一、符號的增加
在訪問過程中，我們可以發現有許多的受訪者認為定義中的「符號」
太多會形成其理解定義的阻礙與困難(受訪者 1，2，3，4，5，7，8，10，11，
12 號，共 10 名受訪者)，此類受訪者中有 6 位均傾向將一般數學問題或定義 以「圖形化」的方式進行理解；有 2 位受訪者(1 號與 8 號)較傾向以符號化 方式進行理解，2 位受訪者(11 號與 12 號)則視情況可在符號與圖形間切換，
但符號若過多，這 4 位受訪者(1，8，11，12 號)亦感到定義變得複雜，而難 以利用符號進行動態化操作而感到抽象；對此類受訪者而言，「符號過多」、
「難以圖形化」、「難以動態化操作」是五項定義形成抽象感的主因，但是，
在五項定義中，由於「符號過多」而形成邏輯條件關係複雜的「定義 4」與
「定義 5」，才是讓其較感到難以「動態化操作」或「圖形化操作」的定義，
而並非較為口語化的定義 1 與定義 2。
另外，有 3 位受訪者(2，3，5 號)對於 ε 符號並未瞭解其用來描述「無 限小」的動態逼近意涵，因此，這些受訪者無法理解定義 3、4、5 的敘述，
亦無法形成任何在腦中進行動態操作的表徵，因此，定義 3、4、5 對其而言，
不僅是抽象，亦為難懂。
而這一類型因為「符號的增加」而感到抽象的受訪者比較傾向以「定 義 1 或定義 2 的敘述」在腦中形成函數極限較簡易的圖形化表徵的原型，當 問卷中對函數極限定義敘述提及定義 4 與 5 時，這一類型的受訪者須將敘述
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圖 5-3-1 13 號受訪者以圖形解釋選項 C 敘述中「足夠小」使定義不完整的原因
三、對語法與特定字詞的理解
Spivak(1967)在其所著的微積分教科書提到函數極限的形式化定義如下，
即本研究中的函數極限定義 5：
The function f approaches the limit L near a means: for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then │f(x) - L│< ε.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
對於任意的 ε > 0，都存在一個對應的 δ > 0，使得對所有的 x 而言，若 0 < │x - a│ < δ，則│f (x) - L│< ε。
4 號受訪者指出，一般在函數極限的原文定義中，會出現兩次的 ”for all…” (即上述定義的 ”for every…, for all….”)，雖然兩者的字面意義相同，
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圖 5-3-2 11 號受訪者以圖示說明尋找 δ 的動態歷程
四、學習函數極限定義時，缺乏連續的概念
Spivak(1967)在其所著的微積分教科書提到函數極限的前二項口語化定 義如下，即本研究中的函數極限定義 1 與定義 2：
1. 定義 1
The function f approaches the limit L near a, if we can make f(x) as close as we like to L by requiring that x be sufficiently close to, but unequal to, a.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
若 x 足夠靠近 a，但 x 不等於 a，則 f(x)就能如你所想的靠近 L。
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2. 定義 2
The function f approaches the limit L near a, if we can make│f(x) - L│as small as we like to L by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a.
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係，讓人會有把│x - a│和│f(x) - L│分成兩部分來看的錯覺，所以 你會找不到兩者之間的對應關係。
So0412M: 我後來發現自己有這樣的問題是因為一開始在學這部分的時候，
並沒有連續的概念，所以會找不到│x - a│和│f(x) - L│之間的對應 關係，但是當我有了連續的概念之後，我就能夠理解為什麼「當│x - a│很小的時候，│f(x) - L│就會變得很小」這句話了(如圖 5-3-3)。
所以一開始沒有連續概念的時候，我對於「當│x - a│很小的時候，
│f(x) - L│就會變得很小」這句話其實並不瞭解，所以當時我只能 去硬記。後來對於連續的概念比較清楚了，等學到高微的時候，
高微裡的所提到的連續函數，有些連續的定義又與以前不一樣，
比如說「連續」與「均勻連續」，這時候我就比較會仔細去想這 兩者定義裡面條件的不同。
圖 5-3-3 4 號受訪者以圖示解釋│x - a│與│f(x) - L│在定義中的對應關係
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第陸章 討論、結論與建議
本章共分三節，第一節針對本研究結果進行相關的討論；第二節提出本研 究的結論；第三節則為往後的相關研究提出建議。