探討數學系學生對函數極限概念之抽象性的感知

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文. 指導教授：譚克平博士. 探討數學系學生對函數極限概念之抽象性的感知 Investigating the Perceptions of Abstractness with Respect to the Limit of Function in Calculus by Mathematics Students. 研究生：袁珮倫. 中華民國 103 年 7 月.

(2) 獻給. 每一位協助並參與過這本論文的師長、同學、朋友們。. 你們每一位都是一顆獨特的珍珠，我只是穿針引線，把你們每一位串起來，變成一條光彩奪目的珍珠項鍊，獻給我們所共同喜愛的數學。.

(3) 誌. 謝. 首先要感謝譚克平老師，指導我這個相當有挑戰性的題目；如果當初不是選擇了這個題目，我不會有這個機會認識到數學系這個溫暖的大家庭(包括參與過這份論文的各校數學系師生)，以及享受到師大科教所美雅姊、師長們以及同學們的熱心付出與極力的支援。. 謝謝珮瑜，從醞釀題材、提 proposal、到最後的口試，每一口的酸甜苦辣都是妳親自陪我品嘗；謝謝耿任，你和湘慧的傾囊相助，給了我新的想法和靈感，也謝謝你熱情的支持，讓我有信心在這麼多人面前提出我的研究計畫；謝謝維民、緯宏、和元宏，謝謝你們給了我很多寶貴的意見；謝謝舒琪和子雅，妳們是我最棒的啦啦隊!. 謝謝許瑞麟老師，您的每一句話都是既扎心又真誠的建議；謝謝陸行老師，耐心地聽著我這些剛開始萌芽的想法。謝謝左太政老師熱心又及時的指導，讓我的問卷如虎添翼；謝謝梁淑坤老師耐心地看過這本有點厚重的論文，讓它更加完整，去蕪存菁。謝謝蔡蓉青老師，謝謝您帶著我認識了 Latent GOLD (雖然這本論文還沒有機會使用到)，也體驗到學會新的統計軟體的成就感。謝謝林延輯老師，謝謝您慷慨地提供各項支援以及寶貴建議；謝謝張幼賢與謝世峰老師，謝謝您們大力的支持與協助。. 謝謝維良助教和小吳助教，謝謝世揚助教；謝謝瓊芳、逸銓、育仁、坤瑋；謝謝信憲、軒慈、明祥；謝謝俞閔和婉瑜；謝謝欣怡和雲峰；謝謝柏諭，謝謝你一路挺我到最後；謝謝每一位曾經幫忙填寫過問卷的數學系同學們；謝謝爸爸媽媽盡心盡力的栽培與支持；以及感謝上帝不斷的帶領往前與無時無刻地陪伴!.

(4) 探討數學系學生對函數極限概念之抽象性的感知. 摘要. 本研究欲探討數學系學生在學習基礎微積分時，對於函數極限的形式化定義是否會感到抽象？他們感受到的抽象性是有何內涵？這種抽象觀念從何而來？他們通常會如何處理及面對自己感到抽象的概念？學生們心中的抽象直覺與文獻中的抽象意涵是否具有相關性？或者要如何界定？. 本研究採用自基礎微積分教科書上所節錄從口語化到形式化逐步調整的五項函數極限定義，以成對比較法作為問卷設計的主軸，讓受試者進行五項定義之間抽象程度的比較。量化分析的部分利用了多元尺度法的知覺圖瞭解可能影響受試者判斷抽象程度的重要因素；並利用 Bradley-Terry 模型探討細部不同群組之間的差異。最後再從有效問卷樣本的受試者中抽樣進行深入晤談，晤談時以五項定義之間的差異性比較的方式進行，為瞭解影響受試者判斷抽象程度的真正原因。結果發現，學生對於函數極限的形式化定義感到抽象的型態可簡單歸納為三種類型，第一類的學生將抽象視為難懂，但第二類與第三類的學生則與其將問卷中的五項函數極限定義轉譯為其心目中最能表達函數極限定義的不同方式有關；雖然學生心中的抽象直覺與文獻中的抽象意涵有所不同，但在學生進行成對比較與定義之間的差異性比較時，可以觀察到學生如何以文獻中的抽象思考方式，對五項函數極限定義產生數學性質的知識建構。. 關鍵詞：微積分、函數的極限、ε - δ 定義、成對比較法、反思抽象.

(5) Investigating the Perceptions of Abstractness with Respect to the Limit of Function in Calculus by Mathematics Students Abstract The main purpose of this study is to investigate the abstract perceptions of the students who major in Mathematics when they study the concepts of limit of the function in their calculus class. We adopt five different descriptions of the definition of limit of the function from Spivak’s famous seminal textbook on Calculus. The five descriptions of definition are displayed from daily speaking language to formative mathematics language. The pair comparisons of these five descriptions of definition are designed in our questionnaire for the quantitative data analysis. We use the perceptual map of multi-dimensional scaling to analyze the possible abstract perception of students, and utilize Bradley-Terry model to cluster the different groups of students’ preference behaviors of abstract definitions. We also interview some students to look for the where their abstract perceptions come from. At last, we conclude three types of students with different abstract perceptions, and found out their construction of reflective abstract as described in our literature review when students compare the difference between the five definitions of limit of function.. Keywords: calculus, the limit of function, ε – δ definition, pair comparison, reflective abstract.

(6) 目第壹章第一節第二節第三節第四節第五節. 第貳章第一節第二節. 第參章. 次. 緒論 ........................................................................................ 1 研究背景與動機.................................................................................... 1 研究目的與問題.................................................................................... 4 名詞解釋................................................................................................ 6 研究範圍與限制.................................................................................... 7 研究貢獻................................................................................................ 9. 文獻探討 .............................................................................. 11 抽象的意涵.......................................................................................... 11 函數極限的學習困難與迷思模式...................................................... 26. 研究方法 .............................................................................. 29. 第一節第二節. 研究方法設計...................................................................................... 29 研究對象.............................................................................................. 32. 第三節第四節第五節. 量化分析方法...................................................................................... 34 量化研究工具的內容、設計與修正.................................................. 39 研究的步驟與流程.............................................................................. 67. 第肆章. 量化資料分析結果 ............................................................... 71. 第一節. 背景資料與學習情形分析.................................................................. 71. 第二節第三節. 多元尺度法分析.................................................................................. 83 Bradley-Terry 模型分析 ...................................................................... 87. 第伍章. 質性訪談分析結果 ............................................................... 95. 第一節第二節. 定義之間的差異性比較...................................................................... 96 五項定義由抽象到具體的排序與排序的改變................................ 136. 第三節. 五項定義形成學生抽象感的可能原因............................................ 145. 第陸章第一節第二節第三節. 討論、結論與建議 ............................................................. 154 討論.................................................................................................... 154 結論.................................................................................................... 162 建議.................................................................................................... 164. 參考文獻 ............................................................................................ 166 i.

(7) 附錄……………………………………………………………………174 附錄 A-1 函數極限定義抽象感調查的問卷版本一 ...................................... 174 附錄 A-2 函數極限定義抽象感調查的問卷版本二 ...................................... 180 附錄 A-3 函數極限定義抽象感調查的問卷版本三 ...................................... 201. ii.

