金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書
科 別：數學科 組 別：國中組
作品名稱：探討三角形各邊內接平行四邊形其性質與推廣 關 鍵 詞：三角形、平行四邊形、凡·奧貝爾定理。
編 號：
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探討三角形各邊內接平行四邊形其性質與推廣
摘要
本研究的目的是探究三角形、四邊形各邊「內接」指定條件下的平行四邊形之幾何性質，
將所發現的性質與三角形、四邊形各邊「外接」同樣條件的平行四邊形之性質作比較。研究 結果發現兩者的幾何性質大部分是相同的，我們也整理了兩者不同之處。
壹、研究動機
延續去年的作品，我們定義多邊形一邊外接平行四邊形，隨之發現當三角形、四邊形各 邊外接某些指定條件的平行四邊形時，會有一些美妙的幾何關係，如左下圖三角形各邊外接 相似平行四邊形時，¯ AK 與¯ JL 的長度成固定比例，且其夾角度數與平行四邊形一內角度數相 等或互補；今年，我們還想進一步研究，當三角形或四邊形各邊內接某些指定條件的平行四 邊形時（如右下圖），是否也有類似的性質？
三角形各邊外接相似平行四邊形 三角形各邊內接相似平行四邊形
貳、研究目的
基於研究動機，本研究的主要目的在於：
一、探究三角形兩邊內接平行四邊形的幾何性質。
二、探究三角形三邊內接平行四邊形的幾何性質。
三、探究四邊形四邊內接平行四邊形的幾何性質。
參、研究設備與器材
研究設備包括：紙、筆、筆電、Geogebra 5.0。在研究內容中，我們先從多邊形的一邊內 接平行四邊形之定義出發，再利用國中階段的幾何證明知識，以及相關的三角函數的定理與 公式，進行推理論證。
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肆、研究過程與內容
根據研究目的，我們先從多邊形一邊內接平行四邊形的定義出發：
一、多邊形一邊內接平行四邊形的定義
【定義一】（多邊形的一邊內接平行四邊形之定義與符號）
如圖，已知¯ AB 是某多邊形的一邊，平行四邊形 ABA’B’與此多邊形有共用邊¯ AB ，且 ¯ A'A 與 ¯ BB' 交於 P 點，若∠BAB’＝θ， AB' ¯
AB ¯ ＝r，∠PBA＝α，∠BAP＝β，則稱四邊形 ABA’B’為 此多邊形以¯ AB 邊內接的（r,θ）平行四邊形，或稱此多邊形以¯ AB 邊內接的<α,β>平行四邊 形，其中0°＜α＜90°，0°＜β＜90°。
（一）根據上述定義，我們可以發現：
1. 當α＝β時，亦即θ＝90°，則四邊形 ABA’B’為一矩形，此時我們稱四邊形 ABA’B’
為此多邊形以¯ AB 邊內接的<α,α>矩形，或稱為以¯ AB 邊內接的（r, 90°）矩形。
2. 當α＋β＝90°時，亦即 r＝1，則四邊形 ABA’B’為一菱形，此時我們稱四邊形 ABA’B’
為此多邊形以¯ AB 邊內接的<α,β>菱形，或稱為以¯ AB 邊內接的（1,θ）菱形。
3. 當α＝β＝45°時，則四邊形 ABA’B’為一正方形，此時我們稱四邊形 ABA’B’為此 多邊形以¯ AB 邊內接的<45°, 45°>正方形，或稱為以¯ AB 邊內接的（1, 90°）正方形。
（二）我們把上面的 1.、2.寫成性質一、二：
【性質一】（以¯ AB 邊內接的（r, 90°）矩形性質）
已知四邊形ABCD 為某多邊形以¯ AB 邊內接的（r, 90°）矩形，若¯ CA 與 ¯ BD 交於 P 點，
∠PAB＝α，∠ABP＝β，則：(1) α＝β；(2) r＝tanα。
【性質二】（以¯ BA 邊內接的（1,θ）菱形性質）
已知四邊形ABCD 為某多邊形以¯ AB 邊內接的（1,θ）菱形，若¯ CA 與 ¯ BD 交於 P 點，
∠PAB＝α，∠ABP＝β，則：(1) α＋β＝90°；(2) θ＝2β。
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二、三角形兩邊內接平行四邊形幾何性質的探究
（一）三角形兩邊內接平行四邊形 1. 內接相似平行四邊形
【性質三】（三角形兩邊內接相似平行四邊形性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形。若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，則：
(1) ¯ BG ： ¯ DC ＝r：1；(2)∠DHG＝θ。
證明：
(1) ∵四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的
（1
r, 180°－θ）平行四邊形，
∴∠BAD＝180°－θ，且¯ AB ： ¯ AD ＝r：1；
∵四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的
（r,θ）平行四邊形，
∴∠ACF＝θ，且¯ FC ：¯ AC ＝r：1；
⇒∠GAC＝180°－θ， ¯ AG ：¯ AC ＝r：1。
在△ABG 和△ADC 中，∵∠GAB＝∠GAC－∠BAC＝∠BAD－∠BAC＝∠CAD，
又¯ AB ： ¯ AD ＝r：1＝ ¯ AG ：¯ AC ，∴△ABG〜△ADC（SAS 相似性質）
⇒ ¯ BG ： ¯ DC ＝r：1，且∠AGB＝∠ACD。
(2) 若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，且←→
AC 與←→
BG 交於 V 點，在△CHV 和△GAV 中，
∵∠HCV＝∠ACD＝∠AGB，
∴∠VHC＝∠GAV＝180°－θ⇒∠DHG＝180°－∠VHC＝θ。
2. 內接相似矩形
當θ＝90°，∠GHD＝180°－90°＝90°，則 ¯ DC ⊥ ¯ BG ，我們寫成性質四和性質五：
【性質四】（三角形兩邊內接相似矩形性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r, 90°）矩形，四 邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1
r, 90°）矩形。若←→
DC 與←→
BG 交於H 點，則：(1) ¯ BG ： ¯ DC ＝r：1； (2) ←→
DC ⊥←→
BG 。
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【性質五】（三角形兩邊內接相似矩形性質）
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<α,α>矩形，四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<β,β>矩形。若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，且α＋β＝90°，則：
(1) ¯ BG ： ¯ DC ＝tanα：1； (2) ←→
DC ⊥←→
BG ；(3) ∠GHA＝α，∠AHD＝β。
證明：
(1) ∵四邊形 CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<α,α>矩形，∴ ¯ AG ：¯ AC ＝tanα：1；
∵四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<β,β>矩形，∴¯ BE ：¯ AB ＝tanβ：1。
在△ABG 和△ADC 中，
∵∠GAB＝∠GAC－∠BAC＝∠BAD－∠BAC＝∠CAD，
又¯ AB ： ¯ AD ＝1：tanβ＝1：tan(90°－α)＝1：cotα＝tanα：1＝¯ AG ：¯ AC ，
∴△ABG〜△ADC（SAS 相似性質）⇒ ¯ BG ： ¯ DC ＝tanα：1。
(2) 仿性質三之(2)，也可證得∠DHG＝90°⇒←→
DC ⊥←→
BG 。 (3) ∵←→
DC ⊥←→
BG ，且∠CAG＝90°，∴A、G、H、C 四點共圓⇒∠GHA＝∠GCA＝α；
同理可得A、D、H、B 四點共圓⇒∠AHD＝∠ABD＝β，故得證。
3. 內接全等矩形
【性質六】（三角形兩邊內接全等矩形性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<α,α>矩 形，四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<β,β>矩形。
若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，α＋β＝90°，且 tanα＝ AB ¯ AC ¯，則：
(1) ¯ AG ＝¯ AB ，¯ DA ＝¯ AC ； (2) ¯ BG ：¯ DC ＝¯ AB ：¯ AC ； (3) ←→
DC ⊥←→
BG 。
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證明：
(1) ∵tanα＝ AG ¯
AC ¯，又tanα＝ AB ¯
AC ¯，∴ ¯ AG ＝¯ AB ；∵tanβ＝ DA ¯ AB ¯， 又 tanβ＝ AC ¯
AB ¯，∴ ¯ DA ＝¯ AC 。(2) 由性質五可知：¯ BG ： ¯ DC ＝tanα：1＝ AB ¯ AC ¯：1 ＝¯ AB ：¯ AC 。(3) 由性質五可得：←→
DC ⊥←→
BG 。
接著，我們把平行四邊形兩對角線交點定義為此平行四邊形的「中心」，並探討以下性質：
（二）三角形兩邊內接平行四邊形的中心分別連接到此三角形第三邊的中點 1. 三角形兩邊內接相似平行四邊形的中心性質
