在量化資料分析的部分，本研究採用了多元尺度法，以及 Bradley-Terry 模 型分析，但由於學生其對於五項函數極限定義由抽象與具體程度的判準方式，有 可能會隨著成對比較題目答題題數的增加而改變，若要區別在答題過程中，曾經 改變判準方式的集群，並瞭解其對定義抽象程度判斷的變化情形，可能會需要設 計更為適合此類資料分析的數學模型與集群分析軟體。
在研究主題—函數極限的部分，建議可以對函數極限的概念進行延伸，針對 函數極限、連續性、以及可微性，在形式化定義之間的條件對應關係，與其相關 的概念進行抽象程度差異的探討。
在研究主題—反思抽象的部分，對於傾向利用圖形表徵或符號(邏輯條件)表 徵進行反思抽象的不同學生類群，建議可以探討在其學習過程中，形成個人抽象 思考偏好的可能機制，並瞭解學生是如何透過課程訓練進而有效學習以符號(邏 輯條件)表徵進行反思抽象的。
在基礎微積分課程—函數極限定義現場教學的部分，建議老師在進行函數極 限形式化定義教學的時候，可以先參考本研究第五章第三節之五項定義形成學生 抽象感的可能原因，以瞭解學生對於函數極限形式化定義之中的符號、詞彙與語 法可能會產生迷思或誤解的地方；並且，在完成函數極限形式化定義教學之後，
亦可以請學生填寫本研究所發展出的函數極限定義抽象感的調查問卷，利用問卷 結果來估計對抽象判斷的表現不同類群(例如：認為符號越多越抽象，或認為定 義越不嚴謹越抽象)的學生人數分布情形。
165
在基礎微積分課程—函數極限定義學生學習的部分，可以利用 Spivak (1967) 的五項函數極限定義，讓學生以作業練習或學習單的方式，對五項函數極限定義 由較為口語化的敘述到最終形式化定義的敘述，逐一進行差異性的比較，以幫助 學生釐清函數極限形式化定義之中所出現的符號、詞彙與語法敘述的重要性及其 深入意涵，以及函數極限形式化定義在數學上難以為口語化定義取代的理由。
166
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174 1. 姓名：_______________
2. 就讀科系：_______________ 年級：_______________
最抽象 ____________________________________________ 最不抽象 7-2. 請問你所選擇的最抽象的科目對您而言抽象的理由為何？(可複選，有其 他想法請加以詳述)
□ 難以視覺化 □ 在腦海中難以想像操作 □ 常與現實情況不一致
□ 例外情況太多 □ 專有名詞太多 □ 符號太多
□ 語言敘述與日常用法差異過大
175
□ 其他：____________________________________________________
176
10. 函數極限定義抽象性的成對比較檢測：
本題為示範練習題
請依你所判斷的抽象程度量級，在選項 A 與 B 之間選擇較抽象的選項及程度 打勾。
例如：
若您認為代數較幾何稍微抽象，請先在選項 B 打勾，並在靠近右方稍微抽象 的數字 3 底下打勾。
177
正式題目開始
以下敘述皆用來表達函數極限的定義，請選出您認為較為抽象的敘述方式，再依 其抽象程度打勾。
若 f 為一個定義於包含 a 的開區間的函數 (a 點以外的點都有定義)。
則極限式 im𝑋 a𝑓 𝑥 𝐿 可定義為 (1)
(2)
178
(3)
(4)
179
(5)
(6)
180
附錄 A-2 函數極限定義抽象感調查的問卷版本二 同學您好，
這份問卷訪問的目的是想瞭解對於不同學習階段的數學系學生而言，
「函數極限」(limit) 的 ε - δ 定義與相關概念之於學生所形成的抽象 情形、程度、以及可能成因，以期幫助改善未來現場的教學情形。
請填寫您的相關基本資料，並在您所屬的選項中打勾，您所填寫的資 料僅作為學術研究使用，所有資訊將會予以保密。感謝您的參與以及 協助!