(8) 表. 次. 表 3-2-1. 有效問卷的各校男女個數與各校總人數 ................................................ 32. 表 3-2-2 表 3-4-1 表 3-4-2 表 3-4-3 表 3-4-4 表 3-4-5 表 3-4-6. 質性研究各年級的男女個數與總人數 .................................................... 33 第一版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣 ........................................ 43 第一版問卷受試者知覺圖上各點的位置座標 ........................................ 45 第二版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣 ........................................ 51 第二版問卷受試者知覺圖上各點的位置座標 ........................................ 53 第二版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣(前五次成對比較) ......... 56 第二版問卷受試者知覺圖上各點的位置座標(前五次成對比較) ......... 57. 表 3-4-7 表 3-4-8 表 4-1-1 表 4-1-2 表 4-1-3 表 4-1-4. 第三版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣 ........................................ 60 第三版問卷受試者知覺圖上各點的位置座標 ........................................ 62 有效樣本之性別分布情形 ........................................................................ 71 有效樣本之學校分布情形 ........................................................................ 72 有效樣本之學生年級分布情形 ................................................................ 72 A 校之基礎微積分教學趨向 .................................................................... 73. 表 4-1-5 表 4-1-6 表 4-1-7 表 4-1-8 表 4-1-9 表 4-1-10. B 校之基礎微積分教學趨向 .................................................................... 73 C 校之基礎微積分教學趨向 .................................................................... 74 三校之基礎微積分教學趨向 (以百分比計，%) .................................... 74 三校之基礎微積分教學趨向合併計算 (以百分比計，%) .................... 74 老師上課時講解函數極限 ε - δ 定義的方式 (複選，以百分比計，%)75 受訪者對於函數極限 ε - δ 定義的學習情形 (以百分比計，%) ........... 76. 表 4-1-11 學生對於函數極限 ε - δ 定義不理解時的處理方式 ............................... 77 (複選，以百分比計，%)............................................................................................ 77 表 4-1-12 各校學生對於函數極限 ε - δ 定義感到抽象的程度 (以百分比計，%)77 表 4-1-13 學生對於 ε - δ 定義感到較為深刻瞭解的學習階段 (以百分比計，%)78 表 4-1-14 學生在成對比較測驗判斷抽象理由的選擇人數 .................................... 79 表 4-1-15 學生在成對比較測驗判斷抽象理由的選擇人數最多的前三(四)名 ..... 79 表 4-1-16 學生以不同的評斷方法，為五項函數極限定義評分 ............................ 81 表 4-2-1 表 4-2-2 表 4-3-1 表 4-3-2 表 4-3-3 表 4-3-4. 多元尺度分析知覺圖的四維空間座標 .................................................... 84 多元尺度法的配合度分析 ........................................................................ 86 有效樣本的價值參數(Maximum Likelihood Estimate) ........................... 89 有效樣本的價值參數(Odds Ratio Estimate) ............................................ 89 有效樣本於成對比較題組中選擇選項(數字為 1 者)為抽象的機率 ..... 90 選擇第一順位為「難以使敘述圖形化」的受試者之價值參數 ............ 90. (Maximum Likelihood Estimate) ................................................................................. 90 表 4-3-5 選擇第一順位為「難以使敘述圖形化」的受試者之價值參數 ............ 91 iii.

(9) (Odds Ratio Estimate) .................................................................................................. 91 表 4-3-6 選擇第一順位為「難以使敘述圖形化」的受試者於 ............................ 91 成對比較題組中選擇選項(數字為 1 者)為抽象的機率 ........................................... 91 表 4-3-7 不同集群對各定義的價值參數及參數由小到大排序 ............................ 92 表 4-3-8 選擇第一順位為「定義敘述不夠嚴謹，不夠完整」的 ........................ 92 受試者之價值參數 (Maximum Likelihood Estimate) ............................................... 92 表 4-3-9 選擇第一順位為「定義敘述不夠嚴謹，不夠完整」的受試者之價值參數(Odds Ratio Estimate) .............................................................................................. 93 表 4-3-10 選擇第一順位為「定義敘述不夠嚴謹，不夠完整」的受試者於 ........ 93 成對比較題組中選擇選項(數字為 1 者)為抽象的機率 ........................................... 93 表 5-2-1 大一受訪者的問卷與訪談資訊整理 ...................................................... 138 表 5-2-2 表 5-2-3 表 5-2-4 表 5-2-5 表 6-1-1. 大二受訪者的問卷與訪談資訊整理 ...................................................... 140 大三受訪者的問卷與訪談資訊整理 ...................................................... 142 大四受訪者的問卷與訪談資訊整理之一 .............................................. 143 大四受訪者的問卷與訪談資訊整理之二 .............................................. 144 有效問卷中學生對於函數極限 ε - δ 定義感到抽象的程度 ................. 155. iv.

(10) 圖. 次. 圖 3-4-1 圖 3-4-2. 第一版問卷受試者的知覺圖 .................................................................. 45 第二版問卷受試者的知覺圖 .................................................................. 53. 圖 3-4-3 圖 3-4-4 圖 3-5-1 圖 4-2-1 圖 5-1-1 圖 5-1-2. 第二版問卷受試者的知覺圖(前五次成對比較) ................................... 57 第三版問卷受試者的知覺圖 .................................................................. 62 本研究之研究流程圖 .............................................................................. 67 多元尺度分析的知覺圖 .......................................................................... 84 2 號受訪者將選項 AB 的文字轉換為圖形化表徵 ............................... 98 4 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵 ................................ 101. 圖 5-1-3 圖 5-1-4 圖 5-1-5 圖 5-1-6 圖 5-1-7 圖 5-1-8 圖 5-1-9. 9 號受訪者將選項 B 的文字轉換為圖形化表徵 ................................ 102 5 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵 ................................ 103 6 號受訪者將選項 AB 的文字轉換為圖形化表徵 ............................. 106 7 號受訪者以「區間」的型態將│x - a│的符號轉換為圖形表徵 .... 107 8 號受訪者將選項 A 的文字轉換為符號化表徵 ................................ 109 9 號受訪者將選項 AB 的文字轉換為符號化表徵 ............................. 111 10 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵 .............................. 112. 圖 5-1-10 圖 5-1-11 圖 5-1-12 圖 5-1-13 圖 5-1-14 圖 5-1-15. 11 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵 .............................. 114 12 號受訪者將選項 ABCDE 的文字轉換為圖形化表徵 ................... 117 1 號受訪者比較 AE 選項的敘述何者較為靠近極限值 L .................. 119 4 號受訪者說明自己如何透過證明題瞭解 ε 在定義裡的作用 ......... 122 4 號受訪者為選項 C 定義出找尋極限值的範圍 ε.............................. 123 CDE 選項在 5 號受訪者腦海中所形成的圖形表徵 ........................... 125. 圖 5-1-16 9 號受訪者將選項 BC 的文字轉換為符號化表徵.............................. 129 圖 5-1-17 11 號受訪者說明當「任意」的 ε 取為「無限大」的時候， ........... 130 f(x)會無法靠近 L ...................................................................................................... 130 圖 5-1-18 定義 4 與定義 5 在不等式寫法上的差異 ............................................ 133 圖 5-3-1 13 號受訪者以圖形解釋選項 C 敘述中「足夠小」使定義不完整的原因…………................................................................................................................ 148 圖 5-3-2 圖 5-3-3. 11 號受訪者以圖示說明尋找 δ 的動態歷程 ....................................... 151 4 號受訪者以圖示解釋│x - a│與│f(x) - L│在定義中的對應關係 ..... 153. v.

(11) vi.

(12) 第壹章. 緒論. 本章共分成三節，第一節描述本研究的背景與動機；第二節介紹研究目的與問題；第三節為名詞解釋。. 第一節研究背景與動機. 「抽象」(abstract) ，無論對於語言學家，科學家，數學家，心理學家，教育學家，甚至是藝術家來說，都是許多人熱切研究的對象。然而，在每個人的心目中，對於「抽象」的定義與詮釋都不盡相同。. 一般而言，「抽象」(abstract) 的反義字為「具體」(concrete) (Merriam-Webster's Collegiate Dictionary, 2004)。自 60 年代起，許多實驗心理學學者致力研究於字彙本身的抽象與具體性質。當時的實驗心理學學者將「具體」定義為一切能夠被見到、聽到、感受到、聞到、嘗到的人事地物的「具體對象」，簡而言之，也就是能夠直接經由感官感受或經驗體驗到的稱之為具體；反之，若是不能夠直接經由感官感受或經驗體驗到的，則稱之為抽象(Toglia & Battig, 1978)。. Gorman (1961) 利用 Thorndike-Lorge (1944) 的 30,000 字英語字彙書，按照書中字彙排列使用頻率高低不同先選出 1791 個英文單字，再請兩位著名英語字典編彙專家按照抽象程度將選出的單字區分為高低兩群不同抽象程度，對 32 位大學生做識別記憶施測；結果發現，抽象的單字較具體的單字更難以記憶，而使 1.