【性質七】（三角形兩邊內接平行四邊形中心分別連接到三角形第三邊的中點性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形，I、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。
若K 點是¯ BC 的中點，連接¯ IK 與¯ KJ ，則：(1) ¯ IK ：¯ KJ ＝1：r； (2)∠IKJ＝θ。
證明：
(1) 連接←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，由性質三可得 ¯ BG ： ¯ DC ＝r：1 且∠DHG＝θ。
連接 ¯ BD ，則¯ BI ＝¯ ID ，在△BCD 中，∵¯ BI ＝¯ ID ，且¯ BK ＝ ¯ KC ，∴¯ IK // ¯ DC ， 且¯ IK ： ¯ DC ＝1：2；連接 ¯ CG ，則¯ CJ ＝¯ JG ，在△CBG 中，同理可得¯ KJ // ¯ BG ， 且¯ KJ ： ¯ BG ＝1：2；⇒¯ IK ：¯ KJ ＝1
2 DC ：¯ 1
2 BG ＝ ¯¯ DC ： ¯ BG ＝1：r。
(2) 設←→
IK 與←→
BG 交於 M 點，∵¯ IK // ¯ DC 且¯ KJ // ¯ BG ， ∴∠IKJ＝∠IMG＝∠DHG＝θ。
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2. 三角形兩邊內接相似矩形的中心性質
當θ＝90°時，∠JKI＝90°，亦即¯ IK ⊥¯ KJ 。我們寫成性質八、九：
【性質八】（三角形兩邊內接矩形中心分別連接到三角形第三邊的中點性質）
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r, 90°）
矩形，四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1
r, 90°）矩 形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。
若K 點是¯ BC 的中點，連接¯ IK 與¯ KJ ，則：(1) ¯ IK ：¯ KJ ＝1：
r；(2) ¯ IK ⊥¯ KJ ；(3) ¯ IJ ＝ r2＋1¯ IK 。
【性質九】（內接矩形中心分別連接到三角形第三邊的中點性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<α,α>矩 形，四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<β,β>矩形。
I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，且α＋β＝90°，連接¯ IK 與¯ KJ ，則：
(1) ¯ IK ：¯ KJ ＝1：tanα；(2) ¯ IK ⊥¯ KJ 。 證明：連接←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，則 ¯ BG ： ¯ DC ＝tanα：1 且←→
DC ⊥←→
BG ； 連接 ¯ BD ，則¯ BI ＝¯ ID ，在△BCD 中，∵¯ BI ＝¯ ID ，且¯ BK ＝ ¯ KC ， ∴¯ IK // ¯ DC ，且¯ IK ： ¯ DC ＝1：2；
(1) 連接 ¯ CG ，則¯ CJ ＝¯ JG ，在△CBG 中，同理可得¯ KJ // ¯ BG ，且¯ KJ ： ¯ BG ＝1：2。
⇒¯ IK ：¯ KJ ＝1
2 DC ：¯ 1
2 BG ＝ ¯¯ DC ： ¯ BG ＝1：tanα。
(2) 設¯ IK 與 ¯ BG 交於 M 點，¯ KJ 與 ¯ DC 交於 N 點，∵¯ IK // ¯ DC 且¯ KJ // ¯ BG ， ∴∠JKI＝∠JND＝∠GHD＝90° ⇒ ¯ IK ⊥¯ KJ ，故得證。
3. 三角形兩邊內接正方形的中心性質
【性質十】（三角形兩邊內接正方形中心分別連接到三角形第三邊的中點性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的正方形，四邊 形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的正方形。I 點、J 點分別是四 邊形CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，連接
¯ IK 與¯ KJ ，則：(1) ¯ IK ＝¯ KJ ；(2) ¯ IK ⊥¯ KJ 。(3) ¯ IJ ＝ 2¯ IK 。
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（三）等腰三角形兩邊內接矩形中心分別連接到三角形第三邊的中點 1. 等腰三角形兩邊內接矩形的中心性質
【性質十一】（等腰三角形兩邊內接矩形中心分別連接到三角形底邊的中點性質）
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<α,α>矩形。I 點、J 點分 別是四邊形CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，
∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：
(1) ¯ IK ＝¯ KJ ；(2) ¯ IJ ＝secαsin (α－ω 2)。
證明：∵¯ AB ＝¯ AC ，∴∠KBA＝∠ACK 且矩形 ABED 和矩形 ACFG 為全等，
⇒¯ BI ＝¯ CJ ＝¯ AI ＝¯ AJ ＝1
2¯ AE ＝1
2 AB secα； ¯
(1) 在△BIK 和△CJK 中，∵¯ BK ＝ ¯ KC ，¯ BI ＝¯ CJ ，∠KBI＝∠KBA－∠ABI
＝∠ACK－∠JCA＝∠JCK，
∴△BIK≅△CJK（SAS 全等性質）⇒ ¯ IK ＝¯ KJ 。 (2) ∵¯ AI ＝¯ AJ ＝1
2 AB secα，∴在△AIJ 中，利用餘弦定理可得： ¯ ¯ IJ 2＝¯ AI 2＋¯ AJ 2－2‧¯ AI ‧¯ AJ ‧cos (∠IAJ)
＝2¯ AI 2－2¯ AI 2 cos (2α－ω)＝2¯ AI 2‧〔1－cos (2α－ω)〕
＝2¯ AI 2‧〔2sin2 (α－ω
2)〕＝4¯ AI 2 sin2 (α－ω 2)
⇒¯ IJ ＝2¯ AI sin (α－ω
2 )＝2‧(1
2 AB secα)‧sin (α－¯ ω
2)＝¯ AB secαsin (α－ω 2)。
2. 等腰三角形兩邊內接正方形的中心性質
【性質十二】（等腰三角形兩邊內接正方形中心分別連接到三角形底邊的中點性質）
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<45°,45°>正方形。
I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：
(1) ¯ IK ＝¯ KJ ，¯ IK ⊥¯ KJ ；(2) ¯ IJ ＝¯ AB 1－sinω。
證明：
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(1) 由性質九，可得¯ IK ＝¯ KJ ，¯ IK ⊥¯ KJ 。
(2) 由性質十一，將α＝45°代入可得，¯ IJ ＝¯ AB sec45°sin (45°－ω 2)
＝¯ AB 2sin (45°－ω
2 )＝¯ AB 2( sin45°cosω
2－cos 45°sinω 2 ) ＝¯ AB 2( 1
2cosω 2 － 1
2sinω
2)＝¯ AB (cosω
2 －sinω
2)＝¯ AB 1－sinω，故得證。
（四）、三角形兩邊內接菱形中心分別連接到三角形第三邊上高的垂足
若K 點不是¯ BC 的中點，當 K 點是 A 點在 ¯ BC 上的垂足，我們探討一個特別情形如下：
【性質十三】（三角形兩邊內接菱形中心分別連接到三角形第三邊上高的垂足性質）
已知四邊形CAGF 與四邊形 ABED 分別是△ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<α,β>菱形。I 點、
J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是 A 點在¯ BC 上的垂足，連接¯ IK 、¯ KJ ， 則¯ IK ⊥¯ KJ 。
證明：
(1) ∵四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<α,β>菱 形，∴α＋β＝90°⇒∠BIA＝∠AJC＝90°。
(2) ∵K 點是 A 點在¯ BC 上的垂足，∴∠AKB＝∠CKA＝90°。
(3) ∵∠BIA＋∠AKB＝90°，∴A、K、B、I 四點共圓；
⇒∠AKI＝180°－∠ABI＝180°－α；同理可得 A、J、C、K 四點共圓 ⇒∠JKA＝180°－∠JCA＝180°－β；
(4) ∵∠JKI＝360°－∠AKI－∠JKA＝360°－(180°－α)－(180°－β)＝90°，
∴¯ IK ⊥¯ KJ ，故得證。
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（五）三角形兩邊內接四邊形中心連線段
1. 三角形兩邊內接相似平行四邊形中心連線段性質
接著，我們利用性質七的圖探討性質七的¯ IJ 如何以 r 與θ表示：
