3-4 對數函數 重點一 對數函數的圖形與性質

3-4 對數函數

重點一 對數函數的圖形與性質 例題 1

利用描點法描繪函數 y＝log3x 的圖形。（4 分）

解

x 1 9

1

3 1 3 9

由

y＝log₃x －2 －1 0 1 2 將這些點用勻滑曲線連接起來，

就可以得到函數 y＝log3x 的圖形 例題 2

利用描點法描繪函數 y＝ ₁

3

log x 的圖形。（4 分）

解

x 1 9

1

3 1 3 9

由

y＝ ₁

3

log x

2 1 0 －1 －2 得 y＝ ₁

3

log x 的圖形如上 例題 3

試利用 y＝log2x 的圖形，描繪下列各圖形：

(1) y＝log2（－x）。（5 分） (2) y＝－log2x。（5 分）

(3) y＝log2∣x∣。（5 分） (4) y＝∣log2x∣。（5 分）

(5) y＝log₂（x＋3）。（5 分） (6) y＝log₂（2x）。（5 分）

解 (1)

y＝log2（－x）與 y＝log₂x 之圖形對稱於 y 軸

(2)

y＝－log2x 與 y＝log2x 之圖形對稱於 x 軸

(3)

y＝log2∣x∣

^{0 log}

0 log2

x y x

x y x

 



當 ＞ 時， ＝

當 ＜ 時， ＝ （－ ）

y＝∣log2x∣



2 2 2

2

log 0 1

log

log 0 1

log

x x

y x

x x x

y x

 

 

 

 

當 ，亦即 時

＝

當 ＜，亦即 ＜ ＜ 時

＝－





將 y＝log2x 之圖形向左平移3 單位，

可得 y＝log2（x＋3）

(6)