(13) 用頻率高的單字也不見得容易記得，因為頻率高的單字容易與其他字彙結合，而附有多種不同含意，容易使人混淆。在認知的層面上，由於學習的效果經常是以記憶的型態作為判定，學者們 (Stoke, 1929; Jampolsky, 1950; Gorman, 1961) 發現越是抽象的字彙越是難以被記憶與確認，也可能形成學習上的困難。. 直到 20 世紀晚期，當新的神經認知科學的實驗技術與實驗儀器有大幅進展之後，神經認知的研究學者開始利用各種大腦影像的分析工具，如：EEG/ERP （腦電波儀）、f-MRI (功能性磁振造影)、PET (正子斷層攝影) 等工具來研究許多在學習與認知行為背後，腦中真實發生的運作機制與相關證據。1999 年，Kiehl 等人(Kiehl, Liddle, Smith, Mendrek, Forster, and Hare, 1999)按照 Toglia 與 Battig (Toglia & Battig, 1978) 對抽象的定義所分類出來的抽象與具體字彙，並利用 fMRI 作為測量，發現人腦對於這些抽象與具體的單字進行確認時，腦中活化的區域是不同的。特別在確認抽象的字彙時，右腦中的前顳葉皮層會有顯著的活化現象，而左腦對於處理兩種不同字彙之時，活化區域的差異性不大。. 而在數學教育方面，Larger (2006) 提起學生在數學語言閱讀上的困難，特別是當學生以非母語的語言學習數學的時候，他引用了 Cuevas (1984) 的解釋：「當我們將數學學習本身視為一種語言學習的時候，就如同語言學家使用語言紀錄器 (language register) 一詞指出語言中用來作為特定功能使用的意義，也就是用來傳達這些意義的字與結構；相仿地，數學的語言紀錄器 (mathematical register) 則可被定義為天然語言使用在數學上而具有的意義；然而，數學的語言紀錄器比起天然語言的語言紀錄器需要更為精確，因為其字詞意義所屬的使用範圍是更為狹窄的。」Larger (2006) 亦指出，目前數學的語言紀錄器並未將一個數學字彙所表徵概念的抽象程度列入，但在語言概念上的抽象程度，字彙所表徵概念的抽象程度卻是可以被列入作為字彙習得困難程度的表示。 2.

(14) 在學習數學的過程中，相較於語文、人文科學、社會科學、自然科學等等學習科目而言，數學往往給予學生較強烈的抽象感。特別當學生進入到大學，開始學習高等數學的入門課程 – 基礎微積分的時候，許多學生更是難以理解與體會微積分本身在形式化定義與概念上所產生的抽象性，因而形成了許多學習上的困難。. 因此本研究欲探討數學系學生在學習基礎微積分時，對於函數極限的形式化定義所形成的抽象感有哪些？並分析其可能造成抽象感的原因何在？如何解決學生在學習這些相關定義與概念時，因抽象感而形成的學習困難？對於這些因抽象而形成的學習困難能否提出一些具有幫助的教學建議？. 3.

(15) 第二節研究目的與問題. 一、研究目的. 有鑑於一般學生在學習微積分時，對於函數極限的概念與形式化定義皆會主觀地感到「抽象」，而這種抽象的直覺是否可以使用文獻中數學教育學者在數學概念發展中對於抽象意涵的研究理論加以澄清及界定？. 藉由對數學系學生的問卷蒐集與訪談分析，使上述學生感受到的抽象直覺與文獻中抽象意涵之間的關係與界定得以明朗化，從而讓日後數學教育界研擬合適的教學方法，以協助學生克服學習函數極限概念與形式化定義的困難。. 二、研究問題. 根據上述的研究目的，本研究的研究問題包含：. 1. 瞭解數學系學生在學習基礎微積分時，對於函數極限的形式化定義是否會感到抽象？. 2. 如果會，他們感受到的抽象性是何所指？有何內涵？這種抽象觀念從何而來？. 4.

(16) 3. 他們通常會如何處理及面對自己感到抽象的概念？. 4. 學生們心中的抽象直覺與文獻中的抽象意涵是否具有相關性？或者要如何界定？. 5.

(17) 第三節. 一、. 名詞解釋. 形式化、數學化、符號化語言：. 在本研究中的形式化、數學化、符號化語言意指精確嚴謹的數學語言，包括數學定義、數學符號等等。. 二、. 生活化、口語化語言：. 在本研究中的生活化、口語化語言意指非形式化語言，即與一般日常生活經驗接近的語言，其中包括日常使用的口語與文字等等。. 三、. 函數極限的形式化定義：. 若 f 為一個定義於包含 a 的開區間的函數(a 點以外的點都有定義)。函數 f 在靠近 a 處有極限 L 是指：對於任意的 ε > 0，都存在一個對應的 δ > 0，使得對於所有的 x 而言，若 0 < │x - a│ < δ，則│f (x) - L│< ε。. The function f approaches the limit L near a means: for every ε > 0, there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then│f (x) - L│< ε. (Spivak, 1967, p. 78). 6.

(18) 第四節研究範圍與限制. 本研究的研究範圍與限制界定如下：. 一、由於參與本研究的對象並非隨機抽樣，故無法將推論至母群體，僅可以推論至背景屬性與抽樣對象相似的群體。. 二、本研究探討的「函數極限概念」，僅限定於 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中所敘述的五項函數極限定義範圍，對抽樣學生進行抽象感的分析與討論，並非一般廣泛的「函數極限概念」：. 1. The function f approaches the limit L near a, if we can make f(x) as close as we like to L by requiring that x be sufficiently close to, but unequal to, a. 2. The function f approaches the limit L near a, if we can make│f(x) - L│as small as we like to L by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a. 3. The function f approaches the limit L near a, if for every number ε > 0, we can make│f(x) - L│< ε by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a.. 4. The function f approaches the limit L near a, if for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if │f(x) - L│< ε and x ≠ a, then │f(x) - L│< ε. 5. The function f approaches the limit L near a means: for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then │f(x) - L│< ε. 7.

(19) 本研究中所提偏向「口語化」的函數極限定義，為上述定義中順序位置較前面的定義；而偏向「數學化」、「符號化」、「形式化」的函數極限定義為上述定義中順序位置較後面的定義。. 8.

(20) 第五節. 研究貢獻. 本研究的主題在於探討台灣一般的大學數學系學生對函數極限形式化定義所形成的抽象性感知；特別從學生的角度出發，瞭解他們對於函數極限形式化與口語化的定義的抽象程度高低排序的情況與依據。本研究採用了 Spivak (1967) 基礎微積分教科書中對於函數極限所陳述的五項定義作為研究的引子，讓學生判斷其抽象程度高低差異，並以此五項定義作為主軸，利用成對比較法 (pair comparison) 的方式，發展出一套為台灣一般數學系大學部學生設計的函數極限定義抽象感調查的問卷。. 藉由來自三所不同大學的數學系學生對於問卷的作答情形，本研究分別利用量化方法與質性訪談來分析學生對函數極限形式化定義之抽象感的資料與資訊。在量化方法的部分，本研究採用了多元尺度法與 Bradley-Terry 模型進行分析；利用多元尺度法，可以幫助研究者瞭解造成學生判斷五項定義抽象程度差異的可能原因，以及五項定義在學生心理量尺上的空間距離相對分布的情形；利用 Bradley-Terry 模型分析，可以幫助研究者瞭解學生對於五項定義抽象程度的高低排列方向判斷。在質性部分，本研究針對不同年級的數學系學生採樣，個別進行深入訪談，發現學生判斷函數極限形式化定義的抽象程度順序與抽象感來源，因人有所差異；在訪談中亦發現，部分受訪者判斷函數極限形式化定義的抽象程度順序會在各定義成對比較的過程之中發生排序上的改變。. 9.

(21) 10.

(22) 第貳章. 文獻探討. 本章接下來共分成兩節，第一節介紹抽象的意涵，其中包括：抽象在字面上的意涵，以及個人在數學概念發展過程中所建立的抽象 (思考) 意涵。第二節探討學生在學習函數極限的概念與形式化定義時，常見的學習困難與迷思模式。. 第一節. 抽象的意涵. 一、抽象在字面上的意涵. “Abstract”一字，中文通常翻譯為「抽象」。 "Abstract" (Barnhart, 1988) 源自於拉丁文 abstractus，其字義為 drawn away (抽離)。其中，ab(s) 的原意為 away，意即離開；tractus 一字起源於拉丁文 trahere，原意為 draw，意即提取。 Abstract 最初以形容詞的方式出現於 1387 年，有人以 abstract 一字表達「深奧難懂」的意思。一直到 1557 年，abstract 開始具有描繪「從實體物質中抽離出來」的意涵；到了 1914 年，現代藝術崛起，人們開始以「抽象表現主義」，abstract expressionism，表示出對「抽象」一字的另一個觀點，Herzog (1919) 提到：. 「抽象表現主義 … 是一種純粹的創造，它捕捉了心靈上的流動過程，將其投射出一種具體的呈現。它並未向真實世界借物表現，它創造了屬於自身的客體。」. 利用 abstract 的名詞形式作為「文章的總結與摘要」最早出現於 1528 年 11.

