本節依照學生的年級，從大一到大四，分為四個部分討論 13 位受訪者對於 五項定義從抽象到具體的排序；經由前一節的定義的差異性比較，總結出五項定 義對各受訪者形成抽象感的來源，並說明經過問卷的十組成對比較，與訪談的深 入討論之後，受試者對於五項定義由抽象到具體的排列順序是否發生改變。
一、大一部分
大一部分的三位同學均認為定義中「符號」越多越抽象，當符號(如：
絕對值與ε - δ )增加的時候，擅用圖形化思考的 2 號與 3 號受訪者會無法將 文字與符號圖形化，並且對於ε - δ 符號，也缺乏「無限小」的深入意涵思
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Fr0128M: 我覺得會有這種改變抽象次序的情形是因為剛開始看到題目的時 候，可能太久沒有碰這些極限的定義，而且在看這些定義的敘述 的時候，會先去看文字，而比較不會去注意符號，所以會覺得越 符號化的選項越抽象，會覺得有ε與δ出現的選項非常抽象，但 是，經過很多次的兩兩比較之後，我會開始仔細回憶和思考ε與 δ在定義裡面的功能和意義，當我逐漸對ε與δ夠清楚和熟悉之 後，在整段敘述中，符號會變得比文字要突顯鮮明很多，我反而 會特別去注意符號，所以到最後反而會覺得有符號ε與δ出現的 選項會變得最具體。
二、大二部分
大二部分的三位同學之中，有兩位與大一同學一樣，均認為「符號」越 多的敘述越抽象，擅用圖形化思考的 4 號與 5 號受訪者會無法將文字與符號 圖形化，但 4 號同學對於 ε 符號具有「無限小」的意涵思考，因此會認為定 義 3 其實與定義 1、定義 2 一樣具體，由於 5 號同學對於 δ 符號與函數極限 定義之間的關係仍無法掌握，所以仍然會覺得定義 4 與定義 5 是抽象的。而 5 號同學對於絕對值符號與 ε - δ 符號均無法掌握，因此會認為五項定義中除 了定義 1 以外，都很抽象。相反地，擅於符號思考的 6 號同學卻認為敘述中 符號的增加可以幫助其理解定義，可以促使定義更加明確，更加具體，而口 語文字的「夠靠近」、「足夠小」會使得定義產生缺漏或誤解語義，反而是 提供抽象感的來源，因此對五個選項由抽象到具體的排列與其他兩位受訪者 是不相同的(見表 5-2-2)。
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三、大三部分
大三的受訪者之中，7 號受訪者較擅於圖形化思考，8 號與 9 號受訪者 較擅於符號化思考；7 號受訪者認為選項 D(定義 4)為五個選項之中最具體 的定義，其中的ε - δ 符號可以幫助他在座標上指定一個「無限小」的區間，
是最能明確地說明受訪者心中函數極限定義的敘述，7 號受訪者認為 ε - δ 符 號對於理解函數極限的概念是一種「幫助」而非「阻礙」，因此 7 號受訪者 認為定義 4 與定義 5 較為具體，而定義 1 與定義 2 較為抽象。8 號受訪者雖 然認為符號對其在一些證明題目的書寫上處理較為快速，對其理解上有幫助，
但是當敘述中符號增多的時候，條件會變多，整體敘述的邏輯也會變得複雜，
因此 8 號受訪者認為定義 4 與定義 5 的敘述較不直觀而抽象，而定義 1 與定 義 2 較為具體。9 號受訪者則認為符號化與數學式的寫法可以讓一個概念變 得最精簡，定義上也最容易操作或推理，因此認為越「符號化」和「數學式」
的寫法是越好操作而具體的，因此 9 號受訪者排列五個選項由抽象到具體的 趨向與 7 號受訪者較為一致(見表 5-2-3)。
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Re0724F: ABCED 是你作完題目之後判斷的順序，但如果是剛開始作題目 的時候呢？你心中排列的順序有沒有什麼不一樣？
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三位受訪者排列五個選項由抽象到具體的趨向均為定義 5，4，3，2，1(選項 EDCBA)，也就是符號越多的定義越抽象，但有一位較擅長符號化思考的同 學(受訪者 13 號)則認為認為「符號」的增加對其理解數學問題會形成「幫 助」，ε - δ 符號的出現可以幫助函數極限定義變得更明確、簡潔而具體，因 此，其排列五個選項由抽象到具體的趨向與另外 3 位剛好相反，為定義 1，
2，3，4，5(選項 ABCDE)。但在五項定義由抽象到具體排列的順序上，大 四的四位受訪者在進行成對比較與訪談後均未發生任何改變。
表 5-2-4 大四受訪者的問卷與訪談資訊整理之一
年級 大四 大四
編號
10 號 11 號
性別 女 女
初微上學期平均成績區間(分) 90-100 80-89 大一時對ε-δ 定義感受到的抽象程度 很抽象 有一點抽象 何時對ε-δ 定義有較深刻的瞭解 初微 高微
判斷抽象最重要的依據 難以動態化操作 難以動態化操作
判斷抽象第二重要的依據 難以圖形化 對於...存在…
五個選項由抽象到具體的排列(原本) EDCBA (ED)C(BA) 五個選項由抽象到具體的排列(後來) 無改變 無改變
以圖形或符號(條件)理解選項 圖形 圖形/符號
能畫出圖形的選項 AB ABCDE
符號的增加是幫助或阻礙理解 阻礙 阻礙
選項 A 圖形表徵的靠近之方向性 雙向 雙向
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表 5-2-5 大四受訪者的問卷與訪談資訊整理之二
年級 大四 大四
編號
12 號 13 號
性別 女 男
初微上學期平均成績區間(分) 80-89 80-89 大一時對ε-δ 定義感受到的抽象程度 很抽象 有一點抽象 何時對ε-δ 定義有較深刻的瞭解 高微 準備研究所
判斷抽象最重要的依據 邏輯化敘述 足夠小
判斷抽象第二重要的依據 符號太多 不夠嚴謹
五個選項由抽象到具體的排列(原本) (ED)CBA ABCDE 五個選項由抽象到具體的排列(後來) 無改變 無改變 以圖形或符號(條件)理解選項 圖形/符號 符號(條件)
能畫出圖形的選項 ABCDE NA
符號的增加是幫助或阻礙理解 阻礙 幫助
選項 A 圖形表徵的靠近之方向性 雙向 -
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