【性質十四】（三角形兩邊內接相似平行四邊形中心連線段性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r,θ）
平行四邊形，四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1 r, 180°－θ）平行四邊形，I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與ABED 中心。若∠BAC＝ω，K 點是¯ BC 的中點，則：
(1) ¯ IK ＝1
2r AB ¯2＋¯ AC 2r2＋2¯ AB ¯ AC r cos (θ＋ω)；
(2) ¯ KJ ＝r¯ IK ；(3) ¯ IK ‧¯ KJ ＝r¯ IK 2； (4) ¯ IJ ＝ r2－2rcosθ＋1¯ IK 。
證明：
(1) ∵四邊形 CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，∴ ¯ AG ＝r¯ AC ； ∵四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形，
∴ ¯ AD ＝1
r AB ；⇒¯¯ IK ＝1
2 DC ＝¯ 1
2 AD ¯2＋¯ AC 2－2¯ AD ‧¯ AC cos (∠DAC) ＝1
2 1
r2 AB ¯2＋¯ AC 2－21
r AB ¯¯ AC cos (180°－θ－ω)
＝1
2r AB ¯2＋¯ AC 2r2＋2¯ AB ¯ AC r cos (θ＋ω)。
(2) 根據性質七可知：¯ IK ：¯ KJ ＝1：r ⇒ ¯ KJ ＝r¯ IK ， ∴¯ KJ ＝r¯ IK ＝1
2 ¯ AB 2＋¯ AC 2r2＋2¯ AB ¯ AC r cos (θ＋ω)。
(3) ¯ IK ‧¯ KJ ＝¯ IK ‧r¯ IK ＝r¯ IK 2＝1
4r〔¯ AB 2＋¯ AC 2r2＋2¯ AB ¯ AC r cos (θ＋ω)〕。
(4) 在△IKJ 中，依性質七知∠JKI＝θ，又利用餘弦定理可得：
¯ IJ 2＝¯ IK 2＋¯ KJ 2－2¯ IK ‧¯ KJ cos (∠JKI)＝¯ IK 2＋r2¯ IK 2－2r¯ IK 2 cosθ ＝(r2＋1)¯ IK 2－2rcosθ¯ IK 2＝(r2－2rcosθ＋1)¯ IK 2
∴¯ IJ ＝ r2－2rcosθ＋1¯ IK ，故得證。
討論：1. 當θ＝90°時，則¯ IJ ＝ r2＋1¯ IK ，我們將它列入性質八的(3)；
2. 當θ＝90°且當 r＝1 時，則¯ IJ ＝ 2¯ IK ，我們將它列入性質九的(3)。
3. 當 r＝1 時，則¯ IJ ＝ 2－2cosθ¯ IK ，我們將它寫成性質十五：
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2. 三角形兩邊內接相似菱形中心連線段性質
【性質十五】（三角形兩邊內接相似菱形中心連線段性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 內接的（1,θ）菱形，
四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 內接的（1, 180°－θ）菱形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點 是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：(1) ¯ IK
＝¯ KJ ；(2)∠JKI＝θ。(3) ¯ IJ ＝ 2－2cosθ¯ IK 。 證明：
(1) ∵r＝1，由性質七可得¯ IK ：¯ KJ ＝1：1，∴¯ IK ＝¯ KJ 。 (2) 由性質七可得∠JKI＝θ。
(3) 將 r＝1 代入性質十四之(4)，可得：¯ IJ ＝ 2－2cosθ¯ IK 。
3. 三角形兩邊內接相似矩形中心連線段性質
【性質十六】（三角形兩邊內接相似矩形中心連線段性質）
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<α,α>矩 形，四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<β,β>矩形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與 ABED 中心。
若K 點是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，且α＋β＝90°，
0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，則：
(1) ¯ IK ＝cotα
2 AB ¯2＋¯ AC 2tan2α－2¯ AB ¯ AC tanαsin (ω)；
(2) ¯ KJ ＝tanα¯ IK ；(3) ¯ IJ ＝secα¯ IK 。 證明：
(1) 將θ＝90°，r＝tanα代入性質十四，
可得¯ IK ＝cotα
2 AB ¯2＋¯ AC 2tan2α－2¯ AB ¯ AC tanαsin (ω) (2) 由性質九知¯ IK ：¯ KJ ＝1：tanα，∴¯ KJ ＝tanα¯ IK 。 (3) 由性質九也知¯ IK ⊥¯ KJ ，亦即△IJK 是直角三角形，
∴¯ IJ ＝ ¯ IK 2＋¯ KJ 2＝ ¯ IK 2＋tan2α¯ IK 2＝ 12＋tan2α¯ IK ＝secα¯ IK 。
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三、三角形三邊內接平行四邊形幾何性質的探究
（一）三角形三邊內接相似平行四邊形
1. 三角形三邊內接相似平行四邊形的中心性質
【性質十七】（三角形三邊內接相似平行四邊形的中心性質）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四邊形 CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的（1
r, 180°－θ）平 行四邊形；J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心，連接
¯ JL 與¯ AK ，若←→
JL 與←→
AK 交於 M 點，則：(1) ←→
AK ：←→
JL ＝1：r；(2) ∠KMJ＝θ。
證明：
取¯ BA 的中點 N，連接¯ JN ，則¯ JN ：¯ EB ＝1：2 且¯ JN // ¯ EB ⇒∠ANJ＝∠ABE ＝180°－θ，且¯ JN ：¯ NA ＝1
2 EB ：¯ 1
2¯ BA ＝¯ EB ：¯ BA ＝r：1。連接¯ NL 與 ¯ NK ， (1) 依性質七可得：¯ NL ： ¯ NK ＝1：1
r＝r：1，∠KNL＝180°－θ。
在△NJL 和△NAK 中，∵¯ NJ ：¯ NA ＝r：1＝¯ NL ：¯ NK ，又∠LNJ＝∠LNK＋∠KNJ ＝∠ANJ＋∠KNL＝∠KNA，∴△NJL〜△NAK（SAS 相似性質）
⇒¯ JL ：¯ AK ＝r：1，且∠NLJ＝∠NKA，∴¯ AK ：¯ JL ＝1：r 。 (2) 假設←→
JL 與←→
NK 交於 O 點，在△KMO 和△LNO 中，
∵∠MOK＝∠LON 且∠NKA＝∠NLJ，∴∠KMO＝∠ONL＝∠ANJ＝180°－θ，
⇒∠KMJ＝180°－∠KMO＝180°－(180°－θ)＝θ，故得證。
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2. 三角形三邊內接相似矩形的中心性質
當θ＝90°，∠LMA＝180°－90°＝90°，則←→
AK ⊥←→
JL ，我們把它寫成性質十八：
【性質十八】（三角形三邊內接相似矩形的中心性質）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（r, 90°）
矩形，四邊形CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（r, 90°）矩 形，四邊形BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的（1
r, 90°）矩 形。若 J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心，連接¯ JL 與¯ AK ，則：
(1) ¯ AK ：¯ JL ＝1：r； (2) ←→
AK ⊥←→
JL 。
3. 三角形三邊內接相似菱形的中心性質
此外，當r＝1 時，則¯ AK ＝¯ JL ，我們把它寫成性質十九：
【性質十九】（三角形三邊內接相似菱形的中心性質）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（1,θ）菱 形，四邊形CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的（1,θ）菱形，
四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的（1, 180°－θ）菱 形；J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形BCGF 中心。連接¯ JL 與¯ AK ，若¯ JL 與¯ AK 交於 M
點，則：(1) ¯ AK ＝¯ JL ；(2) ∠KMJ＝θ。