(23) (Barnhart, 1988)，而其動詞形式則最早被記錄於 1542 年。. 在牛津英語字典中 (Oxford English Dictionary, 2009)，則描述了 abstract 一字在現代生活之中常見的字面涵義。abstract 作為形容詞的意涵為：. 1. 存在於想法之中但並不具有物質或具體的存在，與想法有關而非事件，基於理論而並非特殊實例，表示想法、屬性、或狀態而並非具體物件。. 2. 在藝術上利用形狀、顏色、質地紋理來達到藝術家欲表現的效果，而並非嘗試表達外在的真實實體，例如：抽象畫。. Abstract 在名詞方面的意涵為：. 1. 對書籍、文章、演講內容的總結、摘要。. 2. 指一件抽象的藝術作品。. Abstract 在動詞方面的意涵有：. 1. 以理論化的方式思考。. 2. 自某客體萃取、移除、抽離出來。. 3. 對文章或書籍作摘要。. 12.

(24) 以上是 abstract 一字在一般生活語言中所使用的意涵，然而，在數學概念的發展過程中，教育學者們也經由彼此不同的觀點，提出了其心目中針對數學概念發展過程中的「抽象」所代表的意涵。以下研究者企圖由知識論之中的經驗主義、理性主義與建構主義出發，以解析教育學者們認為在數學概念發展過程中所建立的「抽象」意涵。. 二、經驗主義、理性主義、與建構主義的調和. 在西方哲學對知識論的研究觀點上，後人將其簡單區分為兩大學派：「經驗主義」 (Empiricism) 與「理性主義」 (Rationalism) 。前者是由實體的後天感官經驗出發，後者是由抽象的先天心智理性出發，進而建構出個人的知識系統。. 提出「經驗主義」的學者們認為人類的知識起源於經驗 (伍振鷟、林逢祺、黃坤錦、蘇永明，1999)。經驗的取得可來自兩方面：一方面來自外感官，通常稱為「感覺」，如經由眼、耳、鼻、皮膚等等感官接觸外界事物而得；另一方面則來自內感官，通常稱為「反省」，如透過知覺、記憶、推理、想像等等組合作用而得。. 「經驗主義」起源於古希臘哲學持有懷疑主義的哲士學派，著名的學者為普羅塔哥拉斯與伊壁鳩魯，後來於 17 世紀時興起於大不列顛王國(英國)，著名的學者有洛克與休謨。. 洛克於其《人類悟性論》(Essay Concerning Human Understating) (Locke, 1689) 的書中主張：. 13.

(25) 「人心最初猶如白板，並無先天觀念的存在，一切知識都來自於感覺與反省所得的經驗。」. 人類並非先有觀念才產生經驗，而是經由經驗的成果才產生了觀念；而觀念會先由簡單的觀念演變為複雜的觀念，這些觀念會再進而產生各種知識。簡單的觀念由感官、反省，或二者交織而得。複雜的觀念則分為三類：第一類是模式 (modes) 的觀念，由依附於本質的附屬性質而得，如：三角形。第二類是本質/ 基質 (substance) 的觀念，如：光。第三類是關係 (relations) 的觀念，可經由比較兩種以上的觀念而得。洛克並將知識分為三個層次：最低的層次為感覺的知識，由感官直接接觸而得；中間是推論的知識，由演繹而得，如：數學的證明。最高的層次為直覺的知識，是經由比較兩種以上的觀念，並且認識了其相關的異同性質而得到的。而休謨主張所有觀念皆來自於感官印象(感官上的知覺)與內在感覺 (想像與記憶的知覺)，他在《人性論》(A Treatise of Human Nature) (Hume, 1739) 與《人類悟性的探討》(Inquiry Concerning Human Understanding) (Hume, 1758) 二書之中解析時間、空間、存在、因果等觀念，認為這些觀念皆為各種簡單觀念的結合與排序。. 提出「理性主義」(Rationalism)的學者們則認為知識是來自於推理 (reason) (伍振鷟等，1999)。理性主義者認為人類的理性是天賦的，而理性是一切知識的基礎。. 「理性主義」起源於古希臘哲學的自然哲學學派，著名的學者為希臘三哲，蘇格拉底、柏拉圖與亞里斯多德，後來推廣發展於歐洲大陸，著名的學者有笛卡爾、史賓諾莎、萊布尼茲。其主張理性為知識的終極起源，獨立於感知感官，認 14.

(26) 為只有通過邏輯推理的方法，才能獲得真正的知識與真理。典型的理性主義者如：史賓諾莎與萊布尼茲，認為人類首先以本能(或直覺)掌握一些基本原則，再根據這些基本原則推理出其他知識，他們認為所有知識均能夠以一些基本原則推理出來，但他們卻又不能否認，現實世界中，除了數學以外，人類難以透過單純推理而推衍出其他知識。而笛卡爾認為，只有某些數學、科學、形上學的原則與真理可以單純經由推理而拓展出新的知識範圍，而其他方面的知識仍須藉由生活經驗與科學方法而取得。因此，也有人認為笛卡爾是理性的經驗主義者。. 在 18 世紀時，著名的德國哲學家康德在其所著《純粹理性批判》(Critique of Pure Reason) 一書中提到. (Kant, 1781)：. 「只有理性而無感官經驗的知識是空洞的，只有感官經驗而無理性的知識是盲目的。」. 他認為人的一切知識都是以感官經驗為基礎，但一些普遍與必然的知識並不是來自經驗，而是來自人本身具有的理性與推理，而人的理性會去尋求建立感官經驗之間的因果關係。在康德的論證中可以看見，在人類的學習與知識建立的過程之中，「理性主義」與「經驗主義」的運用應是互相調和而相輔相成的。. 自 80 年代開始，建構主義 (Constructivism) 的知識論逐漸受到心理學家與教育學者的重視 (伍振鷟等，1998)。建構主義為一種探討知識構成的知識論，包括了動態的認知歷程，以及靜態的知識產物。前者所涉及的探討面向包括：知識是如何產生的？知識如何成長或變化？後者所涉及的研究面向包括：知識的結構為何？知識與被認知的對象之間的關係為何？而建構主義對知識構成的觀點，有三項重要的原則 (詹志禹，1996)： 15.

(27) 1. 主動原則：知識是由認知主體主動建構而成，並非由認知主體被動接受得到。 2. 適應原則：認知的功能在於適應，致知是組織個人經驗世界的適應過程，但不可能發現客觀的主體實在。. 3. 發展原則：知識的成長需透過同化、調適、與反思抽象等歷程逐漸發展而成。. 而上述的三項原則在知識的建構上是需要同時存在的。若是過分強調主動原則，則容易掉入「理性主義」的極端，若是偏向強調適應原則，卻又是落入「經驗主義」的另一個極端。經過第三項發展原則對於「理性主義」與「經驗主義」的相互調和，建構主義描繪出知識成長與重建的歷程，也彰顯出「理性主義」與「經驗主義」在知識建構的過程中內外相互交織的動態性。. 而自柏拉圖與亞里斯多德以來，「抽象」一直是許多哲學家與數學家熱衷探討的議題。直至今日，許多數學教育學者們仍不斷強調「抽象」對於數學學習，特別是對於高等數學學習上的重要性，自二十世紀晚期至今，許多數學教育與教育心理學者們試圖由不同的角度出發，找尋「抽象」在數學教育與數學學習上所扮演的角色與其輪廓，例如：Jean Piaget (Piaget et al., 1977) 由經驗主義出發所發展出的經驗抽象、仿經驗抽象、與反思抽象 (empirical abstraction, pseudo-empirical abstraction, and reflective abstraction) ；由學者 Hiebert 與 Lefevre (1986) 所發展出的階層抽象 (hierarchical abstraction)；由 Davydov (1972) 所發展出的辯證抽象/理論抽象 (dialectical abstraction/ theoretical abstraction)，以及 Hershkowitz 等人 (Hershkowitz, Schwarz, & Dreyfus, 2001) 以 Davydov 的理論 16.

(28) 抽象為基礎，發展出應用理論抽象在數學學習上的 RBC model (recognizing, building-with, constructing model)。在上述各種不同觀點底下所描繪出的抽象本質，以及其理論應用在數學教學與學習的實例中，不難看出其抽象內涵背後所隱含著「經驗主義」、「理性主義」、與「建構主義」相互調和的過程與產物。. 三、. 反思抽象 (reflective abstraction). Piaget 由經驗主義出發，將抽象分為三種主要的形式：. 1. 經驗抽象 (empirical abstraction)：經驗抽象是透過感官經驗獲得對客體特質(特徵)的知識 (Beth & Piaget, 1966)，例如：一顆鵝卵石的重量與顏色 (Ozmantar & Monaghan, 2007)。這些特質是建構在主體內在的，而這種型態的抽象導出了由客體的相同性質萃取出來(extraction)的意涵，並延伸至一般性 (generalization)。也就是由”某些”引申至”全部”，即由”特定性”引申至”一般性”. (Piaget & Garcia, 1983)。. 2. 仿經驗抽象 (psudo-empirical abstraction)：仿經驗抽象是介於經驗抽象與反思抽象的中間體；仿經驗抽象是指主體對客體在行動上 (action)的特質 (Piaget,1985) ，例如：數算鵝卵的數目 (Ozmantar & Monaghan, 2007)。. 3. 反思抽象 (reflective abstraction)：Piaget 又將反思抽象稱為對行動的一般性協調 (general coordination) (Piaget, 1980)，也就是說，反思抽象的來源是主體本身並且完全運作在主體內部的，進而考慮到這些行動中間的內 17.