台師大科教所研究生 袁珮倫 謹致
一、請填入您的基本個人資料：
1. 姓名： __________
2. 性別： □ 男 □ 女
3. 就讀學校：________________ 4. 年級：_____________
5. 請問您修過微積分課程嗎？
□未修 □目前正在修課 □已修 6. 請問您修過高等微積分課程嗎？
□未修 □目前正在修課 □已修
7. 請問您修過其他分析相關課程 (例如：實變、實分析) 嗎？
□未修 □目前正在修課 □已修
181
二、請回答以下對於您大一基礎微積分課程學習情形的相關問題：
1. 您覺得您大一時基礎微積分課程所使用的課本內容與教材：
□偏難 □適中 □偏易 2. 您覺得您大一時基礎微積分課程老師教學的內容：
□偏難 □適中 □偏易 3. 您大一第一次修基礎微積分成績大約落於哪一個區間？
□ 90-100 分 □ 80-89 分 □ 70-79 分 □ 60-69 分 □50-59 分
□ 40-49 分 □ 30-39 分 □ 20-29 分 □ 10-19 分 □ 1-9 分
三、以下為「函數極限」(limit) 的 ε - δ 形式化定義：
The function f approaches the limit L near a means:
for every ε > 0, there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then│f(x) - L│< ε.
(Spivak, 1967)
1. 請問您在大衣基礎微積分時學習函數極限部分的段考成績(例如：大一上 學期第一次期中考成績)大約落於哪個區間？
□ 90-100 分 □ 80-89 分 □ 70-79 分 □ 60-69 分 □50-59 分
□ 40-49 分 □ 30-39 分 □ 20-29 分 □ 10-19 分 □ 1-9 分
182
2. 請問您覺得自己大一時在學習「函數極限」(limit) ε - δ 定義的學習情況 如何？
□ 很清楚明瞭
□ 大部分清楚
□ 半知半解
□ 只明白一點點
□完全不清楚
3. 請問您在學習基礎微積分時，對於「函數極限」(limit) 的 ε - δ 定義感 到抽象嗎？
□ 極為抽象
□ 大部分抽象
□ 一半一半
□ 有一點抽象
□ 幾乎不抽象
4. 承上，若您對 ε - δ 定義感到抽象，您處理的方式為： (可複選) 背誦下來
反覆思考
請教老師、助教、同學 不予理會
其他(請將您的處理方式填入下方的空格中)
__________________________ ___________
183
四、個人偏好調查：
1. 就您由小學至高中時所學幾何與代數的內容而言，何者比較抽象？
□ A □ B
2. 承上，請問您所選擇的選項對您而言抽象的理由為何？(可複選) 難以利用圖形呈現表達
在腦海中難以想像操作 常與現實情況不一致 符號太多易混淆 專有名詞太多
語言敘述與日常用法差異過大 其它:
可以寫下您其他的想法或理由：_________________________________
3. 請問以下哪一種方程式的表達方式讓您覺得比較抽象？
□ A □ B
184
4. 承上，請問您所選擇的選項對您而言較抽象的理由為何？
□ 符號較多
□ 幾何圖形較複雜
□ 其他
可以寫下您其他的想法或理由：________________________________
5. 承上，您剛才在試著比較左右兩項不同方程式的抽象程度時，您腦海中 有浮現幾何圖形嗎？
□ 有 □ 無
6. 請問您平時解題時，比較傾向依靠幾何圖形操作或數字符號操作來得到 答案？
□幾何圖形 □數字符號
185
五、AB 選項的抽象程度比較：
題組 1. 若 f(x) 為一個定義於包含 a 的開區間的函數 (a 點以外的點都有定 義)。
則極限式 可定義為 …
A 與 B 選項之中，哪一種表達方式使您感到較為抽象？
請比較 A/B 選項的抽象程度差異作答。
作答方式：
(1) 若您認為 A 選項較抽象，請選擇左邊的 1~5 選項；若認為 B 選項較抽 象，請選擇右邊的 1~5 選項
(2)若您覺得 A 選項較 B 選項抽象程度差異為稍微抽象，則請選左邊的 2 號 稍微抽象選項。
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題組 2. 若 f(x) 為一個定義於包含 a 的開區間的函數 (a 點以外的點都有定 義)。
則極限式 可定義為 …
A 與 B 選項之中，哪一種表達方式使您感到較為抽象？
請比較 A/B 選項的抽象程度差異作答。
作答方式：
(1) 若您認為 A 選項較抽象，請選擇左邊的 1~5 選項；若認為 B 選項較抽 象，請選擇右邊的 1~5 選項
(2)若您覺得 A 選項較 B 選項抽象程度差異為稍微抽象，則請選左邊的 2 號
(2)若您覺得 A 選項較 B 選項抽象程度差異為稍微抽象，則請選左邊的 2 號