（二）等腰直角三角形三邊內接相似平行四邊形
在性質二十，我們探討等腰直角三角形三邊內接相似平行四邊形的中心性質：
【性質二十】（等腰直角三角形三邊內接相似平行四邊形的中心性質）
已知四邊形ABED、CAIH、BCGF 分別是△ABC 以¯ AB 邊、¯ CA 邊、¯ BC 邊內接的<α,β>
平行四邊形，J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心。
若∠BAC＝90°，且¯ AB ＝¯ AC 則：(1) ¯ AK ＝¯ JL ；(2) ←→
AK ⊥←→
JL 。
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證明：
取¯ BC 的中點 N，連接¯ NJ 、¯ NA 與¯ NL 。∵∠BAC＝90°，且 N 是¯ BC 的中點，
∴¯ NA ＝¯ NB ＝ ¯ NC ；又∵¯ AB ＝¯ AC ，且 N 是¯ BC 的中點，∴∠CNA＝∠ANB＝90°
⇒∠CBA＝∠BAN＝∠NAC＝∠ACN＝45°，∴ ¯ CN ：¯ BA ＝¯ BN ：¯ BA ＝1： 2，
且¯ BA ：¯ AC ：¯ CB ＝1：1： 2。又∵四邊形 ABED、CAIH、BCGF 分別是△ABC 以¯ AB 邊、¯ CA 邊、¯ BC 邊內接的<α,β>平行四邊形，
∴¯ BJ ：¯ AL ： ¯ CK ＝¯ JA ：¯ LC ：¯ KB ＝¯ BA ：¯ AC ：¯ CB ＝1：1： 2⇒¯ JA ＝¯ LC ； 在△NJA 和△NLC 中，∵¯ JA ＝¯ LC ，¯ NA ＝ ¯ NC ，
又∠JAN＝∠BAN－∠JAB＝∠ACN－∠LCA＝∠LCN，
∴△NJA≅△NLC（SAS 全等性質）⇒ ¯ NJ ＝¯ NL ，且∠ANJ＝∠CNL，
∴∠LNJ＝∠ANJ－∠LNA＝∠CNL－∠LNA＝∠CNA＝90°。
在△NJL 中，∵¯ NJ ＝¯ NL ，∠LNJ＝90°，∴¯ JL ＝ 2¯ NL 。
(1) 在△CNL 和△BAK 中，∵∠LCN＝∠ACN－∠LCA＝∠CBA－∠KBC＝∠KBA，
又 ¯ CN ：¯ BA ＝1： 2＝¯ LC ：¯ KB ，∴△CNL〜△BAK（SAS 相似性質），
⇒∠CNL＝∠BAK，且¯ NL ：¯ AK ＝ ¯ CN ：¯ BA ＝1： 2⇒ ¯ AK ＝ 2¯ NL ＝¯ JL 。 (2) 如圖，設←→
NA 與←→
JL 交於 O，∵∠AOJ 是△JON 的一個外角，根據三角形外角定理 可知∠AOJ＝∠NJO＋∠ONJ＝45°＋∠CNL＝45°＋∠BAK；
在△AMO 中，∠MAO＝∠BAK－∠BAO＝∠BAK－45°，
∵∠AOJ 也是△AMO 的一個外角，
⇒∠OMA＝∠AOJ－∠MAO＝(45°＋∠BAK)－(∠BAK－45°)＝90°
∴←→
AK ⊥←→
JL 。
14
（三）三角形三邊內接指定條件的平行四邊形
現在，我們探討三角形三邊內接指定條件的平行四邊形的中心性質：
【性質二十一】（三角形三邊內接指定條件的平行四邊形的中心性質）
已知四邊形 ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<δ,γ>平行四邊形，四邊形 CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<β,α>平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的<α,δ>平行四邊 形，又J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心。若α＋γ
＝90°，且β＋δ＝90°，則：(1) ←→
AK ⊥←→
JL ；(2) ¯ AK ：¯ JL ＝sin(α＋β)：cos(α－β)。
其中 0°＜α＜90°且 0°＜β＜90°。
證明：
在¯ BC 上取一點 N，使∠NKB＝∠JAB＝γ，連接 ¯ NK ，則△BKN〜△BAJ（AA 相似性 質），⇒∠CKN＝180°－∠BCK－∠NKB＝180°－(α＋δ)－γ＝β，
且¯ BK ：¯ BA ＝¯ BN ：¯ BJ ⇒¯ BN ：¯ BK ＝¯ BJ ：¯ BA ；
在△LCA 和△NCK 中，∵∠LCA＝∠NCK＝α，且∠CAL＝∠CKN＝β，
∴△LCA〜△NCK（AA 相似性質），⇒¯ LC ： ¯ NC ＝¯ CA ： ¯ CK ⇒¯ CL ：¯ CA ＝ ¯ CN ： ¯ CK 。 連接←→
LN ，使←→
LN 與←→
AK 交於 T 點，←→
LN 與←→
AC 交於 U 點，在△CLN 和△CAK 中，
∵¯ CL ：¯ CA ＝ ¯ CN ： ¯ CK ，∠LCN＝∠LCA－∠ACN＝∠NCK－∠ACN＝∠ACK，
∴△CLN〜△CAK（SAS 相似性質）⇒¯ LN ：¯ AK ＝ ¯ CN ： ¯ CK ，且∠NLC＝∠KAC 又在△AUT 和△LCU 中，∵∠AUT＝∠CUL，∴∠UTA＝∠LCU＝α；
連接←→
JN 使←→
JN 與←→
AK 交於 O 點，←→
JN 與←→
BA 交於 V 點，在△BNJ 和△BKA 中，
15
∵¯ BN ：¯ BK ＝¯ BJ ：¯ BA ，∠NBJ＝∠NBA－∠ABJ＝∠NBA－∠KBN＝∠KBA，
∴△BNJ〜△BKA（SAS 相似性質）⇒¯ BN ：¯ BK ＝¯ JN ：¯ AK ，且∠BJN＝∠BAK 又在△AVO 和△JVB 中，∵∠AVO＝∠JVB，∴∠AOV＝∠VBJ＝δ。
在△TNO 中，∵∠JNL 是△TNO 一外角，∴∠JNL＝∠NTO＋∠TON＝α＋δ；
⇒在△NJL 中，∠NJL＋∠JLN＝180°－∠JNL＝180°－(α＋δ)＝γ＋β。
在△NJL 中，依據正弦定理可知：sin(∠NJL)：sin(∠JLN)＝¯ LN ：¯ JN
⇒ sin(∠NJL)：sin(∠JLN)＝¯ LN ：¯ JN ＝ AK ‧ ¯¯ CN
CK ¯ ： AK ‧¯¯ BN
BK ¯ ＝(¯ BK ‧¯ CN )：( ¯ CK ‧¯ BN ) ＝(¯ BK ‧△CNK)：( ¯ CK ‧△BNK)＝(¯ BK ‧ ¯ CK sinβ)：( ¯ CK ‧¯ BK sinγ)＝sinβ: sinγ；
⇒推導可得∠NJL＝β且∠JLN＝γ。
(1) 若←→
JL 與←→
AK 交於 M 點，在△JMO 中，∠JMO＝180°－(∠OJM＋∠MOJ)
＝180°－(β＋δ)＝180°－90°＝90°，∴←→
AK ⊥←→
JL 。 (2) 在△ACL 中，依據正弦定理可知：
¯ CL ：¯ CA ＝sin(∠CAL)：sin(∠ALC)＝sinβ：sinγ，
又∵△CLN〜△CAK，∴¯ LN ： ¯ AK ＝¯ CL ：¯ CA ＝sinβ：sin(α＋β)，
在△NJL 中，依據正弦定理可知：
¯ LN ：¯ JL ＝sin(∠NJL)：sin(∠LNJ)＝sinβ：sin(α＋δ)
∴¯ AK ：¯ JL ＝sin(α＋β)：sin(α＋δ)＝sin(α＋β)：sin〔α＋(90°－β)〕
＝sin(α＋β)：sin〔90°－(β－α)〕＝sin(α＋β)：cos(β－α) ＝sin(α＋β)：cos(α－β)，故得證。
（四）三角形三邊內接指定45°角的平行四邊形
當α＝β＝45°，我們將其結果寫在性質二十二；當α＝45°時，我們將其結果寫 在性質二十三；當β＝45°時，我們將其結果寫在性質二十四。
1. α＝β＝45°
【性質二十二】（三角形三邊內接正方形的中心性質）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<45°, 45°>正方形，四邊形 CAIH 是△ABC 以 CA 邊內接的<45°, 45°>正方形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯¯ BC 邊內接的<45°, 45°>正方形，又 J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心。
連接¯ AK 與¯ JL ，則：(1) ←→
AK ⊥←→
JL ；(2) ¯ AK ＝¯ JL 。
16
2. α＝45°
【性質二十三】（三角形三邊內接指定45°角的平行四邊形之中心性質一）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<δ, 45°>平行四邊形，四邊形 CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<β, 45°>平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的<45°,δ>平行四 邊形，又J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心。若β＋
δ＝90°且 0°＜β＜90°，則：(1) ←→
AK ⊥←→
JL ；(2) ¯ AK ＝¯ JL 。 3.β＝45°
【性質二十四】（三角形三邊內接指定45°角的平行四邊形之中心性質二）
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的<45°,γ>平行四邊形，四邊形 CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的<45°,α>平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的<α, 45°>平行四 邊形，又J 點、L 點、K 點分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心。若α＋