(29) 部關係 (Ozmantar & Monaghan, 2007)，例如：在數算石頭的行動之中發現了其中所內含的交換律 (commutativity)。這種型態的抽象導出另一種不同的一般性 (generalization)，它具有建構性，在行動過程之中經過新的合成 (syntheses) 而產生出具有新意義的特定法則 (Piaget & Garcia, 1983)。. 然而，這些不同形式的抽象並非相互獨立的。形成仿經驗抽象與反思抽象的行動 (action) 是由對客體特質的經驗抽象的知識所得到的；另一方面，經驗抽象也需透過同化 (assimilation) 反思抽象所建構的基模而產生 (Piaget, 1985)。這些不同形式的抽象彼此之間的依賴關係如下 (Dubinsky, 1991)：經驗抽象與仿經驗抽象經由對客體的特徵與行動之中提取知識，反思抽象內化並協調這些既有行動而產生新的行動與新客體，例如，不再使用物理實體 (physical) 的型態進行行動，而使用數學 (mathematical) 的型態進行行動，例如，利用函數或群的型態；而經驗抽象再將這些新客體繼續萃取出新的知識，並且不斷的持續下去，成為一種回饋系統。. 在經驗抽象中，主體觀察了許多客體，並抽象(萃取)出一個共同性質。仿經驗抽象也是以同樣方式進行，但是是在行動之中發生。而反思抽象，相較之下則複雜許多，Piaget 甚至提到 (Piaget, 1985)：. 「認知結構的發展是基於反思抽象…」. 在 Piaget (1976, 1978) 的兩本書中都提到關於兒童在反思抽象的許多實驗，但 Piaget 所指出的反思抽象並非只侷限在兒童的智力發展上，在他的心理學觀點中，各種新的數學建構都是透過反思抽象而進行的 (Piaget, 1985)，他認為這就 18.

(30) 是所有邏輯-數學結構 (logico-mathematical structures) 被導出的方法 (Piaget, 1971)。更廣泛地說，Piaget 認為反思抽象能夠以數學的想法將過程自內容中分離出來，並且以數學家的思考方式將過程本身轉換為內容的客體 (Piaget, 1972)。 Dubinsky (1991) 亦認為反思抽象可以作為一種智力思考上發展機制的描述。. 雖然，反思抽象具有在某種程度的思考上，將心中或具體行動的部分性質提取出來的含意 (Beth & Piaget, 1966)。但是，根據 Piaget (1975) 的觀察，反思抽象真正的精髓在於對抽象之間彼此關聯重新組合的建構。在這個方面，Piaget 似乎認為反思抽象在建構的面向甚至比提取精粹的面向更加重要。. 考慮以反思抽象作為建構的方法時，Piaget 將反思抽象區分為 4 種不同的形式，並且，Dubinsky (1991) 依照 Piaget 對反思抽象的見解，另外補充了第 5 種形式：. 1. 內化 (interiorization)：藉著使用符號、語言、圖像、心像的能力表現，學童運用了反思抽象形成表徵，也就是在內心建構了一個過程，作為將其感受到的現象產生意義的方法 (Piaget, 1980)。Beth & Piaget (1966) 並指出這就是將具體行動轉譯進入內化操作的一個系統之中。. 2. 協調 (coordination)：將兩個或多個過程協調並重組為一個新的，意即在不同的過程或系統之中尋找出能夠一以貫之並將不同系統之間連接起來的規則。. 3. 膠囊化 (encapsulation)：將一個動態的過程轉換為一個靜態的客體。如同 Piaget (1985) 所陳述的：「行為或操作變成想法或同化過程的主題化 19.

(31) 客體。」 Piaget (1972) 認為「整個數學可以被視為結構之間的建構，… 數學的實體由一層移動到另一層，在這些實體上的操作轉變為一個理論的客體，並且這個過程一直重複著，直到我們達到了另一個可替換的或更穩健的結構。. 4. 推廣 (generalization)：當一個主體學會將一個既存的基模應用到更廣泛的現象之中，我們會說這個基模已經被推廣延伸。也就是當主體瞭解到當某些客體改變時，客體可以藉由被延伸的基模被主體同化進來。Piaget (1972) 將此過程稱為複製 (reproductive) 或推廣同化 (generalizing assimilation)，或將推廣稱為延伸 (extensional) (Piaget & Garcia, 1983)。. 5. 迴轉 (reversing)：並非照著相反於原本的過程一步步迴轉，而是能夠建構另一個新的過程迴轉到原來的客體。. Dubinsky (1991) 基於 Piaget 所提出的反思抽象，按照以上五種不同反思抽象的型態，解釋在高等數學中的許多概念與基模，是如何藉由反思抽象，在客體、行動、與過程中，以動態的方式不斷的形成與建構。. 四、. 階層抽象 (hierarchical abstraction). 當提及抽象，有些教育學者會特別關注於抽象的層級性。Hiebert and LeFevre (1986) 的論述如下：. 「將數學知識之間的關係區分為兩個層級有用的。第一個層級我們稱為基本 20.

(32) 層 (primary level)。在此層級中，連結資訊的關係與抽象是建構在同一層的。關係是連結於資訊本身，並未進行任何抽象或以表徵呈現。」. 「有些關係是建構並連結於比資訊本身更高，更抽象的層級。我們稱此為內省層 (reflective level)。這層之中的關係會與特定情境的連結較少。這些關係經常顯現於一些表面上不同，但相似的核心特徵之中。這層關係超越了知識的原貌，提取了不同樣貌的知識之間的共同特徵，再將其組織在一起。」. 另一方面，Hiebert and Carpenter (1992) 雖然未提及「抽象」之名，卻談到抽象之中「內省層」的可能產生方式。他們定義，「瞭解」 (understanding) 是「使想法、事實、或流程產生連結」，並討論此連結可經由兩種方法達成：「研究相似與相異，並建立內含物之間的關係」。. 以上觀點之中的抽象主要具有兩個主要的特徵：階層性 (hierarchical) 與去情境化 (decontextualization)。. 然而，亦有其他學者反對將階層性. (hierarchical) 與去情境化. (decontextualization) 視為抽象的兩大特徵。. Noss and Hoyles (1996) 認為應將抽象視為連結的過程而非往上升層。他們介紹了織網的想法：一種作為學習者自我支持，能夠提取或重構的結構；學習者能夠以此方式選擇適當的連結為某些數學概念產生有意義的建構。Noss and Hoyles 將此種抽象稱為情景抽象 (situated abstraction)：學習者藉由對某些場景織網來建構其對數學的想法，以形塑表達想法的方法。 Van Oers (1998) 則批評去情境化的想法，他認為情境永遠與個人有相關性的，因此去情境化便是提倡去個人化。Van Oers (2001) 亦認為去情境化會使概念變為貧瘠萎縮而非豐富擴充。Brown, Collins, and Duguid (1989) 則認為去情境 21.

(33) 化的教學，會帶來對於實際幾乎無用的學習。Lave (1988) 亦認為去情境化的教學在學習遷移上提供了微薄的證據。. 五、. 辯證抽象/理論抽象. (dialectical abstraction/theoretical. abstraction). 當 Hiebert and LeFevre (1986) 提出抽象的本質為階層性與去情境化的觀點時，亦出現了反對的意見。然而，即使是不支持階層性與去情境化為抽象本質的學者們，卻仍然強調著抽象為客體之間所存在特有內部關係的建構。. Noss and Hoyles (1996) 提到：與其說抽象是一種往上升層的過程，倒不如說是一種理論、經驗、從前未連接起來的知識片斷彼此的交織網絡。同樣的， Van Oers (2001) 認為不應當將具體與抽象簡單地以感官物質與心智概念的界線一分為二。他提到：除非在具體與抽象之間有某種的內部關係，抽象在具體的世界中是無法產生任何有意義的深刻洞見的。. Van Oers 認為具體與抽象之間的關係是以辯證 (dialectical) 的方式連結起來的。具體是一整體所呈現出來的諸多面向，抽象則是這諸多歧異之中的大一統。在抽象的過程中，主體能夠藉由釐清各種不同的具體情形而發現新的意義，並且在一個整體內的不同元素之間建立內部的連結。. 除了具有「整體統一」 (unity) 的性質，Van Oers (2001) 與 Brook (1997) 也認為抽象具有「精粹」 (essence) 的性質。Van Oers 認為抽象具有精粹的特質，能夠由客體之中萃取出來，若非藉由去除一些意外與不相關的特質，就要直接聚焦於精粹之上。Brook 則認為抽象可視為精粹，意即眾多個體之間所具有相同的 22.

