10

不等式（x²－2x－2）（2x＋7）（x－8） 0 有 個整數解。（4 分）

解 ∵（x²－2x－2）（2x＋7）（x－8）＝0 之解為 x＝1＋ 3 ，1－ 3 ，－7

2，8

∴（x²－2x－2）（2x＋7）（x－8） 0 之解為

－7

2 x  1－ 3 或 1＋ 3  x  8

 整數解為－3，－2，－1，3，4，5，6，7，8 故共有 9 個整數解

重點五 簡易分式不等式 例題 11

(1) 分式不等式 3 2

1 1

x x

x x

（ ＋ ）（ － ）

（ ＋）（ －）＜0 之解為 。（6 分）

(2) 分式不等式

2 3 2

4 x x

x

－ ＋

－  0 之解為 。（6 分）

解 (1) 3 2

1 1

x x

x x

（ ＋ ）（ － ）

（ ＋）（ －）＜0

（x＋3）（x－2）（x＋1）（x－1）＜0

 －3＜x＜－1 或 1＜x＜2

(2)

2 3 2

4 x x

x

－ ＋

－  0 （x²－3x＋2）（x－4） 0 且 x≠4

（x－1）（x－2）（x－4） 0 且 x≠4

∴1  x  2 或 x＞4

例題 12

分式不等式 2 6 x x

－

－ ＞ 4 2 5

x x

＋

＋ 之解為 。（7 分）

解 2 6 x x

－

－ ＞ 4 2 5

x x

＋

＋

 2 6 x x

－

－ － 4 2 5

x x

＋

＋ ＞0

 2 2 5 4 6

6 2 5

x x x x

x x

（ － ）（ ＋ ）－（ ＋ ）（ － ）

（ － ）（ ＋ ） ＞0



2 2

2 10 2 24 6 2 5

x x x x

x x

＋ － － ＋ ＋

（ － ）（ ＋ ） ＞0



2 3 14

6 2 5

x x

x x

＋ ＋

（ － ）（ ＋ ）＞0

（x²＋3x＋14）（x－6）（2x＋5）＞0 又 x²＋3x＋14＞0 恆成立

∴（x－6）（2x＋5）＞0

 x＞6 或 x＜－5 2