γ＝90°且 0°＜α＜90°，則：(1) ←→
AK ⊥←→
JL ；(2) ¯ AK ＝¯ JL 。 四、四邊形四邊內接平行四邊形幾何性質的探究
（一）四邊形兩組對邊分別內接相似平行四邊形的中心連線段性質 1. 四邊形兩組對邊分別內接相似平行四邊形
【性質二十五】（四邊形兩組對邊分別內接相似平行四邊形的中心連線段性質）
已知四邊形DAKL、BCGH 分別是四邊形 ABCD 以 ¯ DA 邊、¯ BC 邊內接的（r,θ）平行四邊 形，四邊形ABEF、CDIJ 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、 ¯ CD 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四 邊形；P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。連接←→
PR 與
←→ QS ，若←→
PR 與←→
QS 交於 M 點，則：(1) ¯ PR ：¯ QS ＝1：r； (2) ∠PMS＝θ。
17
證明：
連接¯ CA ，取¯ CA 的中點 N，∵四邊形 ABEF 是△BCA 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）
平行四邊形，且四邊形BCGH 是△BCA 以¯ BC 邊內接的（r,θ）平行四邊形，連接¯ QN 與 NP ，則依性質七可知： ¯¯ QN ：¯ NP ＝r：1，且∠PNQ＝180°－θ；同理，連接¯ SN 與¯ NR ， 則依性質七也可知：¯ SN ：¯ NR ＝r：1，且∠RNS＝180°－θ；
(1) 在△NQS 和△NPR 中，∵ ¯ NQ ：¯ NP ＝r：1＝¯ NS ：¯ NR ，又∠SNQ＝∠SNP＋∠PNQ
＝∠SNP＋∠RNS＝∠RNP，∴△NQS〜△NPR（SAS 相似）
⇒¯ QS ：¯ PR ＝r：1，且∠NQS＝∠NPR⇒¯ PR ：¯ QS ＝1：r。
(2) 設←→
QS 與←→
NP 交於 O 點，在△MPO 和△NQO 中，∵∠MOP＝∠QON，
又∠NPR＝∠NQS，∴∠PMO＝∠ONQ＝180°－θ，
⇒∠SMP＝180°－∠PMO＝180°－(180°－θ)＝θ。
2. 四邊形兩組對邊分別內接相似菱形
當r＝1 時，¯ PR ：¯ QS ＝1：1，亦即¯ PR ＝¯ QS ，我們把它寫成性質二十六：
【性質二十六】（四邊形兩組對邊分別內接相似菱形的中心連線段性質）
已知四邊形DAKL、BCGH 分別是四邊形 ABCD 以 ¯ DA 邊、¯ BC 邊內接的（1,θ）菱形，四 邊形ABEF、CDIJ 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、 ¯ CD 邊內接的（1, 180°－θ）菱形；P、Q、
R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。連接←→
PR 與←→
QS ，若←→
PR 與←→
QS 交於 M 點，則：(1) ¯ PR ＝¯ QS ；(2) ∠PMS＝θ。
18
3. 四邊形兩組對邊分別內接相似矩形
另外，當θ＝90°時，∠SMP＝90°，亦即¯ PR ⊥¯ QS ，我們把它寫成性質二十七：
【性質二十七】（四邊形兩組對邊分別內接相似矩形的中心連線段性質）
已知四邊形DAKL、BCGH 分別是四邊形 ABCD 以 ¯ DA 邊、¯ BC 邊內接的（r, 90°）矩形，
四邊形ABEF、CDIJ 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、 ¯ CD 邊內接的（1
r, 90°）矩形；P、Q、R、
與S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。連接←→
PR 與←→
QS ，若←→
PR 與←→
QS 交於M 點，則：(1) ¯ PR ：¯ QS ＝1：r； (2) ¯ PR ⊥¯ QS 。
4. 四邊形四邊分別內接正方形
當r＝1，且θ＝90°時，則¯ PR ＝¯ QS 且¯ PR ⊥¯ QS 。
【性質二十八】（Van Aubel’s theorem）
已知四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ BC 邊、 ¯ CD 邊、 ¯ DA 邊內接的正方形，P、Q、R、與 S 四點分別是正方形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。連接←→
PR 與←→
QS ，若←→
PR 與←→
QS 交於 M 點，則：(1) ¯ PR ＝¯ QS ； (2) ¯ PR ⊥¯ QS 。
（二）對角線互相垂直且等長的四邊形四邊內接相似平行四邊形之中心連線段性質 1. 對角線互相垂直且等長的四邊形
【性質二十九】（對角線互相垂直且等長的四邊形四邊內接相似平行四邊形之中心性質）
已知四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ BC 邊、 ¯ CD 邊、 ¯ DA 邊內接的<α,β>平行四邊形，又 P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、
CDIJ 與 DAKL 中心。若¯ CA ＝ ¯ BD ，且¯ CA ⊥¯ BD ，則：(1) ←→
PR ⊥←→
QS ；(2) ¯ PR ＝¯ QS 。
19
證明：
假設¯ PR 與¯ QS 相交於 O 點，不失一般性，在四邊形 ABCD 所在的平面建立直角坐標系，
以O 點為原點， →
OA 為 x 軸的正向， →
OB 為 y 軸的正向，由於¯ CA ⊥ ¯ BD ，則 P、Q、R、
S 四點分別落在此平面的第一、二、三、四象限。假設 A、B、C、D 四點的坐標分別是 A(a, 0)、B(0, b)、C(c, 0)、D(0, d)，其中 a＞0，b＞0，c＜0，d＜0。
又∵¯ CA ＝ ¯ BD ，∴a－c＝b－d，且 P、Q、R、S 四點的坐標分別是 P(－b＋a cotα
cotα＋cotβ, －a＋b cotβ
cotα＋cotβ)、Q( b＋c cotβ
cotα＋cotβ, c＋b cotα cotα＋cotβ)、
R(－d＋c cotα
cotα＋cotβ, －c＋d cotβ
cotα＋cotβ)、S( d＋a cotβ
cotα＋cotβ, a＋d cotα cotα＋cotβ)。
(1) 直線 RP 的斜率＝
－c＋d cotβ
cotα＋cotβ－－a＋b cotβ cotα＋cotβ
－d＋c cotα
cotα＋cotβ－－b＋a cotα cotα＋cotβ
＝1－cotβ 1－cotα，
直線QS 的斜率＝(a＋d cotα)－(c＋b cotα)
(d＋a cotβ)－(b＋c cotβ)＝(a－c)－(b－d)cotα
(d－b)＋(a－c)cotβ＝ 1－cotα －1＋cotβ； ∵直線 RP 的斜率與直線 QS 的斜率相乘＝1－cotβ
1－cotα‧ 1－cotα
－1＋cotβ＝－1，∴←→
PR ⊥←→
QS 。
(2) RP ¯
QS ¯＝ 〔(－d＋c cotα)－(－b＋a cotα)〕2＋〔(－c＋d cotβ)－(－a＋b cotβ)〕2 〔(d＋a cotβ)－(b＋c cotβ)〕2＋〔(a＋d cotα)－(c＋b cotα)〕2
＝ 〔(b－d)－(a－c)cotα〕2＋〔(a－c)－(b－d)cotβ〕2
〔(d－b)＋(a－c)cotβ〕2＋〔(a－c)－(b－d)cotα〕2
＝ (1－cotα)2＋(1－cotβ)2
(－1＋cotβ)2＋(1－cotα)2＝1 ⇒¯ PR ＝¯ QS ，故得證。
20
2. 正方形四邊內接相似平行四邊形
因為正方形的兩對角線會互相垂直且等長，所以正方形四邊內接相似平行四邊 形也會有上述的性質，我們把它寫在性質三十：
【性質三十】（正方形四邊內接相似平行四邊形的中心連線段性質）
已知四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是正方形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ BC 邊、 ¯ CD 邊、 ¯ DA 邊內接的<α,β>平行四邊形，若 P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、
CDIJ 與 DAKL 中心，則：(1) ¯ PR ⊥¯ QS ；(2) ¯ PR ＝¯ QS 。
3. 箏形四邊分別內接正方形
【性質三十一】（箏形四邊分別內接正方形的中心連線段性質）
已知四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ BC 邊、 ¯ CD 邊、 ¯ DA 邊內接的<45°, 45°>正方形，P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與DAKL 中心。若¯ AB ＝ ¯ AD ，且¯ CB ＝ ¯ CD ，則：
(1) ←→
PR ⊥←→
QS ；(2)¯ QS ＝¯ RP ；(3) 四邊形 PQRS 是等腰梯形；
(4) ¯ QP ＝¯ AB 1－sin(∠BAD)，¯ RS ＝¯ BC 1－sin(∠DCB)；