(34) 部分。. 然而，前述對於抽象的「整體統一」 (unity) 與「精粹」 (essence) 的兩種性質所存在的問題是：如何產生準則來判斷與決定哪些是相關的，哪些是不相關的，又要如何決定哪些才是「精粹」？. 有些學者 (Bartlett, 1932; Keil, 1989) 認為人類是藉由某些天賦的特質帶領發現「精粹」。但這種將發現「精粹」的過程推往天賦機制的想法無法產生任何深入的研究與分析。. Davydov (1972) 則認為具體是與抽象彼此相關的，抽象的發展並不是藉由具體往上升層，而是在具體與抽象之間進行雙向的辯證，「精粹」的發現就是一種抽象過程的結果。. Davydov (1972) 將這個辯證的過程分為「分析」與「合成」兩個部分。分析經常是發生於抽象的起始階段，透過外在的特徵觀察，連結到想法中判斷其相似處、相異處，並且點明其中之矛盾處。然而，判斷何謂「精粹」則需要運用「理論」的想法 (具有放諸四海皆準的形式，具有定律法則的性質)，以將先前的分析進行合成。而這抽象過程的最終產物將會具有一致性與高度的結構。. Davydov (1972) 把概念區分為基本概念 (elementary concepts) 與理論概念 (theoretical concepts)。基本概念為客體與現象提供了確認與分類，理論概念則為客體之間的關係與連結產生了心智與系統化的分析。Vygotsky (1934) 亦將概念區分為日常概念 (everyday concepts) 與科學概念 (scientific concepts)。日常概念經由經驗抽象形成，而科學概念的形成則具有三種特徵：在概念的關係之中產生 23.

(35) 一個系統；一種對個人心智活動的覺察；能夠穿透到客體的「精粹」部分。理論概念能夠將彼此不相似、不相同、多面向、不一致的客體齊聚一堂，並描繪出在整體系統之下個別客體的彼此連結。. 為了區分由日常概念所產生的經驗抽象， Mitchelmore and White (2007) 將理論概念與科學概念所產生的抽象稱為理論抽象 (theoretical abstract)。並且，由於 Davydov (1972) 認為理論抽象的產生是經由辯證的過程，Ozmantar and Monaghan (2007) 又將理論抽象稱為辯證抽象 (dialectical abstract)。. 六、. 從理論抽象(辯證抽象)到 RBC 模型. Hershkowits, Schwarz, & Dreyfus (2001) 基於 Davydov 所提出的理論抽象 (辯證抽象)發展出 RBC (recognizing – building with – constructing) 抽象模型。在 RBC 模型中，雖然過程中會運用到經驗上的想法 (經驗抽象)，但重要的是在抽象(思考)形成時連結到理論上的想法 (理論抽象)；最終，會見到運用辯證方法 (辯證抽象)的證據存留於 RBC 模型的抽象過程中：最早由未精煉過的起始形式開始，接著會逐漸形成一個高度一致的最終結構，其中經過已知結構的重組以及在其中建立新的連結。. 更確切地說，RBC 模型將抽象(思考)視為一項垂直重組的活動，將先前的建構的數學知識重組為新的知識結構。垂直重組係指將數學元素及其延伸整合為一個更複雜的知識結構。如同其他形式的辯證活動，RBC 模型對於情境是敏感並具有依附性質的。. 24.

(36) 其中，RBC 模型的 R (recognizing，認識) 是指對一個學習者本身對已知數學結構/元素的理解；這裡的認識，不只是指在經驗上的想法，還需要理論上的想法。B (building-with，建立) 是指使用已知的數學元素來達成一個目標，如：解題或解釋。C (constructing，建構) 是指將數學結構重新組裝以產生另一個新的結構。真正將 RBC 模型實行在教學使用時，Schwarz, Dreyfus, & Hershkowitz (2009) 發現新生成的結構往往是脆弱並需要鞏固的，於是將 RBC 模型延伸發展為 RBC+C 模型；最後的+C (consolidation，鞏固) 是指新生成的結構經過精煉之後，最終會得到一個鞏固的結構，即能夠使用於下一步的抽象(思考)過程之中。. RBC 模型是一個以目標為導向(例如：解一系列設計好的題目)，以工具為媒介(例如：利用經驗抽象與理論抽象彼此辯證的過程)，並需要在一個社會情境之中實施(例如：師生對話)。這個抽象(思考)過程通常會經過三個階段：對於新結構的需要(為瞭解題)，經過套疊的認識行動來建構新的結構(辯證過程)，最後將新結構鞏固(透過師生對話)，如果仍有解題的需要，則繼續循環至第一階段。經過一系列的解題流程，RBC 模型讓學生體驗到一些抽象(思考)的步驟，並學習到如何使用辯證的方法作為經驗與理論之間彼此驗證的工具。. 25.

(37) 第二節. 函數極限的學習困難與迷思模式. 基礎微積分是大多理工科學生進入大學之後學習數學的第一門科目，隨著時代與科技的演進，微積分的課程內容漸漸走向以電腦輔助產生具體圖形來幫助學生理解抽象的定義描述與理論應用的方式。. 然而，函數極限的概念，卻仍然是學習微積分初期相當重要的基礎。尤其當學生第一次遇到函數極限的形式化定義時，許多人對於「ε - δ」的使用與理解是感到抽象、挫折、與畏懼的 (林翠屏，2010)。當林翠屏 (2010) 回想其初次學習函數極限的形式化定義時，她提到：. 「第一次看到那麼多陌生的符號，儘管教授逐字翻譯每個符號的意義，但是對於整個定義還是不瞭解它所由何來，所為何去 … 簡單的來說，函數極限形式化定義 … 只是一堆陌生的數學符號拼湊而成。」. 在其研究中，林翠屏 (2010) 說明大部分的老師在教導函數極限的形式化定義時，多在極短的時間內直接引入形式化語言，再透過實例對形式化語言賦予意義，接著開始以證明或習題練習操作形式化語言。學生因不瞭解符號的意涵，只能靠模仿來達成操作形式化語言的的任務。. 近年來已有數學教育的學者對於學生在學習數學上的「極限概念」時所發生的學習困難進行研究。學生在學習「極限」在數學上的意義之前，可能會依照自己生活經驗的想法、直覺、知識等等自發性概念 (Cornu, 1981, 1983) 與日常使用的語言，例如：「越來越」、「接近」、「趨向」、「靠近」等字詞，對於「極限」 26.

(38) 一詞賦予自己心中的意義。並且，當學生在學習極限的形式化定義時，仍然使用著心中原有的意義 (Monaghan, 1991)，而形成概念的混淆、衝突、與迷思。. 另一個學生對於數學上「極限概念」的學習困難，則是如何將直觀概念轉換到形式定義的問題 (Cornu, 1991)。許多數學教育的研究者採取的教學策略是經由學生對於尋找極限值的直觀概念出發，再提供不同的轉換方式，讓學生由非形式化語言過渡到形式化定義。Schwarzenberger and Tall (1978) 亦發現，大部分表現優異的數學系學生對於「極限概念」的學習困難，可能是由形式化定義之前的非正式轉換所引起的。. 隨著電腦程式設計的技術進展與資源普及，近來的一些研究學者開始利用電腦幫助學生由非形式語言進入到形式化定義。Li and Tall (1992) 利用電腦程式幫助學生將數列定義為函數，快速求得每一項的數值與可能的極限值；然而，學者們發現這樣的教學方式會讓學生對於「函數極限」的概念發展停留於操作階段，並且對於學生由非形式語言轉換到形式化定義的幫助不大。. Monaghan, Sun, & Tall (1994) 以電腦代數系統的方式幫助學生對「函數極限」的概念建立了動態過程的心像，並將動態過程膠囊化為靜態的物件，但學生仍然無法過渡到形式化定義，並且發展出一種利用電腦作為計算機以找尋極限值的行動基模。. 在「函數極限」概念的迷思部分，Williams (1991) 經過文獻回顧之後，歸納出學生容易具有的六種非形式語言的迷思模式：. 1. 極限是描述當 x 移向某特定點時，函數將會如何移動。 27.