將 y＝log2x 之圖形向上平移1 單位，

可得 y＝log2（2x）

例題 4

試利用圖形說明方程式－x＋3＝ ₁

2

log x 有多少個實根？（4 分）

解 欲求－x＋3＝ ₁

2

log x 之實根數，即求

1 2

3 log y x

y x





＝－ ＋

＝ 之交點數，由圖形知有 2 個交點 故方程式－x＋3＝ ₁

2

log x 有 2 個實根

例題 5

設 y＝loga（x＋2）之圖形如右且通過（1﹐2），（b﹐0），（7﹐c），

則 a＝ ，b＝ ，c＝ 。（每格 2 分，共 6 分）

解 ∵過點（1﹐2） ∴2＝loga3  a²＝3  a＝ 3

∵過點（b﹐0）

∴

log

∵過點（7﹐c） ∴

log

例題 6

試解下列各方程式：

(1) 1＋log4（x－1）＝log2（x－9）。（5 分）

(2) 2 log₃x－6 log_x3－1＝0。（5 分）

解 (1)∵真數＞0 ∴ 1 0 9 0 x x





－ ＞

－ ＞  x＞9 ………

又 1＋log4（x－1）＝log2（x－9） log44＋log4（x－1）＝log4（x－9）²

 log₄〔4（x－1）〕＝log₄（x－9）²  4（x－1）＝（x－9）²  x²－22x＋85＝0

（x－5）（x－17）＝0 ∴x＝5 或 17………

由、知 x＝17

(2)2 log3x－6 logx3－1＝0  2 log3x－6×

3

1

log x－1＝0

 2（log3x）²－（log₃x）－6＝0

（log₃x－2）（2 log₃x＋3）＝0  log₃x＝2 或 log₃x＝－3 2

 x＝3²＝9 或 x＝

3

3^－2＝ 1

3 3 ＝ 3 9 故 x＝9 或 x＝ 3

9 例題 7

試解下列各方程式：

(1) 2^－x＋3＝7。（4 分）

(2) 3^2x＋1－16×3^x＋5＝0。（4 分）

解 (1)2^－x＋3＝7  log22^－x＋3＝log27

－x＋3＝log27  x＝3－log27 (2)3^2x＋1－16×3^x＋5＝0

 3×（3^x）²－16×（3^x）＋5＝0

（3×3^x－1）（3^x－5）＝0

 3^x＝1

3或 3^x＝5

 x＝－1 或 x＝log₃5 例題 8

(1) 設 a＝ ₁

3

log 1

4，b＝log3 1

12，c＝ ₁

9

log 1

36，d＝log9 1

16，則 a，b，c，d 之大小順序為 。

（4 分）

(2) 設 a＝ ₁

2

log 3，b＝ ₁

2

log 1

3，c＝ ₁

3

log 2，d＝ ₁

3

log 1

2，則 a，b，c，d 之大小順序為 。

（4 分）

解 (1)a＝ ₁

3

log 1

4＝log3－14^－1＝ 1 1

－

－ log₃4＝log₃4 b＝log₃ 1

12 c＝ ₁

9

log 1

36＝log3－26^－2＝ 2 2

－

－ log36＝log36 d＝log9 1

16＝ 2

2 3

log 1 4

  

  ＝2 2log31

4＝log31 4

∵log₃6＞log₃4＞log₃1 4

＞log₃ 1 12

∴c＞a＞d＞b (2)a＝ ₁

2

log 3＝－log23＜－log22＝－1 b＝ ₁

2

log 1

3＝ 1 1

－

－ log23＝log23＞log22＝1 c＝ ₁

3

log 2＝－log₃2＞－log₃3＝－1 d＝ ₁

3

log 1

2＝ 1 1

－

－ log₃2＝log₃2＜log₃3＝1 由以上可知 b＞1＞d＞0＞c＞－1＞a

 b＞d＞c＞a 例題 9

試求下列各不等式之解：

(1) log2（ ₁

3

log x）＜1。（5 分） (2) log3（x²＋x－2）＜1。（5 分）

解 (1)log₂（ ₁

3

log x）＜1  0＜ ₁

3

log x＜2

 1 2

3

  

  ＜x＜

1 0

3

  

  1

9＜x＜1

(2)∵真數 x²＋x－2＞0 （x＋2）（x－1）＞0

 x＞1 或 x＜－2………

又 log₃（x²＋x－2）＜1

 x²＋x－2＜3  x²＋x－5＜0

 1 21 2

－ － ＜x＜ 1 21 2

－ ＋ ………

由、知 1 21 2

－ － ＜x＜－2 或 1＜x＜ 1 21 2

－ ＋

例題 10

試求不等式 log2（x＋1） 1＋log4（x＋2）之解。（5 分）

解 ∵真數 1 0 2 0 x x





＋＞

＋ ＞  1 2 x x





＞－

＞－  x＞－1………

又 log₂（x＋1） 1＋log4（x＋2）

 log4（x＋1）²  log44＋log4（x＋2）

 log₄（x＋1）²  log₄（4（x＋2））

（x＋1）²  4x＋8  x²－2x－7  0

 1－2

2

2

由、得－1＜x  1＋2

2

例題 11

函數 f（x）＝log₃（ ₁

2

log x），這函數的定義域是使 f（x）有意義的實數 x，則 x 的範圍為 。

（5 分）

解 ∵log₃（ ₁

2

log x）有意義

∴真數 ₁

2

log x 必為正數 即 ₁

2

log x＞0  x＜1………

又真數 x 為正  x＞0 …………

由 、 知 0＜x＜1 例題 12

現有細菌數 100 個，每隔 1 個小時細菌就會分裂而使數量加倍，約需 小時才會使細 菌數超過一百萬個？（利用 log₁₀2＝0.3010 且答案取整數）（6 分）

解 設 n 小時後超過一百萬個

則 100．2ⁿ＞10⁶  2ⁿ＞10⁴，兩邊取常用對數得 log2ⁿ＞log10⁴  n log2＞4

 n＞ 4

0 3010.  13.……，故約需 14 小時才會使細菌數超過一百萬個