(5) ¯ QR ＝¯ PS ＝ 2
2 ¯ AB 2＋¯ BC 2－2¯ AB ¯ BC sin(∠CBA)。
證明：
(1) 由性質二十八可知，←→
PR ⊥←→
QS ； (2) 由性質二十八可知，¯ QS ＝¯ RP 。
(3) ∵¯ AB ＝ ¯ AD ，¯ CB ＝ ¯ CD ，且四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 、¯ CB 、 ¯ CD 、 ¯ AD 邊內接的<45°, 45°>正方形，∴ ¯ QB ＝ ¯ PD ，¯ RB ＝¯ SD ，∠CBA
＝∠ADC；連接 ¯ QR 、¯ PS ，在△BRQ 和△DSP 中，∵ ¯ QB ＝ ¯ PD ，¯ RB ＝¯ SD ， 又∠RBQ＝∠RBC＋∠ABQ－∠CBA＝∠PDA＋∠CDS－∠ADC＝∠PDS，
∴△BRQ≅△DSP（SAS 全等性質）⇒ ¯ QR ＝¯ PS 。在△QRS 和△PSR 中，∵¯ QR ＝¯ PS ，¯ QS
＝¯ PR ，且¯ RS ＝¯ RS ，∴△QRS≅△PSR（SSS 全等性質）⇒∠QSR＝∠SRP。
21
假設←→
PR 與←→
QS 交於 M 點，連接¯ SR ，在△MRS 中，
∵∠QSR＝∠SRP，←→
PR ⊥←→
QS ，∴∠MSR＝∠SRM＝45°，且 ¯ MR ＝¯ MS ； 同理可得∠MQP＝∠QPM＝45°，且 ¯ MQ ＝ ¯ MP ⇒ ¯ MR ＝ ¯ MS ＝ 2
2¯ RS ，¯ MQ ＝ ¯ MP ＝ 2 2 QP ， ¯ 又∵∠MQP＝∠MSR，∴¯ QP // ¯ RS 。∵ ¯ QP // ¯ RS ，且 ¯ QR ＝¯ PS ，∴PQRS 是等腰梯形。
(4) 連接 ¯ QP ，在△APQ 中，∵¯ AQ ＝¯ AP ，∴∠AQP＝∠QPA
⇒∠BQP＝∠BQA＋∠AQP＝∠APD＋∠QPA＝∠QPD；
連接 ¯ MA 、 ¯ MB 、 ¯ MC 、與 ¯ MD 。在△QBM 和△PDM 中，
∵ ¯ QB ＝¯ PD ， ¯ MQ ＝ ¯ MP ，又∠BQM＝∠BQP－∠MQP＝∠QPD－QPM＝∠MPD，
∴△QBM≅△PDM（SAS 全等性質）⇒ ¯ BM ＝ ¯ MD 。
∵ ¯ MR ＝ ¯ MS ，¯ CR ＝¯ CS ，∴←→
CM 是¯ RS 的中垂線，⇒←→
CM ⊥¯ RS ，又∵∠SRM＝45°，
∴∠CMR＝45°。∵∠CMR＝∠CBR＝45°，∴B、M、C、R 四點共圓，
⇒∠BMC＝∠CRB＝90°，同理可得∠CMD＝90°⇒ B、M、D 三點共線。
在△ABD 中，∵¯ AB ＝ ¯ AD 且 ¯ BM ＝ ¯ MD ，∴根據性質十二，可得 ¯ QP ＝ ¯ AB 1－sin(∠BAD)；
同理在△CDB 中，可得¯ RS ＝¯ BC 1－sin(∠DCB)。
(5) 箏形 ABCD 中，∵ ¯ BM ＝ ¯ MD ，∴A、M、C 三點共線，∠BAC＝∠CAD，∠ACB＝∠DCA。
假設∠BAC＝∠CAD＝γ，∠ACB＝∠DCA＝δ，在△ABC 中，¯ AB ：¯ BC ＝sinδ：sinγ ⇒¯ AB sinγ＝¯ BC sinδ；又∵←→
PR ⊥←→
QS ，∴在△SMP 中，¯ PS 2＝ ¯ PM 2＋ ¯ MS 2 ＝1
2 QP ¯2＋1
2¯ RS 2＝1
2 AB ¯2〔1－sin(∠BAD)〕＋1
2 BC ¯2〔1－sin(∠DCB)〕
＝1
2〔(¯ AB 2＋¯ BC 2－2¯ AB ¯ BC sin(∠CBA)〕，
∴¯ PS ＝ ¯ QR ＝ 2
2 ¯ AB 2＋ ¯ BC 2－2¯ AB ¯ BC sin(∠CBA)，故得證。
22
4. 對角線互相垂直的等腰梯形四邊內接正方形
【性質三十二】（對角線垂直的等腰梯形四邊內接正方形的中心連線段性質）
已知四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ BC 邊、 ¯ CD 邊、 ¯ DA 邊內接的<45°, 45°>正方形，P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與DAKL 中心。若¯ BA // ¯ CD ，¯ CB ＝ ¯ AD ，且 ¯ BD ⊥¯ CA ， ¯ BD 與¯ CA 交於 M 點，則：
(1) M、P、R 三點重合；(2) Q、S 兩點重合。
證明：
(1) ∵ ¯ BD 與¯ CA 交於 M 點，∴M 點必落在等腰梯形 ABCD 的對稱軸上，且 ¯ MB ＝ ¯ MA 。 ∵ ¯ BD ⊥¯ CA ，∴∠AMB＝90°⇒∠MBA＝∠MAB＝45°
∴M 點與 P 點重合，同理 M 點與 R 點重合⇒ M、P、R 三點重合。
(2) 作等腰梯形 ABCD 的外接圓，設圓心為 O，∵¯ CB ＝¯ AD ，∴︵ CB＝︵
AD 又∵ ¯ BD ⊥¯ CA ，圓內角∠DMA＝90°⇒︵
CB＝︵
AD＝90°；
作圓 O 的直徑 ¯ AL' 、 ¯ BG' 、 ¯ CH' 、 ¯ DK' ，易知 L 與 Lˊ重合，G 與 Gˊ重合，
H 與 Hˊ重合，K 與 Kˊ重合，⇒ Q、S 兩點與圓心 O 重合。
23
（三）四邊形四邊內接指定條件的平行四邊形
【性質三十三】（四邊形四邊內接指定條件的平行四邊形之中心連線段性質）
已知四邊形ABEF 是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊內接的<β,α>平行四邊形，四邊形 BCGH 是 四邊形ABCD 以¯ BC 邊內接的<γ,β>平行四邊形，四邊形 CDIJ 是四邊形 ABCD 以 ¯ CD 邊內接 的<δ,γ>平行四邊形，四邊形 DAKL 是四邊形 ABCD 以 ¯ DA 邊內接的<α,δ>平行四邊形，又 P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。若α＋γ＝90°，且 β＋δ＝90°則：(1)¯ RP ⊥¯ QS ；(2)¯ QS ：¯ RP ＝sin(α＋β)：cos(α－β)，
其中0°＜α＜90°且 0°＜β＜90°。
證明：
在四邊形 ABCD 所在的平面建立直角坐標系，不失一般性，以 D 點為原點， → DA 為 x 軸的正向，並假設 B、C 兩點都落在 x 軸上方。假設 D、A、B、C 四點的坐標分別是 D(0, 0)、A(a, 0)、B(m, b)、C(n, c)，其中 a＞0，b＞0，c＞0，m＞n。P、Q、R、S 四點 的坐標分別是P(－b＋m cotα＋a cotβ
cotα＋cotβ , m－a＋b cotα cotα＋cotβ)、
Q(b－c＋n cotβ＋m cotγ
cotβ＋cotγ , n－m＋c cotβ＋b cotγ
cotβ＋cotγ )分子分母同乘 cotα ＝(m＋(b－c)cotα＋n cotαcotβ
cotαcotβ＋1 , b＋(n－m)cotα＋c cotαcotβ cotαcotβ＋1 )、
R( c＋n cotδ
cotγ＋cotδ, －n＋c cotδ
cotγ＋cotδ)＝( c＋n cotδ
tanα＋tanβ, －n＋c cotδ
tanα＋tanβ)，分子分母同乘cotαcotβ
＝(c cotαcotβ＋n cotα
cotβ＋cotα , －n cotαcotβ＋c cotα cotβ＋cotα )、
S( a cotδ
cotα＋cotδ, a
cotα＋cotδ)＝( a
cotαcotβ＋1, a cotβ
cotαcotβ＋1)。
24
(1) 直線 RP 的斜率＝
m－a＋b cotα
cotα＋cotβ－－n cotαcotβ＋c cotα cotβ＋cotα
－b＋m cotα＋a cotβ
cotα＋cotβ －c cotαcotβ＋n cotα cotβ＋cotα ＝ 〔(b－c)cotα〕＋〔(m－a)＋n cotαcotβ〕
〔－b－c cotαcotβ〕＋〔(m－n)cotα＋a cotβ〕
直線QS 的斜率＝(a cotβ)－〔b＋(n－m)cotα＋c cotαcotβ〕
a－〔m＋(b－c)cotα＋n cotαcotβ〕
＝－(b＋c cotαcotβ)－〔(n－m)cotα－a cotβ〕
〔－(b－c)cotα〕－〔(m－a)＋n cotαcotβ〕
⇒ 〔(b－c)cotα〕＋〔(m－a)＋n cotαcotβ〕
〔－b－c cotαcotβ〕＋〔(m－n)cotα＋a cotβ〕‧－(b＋c cotαcotβ)－〔(n－m)cotα－a cotβ〕
〔－(b－c)cotα〕－〔(m－a)＋n cotαcotβ〕＝－1，
∴直線 RP 的斜率與直線 QS 的斜率相乘為－1，∴¯ RP ⊥¯ QS 。
(2) ∵ 〔－(b－c)cotα〕－〔(m－a)＋n cotαcotβ〕2＋{－(b＋c cotαcotβ)－〔(n－m)cotα－a cotβ〕}2
＝ {〔－b－c cotαcotβ〕＋〔(m－n)cotα＋a cotβ〕}2＋{〔(b－c)cotα〕＋〔(m－a)＋n cotαcotβ〕}2
∴¯ QS ：¯ RP ＝ 1
cotαcotβ＋1： 1
cotα＋cotβ＝＝sin(α＋β)：cos(α－β)。
（四）梯形四邊內接指定條件的矩形
【性質三十四】（梯形四邊內接指定條件矩形的中心連線段性質）
已知四邊形 ABEF 是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊內接的<α,α>矩形，四邊形 CDIJ 是四邊形 ABCD 以 ¯ CD 邊內接的<β,β>矩形，四邊形 BCGH 與 DAKL 分別是四邊形 ABCD 以¯ BC 、¯ DA 邊內接的<σ,σ>矩形，又 P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。若¯ BA // ¯ CD ，σ＝45°，tanα＝ CD ¯