(39) 2. 極限是分界線，是函數不能超過的點。 3. 極限是當限制 x 的數值時，y 可以任意靠近的一個數。 4. 極限是一個可以任意靠近，但不會到達的數。 5. 極限是一個可以達到你所要求準確的近似值。 6. 極限是由代入一些 x 值，使其越來越靠近某個給定的函數值所決定，一直到達到極限值為止。. Williams (1991) 的研究中發現，在十位大一學生中，模式 1、3、4 的概念迷思最為常見。他試圖以教學活動引發學生的認知衝突，使學生產生概念改變，然而，受限於學生之前學習「函數極限」時，將函數圖形繪出的動態過程心像，認為函數極限值的產生必須基於函數圖形的建立，即使與形式化定義有衝突，也難以移除原有的動態心像，因此難以改變其原有迷思模式。. Davis and Vinner (1986) 嘗試著在學生學習「極限概念」的最初階段，避免使用形式化定義；但卻發現學生對於「極限概念」最終產生的概念心像，會受到早期學習經驗中所使用的特定舉例的影響，因此，避免使用形式化定義不但無法解決學生建立完整的「極限概念」的困難，更可能使學生的「極限概念」受到先前所學的個別特例的牽制。. 28.

(40) 第參章. 研究方法. 本研究為探討數學系學生對函數極限非形式化與形式化定義之間的抽象感知，先以問卷的形式蒐集資料進行初探式量化分析，再於其中取樣進行深入晤談的質性研究。. 本章共分成五節，第一節說明研究方法設計；第二節說明研究對象；第三節介紹問卷所使用的量化分析方法；第四節說明問卷的設計、發展與修正；第五節說明本研究的步驟與流程。. 第一節. 研究方法設計. 由於本研究的研究目的在於想要瞭解數學系學生在學習基礎微積分時，對於函數極限形式化定義所感受到的抽象性為何，因此採用了 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中所陳述的五項的函數極限定義作為研究工具設計的發想與主軸。 Spivak 在書中的第五章欲介紹函數的極限定義時，先敘述了函數極限的口語非形式化定義，利用四個步驟漸進地由口語描述逐步轉換為以符號描述，最終進入函數極限的 ε - δ 形式化定義。. Spivak (1967) 所陳述的五項的函數極限定義如下，由於本研究並未將學生對於英語語言的理解情形納入形成抽象感的探討因素，因此對照原文，並參考專家的意見修正，將此五項定義翻譯並改寫為中文(置於英文之下)，並依序將這五 29.

(41) 項定義稱為定義 1 至定義 5(即問卷中之選項 ABCDE)：. 1. 定義 1(即問卷中之選項 A)：. The function f approaches the limit L near a, if we can make f(x) as close as we like to L by requiring that x be sufficiently close to, but unequal to, a. 函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：若 x 足夠靠近 a，但 x 不等於 a，則 f(x)就能如你所想的靠近 L。 2. 定義 2(即問卷中之選項 B)：. The function f approaches the limit L near a, if we can make│f(x) - L│as small as we like to L by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a. 函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：若│x - a│足夠小，但 x ≠ a，則│f(x) - L│就能如你所想的足夠小。 3. 定義 3(即問卷中之選項 C)：. The function f approaches the limit L near a, if for every number ε > 0, we can make│f(x) - L│< ε by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a. 函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：對於任意的 ε > 0 ，若│x - a│足夠小，但 x ≠ a，則│f(x) - L│< ε。 4. 定義 4(即問卷中之選項 D)：. The function f approaches the limit L near a, if for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if │f(x) - L│< ε and x ≠ a, then │f(x) - L│< ε. 30.

(42) 函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：對於任意的 ε > 0 ，都存在一個對應的 δ > 0，使得對所有的 x 而言，若│x - a│< δ，但 x ≠ a，則│f(x) - L│< ε。 5. 定義 5(即問卷中之選項 E)：. The function f approaches the limit L near a means: for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then │f(x) - L│< ε. 函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：對於任意的 ε > 0，都存在一個對應的 δ > 0，使得對所有的 x 而言，若 0 < │x - a│ < δ，則│f (x) - L│< ε。. 在問卷的設計上，本研究以 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中陳述的五項函數極限定義作為主軸，發展出一套用來比較數學系學生對於這五項定義所產生抽象感之差異化程度的一系列問題，並利用統計的方法進行數據分析，評估形成學生對函數極限定義產生抽象感的可能原因。. 經由量化數據分析初探可能影響受試者決定各個定義抽象程度的潛在因素之後，由受試者中抽樣進行個別深入訪談，以瞭解受訪者心目中決定客體抽象程度的各種原因，以及探討受訪者在建構函數極限概念與其形式化定義的過程中，在認知上所產生的抽象(思考)意涵。. 31.

(43) 第二節. 研究對象. 本研究在量化研究的主要研究對象為台灣地區三所大學的數學系學生：A 校為北部知名國立大學，學生主要採樣於正在修習基礎微積分、高等微積分、複變數函數論三門不同課程的學生；B 校為北部知名私立大學，受測的學生採樣於正在修習基礎微積分與高等微積分兩門課程的學生；C 校為南部知名國立大學，學生則採樣於正在修習高等微積分課程的學生；受測的數學系學生分布於不同年級，其中亦包含輔系為數學系的外系學生，以及與數學系學生一同修課的外系學生，外系學生包含地科系、資工系、化學系、資訊教育系、科技系、測量系、統計系、物理系各一位。. 實施問卷的總人數為 217 人(男 153 人，女 64 人)；但由於本研究內容較一般訪談問卷複雜，涉及研究客體相似度比較與抽象-具體程度判定，導致受試者填答難度較高，故有效回收問卷為 200 份，有效問卷的各校男女個數與總人數如下表：. 表 3-2-1 有效問卷的各校男女個數與各校總人數學校. A. B. C. 男女. 66 24. 49 22. 23 16. 總人數. 90. 71. 39. 在質性研究深入晤談的部分，於 A 校學生之中，大一至大三學生之中抽樣出各三名學生，大四學生之中抽樣出四名學生進行訪談，，因此深入晤談的對象 32.

(44) 共 13 人，其男女比例如下：. 表 3-2-2 質性研究各年級的男女個數與總人數年級. 大一. 大二. 大三. 大四. 男女. 1 2. 2 1. 3 0. 1 3. 總人數. 3. 3. 3. 4. 33.

(45) 第三節. 量化分析方法. 本研究欲探討對於數學系學生而言，在學習基礎微積分時，對於函數極限的形式化定義與概念之間所形成的抽象感有哪些？因此在問卷設計部分，採用了 Spivak (1967) 於其所著的基礎微積分教科書中所陳述的五項的函數極限定義。 Spivak (1967) 由函數極限的口語非形式化定義開始，利用四個步驟漸進地由口語描述逐步轉換為以符號描述，最終進入函數極限的 ε - δ 形式化定義，在本章第一節的部分，詳述了這五項的函數極限定義。. 當學生一開始接觸函數極限的概念時，對於定義 5 所陳述之函數極限的 ε - δ 形式化定義往往感到較定義 1 所陳述之函數極限的口語化定義為抽象，但一部分數學系學生，在其經過多年數學系的分析相關課程訓練之後，對於函數極限的 ε - δ 形式化定義的抽象感竟有所改變；因此，我們可以瞭解到各個不同的數學系學生，對於 Spivak (1967) 所提出的五項函數極限定義所具有的抽象感和抽象程度可能是有所不同的，並且，在其判定抽象感以及抽象程度的準則上，可能也是有所差異的；因此，本研究利用了探討人類選擇行為經常使用的成對比較法(pair comparison)，來比較 Spivak (1967) 所提出的五項函數極限定義的抽象程度高低，以剖析數學系學生對於函數極限的 ε - δ 形式化定義的抽象感之由來及其判定機制。. 成對比較法是透過受試者進行客體(objects)之間的兩兩比較，利用兩兩比較的方式來判定受試者較為喜歡(在本研究中是判定較為抽象)的客體，以獲得兩客體之間的相對比率值，利用此相對比率值所構成的成對比較矩陣，計算客體的優先權重向量。因此，在 n 個不同的物件之中，總共至少需要進行 ( ) = 34. 次.