¯ BA 且α＋β＝90°，則四邊形 PQRS 是正方形。
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證明：
(1) ∵tanα＝ EB ¯
BA ¯，又因tanα＝ CD ¯
BA ¯，∴¯ EB ＝¯ CD；∵tanβ＝¯ ID
CD ¯，又因 tanβ＝cotα＝ BA ¯ CD ¯， ∴¯ ID ＝¯ BA 。⇒矩形 ABEF≅矩形 IDCJ，∴ ¯ PA ＝¯ PB ＝¯ RC ＝ ¯ RD 。
(2) ∵σ＝45°，∴四邊形 BCGH 與 DAKL 都是正方形，⇒ ¯ QB ＝ ¯ QC ，且¯ SD ＝¯ SA 。 (3) 連接 ¯ PQ 、¯ QR ，在△BPQ 和△CRQ 中，∵¯ PB ＝¯ RC ， ¯ QB ＝ ¯ QC ，
∠PBQ＝∠CBA－∠QBC－∠ABP
＝－(180°－∠CBA)＋(90°－∠QBC)＋(90°－∠ABP) ＝－∠DCB＋∠QCB＋∠RCD＝∠RCQ，
∴△BPQ≅△CRQ（SAS 全等性質）⇒ ¯ PQ ＝ ¯ QR 且∠BQP＝∠CQR；
∴∠RQP＝∠RQB＋∠BQP＝∠RQB＋∠CQR＝∠CQB＝90°。
(4) 連接¯ RS 、¯ SP ，同理可證得：△DRS≅△APS（SAS 全等性質）
⇒¯ RS ＝¯ SP ，且∠PSR＝∠ASD＝90°。
(5) 連接¯ PR ，在△PSR 中，∵¯ RS ＝¯ SP ，且∠PSR＝90°，∴∠SRP＝∠RPS＝45°，
同理∠QPR＝∠PRQ＝45°⇒∠SRQ＝∠SRP＋∠PRQ＝45°＋45°＝90°，
且∠QPS＝∠QPR＋∠RPS＝45°＋45°＝90°⇒四邊形 PQRS 是矩形。
(6) 矩形 PQRS 中，∵ ¯ PQ ＝ ¯ QR 且¯ RS ＝¯ SP ，∴四邊形 PQRS 是正方形，故得證。
（五）平行四邊形四邊內接相似平行四邊形
【性質三十五】（平行四邊形四邊內接相似平行四邊形的中心連線段性質）
已知四邊形DAKL、BCGH 分別是四邊形 ABCD 以 ¯ DA 邊、¯ BC 邊內接的（r,θ）平行四邊 形，四邊形ABEF、CDIJ 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、 ¯ CD 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四 邊形；P、Q、R、與 S 四點分別是四邊形 ABEF、BCGH、CDIJ 與 DAKL 中心。若四邊形 ABCD 是平行四邊形，且∠BAD＝ω，則：(1) 四邊形 PQRS 是平行四邊形；
(2) ¯ PR ＝1
r ¯ AB 2＋¯ AD 2r2＋2¯ AB ‧ ¯ AD r cos (θ＋ω)；(3) ¯ QS ＝r¯ PR ； (4) ¯ PS ＝ ¯ RQ ＝ r2－2rcosθ＋1
2 PR ，(5) ¯¯ PQ ＝¯ RS ＝ r2＋2rcosθ＋1 2 PR ； ¯ (6) cos(∠RQP)＝ r2－1
(r2＋2rcosθ＋1)‧(r2－2rcosθ＋1)。 證明：連接¯ AP 、¯ AS 、¯ CR 、 ¯ CQ ，
(1) ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴¯ BA ＝ ¯ DC ， ¯ AD ＝¯ CB ，∠BAD＝∠DCB；
∵四邊形ABEF、CDIJ 分別是四邊形 ABCD 以¯ AB 邊、¯ CD 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四 邊形，又∵¯ BA ＝ ¯ DC ，且 ¯ AD ＝¯ CB ，∴¯ AP ＝¯ CR ，¯ AS ＝ ¯ CQ ，且∠PAB＝∠RCD，
∠DAS＝∠BCQ。
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在△APS 和△CRQ 中，∵¯ AP ＝¯ CR ，¯ AS ＝ ¯ CQ ，
∠PAS＝∠PAB＋∠DAS－∠BAD＝∠RCD＋∠BCQ－∠DCB＝RCQ，
∴△APS≅△CRQ（SAS 全等性質）⇒¯ PS ＝ ¯ RQ ；
同理，連接¯ BP 、 ¯ BQ 、 ¯ DR 、¯ DS ，可得△BPQ≅△DRS（SAS 全等性質）⇒ ¯ PQ ＝¯ RS ；
∵四邊形PQRS 中，¯ PS ＝ ¯ RQ ，且 ¯ PQ ＝¯ RS ，∴四邊形 PQRS 是平行四邊形。
(2) 連接¯ PR 與 ¯ BD ，假設¯ PR 與 ¯ BD 相交於 M 點。
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴¯ BA // ¯ DC ⇒∠MBA＝∠MDC；
在△MPB 和△MRD 中，∵∠PMB＝∠RMD，
∠MBP＝∠MBA－∠ABP＝∠MDC－∠CDR＝∠MDR，¯ PB ＝ ¯ RD ， ∴△MPB≅△MRD（AAS 全等性質）⇒ ¯ MP ＝ ¯ MR 且 ¯ MB ＝ ¯ MD ；
∵ ¯ MP ＝ ¯ MR ，且四邊形 DAKL 是△ABD 以 ¯ DA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，
四邊形 ABEF 是△ABD 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形，
∴由性質十四之(1)，可知¯ PR ＝2 ¯ PM ＝1
r AB ¯2＋ ¯ AD 2r2＋2¯ AB ‧¯ AD r cos (θ＋ω)。
(3) ∵平行四邊形 PQRS 中， ¯ MP ＝ ¯ MR ，連接¯ QS ，則¯ QS 必通過 M 點，且 ¯ MQ ＝ ¯ MS ， ∴由性質二十五，可知¯ PR ：¯ QS ＝1：r ⇒ ¯ QS ＝r¯ PR ，
⇒ ¯ QS ＝r¯ PR ＝ ¯ AB 2＋ ¯ AD 2r2＋2¯ AB ‧¯ AD r cos (θ＋ω)。
(4) ∵ ¯ MP ＝ ¯ MR ，且四邊形 DAKL 是△ABD 以 ¯ DA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四邊形 ABEF 是△ABD 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形，∴依性質十四之(4)知
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¯ PS ＝ r2－2rcosθ＋1 ¯ PM ＝ r2－2rcosθ＋1‧ PR ¯
2 ＝ r2－2rcosθ＋1 2 PR ¯ ⇒ ¯ RQ ＝¯ PS ＝ r2－2rcosθ＋1
2 PR 。 ¯
(5) 連接¯ CA ，∵ ¯ MB ＝ ¯ MD ，∴¯ CA 必通過 M 點，且 ¯ MC ＝ ¯ MA 。 ∵ ¯ MC ＝ ¯ MA ，且四邊形 ABEF 是△BCA 以¯ AB 邊內接的（1
r, 180°－θ）平行四邊形，四邊 形 BCGH 是△BCA 以¯ BC 邊內接的（r,θ）平行四邊形，連接 ¯ MQ ，∴依性質十四之(4) 得 ¯ QP ＝ 1
r2－2
rcos(180°－θ)＋1 ¯ QM ＝ 1 r2＋2
rcosθ＋1 ¯ QM ＝1 2
1 r2＋2
rcosθ＋1¯ QS
＝1 2
1 r2＋2
rcosθ＋1‧( r¯ PR )＝ r2＋2rcosθ＋1
2 PR ⇒ ¯¯ RS ＝ ¯ QP ＝ r2＋2rcosθ＋1 2 ¯ PR 。 (6) 考慮 ¯ RQ 2＋¯ PQ 2－¯ PR 2
＝r2－2rcosθ＋1
4 PR ¯2＋r2＋2rcosθ＋1
4 PR ¯2－¯ PR 2＝2r2－2
4 PR ¯2＝r2－1
2 PR ¯2， 以及 2¯ RQ ‧ ¯ PQ ＝1
2 (r2－2rcosθ＋1)‧(r2＋2rcosθ＋1)¯ PR 2，在△PQR 中，根據餘弦定 理可知：cos(∠RQP)＝ RQ ¯2＋ ¯ PQ 2－¯ PR 2
2¯ RQ ‧ ¯ PQ ＝ r2－1
(r2＋2rcosθ＋1)‧(r2－2rcosθ＋1)，故得證。
伍、研究結果
一、三角形兩邊內接相似平行四邊形幾何性質：
（一）此複合圖形中會形成兩個相似三角形子圖，其一組對應邊會成比例且其夾角度數 恰好與所內接平行四邊形的一內角度數相等。
（二）若三角形兩邊所內接平行四邊形中心分別連接到此三角形第三邊的中點，則所連 成的兩線段長會與所內接之平行四邊形的兩鄰邊長成比例，且連成的兩線段之夾 角度數也會與該平行四邊形的一內角度數相等。
二、三角形三邊內接平行四邊形幾何性質：
（一）若三角形以某內角之兩鄰邊內接（r,θ）平行四邊形，簡稱為甲、乙，另以此內 角的對邊內接（1
r, 180°－θ）平行四邊形丙，則發現甲、乙兩圖形中心的連線段，
與自丙圖形中心至三角形該內角頂點的連線段，此兩線段長會與所內接平行四邊 形的兩鄰邊長成比例，且兩連線段之夾角度數與該平行四邊形的一內角度數相等。
（二）若等腰直角三角形三邊依序內接<α,β>平行四邊形，則所形成的上述兩線段會等
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長且互相垂直。
（三）若三角形三邊依逆時針方向分別內接<δ,γ>、<α,δ>、<β,α>的平行四邊形，
且α＋γ＝90°，且β＋δ＝90°，則所形成的上述兩連線段會垂直，不一定等長；
但當α、β有一者為 45°時，上述兩連線段長會等長。
三、四邊形四邊內接平行四邊形幾何性質：
（一）此四邊形兩組對邊分別內接相似四邊形的兩中心連線段長，會與內接平行四邊形 的兩鄰邊長成比例，且兩連線段之夾角度數與所內接之平行四邊形的一內角度數 相等。
（二）若此四邊形為對角線互相垂直且等長的四邊形，其各邊都內接<α,β>的平行四 邊形，則欲探討之兩線段會等長且互相垂直。
（三）若四邊形四邊依逆時針方向分別內接<β,α>、<γ,β>、<δ,γ>、<α,δ>的平行 四邊形，且α＋γ＝90°，且β＋δ＝90°，則欲探討之兩線段兩連線段會垂直，不 一定等長；惟當α、β有一者為 45°時，上述兩連線段長會等長。
陸、討論
此次研究內容與去年已完成之研究作品，比較其結果不同之處，整理如下表：
各邊外接平行四邊形 各邊內接平行四邊形
性質三
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以 AC 邊外接的（r,θ）平行四邊形，四¯ 邊形ABED 是△ABC 以¯ BA 邊外接的
（1
r, 180°－θ）平行四邊形。若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，則：(1) ¯ BG ：¯ DC
＝r：1；(2)∠GHD＝180°－θ。
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以 CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四¯ 邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的
（1
r, 180°－θ）平行四邊形。若←→
DC 與←→
BG 交於 H 點，則：
(1) ¯ BG ：¯ DC ＝r：1；(2)∠DHG＝θ。
性質七
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以 AC 邊外接的（r,θ）平行四邊形，四¯ 邊形ABED 是△ABC 以¯ BA 邊外接的
（1
r, 180°－θ）平行四邊形，I、J 點 分別是四邊形CAGF 與四邊形 ABED 中心。若K 點是¯ BC 的中點，連接¯ IK 與¯ KJ ，則：(1) ¯ IK ：¯ KJ ＝1：r； (2)
∠JKI＝180°－θ。
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以 CA 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四¯ 邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的
（1
r, 180°－θ）平行四邊形，I、J 點 分別是四邊形CAGF 與四邊形 ABED 中心。若K 點是¯ BC 的中點，連接¯ IK 與¯ KJ ，則：(1) ¯ IK ：¯ KJ ＝1：r； (2)
∠IKJ＝θ。
性質 十一
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊 形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△
ABC 以¯ AC 、¯ BA 邊外接的<α,α>矩 形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與 四邊形ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊 形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△
ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<α,α>矩 形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與 四邊形ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的
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各邊外接平行四邊形 各邊內接平行四邊形
中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與
¯ IJ ，則： (1) ¯ IK ＝¯ KJ ； (2) ¯ IJ ＝secαsin (α＋ω
2 )。
中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與
¯ IJ ，則： (1) ¯ IK ＝¯ KJ ； (2) ¯ IJ ＝secαsin (α－ω
2 )。
性質 十二
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊 形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△
ABC 以¯ AC 、¯ BA 邊外接的<45°,45°>正 方形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：(1) ¯ IK ＝¯ KJ ，¯ IK ⊥¯ KJ ； (2) ¯ IJ ＝¯ AB 1+sinω。
已知△ABC 中，¯ AB ＝¯ AC ，四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 分別是△
ABC 以¯ CA 、¯ AB 邊內接的<45°,45°>
正方形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形 ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接
¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：(1) ¯ IK ＝¯ KJ ，
¯ IK ⊥¯ KJ ；(2) ¯ IJ ＝¯ AB 1－sinω。
性質 十四
(1) ¯ IK ＝1
2r ¯ AB 2＋ ¯ AC 2r2－2¯ AB ‧¯ AC r cos (θ＋ω)；
(2) ¯ KJ ＝r¯ IK ；(3) ¯ IK ‧¯ KJ ＝r¯ IK 2； (4) ¯ IJ ＝ r2＋2rcosθ＋1¯ IK 。
¯ IK ＝2r1 AB ¯2＋ ¯ AC 2r2＋2¯ AB ¯ AC r cos (θ＋ω)；
(2) ¯ KJ ＝r¯ IK ；(3) ¯ IK ‧¯ KJ ＝r¯ IK 2； (4) ¯ IJ ＝ r2－2rcosθ＋1¯ IK 。
性質 十五
已知四邊形 CAGF 是△ABC 以 ¯ AC 外接的（1,θ）菱形，四邊形 ABED 是△ABC 以 ¯ BA 外接的（1, 180°－θ）
菱形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形ABED 中心。若 K 點是 ¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接 ¯ IK 、 ¯ KJ 與 IJ ，則：(1) ¯¯ IK ＝ ¯ KJ ；(2)∠JKI
＝180°－θ。(3) ¯ IJ ＝ 2＋2cosθ
¯ IK 。
已知四邊形CAGF 是△ABC 以¯ CA 內 接的（1,θ）菱形，四邊形 ABED 是
△ABC 以¯ AB 內接的（1, 180°－θ）
菱形。I 點、J 點分別是四邊形 CAGF 與四邊形ABED 中心。若 K 點是¯ BC 的中點，∠BAC＝ω，連接¯ IK 、¯ KJ 與¯ IJ ，則：(1) ¯ IK ＝¯ KJ ；(2)∠JKI＝
θ。(3) ¯ IJ ＝ 2－2cosθ¯ IK 。
性質 十六
¯ IK ＝cotα
2 AB ¯2＋ ¯ AC 2tan2α＋2¯ AB ¯ AC tanαsin (ω) ¯ IK ＝cotα
2 AB ¯2＋ ¯ AC 2tan2α－2¯ AB ¯ AC tanαsin (ω)
性質 十七
已知四邊形 ABED 是△ABC 以 BA 邊外接的（r,θ）平行四邊形，四¯ 邊形CAIH 是△ABC 以¯ AC 邊外接的
（r,θ）平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ CB 邊外接的（1
r, 180°－
θ）平行四邊形；J 點、L 點、K 點 分別是四邊形 ABED、四邊形 CAIH 與四邊形 BCGF 中心，連接¯ JL 與 AK ，若¯¯ JL 與¯ AK 交於 M 點，則：(1) AK ：¯¯ JL ＝1：r；(2) ∠JMK＝180°－
θ。
已知四邊形ABED 是△ABC 以¯ AB 邊內接的（r,θ）平行四邊形，四 邊形CAIH 是△ABC 以¯ CA 邊內接的
（r,θ）平行四邊形，四邊形 BCGF 是△ABC 以¯ BC 邊內接的（1
r, 180°－
θ）平行四邊形；J 點、L 點、K 點 分別是四邊形ABED、四邊形 CAIH 與四邊形BCGF 中心，連接¯ JL 與 AK ，若¯ ←→
JL 與←→
AK 交於 M 點，
則：(1) ←→
AK ：←→
JL ＝1：r；(2) ∠
KMJ＝θ。
性質二 已知四邊形DAKL、BCGH 分別 已知四邊形DAKL、BCGH 分別