(46) 的比較。在本研究中，共有五項不同函數極限定義的描述方式，因此每一位受試者需進行 ( ) =. = 10 次的比較，以瞭解受試者判定五項定義的抽象程度之. 高低順序。. 在分析成對比較法的方法上，本研究採用了多元尺度法(Multidimensional Scaling) 以及 Bradley-Terry 模型 (Bradley & Terry, 1952)來呈現量化結果；多元尺度法以簡易的知覺圖 (perceptual map) 提供了在整體資料上，客體在空間之中的相對位置；而 Bradley-Terry 模型則能夠為每位受試者排列出其判定五項定義的抽象程度之高低順序，幫助我們瞭解各個受試者之間排列抽象程度高低順序的不同趨向，以利於分辨受試者判定抽象程度的不同模式。以下簡單介紹多元尺度法以及 Bradley-Terry 模型：. 一、多元尺度法(Multidimensional Scaling)：. 簡稱為 MDS，利用客體之間的相似性或差異性的距離矩陣作為輸入資料，經過電腦計算後再輸出為以點構成的幾何圖形，每一點對應於一個客體及其與其他客體的相對位置，透過多元尺度法，可以將蒐集到的量化樣本資料轉換到視覺與直覺上易於理解的圖形中呈現，此圖形通常被稱作知覺圖。知覺圖的主要特性在於反映資料中的隱藏結構，若兩客體之間的差異性越大，則在知覺圖中的空間位置越為分離。. 為了取得相似性或差異性的距離矩陣，必須要求受測者直接對客體判斷心理距離 (psychological distance)。在本研究中，客體即為 Spivak (1967)對函數極限所陳述的五項非形式化與形式化定義；而心理距離，則是這些定義在測試者心中 35.

(47) 的抽象程度。由於測試者心中對客體所存在抽象程度的絕對量尺刻度可能會有所差異，並且本研究所關注的是這五項定義之間的抽象程度的順序差異，而經 Koczkodaj (1998) 的實證研究中發現，利用成對比較法所得之客體優先權重向量，比直接由測試者直接對客體執行排序的結果更佳。. 二、 Bradley-Terry 模型：. 在成對比較測驗中，假設有 n 個不同的物件，將物件兩兩配對來做比較，所以總共至少需要進行 ( ) =. 次的比較。在探討人類的選擇行為時，會請. 多位受試者對這些物件個別進行一回合的多組成對比較。通常是將來自不同受試者的成對比較結果合併計算，算出對於每組不同的配對(j, k)，物件 j 被選擇勝過物件 k 的比例。Bradley 和 Terry 於 1952 年提出了 Bradley-Terry 的成對比較模型 (1952)，若受試者 i 在比較物件 j 與物件 k 時，以和. 表示此受試者對物件 j. 與物件 k 的喜好量值，也就是在物件 j 與物件 k 之中，選擇 j 的機率可以表示為：. 在一般的 Bradley-Terry 模型之中，基於分析資料上的便利性，大部分是將成對比較的結果進行合併計算的方式去分析，也就是不考慮進行共同合併計算的同一群內之個別選擇差異的影響(蔡森任，2011)。. 假設第 i 個人對於物件 j 與物件 k 的對應喜好量值為. 與. ，並且假設. 為. 第 i 人在判斷 j 與 k 兩個物件時的隨機誤差，當第 i 人在比較 j 與 k 兩個物件時， 36.

(48) 其潛在反應可利用以下的式子表示：. 假設有 n 個不同的物件，每個人都要進行 ( ) =. 次的比較，因此可. 以將所有的比較寫成一個線性模型，並以矩陣形式表示，例如在本研究中有五個選項 A、B、C、D、E 提供每位受試者進行選擇，每位受試者須進行( ) =. =. 10 次的比較，故可將所有的比較以下列矩陣表示：. ( (. ). 其中，. (. ). (. ). 是 5 1 的向量，代表第 i 個人對於這五個選項的喜好量值；. 示第 i 個人對於這五個選項的比較結構。表示( ) =. ). 表. 中的每一行代表一個選項，每一列則. = 10 次的其中一次比較，則表示為 10 1 的向量，表示第 i 人. 在此 10 次成對比較中的隨機誤差項。在 Bradley-Terry 模型之中，需假設. 服. 從羅吉斯分布(logistic distribution)。. 在這五個選項的成對比較中，每個受試者須接受 10 次的比較，. 的值並非. 由直接觀察得知，而是受試者 i 選擇了 j 選項或 k 選項，假設第 i 個人在成對比 37.

(49) 較問卷中所得的資料為. ，其中：. {. ，如果受試者選擇. i. ，如果受試者選擇. 1,. ,n. 也就是說，我們將每一次的比較結果用二元數據 1 或 0 表示，若第 i 個人在比較選項 j 與 k 時，最後選擇了 j，則我們定則我們定. ，若第 i 個人最後選擇了 k，. ；如果我們共有 x 位受試者，則可將所有的成對比較資料以一. 個二元矩陣. 來表示。. Bradley-Terry 模型假設這些成對比較的誤差項者 i 對選項 j 與 k 的喜好量值. 與. 是互相獨立的，依據受試. ，則可以推得受試者 i 會選擇喜好 j 勝過 k. 的機率：. (. |. ). (. 其中，. 與，. ). 為 Bradley-Terry 模型之中用來描述選項 j 與 k 的價值參數，。在此，我們可以透過各選項的價值參數的數值大小. 排列順序以瞭解受試者對各選項的抽象程度之差異。. 38.

(50) 在本研究的量化分析方法中，先以多元尺度法的高維度知覺圖初探可能形成受試者對於函數極限定義抽象感之原因；再利用 Bradley-Terry 模型為受試者計算出在成對比較測驗的選擇之中，五個選項的價值參數的變化情形，以瞭解受試者由抽象到具體對五個選項的排列順序，並且深入探討在受試者自我判斷函數極限定義對其所形成抽象感的最主要原因不同時，這些類群對於抽象到具體對五個選項的排列順序是否也會有所差異。. 第四節. 量化研究工具的內容、設計與修正. 一、量化研究工具的內容. 本研究採問卷作為量化的研究工具。以受測者對函數極限定義所形成的抽象感為探索核心，將問卷共分為六個部分：. 問卷的第一部分為個人的基本資料的填寫，主要的目的在於區分受試者的不同屬性，例如：性別、學校、年級。. 問卷的第二部分在調查受試者於大一學習基礎微積分時，老師所使用的教科書以及教學方式是否較偏向於理論證明或應用計算？以及學生在大一上學期學習基礎微積分時的成就表現。問卷的第三部分為瞭解受試者在學習函數極限的 ε-δ 形式化定義時，老師在教學策略上曾經利用哪些不同的方式來講解函數極限形式化定義，並請受試者回 39.

(51) 想自己在學習函數極限形式化定義，自己的學習情況如何？若是當時對此定義不甚瞭解時，個人的處理方式為何？並且是否會對此定義感到抽象？以及受試者是否經過學習初階或進階的數學分析課程之後，對函數極限的 ε-δ 形式化定義有更加深刻的瞭解？. 問卷的第四部分則以 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中陳述的五項函數極限定義作為主軸，並利用前一節所述的成對比較法，將敘述方式不同的函數極限定義兩兩成對編為一組，進行兩個選項之間抽象程度強弱差異的比較，形成一系列成對比較的題組。. 問卷的第五部分承接了第四部分的成對比較法，在受試者比較過不同敘述方式的函數極限定義的抽象程度之後，請受試者回想自己在第四部分作答時的抽象程度判定依據。本題提供不同的選項，例如：難以使敘述圖形化、難以在腦中進行動態化操作、符號太多、等等可能形成受試者抽象感的理由，讓受試者可依其當時的判準依據按重要程度的順序填入，受試者亦可自行填入並未列入選項之中的理由。. 問卷的第六部分則列出了在第四部分的成對比較法之中，所有函數極限定義的表達方式，以及可能形成受試者抽象感的原因，如：口語化程度、符號化程度、在腦中操作動態圖像化的難易程度，以其定義敘述的嚴謹程度；以 1 ~ 10 分，從最低到最高，最容易到最困難，讓受試者逐一評分。這一個階段主要是為了利用多元尺度法形成知覺圖，瞭解這些不同函數極限定義的表達方式使受試者形成的抽象感與可能形成抽象感原因的趨勢是否有正相關的情形，以量化的方式評估不同函數極限定義的表達方式造成受試者抽象感的主要可能原因。. 40.